2022-2023學(xué)年江西省贛州市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案帶解析)

2022-2023學(xué)年江西省贛州市統(tǒng)招專升本數(shù)

學(xué)自考真題（含答案帶解析）

學(xué)校:_________班級(jí):―______姓名:__________考號(hào):__________

一、單選題(30題)

1.

廣義積分7TJcLr=1,其中)｝為常數(shù).則/=()

Jo1+X'

A.0B.1C.JD.2

/TV

2.

曲線y=(1一5/|2

()

A.有極值點(diǎn).r=5但無拐點(diǎn)巳有拐點(diǎn)(5,2)但無極值點(diǎn)

C.有極值點(diǎn)N=5及拐點(diǎn)(5,2)D.既無極值點(diǎn)又無拐點(diǎn)

3.

極限lim/2zsin—+紅空\=()

J—*031X,X.1

A.0B.2

C.3D.5

4.

設(shè)=cos(sinjr)，貝ljdy=()

A.—sinlsinjOcoszcLrB.—sin(sin.r)dj'

C.—cos(sirLz)cosjrcLrD.—cos(sirhr)cLr

5.

下列不等式中正確的是()

2

A.Jlard/>jI/HCLTB.f(xlru*cLr>0

JT

C.Jj-3dLr>0D.J'eTdx>>,dr

6.

設(shè)函數(shù)z=/+y-ev,則包=()

dx

A.2x-e?B.2x-ye盯C.2x2+D.y-xe^

7.

.函數(shù)：=/Q”)在點(diǎn)(了…。)處有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)普和等存在，則它在點(diǎn)5,%)處

dady

.()

A.連續(xù)B.可微C.不一定連續(xù)D.一定不連續(xù)

8.

若函數(shù)/“)=4TK+標(biāo)在區(qū)間［0,1］上滿足羅爾(Rolle)定理的條件，則常數(shù)4=

()

A.-1B.OC.1D.2

9.

下列無窮級(jí)數(shù)中，發(fā)散的是()

A廣B.郭c.vEirD??尹-

10.

不定積分]巧/dr=

()

A.-2cosB.cos\[x+C

C.2cosy/x+CD.—cosvCr+C

11.

rosnrrH0.

已知函數(shù)/1)=<1則在點(diǎn)2=0處.下列結(jié)論正確的是()

[1?z=0.

A.a=1時(shí)?/(z)必然連續(xù)B.a=0時(shí)，/(①)必然連續(xù)

C.a=1時(shí)./(①)不連續(xù)D.a=—1時(shí),/(①)必然連續(xù)

12.

[—sin卷，工40,

若函數(shù)若函=."5在久=0處連續(xù)，則ai=()

[a,x=0

A.0B.1C.-1D-f

13.

卜列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是()。

20

A.V-LB.V—CnR1

W2-￡?n3+1￡n+i36

14.

z

若J/(z)<Lr=+C,則^jr/(x)dx=()

A.1-Jnj+CI3.]+C

x~

l-21nx

C./Ini-k+C[>+c

JJ

15.

下列極限存在的為()

A.lime"B.lim3此"C.lim—D.lim

x-*oox-*0JCJ-*0-XJ-*DOH-O

16.

fsinfd/

極限lim」°2=()

L0x

A.lB.今C.OD.2

17.

二重積分1(T-，+1)d7d_y(：其中Q；工。

5-4￡1)等于()

A.2B.OC,京D.￡

18.

設(shè)函數(shù)y=22,則=()

A.In2B.—2^sinJ-

C.—ln2-2rasz?sinrD.-2roM_,sinx

19.

若函數(shù)/(x)=((l-x)x，xwO,在x=0點(diǎn)連續(xù)，則左=()

k,x=O

A.0B.eC.e-'D.任意實(shí)數(shù)

設(shè)limf(jr),limg(N)均存在，則下列結(jié)論不正確的是

A.+g(x)J存在B.lim[/(x)—g(x)]存在

L0T?€

C.lim「/(J)?g(x)]存在D.lim/，工;存在

20.…Ig⑺

21.

.積分[cLr[]/yd_y=

)

A.2B.!C.4D.0

J2

22.

曲線＞=1一y二：的水平及垂直漸近線共有(

1f—5H十6

A.1條B.2條C.3條D.4條

23.

.已知曲線/(.r)=T2與g(.r)=/,當(dāng)它們的切線相互垂直時(shí)，自變量工的值應(yīng)為

24.

已知函數(shù)則/[/(:)]=

/(z)=1,()

A.JCB.J,2C.--D.

25.

設(shè)閉曲線力:f十丁=人則對(duì)弧長的曲線積分，「/守心的值為（）

A.4ne2B.-4ne2

C.2北D.-2ne2

26.

已知。是由y=/與.y=1圍成的區(qū)域，則二重積分值（工十：y）dzd》=（）

D

2241

AK~15C—D-----

-1515.15

27.

下列極限不存在的是()

A.lirn,B.lim-p-~-

?3x-+1-J-2-1

C.j.l—i—m?4'D.j.lyi+m…4'

28.

函數(shù)Z=x2y+y2在點(diǎn)(2,1)處的全微分dz卜=2=()

尸I

A.2xydx+8+2y)dyB.(x2+2y)dx+2xydy

C.6dx+4dyD.4dx+6dy

29.

.設(shè)/(J)=則=()

A.(〃+)e"B.C.nrD.

30.

.設(shè)在口，21上可積.且/(1)=1./(2)=1.1/(.r)cLr=-1?則J.r/'Ddr=

()

A.-1B.0C.1D.2

二、填空題(20題)

3i.微分方程胃一2歹'+5y=0的通解是.

12a

設(shè)行列式203中，代數(shù)余子式A2】=3?則

32.369

33微分方程/-2，+y=0的通解為.

34.

C2it

設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù),/(ICOST|)di,=A,則I=/(|COSH|)dr

JoJo

35.

設(shè)L是拋物線第=/上從點(diǎn)A(1.1)到B(l.l)的曲線弧，則”=

JL

36若cosx為/(x)的一個(gè)原函數(shù)，則『"'(》如二

133

行列式313的值為

。

37.331

々「微分方程*=e"＞的通解是

Jo.____

39微分方程'一.y1n,y=0的通解為

40.

［皿.”0,

設(shè)f(工)=Jx在％=0處連續(xù)，則k=.

出+1,1=0

41.

已知L是拋物線＞=工？上點(diǎn)0(0.0)與B(l,l)之間的一段弧，則［rds

42.

rl.X＞0,

設(shè)隨機(jī)變量x在區(qū)間［-1,2］上服從均勻分布，隨機(jī)變量y=Jo.x=o,則期望

—1,XV0,

E(Y)=

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(1)滿足/(.r)=sinz+1—f/(jr)d.r,則/(H)=

43.JT

極限lim；]:sin1

/r-*-1'3〃-I1Vrr

44.

2L

r2

積分(sin#+COSJOCLZ=

45.

22h

，矩陣4=—130的秩為

]—1

1一2cos.r

47.

設(shè)/(z)=/+1.則fCi)=

48.

(200：

設(shè)矩陣4=231則rQ)=.

[131;

49.

50.

已知當(dāng).rf0時(shí)，與1—cos.r為等價(jià)無窮小.則lim八")=

*-o.rsin.i'

三、計(jì)算題(15題)

設(shè)％=，驗(yàn)證x2

51.

52.

-2XA+X2+X3=-2,

已知線性方程組,x,-2x2+x3=/i,當(dāng)2取何值時(shí)，方程組有解？并求出全部解.

2

x1+x2-2X3=2,

Lr=3co

參數(shù)方程/當(dāng)Z=:時(shí)，求曲線的切線方程.

)v=2sinz,4

53.

54.

設(shè)函數(shù)y=.y(i)由參數(shù)方程1=cosr.j=sin?—tcost確定.求理

1

55.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-8,+8)上連續(xù)，且滿足f(x)=Inx+J：/(x)ix,求/(x).

56.

r/+7+/=1,

應(yīng)用拉氏變換求方程組J①+),+之=0?滿足1(0)=、(0)=之(0)=。的解了(，).

+4之'=0

求不定積分]].

Jj'lnjr-Inlnj'

57.

58.

設(shè)函數(shù)z=/(siru-.a-2十)，其中函數(shù)/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求—

59.

計(jì)算二重積分十其中D是環(huán)形域U+y&4.

D

求微分方程工/一衛(wèi)=2018犬滿足初始條件了=2019的特解.

*一1

60.

計(jì)算曲線,y=Inx相應(yīng)于伍的一段弧長.

61.

求lim(1+①2)|一—".

62.L。

63.

計(jì)算二重積分Jin"T7d_rd_y,其中D={(…)|<4).

有

%

求定積分Isin(i+l)|di.

Jo

求微分方程/+三=Y的通解.

65.

四、證明題(10題)

66.

已知ai.a2,為是Ar=b的解*證明:夕=3ai—a2—2a3為齊次線性方程組Ar=0的解.

s當(dāng)①>1時(shí)，證明:工lax>才-1.

67.

68.

21.設(shè)函數(shù)在［0,1］上可微，當(dāng)時(shí)ov/("VI且八工)#1，證明有且

僅有一點(diǎn)16(0,1),使得/(J-)=.r.

證明：當(dāng)oVhv1時(shí).(］-2)ln(l—2)>2x.

69.

70.

設(shè)平面圖形D由曲線z=24~=/=與直線y=1圍成，試求：

(1)平面圖形D的面積；

(2)平面圖形D繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

71.

設(shè)函數(shù)下］)=*")一(1>0),其中人工)在區(qū)間［a.+8)上連續(xù)，/"(1)在

x-a

(a,+8)內(nèi)存在且大于零.求證:FQ)在(。?+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

72.

證明不等式：1>0時(shí)，l+iln(i+/1+r2)>A/1+X2.

73.

設(shè)函數(shù)f(外在閉區(qū)間［0,門上可導(dǎo)，且f(0)?f(DV0,證明在開區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在

一點(diǎn)久使得2/($)+“■?)=0.

證明:方程Y-+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根.

74.

-dzdz

已知二元函數(shù)z=xex,證明：X—-+y—=x.

75次於

五、應(yīng)用題(10題)

求1yHsin.r,j'=cosi.x=0?.r=-y所圍成的平面圖形的面積.

76.

77某產(chǎn)品的成本函數(shù)：

屋］)=+6文+100(元/件)

銷售價(jià)格與產(chǎn)品的函數(shù)關(guān)系為:①=—32+138

(1)求總收入函數(shù)R(J)；

(2)求總利潤函數(shù)L(.r)；

(3)為使利潤最大化，應(yīng)銷售多少產(chǎn)品？

14)最大利潤是多少？

證明：對(duì)1>0,有空書二>1+(.

78.

79.

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為2000元時(shí),公寓會(huì)全部租出去,當(dāng)月

租金每增加100元時(shí).就會(huì)多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修

費(fèi)，試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

80.

設(shè)兩拋物線y=2%2,.y=3一/及『軸所圍成的平面圖形為求：

(1)平面圖形D的面積；

(2)平面圖形D繞了軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積.

81.

將長為“怫約成兩段，一段圍成正方形，另一段圍成圓形澗這兩段鐵絲長各是多

少時(shí)，正方形與圓形的面積之和最小？

82.

20.某工廠需要圍建一個(gè)面積為64平方米的長方形堆料場，一邊可利用原來的墻壁,而現(xiàn)

有的存磚只夠砌24米長的墻壁，問這些存磚是否足夠圍建此堆料場？

83.

平面圖形由拋物線與該曲線在點(diǎn)（；，1）處的法線圍成.試求：

（1）該平面圖形的面積；

（2）該平面圖形繞I軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積.

求二元函數(shù)/（①，”=/（2+/）+ylny的極值.

84.

85.

已知曲線y=aG（a>0）與曲線y=In6在點(diǎn)（々,，義）處有公切線，試求:

（1）常數(shù)a和切點(diǎn)數(shù)。，”）；

（2）兩曲線與］軸圍成的平面圖形的面積S.

六、綜合題（2題）

設(shè)/（工）在二0,+g）內(nèi)連續(xù)，且lim/Gr>=1.

（1）證明函數(shù)y=e-Jpe7（Z）d/滿足方程翌+y=八外；

Jodi

（2）求limy（H）.

+co

86.

87.

已知函數(shù)/lx)滿足方程f(x)+/(x)-2/(X)=0且/(z)+/(x)=2e，.

(D求表達(dá)式“外；

⑵求曲線y=/Us)￡/(-f)dz的拐點(diǎn).

參考答案

1.D

［答案］D

由于(悟

【精析】----rdz=lim[----7dz=limZrarctan.r=.

J01+X~11RJ01TXj?b口i

因此,應(yīng)有"=1,故我——.

ZK

2.B

%L5)O"="1

【精析】y'=5是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，且在才=5西側(cè)

3J9)工一5

丁同號(hào),/異號(hào).因此工=5不是函數(shù)的極值點(diǎn)，但(5,2)是拐點(diǎn).故應(yīng)選B.

3.B

.]_

1tin。、51n~1

【精析】lim/2xsin—+-——)=2lim—+lim—?sin3x=2+0=2,故應(yīng)選B.

y<jCJCI11rJC

4.A

【精析】djy=dCcos(sinjr)]=一sin(sinjchosEdi.

5.B

［答案］B

【精析】由定積分的性質(zhì)可知,若在團(tuán)區(qū)間上，/(上)>0.則「/(H)&r>O(aV

6);而B項(xiàng).J,arInxdr=—J'x-Inzdj".在［0,上—x2lnx>0.故JjJT2Inadx>0：

f(jc)<屋工)，則『&fg(x)dx(a<b),而A項(xiàng)，在［3,4］上，lrtzVIn'”,所以

JuJa

flordrVf而D項(xiàng)，在［0,1］上，?一，&\所以f「小《(e-rdr；而C項(xiàng)，

J3J3JOJi)

在對(duì)稱區(qū)間［-2,2］匕rs是奇函數(shù)，故『/d1=0.易知選項(xiàng)A,C,D均錯(cuò)誤,只有選項(xiàng)

B正確.

6.B

B

【評(píng)注】本題考查多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，等號(hào)左右兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得：包=2x-e^y.

dx

7.C

【精析】偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)，只有存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)?函數(shù)可微，進(jìn)而連續(xù)，故

應(yīng)選C.

8.C

【精析】由/(T)在［0,1］上滿足羅爾定理知，f(0)=f(D,即1=&,故應(yīng)選C.

9.D

10.A

［答案］A

【精析】|7=2jsin>/Td.：r=-2cosC,故選A.

ll.A

=lim竺辿■=〃，又知/(0)=1,故a=1時(shí)，/(①)必連續(xù).

4?0x-0JT

12.D

【精析】由/(X)在Z=0處連續(xù)可知=/(0),lim/(x)=lim—sin《=

x-*0x-*0x-*0JT3

X

1slny11

lim—?；—==,于是有a=f(0)=lim/(x)==.故應(yīng)選D.

x-*0DJCUX-?00

5

13.B

［答案］D

【精析】(］7(外也)’=(苧一cy=三"=八1),

pr/'(x)dH=Jjd/(x)=xf(x)—|/(x)dx

1—2lnx,「

=-------ICt

JT

14.D故選D.

［答案］B

【精析】因?yàn)閘im業(yè)紅=2,所以應(yīng)選B.

15.BLOa

simd7.

【精析】limJ—=lim羋=1故應(yīng)選B.

x-oXl-0LXL

16.B

17.C

【精析】根據(jù)二重積分的對(duì)稱性及幾何意義可知，

［十;y十Ddxdy=^xdxdy+jpyd/dy+jjd/d)=0十0十S0=兀，

DDDD

故應(yīng)選C.

【精析】=2cosr?ln2?(cos.r)=—ln2??sin.r.

lo.C

19.C

【評(píng)注】根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義：lim〃x)=/(0),即lim(l-#=eT=h

［答案］D

【解析】若則四留不存在.

20.D

21.C

［答案］C

22.C

(x--\I—

【精析】因?yàn)槎?/(X)=---；工-，=j----京，----卷=1,從而y=1

jr-51-6—3)Lg

是水平漸近線；lim/(i)=8,lim/(z)=8.從而工=2,N=3是垂直漸近線；故該曲

L2L3

線共有3條漸近線.

23.B

［答案1B

【精析】fir)=2］.g'Q)=3M,兩曲線的切線相互垂直，即

/(.r)?g(.r)=—1.即21?3M=-1,即

24.C

因?yàn)?(.r)=a",則/(})=:,所以f/(：)='(!")=!'，故本題選C

25.A

[答案1A

【精析】設(shè)L：J，t6[0,2K],故《e''+『ds=fe3\/4sin2/4-4cos2rd/=

[y=2sin/JLJ。

2e2-2K=4ire2，故選A.

26.C

【精析】積分區(qū)域D如圖所示，

J卜+y)d*dy=jcLrJ21(工+y)dy

=L仔+＞一"'一尹'

4

―15,

27.D

［答案］D

T*儼/——~J'

［精析］lim,=—=0,lim,\〕=lim-:—―=0.limV===lim—=0.

r-*<lJT+11J-*1.1'-T1J-j?1.?-*-1?-—?4

J'

lim4r=+8,故選D.

jf：??

D

【評(píng)注】dz=—dx4-—dy?—=2xy,—=x2+2>>?

dxdydxdy

dz-2xydx+(x?+2y)dydz|x-2=4dx+6dy.

28.D

29.A

【精析】因?yàn)閒'(J-)=(jr+l)ex,f(x)=(i+2)c，?/*(.!1)=(JT+3)e*,

=Q+〃)e。故選A.

30.D

［答案］D

【精析】if'(①)dr=［J'd/(.z)=xf(jc)I—If(.r)cLr

JiJiliJi

=2/(2)—/(1)—1/(j-)dj'=2—1—(—1)=2.

故應(yīng)選D.

31.

x

e(Qcos2x+C2sin2x)

e'(Gcos2x+C2sin2x)

【評(píng)注】特征方程為：r2-2r+5=0,得=l±2i,所以方程的通解為

2

x

y=e(C,cos2x+C2sin2x).

32.

?

a7

【精析】八2i=(―1尸”=-18，6a=3.即a=三.

692

33.

y=((；+G.r)e，(G?G為任意常數(shù))

【精析】特征方程為產(chǎn)―2「+1=0?解得特征根為n=r2=1.

所以所求通解為1=(G+C2i)e'，其中G，a為任意常數(shù).

34.

4A

【精析】由于/(ICOSZ|)在(一8,十8)連續(xù)，以n為周期，且為偶函數(shù)，則根據(jù)周期

函數(shù)在任一周期上的積分相等以及偶函數(shù)的積分性質(zhì)可得

1=2/(|cosjr|)cLr=21/(|COST|)di=4卜/(|COST|)d.r=4A.

J0J-fJ0

曲線L的方程為3,=41),則曲線積分

2z

jryds=JC?xvl+(21尸dr=a3]+4憶2心=0.

JLJ-1J—1

35.0

36.

-xsinx-cosx+C

-xsinx-cosx+C,

【評(píng)注】(cosx)'=f(x),即/(x)=-sinx,

Jxf(x^x=J何(x)=Mx)-Jf(x^x=-xsinx-cosx+C.

37.

28

133133

—8—6

【精析】313=0—8—6=1X(-1)1+，

-6—8

3310—6—8

=(-8)X(-8)-(-6)X(-6)=28.

38.

e"+e-y=C

【精析】y=廠二索=e'，"山=j^dr^-e^+G=e1=C.

39.

y=/、(('為任意常數(shù))

【精析】方程分離變量得上」羋.曲邊積分得In|.7-|!C,InIInv|.即y=e<*.

.rvIny

其中c為任意常數(shù).

40.2

【精析】由于在工=0處連續(xù)，所以/(0)=lim/(z),BPlim迎紅=歸+1=3,

2foJT-*0X

故A=2.

41.

^(5V5-1)

【精析】由題意得，

[xds=[-r卜(2工尸dz=fxA/1+4a-:d.r=-j^(l+4/)卞I=-^(5-75—1).

42.

2

3

［答案］y

【精析】由于X在［-1,21上服從均勻分布，故P(X>0)=^,P{X<0>=4,

OO

9

P{Y=1}=P(X>0)=j

P[Y=0}=P[X=0}=0,

P{Y----1)=P{X<0}=:，

故E(Y)=1.A+(-i).1=1

43.

1

sinjI—

V

【精析】令[J(1)dr=k,則對(duì)等式兩邊積分得IJ(2)djr=J](sinx+1—=

COST|+▲、|fo*|=2—23即4=22氏，解得々，故/(%)=sinw+1

2..1

-=sini'+—.

oJ

44.

x

T

【精析】lim''\sin】=lim-

]=亍

L“3〃+1--(3?+i)

yTTT

45.2

22

【精析】sirur為奇函數(shù),cos支為偶函數(shù)，故(sinjr+cosi)&r=0+2cosj'djr=

JFJo

7t

2sirur=2.

0

46.2

21221

【精析】30=-130=0,故K(A)#3.

1—1-130

=8#0.故A有二階行列式不為零的子陣，所以R(A)=2.

-13

47.

2X§

2sinz

【精析】lim1—2cz=lim—=V3.

7T*/7T

Tsin/J:TCOS/J：—y

48.

［答案］ie-1

ie，【精析】f⑺2之丁+de“i故/(i)2ie1—ie1=ie

49.

2

"200、‘200、’000、

t評(píng)注】因?yàn)殓?231100->100，所以“4)=2.

J3IJ31；J31,

50.

1

2

【精析】當(dāng)①-*0時(shí)./3)?1-cos才?isini?/,

所以lim/(")=lim-21-1

j-o.z'siruz'*-oj'*

51.

【精析】因?yàn)榭?e-G++)(―=)=,

dXIJCJX-

孕=e-()/―—r-\=-^e-(.

dy\v，y

所以有笳"+y手=2ed+)=2z.

aidy

52.

解：對(duì)增廣矩陣（4。）進(jìn)行初等行變換

-211'1-211-21A

1-21-211-20一3322-2

J1一211-20（）紀(jì)+4—2

方+4-2=0時(shí)，即4=1或4=一2,/㈤=《徘）=2<〃，方程有無窮多解.

玉=i+q,

全部解“4，（q為任意常數(shù)）

巳=q.

1-21一2102再=2+0全部解

(2)4=-2時(shí),o-33-6012,同解方程組

x2=2+與，

00000000J

%=2+C2,

x2=2+c2t(C2為任意常數(shù))

53.

由題可知半

【精析】-3sin/.

U/2c。"*=

dy

則平(1/-COS/?

d.rtTcl.7*r--f--3sin/；

(\t

?

故曲線的切線方程為.V?即y

54.

【精析】由于不=-sinf,f=cosf—cost卜fsint=tsinf.

dzdZ

因此

djv

/sin/

=石

dv石=—

-sin?

d7

=-L

耀r=1

55.

解：令//(“國=4，則/(%)=111刀+4.故有//'(%也=，(11)工+4)11：,即

N=31n3-2+2N,得％=2-31n3,因此/(x)=lnx+2-31n3.

56.

(1)

【精析】

X(X)!(s)iZ(s)=0.(2)

Y(s)44sz(s)=0.(3)

.s-X(2)—(1)得：

1511

1(5)=-r—■―-

5W-1$$’—1?

v(/)=1-一梟

57.

d(lrw)令，=島1rS

jln.r?Inln.rJInJ-?InlnrJzlnf

=fdOnr)=ln?hv|+c

Jint

=In|Inln.r|+C.

58.

【精析】/=COSJ'f\+txfi,

<?2z

cosz/1?(—2v)+2xf*位,(-2v)="2ycoszf"i￡—4JCV/\;.

59.

原式=1叫e’?rdr=2n?erdr2=ne'=7r(el—e).

60.

【精析】原方程可化為y'—,2018M.

該方程為一階線性非齊次方程華+P(J-)-y=Q(4),其中P(l)=--.Q(x)=

d,rx

2018工，代人通解公式

1y=e.(12018“』3'cLr+C)

=x([2018ar?—+C)=(2018/十Ox.

JJr

又y(l)=2019?所以C=1,于是所求特解為^=(2O18x+l)x.

61.

【精析】3=『s/l+:(llLZ)Td^

J/T

=((1+占)山="2+/((±一*)力

=1+7(ln吊川)I+如/

62.

【精析】方法一哥指函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)十洛必達(dá)法則+等價(jià)無窮小代換(siar?h)

,o1Vln<1+x2>2x22

hm(l+f)E=e,吧=e,%+,z*=e,T啟=eT=e20.

x-*0

方法二等價(jià)無窮小代換+第二重要極限

??-112

?1-COS7-----—X,

/?lim(1+jr2=lim(1+JT2)7=Flim(1+JT2)?"|=e2.

a—*0J-*0x-*0

63.

該二重積分適合選擇極坐標(biāo)系下進(jìn)行計(jì)算，Q：02兀，1

22

故In\/x+ydjrdyrlnrdr=7VInrdr

-n/r2.lnr|；-JV

=定"2_1#2J

=冗”—5)

=(4成一外.

64.

「21t設(shè)了="一i「2-1

【精析】Isin(.r+1)|dx|sin?|di/,

J0J1

由于Isin.r|是以K為周期的周期函數(shù)，

又周期函數(shù)在任一周期上的積分相等.

C2H-1「外卜x

因此|sin”|di/=2|sinw|d〃=2sin〃d〃=-2cos〃=4.

J1J0J00

65.

【精析】所求方程通解為

y=e-J(—e1~drd-r+(,)

=e-，ar(f：e"di+C)

=5=7-?.rdi+C)

=:#&+(、)

=—(eJ4-C),

￡

其中c為任意常數(shù).

66.

【證明】因?yàn)?1?az-a,是Arb的解?代人可得Aa】kz?二b>Aa^b.

所以3Aai3b.一,4a2—一b,一2/Vz3=一2b.

故3.4a1—Aa2—2?kx3=?)bb—2b=0.所以A(3a]-a?—2a3)=0?

令/，加一a?—2a,?則。3a-a2-2a3為齊次線性方程組Ax0的解.

67.

【證明】令以工)=jdni—1+1,在[19+0°)上連續(xù)，則,/(1)=Inj'卜1—1=Ini,

當(dāng)1>1時(shí),/")>0,故函數(shù)/(.r)在(1,+8)上單調(diào)增加.且/(I)=0,

因此在1>1時(shí)"(#)>/(I)=。?即jcinjr>n—L

68.

【精析】令F(工)=/1)-八則由題意得F(_r)在［0,1］上可微.

因?yàn)楫?dāng)0工工=