2021屆高考數(shù)學一輪復(fù)習第7章空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)創(chuàng)新教學案（含解析）新人教版

第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

［考綱解讀］掌握線線、線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能應(yīng)用它們證明有關(guān)空

間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.（重點、難點）

［考向預(yù)測］從近三年高考情況來看，本講是高考的必考內(nèi)容.預(yù)測2021年將會以以下兩種

方式進行考查：①以幾何體為載體考查線面垂直的判定和性質(zhì)；②根據(jù)垂直關(guān)系的性質(zhì)進行

轉(zhuǎn)化.試題以解答題第一問直接考查，難度不大，屬中檔題型.

基礎(chǔ)知識過關(guān)

1.直線與平面垂直

判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

1、

一條直線與一個平面內(nèi)02a,bUa

Q3ar\b=O

判定的兩條SL相交直線都垂>

&l±a

定理直，則該直線與此平面口

osm>

垂直

0/_La

ab

性質(zhì)垂直于同一個平面的兩/Q8Z?_La)

定理條直線四平行7^a//b

2.平面與平面垂直

判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面過另一個平3

判定02似aQ3/u￡}

面的SL一條垂線,則這

定理

兩個平面垂直

(1)定義：一條斜線和它在平面上的3射影所成的02銳魚叫做這條直線和這個

平面所成的角.

(2)范圍：03[0°,90°].

4.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的3兩個半平面所組成的圖形叫做二面角;在二面

角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作核垂直于棱的兩條射

線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

(2)范圍：Q3r0°,180°1.

5.必記結(jié)論

(1)若兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

(2)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)任何一條直線.

(3)過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

(4)過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

(5)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.

(6)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

Q診斷自測

1.概念辨析

(1)直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則)

(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()

(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平

面.()

(4)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面B內(nèi)的無數(shù)條直線，則。，及()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

2.小題熱身

(1)下列命題中不正確的是()

A.如果平面a_L平面用，且直線/〃平面a,則直線/_L平面夕

B.如果平面a,平面用，那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面少

C.如果平面a不垂直于平面夕，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面用

D.如果平面a_L平面％平面4_L平面/aC0=l,那么/_Ly

答案A

解析A錯誤，如圖1所示，在長方體中a邛,l〃a,但IU0；B正確，設(shè)aA.

=1,則a內(nèi)與/平行的直線都與夕平行；C正確，由面面垂直的判定可知；D正

確，如圖2所示，在平面a內(nèi)，作a與/交線的垂線根，在平面”內(nèi)作夕與/的交

線的垂線〃，由a_Ly得機_!_%由夕_!_/得冏_!_%所以機〃冏.可推出機〃夕，進而推

出m//1,所以/_!_/

(2)如圖，在正方形A3CD中，E,歹分別是3C,CD的中點，G是ER的中點,

現(xiàn)在沿AE,AR及ER把這個正方形折成一個空間圖形，使3,C,。三點重合，

重合后的點記為那么，在這個空間圖形中必有()

A.AG±￥ffiEFHB.AH,平面EfH

C.HfU平面AERD.平面AER

答案B

解析根據(jù)折疊前、后AHLHE,AHLHF不變，平面EFH,B正確；

:過A只有一條直線與平面EFH垂直，，A不正確；?..AG，EF,EF，GH,AGnGH

=G,平面HAG,又ERU平面AEF二平面

HAG,平面AEF,過H作直線垂直于平面AEF,一定在平面HAG內(nèi)，/.C

不正確；已證平面HAG,平面AEF若證HG,平面AER,只需證HGLAG,已

證AHLHG,故HGLAG不成立，所以HG與平面AER不垂直，，D不正確.故

選B.

(3)如圖，在長方體A3CD—AiBiGDi中，AB=BC=2,A4i=l,則AG與平

面AjBiCiA所成角的正弦值為.

答案3

解析連接ACi，則NAGAi為AG與平面A15C01所成的角.因為43=3。

=2,所以Ai。=4。=24^,又AA[=1,所以AC\=3,所以sinNAC\Ai=^^=w.

(4)已知尸。垂直于菱形A3CD所在的平面，連接尸3,PC,PA,AC,BD,則

一定互相垂直的平面有對.

答案4

解析由于平面ABCD,故平面以。，平面ABCD,平面PD5,平面

ABCD,平面PDCmABCD,由于AC,平面PDB,所以平面R4C,平面PDB,

共4對.

經(jīng)典題型沖關(guān)

題型一直線與平面的位置關(guān)系多角探究

【舉例說明】

9角度1直線與平面所成的角

1.（2018?全國卷I）在長方體ABC。一ArBiGDi中，AB=BC=2,AG與平面

331GC所成的角為30。，則該長方體的體積為（)

A.8B.6^2

C.8^2D.8^3

答案C

解析如圖，在長方體A3CD—ArBiGDi中，連接3G，根據(jù)線面角的定義可

知NAaB=30。，因為AB=2,^=tan30°,所以BCi=2小,從而求得CQ=

NBC，C2=2?所以該長方體的體積為V=2X2X2吸=8陋.故選C.

。角度2直線與平面垂直的判定和性質(zhì)

2.（2019?鎮(zhèn)江模擬）如圖，在四棱錐P—A3CD中，底面A3CD是正方形，AC

與3。交于點。，PCl^ABCD,E為PB上一點、,G為P。的中點.

(1)若PD〃平面ACE,求證：E為尸3的中點;

(2)若AB=y[iPC,求證：CG,平面PBD

證明(1)如圖，連接。E,由四邊形A3CD是正方形知，。為3。的中點,

〃平面ACE,PDU平面P3D,平面PBDn平面ACE=OE,

J.PD//OE,二?。為3。的中點，為的中點.

(2)在四棱錐P—A3CD中，AB=\[2PC,

...四邊形ABCD是正方形，：.OC=^AB,：.PC=OC,

：G為P。的中點，：.CG±PO.

又PC,底面A3CD,BDU底面ABCD,：.PC±BD.

而四邊形ABCD是正方形，：.AC±BD,

'：AC,PCU平面出C,ACHPC=C,平面出C,

又CGU平面PAC,：.BD±CG.

'：P0,BDU平面PBD,POnBD=O,

平面PBD.

【據(jù)例說法】

1.求直線和平面所成角的步驟

(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線.

(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為

所求的角.

(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角.如舉例說明1.

2.證明直線與平面垂直的常用方法

(1)利用線面垂直的判定定理，這是主要證明方法.如舉例說明2(2).

(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”.

(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則與另一個也垂直”.

(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.

【鞏固遷移】

1.已知一個正四棱柱的體對角線長為小，且體對角線與底面所成的角的余弦

值為坐，則該四棱柱的表面積為.

答案10

解析由圖可知，BD=^6X^=y/2,

2Z：

DDl=ylBDj-BD=^62=2,底面邊長AB=y/ix坐=1,所以所求表面積

22

為4AArAB+2AB=4X2X1+2XI10.

s

2.如圖，S是RtZXABC所在平面外一點，且SA=S3=SC,。為斜邊AC的

中I占八、、,

(1)求證：SD,平面ABC；

(2)若A3=BC,求證：3D，平面SAC.

證明(1)如圖所示，取A3的中點E,連接SE,DE,在Rt^ABC中，D,E

分別為AC,A3的中點.

：.DE//BC,：.DE±AB,

,:SA=SB,：.SELAB.

又SECDE=E,

.?.A3,平面SDE.

又SOu平面SDE,：.AB±SD.

在△SAC中，'：SA=SC,。為AC的中點,

S.SDLAC.

又ACAA3=A,SDL平面ABC.

(2)由于A3=BC,則3DLAC,

由(1)可知，SD，平面ABC,

又3DU平面ABC,：.SD±BD,

又SDnAC=D,，臺。，平面SAC.

題型二面面垂直的判定與性質(zhì)多維探究

【舉例說明】

1.如圖，A3是。。的直徑，以垂直于。。所在平面，C是圓周上不同于A,

B兩點的任意一點，且AB=2,PA=BC=y[3,則二面角A-BC-P的大小為

答案60°

解析因為A5為。。的直徑，所以ACLBC,又以，平面ABC,所以必，

BC,可求得3CLPC,所以NPC4為二面角A—BC一尸的平面角.因為NACB=

90°,AB=2,PA=BC=y]3,所以AC=1,所以在Rt△%C中，tanNPC4=7K=q5.

21Cz

所以NPC4=60。.

結(jié)論探究在本例的條件下，二面角N—陽一。的正切值為.

答案乎

p

解析

如圖，過A作ARLPC,垂足為R,

過R作FELPB,垂足為E,連接AE,

由舉例說明1易得3C,平面PAC.

又ARU平面PAC,

所以AfUBC.

又PCn3C=C,所以AR,平面PBC

所以「3LAR,又PBLEF,AFCEF=F,

所以尸3,平面AER,所以PBLAE,

所以NAER為二面角A—PB—C的平面角，

在Rt△必C中，AC=1,臥=小,ZPAC=9Q°.

所以tanNPC4=#=小，所以NPCA=60。，

AC

i、G

所以CF=1Xcos60°=2,AF=1Xsin60°=1.

在RtAPBC中,PC=2,BC=木,ZPCB=90°,PB=S.

由APEFsAPCB得ff=需，

3_

所以及=焉，所以EF=嚕,

737714

在RtAAEF中，tan/AEF=^=^^=斗,

14

即二面角A-PB-C的正切值為生.

2.如圖，在四棱錐P—A3CD中，底面A3CD是矩形，點E在棱PC上(異于

點P,Q,平面A3E與棱PD交于點正

⑴求證：AB//EF-,

(2)若AfUEE求證：平面以。，平面A3CD

證明(1)因為四邊形A3CD是矩形，

所以A3〃CD.

又ABC平面PDC,CDu平面PDC,

所以A3〃平面PDC,

又ABU平面A3E,平面A3EA平面PDC=ER,

所以A3〃EE

(2)因為四邊形ABCD是矩形，

所以ABLAD

因為AfUER,(1)中已證A3〃EF,

所以A3LAE

XABLAD,

由點E在棱PC上(異于點Q,

所以點R異于點D,

所以ARnAD=A,AF,ADU平面出。，

所以A3,平面PAD,

又A5U平面ABCD,所以平面以。，平面A3CD.

【據(jù)例說法】

1.作二面角的平面角的方法

(1)定義法：在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條射線所

成的角就是二面角的平面角.如舉例說明1.

a

p

4AB

…‘0

(2)垂線法：如圖所示，作PO_LA垂足為。，作。4_U,垂足為A,連接力,

則/以。為二面角a—1—B的平面角.

(3)補棱法：在求解二面角問題時，若構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確的交

線，則將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線(稱為補棱)，然后借助前述的

定義法或垂線法解題.

(4)射影面積法[cos6=]jj：二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在

另一個半平面上的射影圖形面積時，都可利用射影面積公式(cos6=釣求出二面

角的大小.

(5)向量法(最常用).

(6)轉(zhuǎn)化為線面角：如圖，求a—/一用的二面角，即求A3與4所成的角.

2.證明面面垂直的兩種方法

(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，

將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.

(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面

的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線面垂直加以解決.如舉例說明2(2).

【鞏固遷移】

如圖，三棱柱ABC—AIiG中，平面ABC,ZACB=9Q°,M是A3的

中點，AC=CB=CQ=2.

⑴求證：平面ACM,平面A331A1；

⑵求點M到平面AQ5的距離.

解(1)證明：由AM，平面ABC,CMU平面ABC,得AiALCM.

'：AC=CB,M是A3的中點，S.ABLCM.

又A1AnAB=A.：.CM1.平面ABB1A1,

又CMU平面4CM,平面ACM,平面A351Al.

⑵設(shè)點M到平面4CBi的距離為h,

由題意可知4。=以1=431=2"。=2色，

心

SAA1CB1=^X(2何=25，

SAA1MB1=^S四邊形ABB1A1=；X2X2巾=2巾.

由(1)可知CM,平面ABBiAr，

得VC-A1MB1=|MC-SAA1MB1=VM~A1CB1=1/?-5AA1CB1.

MC-SAA1MB1

.?.點M到平面AiCBi的距離h=

S^\A1CB13

題型三平面圖形的翻折問題

【舉例說明】

(2019?南昌模擬)如圖，在矩形A3CD中，AB=3,BC=1,E,R是邊DC的

三等分點.現(xiàn)將△D4E,△C3R分別沿AE,折起，使得平面D4E、平面C3R

均與平面ABRE垂直.

⑴若G為線段A3上一點，且AG=1,

求證：DG〃平面CBF；

⑵求多面體CDABFE的體積.

解(1)證明：如圖，分別取AE,的中點M,N,連接DM,CN,MG,MN,

因為AD=DE=1,ZADE=90°,

所以DMLAE,且

因為BC=CR=1,ZBCF=90°,

所以CN,3G且CN=專

因為平面DAE、平面CBR均與平面A5RE垂直，

所以DM，平面ABFE,CN,平面ABFE,所以。/〃CN,

因為AM=AGcos45。，所以NAMG=90。，

所以△AMG是以AG為斜邊的等腰直角三角形，故NMG4=45。，

而NFa4=45。，則MG〃FS,故平面DMG〃平面底凡則DG〃平面CBE

(2)如圖，連接BE,DF,由(1)可知，DM//CN,且DM=CN,則四邊形DMNC

EF+AB

為平行四邊形，故DC=MN=-2—=2,

因為V多面體CDABFE=VD-ABE~^~VB-EFCD=VD-ABE~^~3VB—DEF=VD-ABE~^~3VD-BEF，

所以V多面體czMBFE=；xgx3Xl)x坐+3x]xgxIX1)*坐=乎.

【據(jù)例說法】

平面圖形翻折為空間圖形問題的解題關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變

化，根據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒有變化的量和發(fā)生變化的量,

這些不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征.

解決此類問題的步驟為：

【鞏固遷移】

(2019?合肥二檢)如圖1,在平面五邊形A3CDE中，AB//CE,且AE=2,Z

AEC=60°,CD=ED=?cosNEDC=/將沿CE折起，使點。到P的位

置，且AP=小，得到如圖2所示的四棱錐P—ABCE.

P

⑴求證：AP,平面A3CE；

(2)記平面以3與平面PCE相交于直線/,求證：AB//1.

證明(1)在△CDE中，

,:CD=ED=?cosZEDC=|,

二由余弦定理得CE=2.

連接AC,如圖，

'：AE=2,ZAEC=6Q°,：.AC=2.

又AP=g

.?.在△出E中，E42+AE2=PE2,KPAPLAE.

同理，AP±AC.

'：ACHAE=A,ACU平面A3CE,AEU平面A3CE,

：.AP1^ABCE.

(2)'：AB//CE,且CEU平面PCE,A3。平面PCE,

...A5〃平面PCE.

又平面RIBA平面PCE=/,S.AB//1.

課時作業(yè)

W組基礎(chǔ)關(guān)

1.已知平面a,平面a，an￡=/，點Ada,AH,直線A3〃/,直線AC，/,

直線加〃a,m//則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（）

A.AB//mB.ACXm

C.AB//J3D.AC1^

答案D

解析如圖所示，AB//l//m；ACM,m//l=^AC±m(xù)；AB//l^AB//,只有D

不一定成立，故選D.

2.（2019?武漢模擬）已知兩個平面相互垂直，下列命題：

①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線

②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線

③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面

④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析由題意，對于①，當兩個平面垂直時，一個平面內(nèi)的不垂直于交線的

直線不垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線，故①錯誤；對于②，設(shè)平面an平面

B=m,nUa,二,平面a_L平面B，...當l.Lm時，必有l(wèi).La,而n^a,I

±n,而在平面夕內(nèi)與/平行的直線有無數(shù)條，這些直線均與〃垂直，故一個平面

內(nèi)的己知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，即②正確；對于③，當兩個

平面垂直時，一個平面內(nèi)的任一條直線不垂直于另一個平面，故③錯誤；對于④，

當兩個平面垂直時，過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另

一個平面，這是面面垂直的性質(zhì)定理，故④正確.

3.

如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，以，平面ABC,PA=2AB,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.PBLAD

B.平面以3,平面P3C

C.直線3C〃平面以E

D.直線PD與平面A3C所成的角為45。

答案D

解析選項A,B,C顯然錯誤....班，平面ABC,.../PDA是直線PD與平

pA2AB

面所成的角.是正六邊形，：

ABC?.?A3CDER.?.AD=2ARtan/PD4A=U^=ZA*z）=

1,，直線PD與平面ABC所成的角為45。.故選D.

4.（2020?江西南昌摸底）如圖，在四面體A3CD中，已知A3LAC,BD1AC,

那么點。在平面A3C內(nèi)的射影H必在（）

A.直線AB上

B.直線3c上

C.直線AC上

D./XABC內(nèi)部

答案A

解析因為ABLAC,BD±AC,ABHBD=B,所以AC,平面ABD,又AC

u平面ABC,所以平面ABC,平面ABD,所以點。在平面ABC內(nèi)的射影H必在

直線A3上.故選A.

c

5.如圖，直三棱柱ABC—45。中，側(cè)棱長為2,AC=BC=1,ZACB=90°,

。是45的中點，R是331上的動點，ABi，交于點E要使平面GDE

則線段5/的長為（）

B.1

C.|D.2

答案A

解析設(shè)因為AB，平面GDR,DRU平面GDR,所以ABiLDE

RFAD

由已知可以得Ai_Bi="\^,矩形ABBiAi中，tanNjFDBi=瓦萬，tanNAiA_Bi==

害.又/FDBi=NAiABi,所以宗（=孚.故孚=）.故選A.

ZD\Uzzzz

6.（2019?全國卷III）如圖，點N為正方形A3CD的中心，△ECD為正三角形,

平面ECD，平面ABCD,〃是線段即的中點，則（）

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM牛EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM芋EN,且直線BM,EN是異面直線

答案B

解析解法一：取CD的中點。，連接E。，ON.由△ECD是正三角形，知E。

LCD,又平面ECO,平面A3CD,平面ABCD.

.??石。，。"又"為正方形43。。的中心，，。2\a。。.以CD的中點0為原點,

濟方向為x軸正方向建立空間直角坐標系，如圖1所示.

不妨設(shè)AD=2,則E(0,0,小)，N(0,l,0),%,0,浮｝5(-1,2,0),：.EN

2

='仔+(一?。?2,BM=^1|+4+|=^7,:.EN豐BM.連捱BD,BE,二?點

N是正方形ABCD的中心，.?.點N在3。上，且BN=DN,：.BM,EN是LDBE

的中線，：.BM,EN必相交.故選B.

解法二：如圖2,取CD的中點FDR的中點G,連接ER,FN,MG,GB.

'：AECD是正三角形，二EFLCD.'：平面ECDL平面ABCD,：.EFL平面ABCD.

:.EFLFN.不妨設(shè)AB=2,則FN=1,EF=小,：.EN=y]FN2+EF2=2."：EM=

MD,DG=GH且平面ABCD,

="=曰,BG=NCG2+BC2=A/(1)2+22=|,：.BM=ylMC^+BG2=^7.

BM中EN.連接BD,BE,?點N是正方形A3CD的中心，.?.點N在3。上，且BN

=DN,：.BM,EN是△DBE的中線，：.BM,EN必相交.故選B.

7.已知ABC—ASG是所有棱長均相等的直三棱柱，M是BiG的中點，則

下列命題正確的是（）

A.在棱A3上存在點N,使與平面A3C所成的角為45°

B.在棱AAi上存在點N,使MN與平面3CGB1所成的角為45°

C.在棱AC上存在點N,使MN與AB平行

D.在棱上存在點N,使MN與AS垂直

答案B

解析設(shè)該直三棱柱的棱長均為。，取3C的中點P,連接則平面

ABC,點N在棱A3上，若MN與平面ABC所成角為45。，即NMNP=45。，則PN

=PM=a,而PNmax=^a<a,A錯誤；若點N在棱AAi上，則點N在平面BCCB

上的射影為點Q,且MQ〃CG，此時MN與平面BOGS所成角即為NM0Q,當

NQ=AiN=^-a時，ZNMQ=45°,B正確；因為AC與31cl是異面直線，所以點

N在AC上時，MN與AB是異面直線或相交直線，不可能平行，C錯誤；取

的中點K,則AK,平面BCCiBi，AK±MN,若MN±ABr,則平面ABXK,

此時“NLBiK,當N在棱3c上時，MN,31K不可能成立，D錯誤，故選B.

8.（2019?北京高考）已知/,機是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論

斷：

②mJ/a；③/_La.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命

題：.

答案若m//a且l-La,則（或若/_La,則m//a）

解析已知/,機是平面a外的兩條不同直線，由①/_L機與②機〃a,不能推

出③因為/可以與a平行，也可以相交不垂直；由①機與③能推出②

m//a；由②加〃a與③/_La可以推出①/_L機故正確的命題是②③今①或①③二②.

A

9.

如圖，平面ABC，平面3DC,ZBAC=ZBDC=90°,且A3=AC=a,則AD

答案a

解析作3C的中點E,連接AE,DE,則在Rt^ABC中，AB=AC=a,由勾

股定理得BC=2AE=dia,且有AEL5C,又平面ABC,平面BDC,平面A3CA

平面且直線AE在平面ABC內(nèi)，，由面面垂直的性質(zhì)定理得AE,平

面BDC,

；DEU平面BDC內(nèi)，：.AE±DE,又在Rt^BCD中，點E是3C的中點，/.

區(qū)—正

Uh一2一2〃，

、歷

在RtAADE中，AE=^a,

由勾股定理得AD=ylAE2+DE2=a.

10.（2019?湖北省“四地七?！甭?lián)考）現(xiàn)有編號為①、②、③的三個三棱錐（底

面水平放置），俯視圖分別為圖1、圖2、圖3,則至少存在一個側(cè)面與此底面互相

垂直的三棱錐的所有編號是.

答案①②

解析編號為①的三棱錐，其直觀圖可能是①，側(cè)棱底面ABC,則側(cè)面

必底面A3C,滿足題意；編號為②的三棱錐，其直觀圖可能是②，側(cè)面P3C

，底面ABC,滿足題意；編號為③的三棱錐，頂點的投影不在底面邊上（如圖③）,

不存在側(cè)面與底面垂直.故答案為①②.

能力關(guān)

1.如圖所示，三棱錐尸一A3C的底面在平面a內(nèi)，且ACLPC,平面必

平面P3C,點P,A,B是定點,則動點C的軌跡是（）

A.一條線段

B.一條直線

C.一個圓

D.一個圓，但要去掉兩個點

答案D

解析?.?平面H平面PBC,而平面平面P3C=PC.又ACU平面

PAC,SLACLPC,平面P3C,而3CU平面PBC,：.AC±BC,點C在

以A3為直徑的圓上，，點C的軌跡是一個圓，但是要去掉A和5兩點.故選D.

2.如圖，在棱長為。的正方體ABCD—ApBiGDi中，P為4。的中點，。為

45上任意一點，E,R為CD上任意兩點，且環(huán)的長為定值，則下面的四個值

中不為定值的是（）

A.點P到平面QEF的距離

B.三棱錐P—QER的體積

C.直線PQ與平面PER所成的角

D.二面角P—ER—Q的大小

答案C

解析A中，因為平面QEF也就是平面ApBiCD,顯然點P到平面A/C。的

距離是定值，所以點P到平面QER的距離為定值；B中，因為△QER的面積是定

值（ER為定長，點。到ER的距離就是點。到CD的距離，也是定長，即底和高都

是定值），再根據(jù)A的結(jié)論，即點P到平面QER的距離也是定值，所以三棱錐P

一QEF的高也是定值，所以三棱錐P—QER的體積是定值；C中，因為。是動點，

PQ的長不固定，而Q到平面PEF的距離為定值，所以PQ與平面PER所成的角

不是定值；D中，因為AIi〃CD,。為AS上任意一點，E,R為CD上任意兩

點，所以二面角P—ER—Q的大小即為二面角P—CD—4的大小，為定值.

3.（2018?全國卷I）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的

角相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為（）

A童B”

A.4此3

c也D近

J42

答案A

解析根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體ABCD

—A131GD1中，平面A301與線A4i,AXBX,45所成的角是相等的，所以平面

A5Q與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面C/D也滿足與

正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，要求截面面積最大，則截面的

位置為夾在兩個面ASA與中間的，且過棱的中點的正六邊形，邊長為為一,

所以其面積為S=6X坐X停|2=乎，故選人.

4.如圖，在四棱錐P—A3CD中，必，平面A3CD,/XABC是正三角形，AC

與3。的交點為M,XB4=AB=4,AD=CD,ZCDA=12Q°,N是CD的中點.

⑴求證：平面平面PAB；

⑵求點M到平面PBC的距離.

解(1)證明：在正△ABC中，AB=BC,在△ACD中，AD=CD,易證

mACDB,

所以M為AC的中點，因為N是CD的中點，所以MN〃AD

因為出，平面ABCD,所以以，AD,因為NCDA=120。，所以ND4c=30。，

因為N3AC=60。，所以N3AD=90。，?PBALAD.

因為RinA3=A,所以AD,平面以3,所以MN,平面以B

又MNU平面PMN,所以平面PMN,平面以3.

(2)設(shè)點M到平面P3C的距離為h,

在RtaRlB中，F(xiàn)A=AB=4,所以PB=4p,

在Rt^/nC中，PA=AC=4,所以PC=4也，

在△P3C中，PB=4y12,PC=45BC=4,

所以SAPBC=4巾.

由△ABC是正三角形，M是AC的中點，得5MLAC,

在中，MC=2,BM=2小,

所以S&BMC=2y[^.

由VM-PBC=VP-BMC9即gX4"\/^X/z=§X2^/^X4,解得