2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)五立體幾何5

5.3空間向量與立體幾何

命題角度1空間位置關(guān)系證明與線面角求解

高考真題體驗?對方向

1.

(2019浙江79)如圖，已知三棱柱ABC-ABC、,平面447?！蛊矫鍭BC,乙仿090°,Z

陰。=30°,A^A^AC,E,F分別是AC,AB的中點.

(1)證明："6G

(2)求直線所與平面4%所成角的余弦值.

廨方法一:

⑴連接4區(qū)因為44弘6￡是/。的中點,

所以

又平面447G_1_平面Ji￡c平面A\ACCh

平面447GG平面ABC=AC,

所以,4反1平面ABC,則AxEVBC.

又因為AF//AB,N/8O90°,故8UL小E

所以3人平面4跖

因此EFLBC.

⑵取和中點G,連接EG,GF,則￡0%是平行四邊形.由于4心平面ABC,故A,ELEG,所以平行

四邊形￡67%為矩形.

由⑴得8cL平面EGFA、,則平面4862平面EGFA、,所以跖在平面4州上的射影在直線4G上.

連接461交跖于0,則/的是直線跖與平面4%所成的角(或其補角).

不妨設(shè)AC=4,則在RtZ\4%中,A、E=2gEG』.

,JTE2.2_2o

由于。為4G的中點，故EO=OGf=與，所以cos4EOG-^--------=

因此,直線旗與平面48C所成角的余弦值是|.

0

方法二：

(1)連接46

因為A.A=A.C,￡是4C的中點,所以A.ELAC.

又平面44CG-L平面ABC,4比平面A}ACCh

平面AyACGn平面ABC=AC,

所以平面/%

如圖，以點￡為原點,分別以射線EC,EA為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.

不妨設(shè)心1,則4(0,0,2V3),8(倔1,0),8(V3,3,2毒),心［2g),<7(0,2,0).

因此―<=(￥，1，2禽)，--(-V3,1,0).

由(-(4)得EFVBC.

⑵設(shè)直線如與平面46c所成角為9.

由⑴可得—<=(7^,1,0),二^二(0.2,-2北).

設(shè)平面48C的法向量為n=(x,y,z).

=°，得-V3+=0,

由匕=0,得

-V3=0.

取n=(l,6,1),故sin9=/cosL.因此直線項與平面4%所成的角

的余弦值為

3

2.(2019天津?17)

如圖，，平面ABCD,CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(1)求證:跖〃平面/班1;

⑵求直線應(yīng)與平面瓦火所成角的正弦值;

(3)若二面角f-加-9的余弦值為右求線段)的長.

(1)證明依

題意,可以建立以力為原點，分別以一；—\—1的方向為x軸,y軸,z軸正方向的空間直角坐標(biāo)

系(如圖)，可得4(0,0,0),5(1,0,0),<7(1,2,0),系0,1,0),夙0,0,2).設(shè)CF=h(h池,則尸(1,2").

依題意,--(1,0,0)是平面力應(yīng)的法向量，又一＜=(0,2,A),可得—(?—M),又因為直線用平

面ADE,所以跖〃平面ADE

(2)［解］依題意,*=(T,1,0),0,2),*-(-1,~2,2).

設(shè)n=(x,y,z)為平面8〃夕的法向量，

則I：—：o：gP{-：2=&，不妨令z吐

可得n=(2,2,1).

因此有cos＜一＞,因七二：一所以,直線應(yīng)與平面頗,所成角的正弦值為［

yy

⑶廨口設(shè)m=(x,%z)為平面質(zhì),的法向量,則|KP

：0：G：=鼠不妨令月，可得

上).由題意，有,/cos<in,n>/——^=

m='l,1,=/解得吟經(jīng)檢驗,符合題意.

所以，線段)的長為*

3.（2018全國/?18）

如圖，四邊形ABCD為正方形,E,尸分別為AD,6c的中點，以〃尸為折痕把折起,使點C到達點P

的位置,且PFVBF.

(1)證明：平面兩_L平面ABFD-,

(2)求分與平面物》所成角的正弦值.

⑴證明由已知可得,BF1PF,BFLEF,

所以冊L平面PEF.

又BFu平面ABFD,

所以平面陽工平面ABFD.

(2)廨一|作PHLEF,垂足為〃由⑴得,掰，平面ABFD.

以〃為坐標(biāo)原點,一~"的方向為y軸正方向，/~7為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

H-xyz.

由(1)可得，龍_L陽又以空,％4,

所以PE點.又PF=1,EF2故PELPF.

可得P吟，照.

則〃（0,0,0）,[0,0,1），4T，-|，0），—*=（1，I）T）>—'=（0,°>]）為平面48項的法向

量.設(shè)如與平面0加9所成角為0,

____3_

則sm"H|----1|----J=唬=不

所以如與平面力物所成角的正弦值為日.

4

4.（2018全國〃?20）

如圖,在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2近,PA=PB=PC=AC=\,。為/C的中點.

⑴證明：尸O_L平面

⑵若點M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30°,求用與平面用M所成角的正弦值.

（1）|證明|因為AP=CP=ACA。為〃'的中點，所以O(shè)PVAC,且OP^yFi.

連接OB,因為AB=BC當(dāng)A&所以△/回為等腰直角三角形,且OBVAC,0B^AC=2.

由OP+0目=PR知POLOB.

（2）廨口如圖,以。為坐標(biāo)原點,一■的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),4(0,-2,0),(7(0,2,0),一(0,0,273),*=(0,2,2a).取平面PAC

的法向量一(=(2,0,0),

設(shè)材(a,2-a,0)(0。<2),

則<=(a,4-a,0).

設(shè)平面為必的法向量為n=(x,%z).

由-k?n=0,一'”力得

,2+2V3=9,可取n=(北(aM),,a,-a),

(+(4-)=0.

rri/----、2代(-4)

所以rcos<,n,_---=.

2,3(-4)2+32+2

由已知可得/cos<—；n>!當(dāng).

所以?2@川_

2^3(-4)2+32+2

解得a=M(舍去)，a』.

所以M片，竽，嗷

又*-(0,2,-2V3),所以cos<\n)羋

所以所與平面力"所成角的正弦值為號.

4

典題演練提能?刷高分

1.如圖，在平行六面體ABCD-ABCD中，AA^D,AB=BC,/4?C=120°.

5C,

(1)證明

(2)若平面4?M_L平面ABCD,旦A、D=AB,求直線加?與平面4區(qū)切所成角的正弦值.

⑴證明取相中點0,連接OB,0AhBD,

VAAx=AxD,

.,.ADLOAx.

又NABC=120°"D=AB,.：/\ABD是等邊三角形,

/.ADYOB,

平面A、OB.

:'48u平面40B,

.".ADLAxB.

⑵姓］:?平面平面ABCD,

平面4WMA平面ABCD=AD,

又AxOLAD,.：40_L平面ABCD,

.,.OA,%如兩兩垂直,

以。為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)A,OB,Oh所在射線為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

設(shè)AB=AD=AxD=2,則4(1,0,0),4(0,0,V3),8(0,V3,0),〃(-1,0,0).

則?=(1,0,V3),一1=—=(-1,V3,0),；=(0,^/3,V3),設(shè)平面48a的法向量

n=(x,y,z),

令xM,則y=l,z=-l,可取n=(V3,1,-1),

設(shè)直線陰?與平面4劣切所成角為0,

則sin0=/cos<h,~*_J.,1=震弋=

I?IV5?V65

2.

如圖，在四棱錐P-ABCD中,如，平面ABCD,底面46(力為梯形,AB//CD,Z

BAD儂；PD=AD=AB2CD=\,E為R7的中點.

(1)證明：跖〃平面PAD;

(2)求直線如與平面睡所成角的正弦值.

(1)|證明|設(shè)戶為功的中點，連接EF,FA.

因為必為△收'的中位線,所以EF//CD,且小切=2.

又AB//CD,AB2所以ABEF,故四邊形/版為平行四邊形,所以BE//AF.

又AFu平面PAD,咽平面PAD,

所以應(yīng)1〃平面為。

(2)廨一］設(shè)G為4?的中點，因為AD=AB,NBADQ,所以△力劃為等邊三角形,故DG1AB;

因為AB//CD,所以DGLDC.

又如J_平面ABCD,所以做DG,切兩兩垂直.

以〃為坐標(biāo)原點,'為x軸、"為/軸、*為z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,則

以0,0,2),5(V3,1,0),￡(0,2,1),^(0,2,1),-=(V3,1,0),

設(shè)n=(x,y,z)為平面核的一個法向量，

則｛=或唯++==0.

令y=l,則n《-日,1,-2).

又一，=限1,-2),

所以/cos<h,>=---,="=乎，

即直線如與平面核所成角的正弦值為當(dāng)

3.在直三棱柱ABC-4BG中，△?!a'為正三角形，點〃在棱BC上,且切=3劭，點E,尸分別為棱AB,BB、

的中點.

(D證明：4C〃平面DEF-,

(2)若A^CVEF,求直線AG與平面兩所成的角的正弦值.

⑴|證明畫圖,連接AB“A瓜交于點II,A\B交以于點K,連接DK,

因為4期4為矩形,所以〃為線段48的中點，因為點￡廠分別為棱AB,初的中點，所以點A■為

線段掰的中點，所以4K4BK,

又因為CD^iBD,所以4%以又4a平面DEF,DKu平面DEF,

所以4%平面DEF.

⑵見由⑴知,EII//AA,,因為44_L平面ABC,

所以￡7/_L平面/陽

因為△四C為正三角形,且點￡為棱4?的中點,所以CEA.AB,

故以點￡為坐標(biāo)原點,分別以’的方向為入軸,y軸,z軸的正方向，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,設(shè)AB=\,AAx=t｛大刀)，

則4(2",0),<7(0,0,2V3),￡(0,0,0),，(-2,5,0),￡(g0,日),

所以-[-*=(-2,V,2V3),*=(-2,—0),

因為4人9;所以一一>=0,

所以(-2)X(-2)-tX-^2V3X0=0,

解得t%FL

所以一?=(-2,V2,0),一(=(T。，號),

設(shè)平面龐尸的法向量為n=(x,%z),

-2+V2=0,

則1或所以

取x=l,則n=(l,盤,風(fēng)),

又因為F7=--(-2,0,2V3),設(shè)直線4G與平面叱所成的角為0,

所以sin^-/cos<h,—T7>/-_=三=高=所以直線4G與平面龐尸所成的角的正

I>,I1：V6x46

弦值為造

4.如圖，四棱柱ABCD-ABQ隊的底面為菱形，/物。=120°,/戶2,￡F為CD,的中點.

(1)求證:〃尸〃平面BxAE\

⑵若加」底面ABCD,且直線皿與平面區(qū)4￡1所成線面角的正弦值為之求AA的長.

4t

(1)證明設(shè)G為45的中點，連接￡G,防

因為AG：A\B\,又DE)心,

所以尸G的所以四邊形座'6戶是平行四邊形,

所以DF//EG,又〃印平面BiAE,Ek平面B、AE,所以加〃平面BxAE.

(2)廨因為4?5是菱形,且N力8G60°,所以△力比■是等邊三角形.

取比'中點M,則AMA.AD,因為44J_平面ABCD,所以AA^LAM,AA^LAD,建立如圖的空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)-xyz,令(D0),

y

則｛(0,0,0),從￥30人A(VXT,t),a(0,2,t),

*=(34°)，?=(%，T，t)，T=(0,2,t),設(shè)平面814?的一個法向量為n=(x,%z),

k

則n?=次且n?f=遮x-y+tz』,取n^(^/3t,tf4),設(shè)直線AD\與平面

為1￡所成角為則sin〃二―=彳。=7解得t2故線段斜的長為2.

,I112(z+4)4

5.如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為梯形,4ADE,△及了均為等邊三角形,EF//AB,EF=AD^AB.

(1)過切作截面與線段叱交于點A；使得｛尸〃平面BDN,試確定點/V的位置,并予以證明;

⑵在⑴的條件下,求直線班,與平面/“所成角的正弦值.

虹］⑴當(dāng)N為線段尾的中點時，使得/廠〃平面BDN.

證法如下：

連接能設(shè)/CC如=。，

「四邊形4?切為矩形，

二。為〃■的中點，又:N為此的中點，

.：2V為的中位線，

.-.AF//0N.：2區(qū)平面BDN,創(chuàng)匕平面BDN,

.：〃,〃平面BDN,故N為尸C的中點時，使得力尸〃平面BDN.

⑵過點。作閭〃48分別與AD,比■交于點P,Q,因為。為〃■的中點，所以P,。分別為AD,比1的

中點,

「△4龍與△aF均為等邊三角形，且AD=BC,

；.XADE^XBCF,連接EP,FQ,則得EP=FQ,

；EF〃AB,ABPQ,EF^AB,

/.EF//PQ,EF42PQ,

?：四邊形"0為等腰梯形.

取〃的中點M連接MO,則加U聞

又：力。，EP,ADVPQ,EPCPQ=P,

平面EPQF,

過點。作0CUB于點、G,則OG//AD,

/.OGLOM,OGL0Q.

分別以一~~'的方向為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,不妨設(shè)AB=\,

則由條件可得0(0,0,0),/f(l,-2,0),以1,2,0),尸(0,1,戲)，〃(-1,-2,4).

設(shè)n-(%,y,z)是平面力協(xié)的法向量，

所以可取n=(戲,0,1),

由f)

V2

可得/cos<*,n)/7

.：直線5V與平面1斯所成角的正弦值為坐

,命題角度2空間位置關(guān)系證明與二面角求解

高考真題體驗?對方向

1.

(2019全國/?⑻如圖,直四棱柱ABCD-A、BCD,的底面是菱形,力49,AB=2,N8ADQ,E,M,1分別

是因陽，4〃的中點.

⑴證明：網(wǎng)〃平面GDE;

⑵求二面角上胸-1的正弦值.

廨~~|(1)連接6C，班:

因為M,￡分別為BB“6C的中點,

所以ME//B^C,且ME部C.

又因為N為4。的中點,所以ND=A\D.

由題設(shè)知Ai&DC,可得BEAXD,

故跖ND,

因此四邊形物帔為平行四邊形,MA?〃被

又平面EDC“所以跳V〃平面GDE.

⑵由已知可得的L加.

以〃為坐標(biāo)原點,—＞的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

貝I」1(2,0,0),4(2,0,4),Ml,V3,2),A'(l,0,2),=(0,0,-4),^~*=(T,V3,-2),^^=(-

1,0,-2),=(0.-y[3,0).

設(shè)m=(x,y,z)為平面AyMA的法向量,

所以卜+百一2=。，可取m=(V5,1,0).

1-4=0.

設(shè)n==(p,q,力為平面4助V的法向量，

所以可取n=(2,0,-1).

于工日無cos血/n，\J^,=雙乙VJ蕾=v=ia,

所以二面角介物「V的正弦值為手.

5

2.(2019全國〃?17)

如圖,長方體/靦-45G〃的底面/時是正方形,點￡在棱44上,BELEQ.

⑴證明：施北平面EBC;

(2)若AE=A,E,求二面角B-EC-C,的正弦值.

⑴證明由已知得,84,平面力加M,BEu平面ABBM”故84_1_施又BELEC,,所以如平面EBC.

(2)|解|由⑴知的40°.由題設(shè)知RtZ\4?點RtZ\4反目所以N4掰N5°,

故AE=AB,AAy^AB.

以〃為坐標(biāo)原點,—＞的方向為x軸正方向，/~~7為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

。-矛彩,則<7(0,1,0),8(1,1,0),6(0,1,2),￡(1,0,1),^(1,0,0),=(1,-1,1),；二(0,0,2).

設(shè)平面瓦右的法向量為n=(x,%z),則

所以可取n=(0,T,T).

設(shè)平面ECC、的法向量為%z),則

=0,叫20,

=0,+=0,

所以可取m=(l,1,0).

于是cos<h,m>^_--=].

所以,二面角B-EC-C.的正弦值為當(dāng)

3.

(2018全國加?19)如圖,邊長為2的正方形四制所在的平面與半圓弧^所在平面垂直，材是

上異于C,〃的點.

(1)證明：平面平面BMC;

(2)當(dāng)三棱錐材-/及7體積最大時,求面初8與面,，@所成二面角的正弦值.

(1)證明由題設(shè)知,平面CM,平面ABCD,交線為CD.因為BCLCD,BCu平面ABCD,所以8入平面

CMD,故BCLDM.因為M為'/'上異于C〃的點，且ZT為直徑,所以DMA^CM.

又BCCCM=C,所以〃n_平面BMC.

而〃&平面AMD,故平面4切_L平面BMC.

⑵|解|以0為坐標(biāo)原點,*的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

當(dāng)三棱錐,股/回體積最大時,M為的中點.由題設(shè)得

〃(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),17(0,2,0),M0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),*=(2,0,0).

設(shè)n=(xi,y,z)是平面也〃的法向量，

可取n=(l,0,2),

*是平面「欣力的法向量，

因此cos<h,->一=造,sin<h,一?，岑.所共面例6與面加》所成二面角的正弦值

III,二I55

2V5

(2017全國力?19)如圖，四面體ABCD中,△袖。是正三角形,△力切是直角三角形，NABD=N

CBD,AB=BD.

⑴證明：平面平面ABC-,

⑵過〃'的平面交劭于點￡若平面45r把四面體力分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C

的余弦值.

(1)證明由題設(shè)可得，△曲從而又△力切是直角三角形，所以NA9CW0。.

取4c的中點0,連接DO,B0,則DOLAC,D0=A0.

又由于△力a1是正三角形,故B0LAC.

所以/9為二面角〃-4C-8的平面角.

在RtZ\4如中，BG+AG=AF,

又AB=BD,所以BG+DG=BG+AG=A4=BI},故/加比90°.所以平面“7ZL平面ABC.

(2)峻二|由題設(shè)及⑴知，0A,0B,如兩兩垂直，以0為坐標(biāo)原點,一?的方向為x軸正方向，/一7為

單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz.

則力(1,0,0),5(0,V3,0),<7(-1,0,0),〃(0,0,1).

由題設(shè)知，四面體相磔■的體積為四面體四切的體積的;,從而￡到平面板的距離為，到平面

的距離的T，

即￡為龐的中點，得￡(0,y,3.故—-(-1,0,1),--(-2,0,0),-(-1,y,0.

設(shè)n=(x,匕z)是平面力彷'的法向量，

則{.二二:'即「%=%

(?=0,(-4--+-=0.

可取n《l,

設(shè)m是平面45r的法向量,則1.

同理可取m=(0,T,V3).

則cos<h,---=y.

所以二面角的余弦值為手.

(2016全國/?18)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF2FD,Z

加法90°,且二面角〃-/1八￡與二面角C-跖-尸都是60°.

(1)證明：平面/啊LL平面EFDC-,

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

(1)|證明|由已知可得AFVDF,AFLFE,

所以"X平面以叨C

又AFCL平面ABEF,

故平面4%加1平面EFDC.

⑵廨［過〃作DGVEF,垂足為G,由⑴知％_L平面ABEF.

以G為坐標(biāo)原點,一^的方向為x軸正方向，/—"為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

G-xyz.

由(1)知/破為二面角的平面角，

故/歷方60°,則/加7之，/%7=曲，

可得4(1,4,0),6(-3,4,0),￡(-3,0,0),0(.0,0,V3).

由已知，AB//EF,所以48〃平面EFDC.

又平面平面EFDC=CD,

故AB//CD,CD//EF.

由BE//AF,可得6反1平面EFDC,

所以N3F為二面角C-%6的平面角，/CEF由0。.從而可得C(-2,0,V3).

所以^(1,0,V3),*=(0,4,0),^=(-3,-4,V3),*=(/,0,0),

設(shè)n=(x,必z)是平面比F的法向量，

則,.二=+即(+遮=°'

(?=o,U-0.

所以可取n=(3,0,-V3).

設(shè)m是平面/版的法向量，

同理可取m=(0,V3,4),

則cos<h,mA——_2x<l9

故二面角E-BC-A的余弦值為爺.

典題演練提能?刷高分

1.

(2019山東濟寧二模)如圖,在直角梯形ABED中，AB〃DE,ABVBE,且AB丸DEkBE,點。是四的中點,

現(xiàn)將△/切沿切折起，使點A到達點一的位置.

(1)求證:平面做:_L平面PEB;

(2)若如與平面如17所成的角為45°,求平面風(fēng)狼與平面W所成銳二面角的余弦值.

⑴證明VAB//DE,ABVDE,點，是"的中點,

.,.CB//ED,CB=ED,

?：四邊形6a定為平行四邊形,

.\CD//EB.

又EBLAB,.\CDLAB,：.CDLPC,CD1.BC,

又PCC\BC=C,:.CDX.平面陽C

,:及U平面PBC.

又E呢平面PEB,

.：平面打上平面PEB.

⑵隆二|由⑴知旗，平面PBC,

.：/￡/力即為"與平面物所成的角,

,：ZW=45°,

:'以，平面PBC,；.EBLPB,

.：△儂為等腰直角三角形，

.：EB=PB=BC=PC,即△月完'為等邊三角形.

設(shè)8。的中點為0,連接P0,則POLBC,平面PBC,

又EBu平面EBCD,.：平面能小，平面PBC.

又Pg平面PBC,.：A9_L平面EBCD.

以0為坐標(biāo)原點,過點。與龍平行的直線為x軸,0所在的直線為y軸，8所在的直線為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

設(shè)酩2則5(0,1,0),M2,1,0),M2,-1,0),一(0,0,V3),

從而一=(0,2,0),一=(2,1,73).

設(shè)平面板的一個法向量為m=(x,%z),

令z=2得m=(V3,0,2),

又平面總的一個法向量n=(1,0,0),

則cos<in,n>=-----=—=

所以平面9與平面所成銳二面角的余弦值為與.

2.

四棱錐STM?的底面ABCO為直角梯形,AB〃CD,/1B1AB=2BC^2.CD=2,為正三角形.

⑴點"為棱上一點,若8勿平面SDM,-<=2—\求實數(shù)4的值；

②巖BC1SD,求二面角力-防-C的余弦值.

解|⑴因為比'〃平面SDM,BCu平面ABCD,

平面SDMC平面ABCD=DM,所以BC//DM.

因為AB//DC,所以四邊形比。/為平行四邊形,又ABCCD,所以M為49的中點.

因為(=4\??4G

⑵因為BCLSD,BCLCD,SDCCD=D,

所以8aL平面SCD,

又因為BCu平面ABCD,所以平面SOU,平面ABCD,

平面Sfl9n平面ABCD=CD,在平面SS內(nèi)過點S作血直線切于點￡

則SE_L平面ABCD,在RtA5￡4和RtASK9中，因為SA=SD,所以AE?口2=

2_2二DE,

又由題知/物=45°,所以4反1功

所以心ED=SE=L

以下建系求解：

以點￡為坐標(biāo)原點,必方向為x軸,比1方向為y軸,處方向為z軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則

￡(0,0,0),5(0,0,1),71(1,0,0),6(1,2,0),<7(0,2,0),

-'=(1,0,-1),-'=(0,2,0),-"=(0,2,-1),--(1,0,0),

設(shè)平面SAB的法向量m=(x,y,z),

所以「I

令x=l得m=(l,O,1)為平面感6的一個法向量，同理得m=(O,1,2)為平面艱'的一個法向量,

cos<hbn2>~T=嗎

|l?2)5

因為二面角4-招式為鈍角，

所以二面角4-S8-C余弦值為啰.

5

如圖,是一個半圓柱與多面體496MC構(gòu)成的幾何體,平面48,與半圓柱的下底面共面，且AC1BC,P

為弧FG上(不與4,6重合)的動點.

⑴證明：川」平面PBB、;

⑵若四邊形4蹶A、為正方形,且AC=BC,ZPB\A\j求二面角-T歸七的余弦值.

4

庭二1(1)在半圓柱中，能，平面為出，所以能，必?.因為4A是上底面對應(yīng)圓的直徑，所以PA\LP&.

因為PBu平面PBB“能u平面PBB“所以為」平面PBB、.

(2)以點。為坐標(biāo)原點，以CA,CB為x,y軸,過點，作與平面4?。垂直的直線為z軸,建立空間

直角坐標(biāo)系C-xyz.如圖所示,

設(shè)⑦=1,貝IJ夙1,0,0),4(0,1,0),4(0,1,72),2?.(1,0,72),^(1,1,V2).

所以>(0,1.V2),；-(1,0,V2).

平面必歸的一個法向量m=(0,0,1).

設(shè)平面山的一個法向量m=(x,y,z),

則］1=：令z=l，則Z-V2：

I+V2=0,(=］

所以可取m=(、叵，［正,1),

所以cos<hi,112,-1尸=

IxVo5

由圖可知二面角戶T山為鈍角，所以所求二面角的余弦值為

4.如圖，在四棱錐P-ABCD中,為，底面ABCD,/時為直角梯形,AD//BC,ADV

AB,AB=BC=AP^AD=Q>,ACHBD=0,過〃點作平面a平行于平面PAB,平面a與棱BC,AI),PD,PC分別相

交于點E,F,G,H.

(1)求成的長度；

(2)求二面角"的余弦值.

|解|⑴因為?！ㄆ矫鍼AB,平面a。平面ABCD=EF,倘平面以8n平面ABCD=AB,

所以EF//AB,同理EII//BP,FG//AP,

因為BC//AD,AD^,BC由,

所以ABOCSADOA,且一=一=1

所以一=CE^CB=\,BE=AF=2,

同理---=—=---=

連接HO,則有HO//PA,

所以HOLEO,H0=\,所以

同理，F(xiàn)G^PA^.,

過點〃作HN〃EF交AC于N,

則G/f=>j2=75

(2)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則8(3,0,0),FS,2,0),M3,2,0),//(2,2,1),

一=(-1,2,1),―1=(2,0,1),設(shè)平面網(wǎng)的法向量為n=(x,y,z),

=一+2+=0,

=2+=0,

令z=-2,得n《l,|,-2),

因為平面EFGH“巴?面PAB、

所以平面MW的法向量m=(0,1,0).

cos<in,n>q~~p==故二面角6377-E的余弦值為粵.

zyzy

5.如圖，在三棱柱ABC-A山C中，CA=CB=CC、2ZACC^ZCC^,直線然與直線BB、所成的角為60°.

(1)求證:

⑵若陽潟也是陽上的點,當(dāng)平面MCC、與平面“所成二面角的余弦值為婀,求［的值.

(1)|證明在三棱柱ABC-A^Cs中，各側(cè)面均為平行四邊形,所以BBJ/CG,則NWG即為AC與驅(qū)所

成的角，所以N"G=NCG8M0°.

連接/G和5c

因為CA=CB=CC\2

所以△4GC和△5CG均為等邊三角形.

取CG的中點。，連｛。和30,

則AOLCQ,B^LCQ.

又A0C&0=0,

所以CGJ?平面AOB.AB、u平面AOBx,

所以四此8.

⑵解］由⑴知A0=B、0M,因為AB\M,

則“歷力引彳，

所以A0LB\Q又AO±CG,

所以力0，平面BCGR.

以0區(qū)所在直線為X軸，0G所在直線為y軸，A4所在直線為z軸,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則4(0,0,V3),(7(0,-1,0),61(0,1,0),5(73,0,0),-(0,-1,-

V3),----；-(V3,0,詆，----；-(0,2,0),

設(shè)，=ti，Mx,y,z),

則(x,y,z-/3)=t(V3-^,-y,-z),

所以W,EZ—*,0T),

所以一二(。,1,4).

設(shè)平面ACB\的法向量為m=(xi,%,zi),平面MCC\的法向量為m=(&%,Z2),

1-V31=0,

所以;"遍

i~V31=0,

解得m=(l,-V3.1).

(2=0,

;=。,2

2=?V3V3

2=0TT2+2+—^2=0,

解得m=(l,0,-t).

i

所以…1個卜花5,

解得［［或即=:或N

2121

6.如圖,在幾何體ABCDEF中,平面工平面ABCD,四邊形4及力為菱形,且N

DAB儂。，EA=ED=AB畛EF,EF〃AB,M為BC中點、.

⑴求證:用以平面BDE-,

(2)求二面角ZHSQ-C的平面角的正弦值.

⑴怔明］取切中點N,連接掘FN,因為N,材分別為CD,比1中點，所以MN//BD.

又BIE平面BDE,且椒I平面BDE,所以也V〃平面BDE,因為EF//AB,AB=2EF,

所以EF//CD,EF=DN.所以四邊形的必為平行四邊形.所以FN//ED.又&七平面BDE且平面

BDE,

所以加，〃平面BDE,又FNCMN=N,

所以平面,MW〃平面颯：

又再仁平面MFN,所以耳/〃平面BDE.

⑵廨取股中點0,連接EO,B0.因為EA=ED,

所以EOLAD.

因為平面力龐_1_平面ABCD,

所以6aL平面ABCD,EOYBO.

因為4=46,N的比60°,

所以△力的為等邊三角形.

因為。為中點,所以ADVBO.

因為EO,BO,49兩兩垂直,設(shè)AB=A,

以。為原點，OA,OB,OE為x,y,z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz

由題意得4(2,0,0),8(0,2A/3,0),C(工2%,0),〃(-2,0,0),￡(0,0,2a,產(chǎn)(T,V3,2百).

-=(2,2百,0),-=(1,V3,2V3),-=(3,^/3,2我),一=(4,0,0).

設(shè)平面砌'的法向量為n=(x,y,z),

令x=l,貝IJ尸《，zR,

所以n=(l,40).

設(shè)平面燈獷的法向量為m=(x,%z),

則1,二=°，即［="廠

(?一=0,1(3-V3+2V3=0,

令z=l,則片2,x=O,所以m-(0,2,1).

.:cos血

.：二面角〃-跳V平面角的正弦值為華.

5

7.在如圖所示的幾何體中，四邊形/時是正方形,為，平面ABCD,￡6分別是線段"，陽的中

點、，PA=AB=1.

(1)求證:跖〃平面DCP\

(2)求平面雨與平面尸〃，所成銳二面角的余弦值.

隧二I⑴(方法一)取用中點M,連接DM,MF.

:?必尸分別是PC,PB中盡，.：MF〃CB,MF”

:為以中點,ABCD為正方形，」.DE〃CB,DE^CB,

.\MF//DE,MF=DE,.：四邊形施AV為平行四邊形，

；.EF//D扎:,跖I平面PDC,〃化平面PDC,

.:加〃平面PDC.

（方法二）取處中點及連接他帕：笑是力〃中點，”是用中點，.:他〃詼

又：下是陽中點，N是PA中點，;修〃仍

VAB//CD,.,.NF//CD,

又:NEC涉班Mt平面/慟NFu平面的:以已平面戶內(nèi)平面PCD,

.：平面八6c〃平面PCD.

又:EFu平面NEF,

.:9〃平面PCD.

（方法三）取8c中點G,連接EG,FG,

在正方形ABCD中，￡是/〃中點，G是8C中點，

.,.GE//CD,

又：下是陽中點，C是BC中點，.:GF〃PC,又PCCCD=C,GEu平面GEF,GFu平面GEF,PCu平面

PCD,Gt平面PCD,

.：平面儂'〃平面PCD.

:EFu平面GEF,

.:"〃平面PCD.

⑵「必，平面ABC,且四邊形4及力是正方形，.,.AD,AB,"兩兩垂直，以A為原點,小小所

在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則尸(1,0,0),〃(0,0,1),(7(0,1,1)^(0,0彳)，/(；，；，0).

設(shè)平面必，的法向量為4=(為,M,?),—>=(；,；,―),—(=(1),則|-,*?%

(I+I-1=0,

即11.1,八取ni^(3,-1,2),

匕i+5i+1=。，

則設(shè)平面如。的法向量為m=(檢丹Z2),一=(-1,0,1),—=(-1,1,1),則，二*2=：，

(?2=0,

HH2+2=°，Hr/_/iC1、/\i?23xl+(-l)x0+2xl5次

即，I.八取112=(1,0,1),cos<hi,n2)^_I.=-----7=—f=——=—.

(-2+2+2=。，11?I2IV14XV214

平面應(yīng)與平面帆所成銳二面角的余弦值為好

2__________________________命題角度3折疊問題、點到平面的距離

高考真題體驗?對方向

1.（2019全國〃7?19）圖1是由矩形ADEB,Rta/bC和菱形即花組成的一個平面圖形,其中

AB=\,BE=BF2NFBC40°.將其沿AB,6。折起使得BE與郎重合,連結(jié)比1，如圖2.

GB

圖1圖2

⑴證明：圖2中的4cG,。四點共面,且平面46CL平面BCGE-,

⑵求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

⑴證明由已知得AD//BE,CG//BE,

所以

故CG確定一個平面,從而A,C,G,〃四點共面.

由已知得ABA.BE,ABLBC,

故加吐平面BCGE.又因為A%平面ABC,

所以平面平面BCGE.

(2)廨作甌因垂足為〃

因為仍匕平面BCGE,平面6C、G￡_L平面ABC,

所以品工平面ABC.

由已知,菱形6a芯的邊長為2,/旗G60°,可求得BH=\,EH=g

以〃為坐標(biāo)原點,"的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,

貝I4(T,1,0),<7(1,0,0),6(2,0,75),->=(1,0,禽)，--(2,-1,0).

設(shè)平面ACGD的法向量為n=(x,%z),

則］=。，即1+V3=0,

=0,(2-=0.

所以可取n-(3,6,-73).

又平面8(%￡的法向量可取為m=(0,1,0),

所以cos<h,m>=~--=當(dāng)

因此二面角B-CG-A的大小為30°.

2.(2016全國〃?19)如圖，菱形力靦的對角線亦與初交于點0,AB=5,AC=6,點E,尸分別在AD,CD

上,AE=CF^-,EF交劭于點H.將△應(yīng)■尸沿牙,折到△。)的位置，0D'=同.

4

⑴證明："憶平面被力；

(2)求二面角的正弦值.

(1)|證明］由已知得ACLBD,AD=CD.

又由AE=CF^—=—,

WAC"EF.

因此EFVHD,從而EFLD,H.

由｛慶5,/鈾6得D0=B0=4二2=4,由￡F"AC得—=—=

4

所以0H=\,D'H=DH=Z.

于是1)'#+0#4+弋=\。=口巧,

-故D'HLOH.

又D'HLEF,而OHCEF=H,

所以〃'〃J_平面ABCD.

⑵阿二|如圖，以〃為坐標(biāo)原點,一^的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz.

貝0,0),4(-3,T,0),6(0,七，0),C(3,T,0),〃'(0,0,3),

=(3,W0),-'=(6,0,0),'=(3,1,3).

設(shè)m=(M,yi,zi)是平面力物'的法向量,

'=o,3「4]=0,

則即

r=0,,3i+i+3i=0,

所以可取m=(4,3,-5).

設(shè)n=(xz,y-i,Z2)是平面力"'的法向量,

=0,62=0，

則即

r=0,32+2+32=°，

所以可取n=(0,-3,1).

-14__75/5./、2V95

于是cos<m,二菽麗一石-sm<m,n,_.

因此二面角8-〃7-C的正弦值是誓.

40

典題演練提能?刷高分

1.如圖,在邊長為2小的菱形ABCD中,NZM廬60°.點￡廠分別在邊CD,座上,點￡與點C,〃不重

合,EFA.AC,EFQAC=O.沿跖將△儂'翻折到△物;l的位置,使平面此列_平面ABFED.

⑴求證:如，平面ABD\

(2)當(dāng)陽與平面4切所成的角為45°時,求平面必F與平面必〃所成銳二面角的余弦值.

(1)證明'.,EFVAC,.\POLEF.:'平面力卯_L平面ABFED,平面陽TI平面ABFED=EF,RP3平面

PEF,.：/W_平面ABD.

(2)廨一］如圖,以。為原點,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,連接做：了璉平面ABD,

.：/陽0為陽與平面4劭所成的角，即/圖345°，.:PO=BO.設(shè),AOCBD=H,：2%6=60°,

；ZDA為等邊三角形，

；.B22gHUM,HC=Q>.

設(shè)PO=x,則OH=Z-x,由P@=01l+般得產(chǎn)2,即P0=2,OH=\.

.：A0,0,2),/f(4,0,0),6(1,V3,0),0(1,0),