2020-2021學(xué)年北京市首師大附中高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年北京市首師大附中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共10小題，共50.0分)

1.己知a,/?是兩個(gè)不重合的平面，直線44[na=A,=Alt直線=

Bi，AA\HBB[,p：a///?,q：AAt=BBr,貝Up是“的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知非零向量球南第滿足您+康+岔=0,向量鰭薄的夾角為1出r，且|闞卜物4，則向量做與苗的

夾角為()

A.OiTB.函C.謝D.如

V3tanl5°,、

3o.----------——=()

l-tan215°')

A.3B.\C.3D.1

322

4.若定義在R上的偶函數(shù)/(X)滿足，X+2)=/W，且當(dāng)Xw[(U]時(shí)，加)="則函數(shù)

y=/(x)—logJd的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是8

A.6個(gè)B.4個(gè)C.2個(gè)D.8個(gè)

5.定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(%),已知/(%+1)是偶函數(shù)(％-<0,若%1<上，且

+%2>2，則/(%1)與/。2)的大小關(guān)系是()

A./(%1)<f(%2)B./(xj=/(%2)C./(%1)>/(%2)D.不確定

6.遙顆年帶姆解域=曲螂闞頓Y,則蟋的取值范圍是()

A嘮；B專爭(zhēng)C.吟亨D.胃

7.已知兩[=|而|=3，成?麗=0，點(diǎn)C滿足元=%m+〃礪(無〃6/?+)，且乙40C=60。,

則:等于()

A.\B.1C.3D.V3

33

8.將函數(shù)/(%)=sin(2x+0)的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若函數(shù)y=

g(%)的圖象與函數(shù)y=cos2%的圖象關(guān)于直線％=看對(duì)稱，則取的最小值為()

9.函數(shù)y=y/x(x-1)+專的定義域是()

A.{x\x>0}B.{x\x>1}

C.{x\x>0}U{0}D.{x|0<%<1]

10.己知荏=為一7aBC=-2a+8b>CD=3(a-K).則()

A.A,C,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,D三點(diǎn)共線D.A,B,。三點(diǎn)共線

二、單空題(本大題共6小題，共30.()分)

11.己知實(shí)數(shù)a=6°-7,b=logo,76,c=0.76,用“〉”連接a,b,c是.

12.求值sin61°cosl°-sin29°sinl°=.

13.tan30(r+siM450。的值等于.

14.已知函數(shù)f(x)=loga(3x2—2ax)在區(qū)間質(zhì)1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍____.

15.若9%+?2。+1(￡1>0)對(duì)一切正實(shí)數(shù)》均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

\2X—1|-1,x<1

16.已知函數(shù)/'(%)=%2_3%+3，下列關(guān)于函數(shù)9(%)=+好(%)-1(其中Q為常數(shù))

匕丁產(chǎn)>14

的敘述中：

①對(duì)VaeR,函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)；

@3ae/?,使得函數(shù)gQ)有三個(gè)不同零點(diǎn)；

④函數(shù)g(x)有四個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件是a<0.

其中真命題有.(把你認(rèn)為的真命題的序號(hào)都填上)

三、解答題(本大題共4小題，共40.0分)

17.己知點(diǎn)4(一1,0),8(0,1),點(diǎn)P(x,y)為直線y=x—l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(I)求證：NAPB恒為銳角；

(n)^|PA1=IPBI，求向量而+笆的坐標(biāo).

18.求tcml05°的值.

19.(本題滿分13分)如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距卡+0海里的B處有一艘走私船,

正沿東偏南45°的方向以3海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以2虎海里/小時(shí)的速

度沿著正東方向直線追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)。處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了

巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以3亞海里/小時(shí)的速度沿

著直線追擊.

(I)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距多少海里?

(H)問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船?

20.(本題12分)己知函數(shù)/(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有了OOu^O+Z),其中常數(shù)上為負(fù)數(shù)，且/(X)在

區(qū)間［0,2］有表達(dá)式/(x)=x(x-2).

(1)求出了(一1),/(2.5)的值；

(2)若函數(shù)在區(qū)間［-2,2］的最大值與最小值分別為陽〃，且制-*=3,求上的值.

參考答案及解析

I.答案：A

解析：解：已知a,/?是兩個(gè)不重合的平面，直線44]na=A,AA1Op=Alt直線BBiCa=B,

BB[C。=B],AA、I]BB\,

p：a///?,q：AAr=BBr,

①若p：a〃仇因?yàn)橹本€44na=4,AAy”=&,直線眄Ca=B,BB?C0=B「AAJ/BB1,

可得AB〃4/i，四邊形44/iB為平行四邊形，貝1〃&=8當(dāng)，p可推出q,

②若q：AAr=BBx,因?yàn)锳4J/BB1，可得四邊形人人道道為平行四邊形，

因?yàn)橹本€44ina=44410夕=4,直線BB】na=B,BBiC0=B、,所以AB〃&

ABaa,A$，uB，不能推出a〃氏

則p是q的充分不必要條件.

故選:A.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵.

2.答案：B

解析：試題分析：：℃=?（-"一方）=一"-ab=-\az-|a|-21a|-cosl205=-|o|+|a|=0

TT

，a一b

故選回

考點(diǎn)：數(shù)量積.

3.答案：B

解析：

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查二倍角的正切，是基礎(chǔ)題.

由已知結(jié)合二倍角的正切求解.

低的150_V32gli50

解:=xtan30

l-tan215°-2l-tan2150T°232

故選：B.

4.答案:B

解析：本題考查了函數(shù)的奇偶性，周期性以及函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系.

因?yàn)?％+2)=/。)，所以f(x)是周期為2的周期函數(shù)。依題意可得，f(x)的大致如下:

由圖可知，函數(shù)f(x)與函數(shù)1y=1吸卜|有4個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=1/(x)-儂3閔的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,故

選B.

5.答案：C

解析：試題分析：由/(X+1)為偶函數(shù)可得"X)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，由(x-l)[(乃<0,可得/(x)

在(-8,1],[1,+8)上的單調(diào)性,分情況討論：若/Ml,利用對(duì)稱性把/十力變到區(qū)間[1,+8)上用

單調(diào)性與人打)比較；若Xi>1.則由1</<小直接用單調(diào)性可進(jìn)行大小比較.

因?yàn)?Q+1)是偶函數(shù)，所以f(一萬+1)=f(X+1),則/(乃的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱，

由(x-1)/(%)<0得，x>1時(shí)尸(%)<0,f(%)單調(diào)遞減,x<1時(shí)((x)>0,f(%)單調(diào)遞增,

若X1<1.由+芯2>2,得>2-%!>1,

所以，。1)=/(2—與)>人犯)；

若>1,則1<X]<%2，所以f(Xl)>/(%2)-

綜上知/(%)>/(&)，

故選C.

6.答案：C

解析：試題分析：由題意或觸窿丑SW然=垂或K辭T與=能辿雄?—<@,{1-—.<—,

4翦到44

.?.!<&?解吟三底.士屈:昌三:建?《《，即端的取值范圍是各學(xué)，故

選C

考點(diǎn)：本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)及正切函數(shù)圖象的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角函數(shù)的圖象和恒等變換是求解此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題

7.答案：C

OBE

OA10B>

■■■X,nGR+,

C在乙4。8內(nèi)部，

???Z.A0C=60°,ACOE=30°,

vOA=OB,

入CE4V3

一=—=tCITlOSAOO=—?

gOE3

故選c.

作出向量示意圖，根據(jù)向量的幾何意義即可得出*

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：A

解析：解：將函數(shù)/(%)=sin(2%+8)的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g(x)=sin(2%+

?+。)=coss(2x+g+0)的圖象，

36

若函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=cos2%的圖象關(guān)于直線工=看對(duì)稱，

貝ijcosg=cos(；+￡+0),即1=-sin(p,???sin(p=一5故|初的最小值為會(huì)

故選：A.

由題意利用函數(shù)y=4s比3%+9)的圖象變換規(guī)律，得到g(x)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象的

對(duì)稱性，求得|勿的最小值.

本題主要考查函數(shù)y=4s譏+w)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：B

解析：解：??,函數(shù)y=Jx(x-1)+專,

(x(x-1)>0

l\/xH0

解得卜W?；騒21,

(X>0

???函數(shù)y的定義域是｛x|x>1].

故選:B.

根據(jù)函數(shù)y的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

本題考查了根據(jù)函數(shù)的解析式求定義域的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

10.答案:A

解析：

本題主要考查兩個(gè)向量共線的條件，屬于基礎(chǔ)題.

由條件可得，AC//CD，可得4C、。三點(diǎn)共線.

解：?-AB=a-7b>BC=-2a+8b>CD=3(a-b)>

AC-AB+BC——H+/?>CD——3AC>

.-.AC//CD>

故A、C、。三點(diǎn)共線.

故選：A.

11.答案：a>c>b

解析：解：因?yàn)閷?shí)數(shù)(1=6。?7>1,

b=1ogo7^<0，

0<c=0.76<1,

故a>c>b,

故答案為：a>c>b.

根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比較即可.

本題考查函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，不等式比較大小，基礎(chǔ)題.

12.答案:十

2

解析：解：因?yàn)橐詭?9。=5苗(90。-61。)=。0561。；

:.sin61°cosl°-sin29°sinl°=sin61°cosl°—cos61°sinl°=sin(61°—1°)=sin600=y.

故答案為：縣

2

直接利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)所給的式子，可得結(jié)果

本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目.

13.答案：1-V3

解析：解：tan300°+sin450°=tanl200+sin900=-tan60°+1=1-V3,

故答案為：i—

由條件利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所給式子的值，可得結(jié)果.

本題主要考查應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，要特別注意符號(hào)的選取，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于基

礎(chǔ)題.

14.答案：(0,》

解析：

本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)

算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域求出x<0或x>y,當(dāng)a>1時(shí)，y=3/-2ax必須是減函數(shù)，但是不能保證在

層1］大于0；當(dāng)0<a<1時(shí)，y=3/—2ax在區(qū)間層1］上是增函數(shù)，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2

解：?.,函數(shù)/(工)=loga(3x-2ax),

a>0,3x2—2ax>0,Ax<。或x>等

2

當(dāng)a>1時(shí)，?.?函數(shù)/'(%)=loga(3x-2QX)在區(qū)間E，1］上是減函數(shù)，

???y=3/一2Q%必須是減函數(shù)，且在大于0,

,無解，

13—2CL>0

當(dāng)。<a<1時(shí),y=3/-2a%在區(qū)間生1］上是增函數(shù),

fa1

3<23

??,,小21，?y

13(2)-2a工>0

再由0<a<1,解得0<a<三.

4

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(O3).

故答案為(0,：).

4

15.答案：E，+8)

解析：

本題考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查恒成立問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.利

用基本不等式，可得9x+y>6a,從而9x+y>a+l(a>0)對(duì)一切正實(shí)數(shù)無成立，轉(zhuǎn)化為6a>a+

1,即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：對(duì)一切正實(shí)數(shù)x,9%+—>6a.

X

2

v9%4-y>a+l(a>0)對(duì)一切正實(shí)數(shù)%成立,

6a>a4-1,

???a>I，

，實(shí)數(shù)a的取值范圍是E+8).

故答案為E，+8).

函數(shù)g(x)沒有零點(diǎn)，故①錯(cuò)；

②當(dāng)a=0時(shí)，g(%)=0則/(X)=±1,函數(shù)g(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，故②正確；

③若存在函數(shù)g(%)有三個(gè)不同零點(diǎn),則％軸上方2個(gè)，下方1個(gè);或上方1個(gè)，下方2個(gè).即有/(%)=-1,

由于nm=-1,故還有f(%)=1,不成立；第二種情況也不成立，上方有1個(gè)，即/(x)=1，還有/(x)=

-1,

故③錯(cuò)；

④函數(shù)g(%)有四個(gè)不同零點(diǎn)=即在％軸上方有兩個(gè)、下方有兩個(gè)，即一1<m<0且九>1,即m+n>

0,—a>0

即aV0,故函數(shù)g(x)有四個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件是QV0,即④正確.

故答案為：②④.

首先化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式，求出函數(shù)的值域，畫出函數(shù)〃X)的圖象，對(duì)

g(x)=0的兩根加以判斷，通過a的取值，結(jié)合圖象一一加以判斷即可.

本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)及判斷，考查函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.

17.答案:(1)證明：點(diǎn)2(陽、)在直線丫=%-1上，即點(diǎn)P(x,x-1),

即PA=(-1-x,1-x),PB=(-x,2-x)>

222

BPWPA-PB=2X-2X+2=2(x-x+l)=2[(x-1)+1]>0,

PA,PB

則但<瓦PB>=〉0,

IPAIIPBI

若4P,B三點(diǎn)在一條直線上，則蘇〃誣，

得到Q+1)。-2)-(x—l)x=O,方程無解，則到PBHO,

則有44PB恒為銳角.

(口)由14Pl=\BP\,

即I而|=|BPL即7(x+1)2+(x-1)2=7x2+(x-2)2，

化簡(jiǎn)得到2x—1=0,即x=1，

則P(,，--1)，PB+PA=(-1)+(-^.-1)=(-2,2)

乙乙乙乙乙乙

解析：(1)由「。/)在直線丫=》一1上，可以求出點(diǎn)尸(x,x-l),然后求出五、PB.利用向量的

數(shù)量積以及坐標(biāo)運(yùn)算判斷出cos<PA，聲〉的正負(fù)即可判斷44PB為銳角；

(□)根據(jù)|PA|=|PB|.列出關(guān)于x的方程，解方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

18.答案：解：tanl50=tan(45°-30°)=@45。330。===2-遮,

''l+￡Q"45°tCUl30°i+更

3

tanl05°=tan(180°-75°)=-tan750=-tan(45°+30°)=-tan450+tQn30°=一*=一2一6.

K)l-tan450tan3O0更

3

解析：利用兩角和與差的正切函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函