2022-2023學(xué)年甘肅省隴南市統(tǒng)招專升本高數(shù)自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年甘肅省隴南市統(tǒng)招專升本高

數(shù)自考真題（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

、單選題（20題）

1.

已知E（X）=3,則E(X--3)=1].則DOX)=()

A.15B.17C.5D.45

2.

當(dāng)工―0時.下列無窮小量與ln（l+2工）等價的是()

A.xB.先CdD.sin2x

3.

.若函數(shù)y=L,則y'〃)(1)=()

A.0B.1C.a”D.<i"e-

4.

設(shè)/J）是連續(xù)函數(shù).且=FD+C,則下列等式成立的是)

A./(x2)d.r=)3CB./'(31+2)d.r=F(3x+2)+C

/(er)er(Lr=F(e')+('D.j/dnZj-)---dj*=F(ln2x)+C

5.

若函數(shù)/(.r+1)=則/(i)-

B.(r+1)2

C.(x-l)*D.小一1

6.

.lim-=(

n?85

A.4B.)1C1D.O

3,

7.

卜列極限存在的是()

皿

A.lime^B.lim

?-*?.r

C.lim膽Dn.rhni-V----+--2

v-0XJTO

8.

已知函數(shù)〃])=!fsinr?arctan-+-ln(1+3J"),—」r<0,

!Jx3在x=o處連續(xù).

1,i20

則。=()

A.0B.1C.3D.4

9.

下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(

A.x'-xB.e-+e-J

C.e'-e一I),.rsinj

10.

下列各式成立的是(

A.Iin\r2sin-4=1B.lim旦出-=1

?

iX"，?與n—r

:2*

人1.sin/1

1.lim—5―=1D.lim—=1

-1-*-X“Jl

11.

微分方程.ryf+2丁+4/=o滿足初始條件N|=〔=1的特解是

A.v=馬一MB.3=上一H

XX

C.y=2才2+xD.y=與父-2--^-x3

o5

12.

設(shè)F(.r)=1,"ee"sinfd/,則F(.x)()

J,r

A.為正常數(shù)B.為負(fù)常數(shù)C.恒為零D.不為常數(shù)

13.

.y=在點彳=1處的切線方程是()

A.E+y—1=0B.JC—2y—1=0

C.JT-y-1=0[).j+2y-1=0

14.

極限1淅2"；二3=

?3〃十1

A.B.OC.3D，4

J*J

15.

過點.2?1),且垂直于直線L,和直線心耳=十=三T的直

線方程為

A山=山=土

—35-1

(，—+1=?+2=n+1

—2—5~~—4

16.

已知A和C為“(”>2)階可逆的方陣.若AXC=8,則下列各式中總成立的是

()

A.X=ABCB.AX=CB

C.XC=BAD.X=LBL

17.

空間直角坐標(biāo)系中,點A(6.3.2)關(guān)于平面對稱的點B的坐標(biāo)為

A.(-6,3.2)B.(6,3.-2)

C.(—6,—3<—2)D.(6,—3,—2)

18.

極限lim、G(+a—vCr)=1,則a的值是

A.1B.C.一1D.2

19.

曲線y=2sin.r+V上橫坐標(biāo)為.r=0的點處的切線方程為

A.J--y=0B..r-y=1

C.2.r->=0D.2T-y=1

20.

設(shè)A、8為隨機(jī)事件,且AUB,則麗=

A.ABB.B

C.AD.A

二、填空題（10題）

21.

力口⑺]

已知/(J-)Vin1r.才=/>")滿足條件fi(0)=3.7/(0)=7.則

設(shè)L是圓周才2+V2=I,沿逆時針方向4—ydj+jdv=

22.JL_____

函數(shù)/（.r）=3J—，的極值點是

乙o?____

24函數(shù)：y=Mnx在_r=3的斜率為3.則〃=.

設(shè)方程e;=「X確定隱函數(shù)丁一1（一）.則孚=

25.北

26.

若函數(shù)/（X）在區(qū)間［1,3］上連續(xù)，并且在該區(qū)間上的平均值是6,則|J（I）公

微分方程丁=3，滿足初始條件、|/=0=2的特解是

27.

(-1)"g1

需級數(shù)X的和函數(shù)為

2”

28.

設(shè)區(qū)域D為），="/，］=/圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域?則|也小，=

29.o

若以3=則立空2=

30.心門…Jd.r

三、判斷題（10題）

）

A.否B.是

方程V=吉芳分離變量可化為（1+：戶1+5先

A.否

B.是

33.

極限5（串）'，=/

A.否B.是

若［im""+''=4,則a=4,4=-4.

34.eA.否B.是

lim(12—3/)=linrr2—3liirtr=oo—oo=0.

---r*0x*0.二=

35.A.否B.是

36.

關(guān)Jsin(j+cosT)dj-=0.()

A.否B.是

37.

曲線y=V-3V+2丁一1的拐點為(l.D.()

A.否B.是

lim---=1.

38.，…工A.否B.是

39.

如果函數(shù)/<J)在(a,6)內(nèi)單調(diào)增加?則函數(shù)一/Q)在(。/>)內(nèi)單調(diào)減少.

A.否B.是

40函數(shù).v=ln(2e?則/=鼠否B是

四、計算題(5題)

計算「也『也&，.

JUJry

41.

42.

設(shè)J=M"）由方程2=1+即（D確定的隱函數(shù),其中q為可導(dǎo)函數(shù).求/次

43.

設(shè)“=+e-.M”（1.—1.0）.P（3,—3,1）,求函數(shù)"在點Mo處沿方向/=M“戶的

方向?qū)?shù).

44.

12.如圖，曲線段的方程為y=八力，函數(shù)/（工）在區(qū)間［0,“］上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).試求定積

分j：r/'（i）dj表示的圖形面積.

第12題圖

求不密積分一二匚dr

J，9一才“

45.

五、證明題（2題）

證明：當(dāng)彳＞1時＞

In.r1十"r

46.

已知向量組a./Ly線性無關(guān).而向量組a./Ly.ij線性相關(guān).試證明:

（1）向量年一定可以由向量組a線性表示；

（2）問題（1）中的表不法是唯一的.

47.

六、應(yīng)用題（5題）

48.

求拋物線》=1—＞及其在點（1.0）處的切線和y軸所圍成圖形繞.、，軸旋轉(zhuǎn)一周所成

旋粘體的體積.

49.

某地區(qū)防空洞的截面擬建立上半圓卜,矩形的形狀.截面的面積為5m，問底寬為多少

時才能使截面的周長最小？

求由y=（.——1）（I一2）與才軸圍成圖形的面積.

50.

51.

25.將周長為2P的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一個圓柱體,矩形的邊長各為多少時，才可

使圓柱體的體積最大？

某商品的需求量Q關(guān)于價格P的函數(shù)為。=75-P2.

（1）求P=4時的需求的價格彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義；

（2）P=4時，若價格提高1%，總收益如何變化.

_（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

參考答案

1.D

[答案]D

【精析】E(X)=3.E(X?-3)=E(XD-3=11.則E(XD=14,D(X)=E(X-)-

[E(X)]2=14-9=5,D(3X)=9D(X)=45.

[答案]D

【精析】因為當(dāng)1-0時sin2x?2],In(1+2])?2工,

2口所以當(dāng)工-＞。時ln(l+2x)?sin2w.故應(yīng)選D.

3.D

【精析】V=ae，1=de,了

［答案］c

【精析】f/'(er)ercLrf/(e，)d(e，)=F(eD+C,故選C.

4.Crr

5.C

［答案」c

【精析】令/=+1,則1=￡—1,/(.r+1)=/(?)=(1—1尸,則/(“、)=(1—1)?.

故應(yīng)選C.

【精析】lim.==0.

/n-*QO。3

6.D

【答案〕B

【精析】因為lim加立=lim2?當(dāng)紅=2lim寫紅=2,故選B.

7Bif”JCt―??-?1,Lx

8.C

［答案］c

【精析】要使函數(shù)f(x)在1=0處連續(xù)，必有l(wèi)im/(x)=limf(j)=/(0).所以〃=

ix*0-

ln(1+3/)

sinx?arctan—+

3.故當(dāng)《=3時?/1)在工=0處連續(xù).

9.C

[答案:]C

【精析】A項為非奇非偶函數(shù);B項,/(一公=e:+e，=八冷，為偶函數(shù);C項」(一/)=

e'—e'=一(e'—e')=—./'(J).為奇函數(shù)；D項./(一.r)=(—.r)sin(-J)=usint=

fQ),為偶函數(shù).故應(yīng)選c

［答案1B

--.r=i

【精析】因為Iim3三~二?…lim亞=1.故應(yīng)選B.

n7T1-?<?/

-2彳一1

而limr'sin1=0,lim—n，-=0.lim迎^=2.故A、C、D錯誤.

10.B…r1''廠T''

ll.A

［精析】微分方程可化為_y'+g，=—4了.則通解為_y=eTM(—j4HeH"d.r+C)=

工"一，(一Jl.r3djr+=jr-2(—H*+C)=二一.r2.

將初始條件>|=1代入得C=2.故原方程的特解為>=馬一1.

Ir—l.r

［答案］C

「，+2irJ、I2句

【精析】F(J)=eE'sinfdf=一鏟*'=一鏟〃+鏟”=0.

12.CJr,

13.C

［答案］C

【精析】切線斜率y］,r=(ln_r+I)L「=1,當(dāng)上=1時，y=0,所以切線方程為

y=.r-1?即.r-y-］=0.

［答案］D

,2.?十三

【精析】lim2ML3=］而_/?故選D.

3〃I1"f?ni13

J十~2

14.D"

15.B

【精析】設(shè)所求直線的方向向量是s，宜線L的方向向量為SI=(3.2.1).L2的方向向

量為s2=(2.1.—1).則由題意可得

iJk

s=s}Xs2=321=(—3.5.—1),

21—1

故所求直線方程為土—==三二士

-3o-1

16.A

［答案1A

【精析】若AXC=8.且A和C為”(”22)階可逆的方陣.則AX=BC二因此X=

A，次？?成立.

17.B

［答案1B

【精析】設(shè)點B的坐標(biāo)是(」”.*).由/可知粉=:，-6.)，一3.之一2}.AB的中點

坐標(biāo)為(上尹-上尹?二尹晨因為AI兩點關(guān)于平面對稱,所以益平行于z軸.

所以.r—6=0.>一3=0.即丁=6.y=3.又AB的中點("法，Q：，"?)在

平面上.所以z+2=。,即u=-2.故應(yīng)選B.

18.D

［答案：］D

［精析］lim\4r(，x+a--fx)=lim"瓜————=lim-"----=-y=1.

iVx+a+/rL*J］+.+］'

故a=2.

19.C

［答案1c

【精析】.y'=2cos.r+2,r.y<0)=2,且當(dāng)工=0時.y=。.故曲線在,r=0處的切線

方程為y—。=2(才-0),即2J—y=0.

20.C

［答案］C

【精析】AU8.則AU4=6.8c：A.故片UB=K,由德摩根律可知而=A\JB

=A.

21.

7(61n3+3)

【精析】/'(，)=2.rln.r+J-.

?/［〃(/)［=/［/?(/)］?//(/)|,=(I=/(3)-7=7(6ln3+3).

Cl/r=i>

22.

8冗

【精析】|—ydr+id?—||［1—(—1)［dxdy=2?4久=87t.

23.

3

2

【精析】函數(shù)定義域為R.11令，Q)=3—2①=0.可得函數(shù)的駐點工

在了=得的左右兩側(cè)鄰域變號.故原函數(shù)的極值點為x=y.

24.

［答案］9

【精析】依題意得yi,r=3=-j=4=3,所以k=9.

x3

25.

%(之一1)

z

［答案1必/

2

【精析】設(shè)F&■y,?)=e—xyz?則Fr=-yz?尸二=-ar).

紅=一乙=百-w=>-1)

。之F,yzz

26.12

［答案112

【精析】由積分中值定理可得，存在fe口用上使得^八工)"=/(豺(3-1),又

/(￡)=6,所以J/(J-)CLZ-=12.

27.

v=2ex

【精析】，=,是可分離變量微分方程,變量分離并兩端積分(《dy=［d.r.ln|y|=

■r+G.解得通解為y=CeL把7=0,y=2代人通解中可得C=2,所以原方程的特

解為y=2e1

28.

［答苞就

【精析】因為p=lim|也』=lim（=?，所以收斂半徑

R=2.收斂區(qū)間為（一2.2）.當(dāng)工=-2時級數(shù)化為一X3?發(fā)放.當(dāng)H=2時級數(shù)化

為2仁戶.發(fā)散.所以級數(shù)的收斂域為（-2,2）.令SQ）=''',則

(―1Y'nt"1,、

S(/)<k=-----------dz)

<>“=i/1」"2W

=2(-1)1；/*"=2(—尹=2(—齊—1=

2”2+工

rt-Ilt-t乙If—II乙

則(「-2

S(.r)=S⑴df)'=(—）

2十才(2+

29.

3

=f(日一f)dw=(—1~.2、3)1=j_

【精析】Hr<1.1

Jo33o-T"

30.

［答案］2.rg3;)

d/(a，)_‘)?2-dr

,,、【精析】=2xg(Jr1).

29.rg（.廠）

31.N

［答案］x

1d.r=[

【精析】d.r=I------—d.r=arcsineIC.

，1一Jyn77r

32.Y

-O'+y^dv=v(.r+1)^1+y

【精析】dy=+Ida—(1+--jdv

J=?r+xydi.r(l+v)

33.Y

［答案］7

hm名

【精析】㈣串）’=!呵=e.

34.Y

【精析】當(dāng)2時，/—2f0Jim=4.則lim(<rr+6—4)=2a+6—4

一2JT-Z12

=0?即〃=4—2。?

所以lim竺士三=lim"士二券二2=1廝絲二二件=&=4,所以6=—4.

X*2XI-2XZrTX4

35.N

【精析】因為lim/=0.lirru=0.所以J=0—0=0.

j.Or-Qj-0-3)

［答案］V

【精析】由于定積分「sin(.r4-cos.j)d,7是個常數(shù).故其導(dǎo)數(shù)為0.

36.YJ1

37.N

［答案］X

【精析】由函數(shù)y=/—3/+2x—1可得y=3〃—61+2,y"=6?-6.

令)，=0.即6-r—6=。.則1=1.當(dāng)JT〉1時?y">0;當(dāng)xV1時._y"V0.

又當(dāng)才=1時，>=-1,所以可得為函數(shù)》=>-312+21-1的拐點.

注：也可通過驗證點(LD不在曲線上,可知該命題錯誤.

【精析】當(dāng)/■*8時o，sinz為有界函數(shù)，故lim血=0.

38.N1廠2/

39丫【精析】由函數(shù)的單調(diào)性可得出.

【精析】3，=六=1"=0.

40.Y2e

41.

【精析】]心/?&丫=[jf-vsinyjf1sinvv.

av—.dy

J?|J./yJ，?>寸yeny

(siny-ysiny)dy

Jo*

jiri

cosy+ycosy+(一cosjOdy

'0''nJc

I

—cosl+1+cosl—sinj,

=1—sinl.

42.

【精析】令FQ,…，之)=之一1一.呼(之)?貝ijFx=-1=-.F：=1一沖'(之)，

空=_&=]a之=_Fy=

drF:]一呼，(w)，F(xiàn)x1-y(p(sr)'

43.

【精析】:而了=(2.—2,】).二I而了|=々+(-2尸+1=3,

.221

?\COSa=->COS/?=——.COS/=—.

?5OO

C，九I1?h/Iy1

又三一=v=—1=.r=1=c*=1,

r/.rI<).-].?><i.-i.<t></yIn.-i.mJc(].-].??)<].-).?)

=-I><+IX-+IX=-1

^I??T(4)T-

44.

【精析】||.zd/(.r)=xf(jr)—|/(/)(L="(4)—|顯

J0JD0Jo'J0

然a/(“)表示矩形AB()C的面積.［：/(.r)cLr表示曲邊梯形ABOD的面積,所以原積分

的面積即為兩者之差，即是曲邊三角形ACD的面積.

45.

=arcsin*+/9-?+C

46.

【證明】構(gòu)造函數(shù)F(.r)=(1+.r)ln(14-.r)—.rln.r?F(1)=21n2>().

則F(.r)在[1,4-上可導(dǎo)，F(xiàn)'(/)=ln(1+.r)—ln.r=In1+—j>0,

所以F(^)在[1,+—)上單調(diào)遞增，于是F(.r)>F(l)>0,x6口，+8),

即(1+.r)ln(l+.r)>，瓜八所以當(dāng)/>1時」叫:、)>丁一.

Inj-1+J-

47.

【證明】（1）因為a.6人］線性相關(guān),所以存在不全為零的數(shù)M一使得

島a+-y+艮TJ=0.

假設(shè)品=0,則此時存在不全為零的數(shù)島?&出.使得

k:a+k：p4ktY=0.

與a./Ly線性無關(guān)矛盾.所以后￥0.

此時1/=一?a一夕夕一：，?即向量可由向量組aQy線性表示；

島島島

（2）由（1）得7}=—￡a—ga-/7*

島??k、

假設(shè)存在另夕I'一組數(shù)5?a2，以？?使得=a）a+a/+aj?

兩式相減得?0=<?i+*）。+（即+售）P4（出+￡）7.

k、k?瓦

因為向量組a1?y線性無關(guān).

此時必有a{+p-=O.a,+》=0?七十餐=0,即di=—*.a2=—p

k、Kik\k,k（

即向量TJ可以由向量