第09講直角三角形全等的判定

第9講直角三角形全等的判定【知識點睛】“HL”：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等Rt△是特殊的三角形，所以三角形全等的判定方法對于直角三角形全部適用，故兩直角三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL【類題訓(xùn)練】1．如圖，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的條件是（）A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法HL即可直接得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故選：C．2．在如圖中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于點D，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．△ABE≌△ACF B．點D在∠BAC的平分線上 C．△BDF≌△CDE D．點D是BE的中點【分析】根據(jù)全等三角形的判定對各個選項進(jìn)行分析，從而得到答案．做題時，要結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法逐個驗證．【解答】解：A、∵AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A＝∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正確；B、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE故點D在∠BAC的平分線上，正確；C、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正確；D、無法判定，錯誤，故選：D．3．如圖所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點E，若∠B＝28°，則∠AEC＝（）A．28° B．59° C．60° D．62°【分析】根據(jù)∠C＝90°，AD＝AC，且AE＝AE，求證△CAE≌△DAE（HL），∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，再由∠C＝90°，∠B＝28°，求出∠CAB的度數(shù)，然后即可求出∠AEC的度數(shù)．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點E，且AE＝AE，∴△CAE≌△DAE（HL），∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故選：B．4．如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，則需要添加的條件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD【分析】根據(jù)兩直角三角形全等的判定定理逐個判斷即可．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，A．AD＝CB，BD＝DB，符合兩直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本選項符合題意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合兩直角三角形全等的判定定理AAS，不是兩直角三角形全等的判定定理HL，故本選項不符合題意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合兩直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本選項不符合題意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合兩直角三角形全等的判定定理SAS，不是兩直角三角形全等的判定定理HL，故本選項不符合題意；故選：A．5．如圖，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，點P和點Q從A點出發(fā)，分別在線段AC和射線AX上運(yùn)動，且AB＝PQ（不考慮PQ＝0的情況），當(dāng)點P運(yùn)動到AP＝5或10，△ABC與△APQ全等．【分析】分兩種情況：①當(dāng)AP＝BC＝5時；②當(dāng)AP＝CA＝10時；由HL證明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出結(jié)果．【解答】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ＝90°，分兩種情況：①當(dāng)AP＝BC＝5時，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②當(dāng)AP＝CA＝10時，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；綜上所述：當(dāng)點P運(yùn)動到AP＝5或10時，△ABC與△APQ全等；故答案為：5或10．6．如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于點O，連接AO，則圖中有5對全等的直角三角形．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)定理解答．【解答】解：∵高BD、CE交于點O，∴∠AEO＝∠ADO＝90°，圖中的全等的直角三角形有：①在△AEC與△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（AAS），∴∠ABO＝∠ACO，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠CBO＝∠BCO，∴OB＝OC；②在△AEO與△ADO中，，∴△AEO≌△ADO（AAS），③在△BOE與△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；④在△BCE與△CBD中，，∴△BCE≌△CBD（AAS）．共有4對．⑤在△AOB與△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS）．共有5對．故答案為：5．7．如圖所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)，則在下列條件中選擇一組，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③（填入序號）①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF．【分析】根據(jù)BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD，選擇①可利用AAS定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF；選擇②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF；選擇③可利用HL定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF；選擇④不能定理證明Rt△ABE≌Rt△DCF．故答案為：①②③．8．在課堂上，老師發(fā)給每人一張印有Rt△A'B'C'（如圖所示）的卡片，然后，要同學(xué)們嘗試畫一個Rt△ABC，使得Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．小趙和小劉同學(xué)先畫出了∠MBN＝90°之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．老師評價：他倆的做法都正確．請你選擇一位同學(xué)的做法，并說出其作圖依據(jù)．我選小劉的做法（填“小趙”或“小劉”），他作圖判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的依據(jù)是SAS．【分析】分別根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵小劉同學(xué)先確定的是直角三角形的兩條直角邊，∴確定依據(jù)是SAS定理．故答案為：小劉，SAS．9．如圖，MN∥PQ，AB⊥PQ，點A、D、B、C分別在直線MN與PQ上，點E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，則AB＝7．【分析】可判定△ADE≌△BCE，從而得出AE＝BC，則AB＝AD+BC．【解答】解：∵M(jìn)N∥PQ，AB⊥PQ，∴AB⊥MN，∴∠DAE＝∠EBC＝90°，在Rt△ADE和Rt△BCE中，，∴△ADE≌△BEC（HL），∴AE＝BC，∵AD+BC＝7，∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．故答案為7．10．如圖，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P點從B向A運(yùn)動，每分鐘走1m，Q點從B向D運(yùn)動，每分鐘走2m，P、Q兩點同時出發(fā)，運(yùn)動4分鐘后，△CAP與△PQB全等．【分析】設(shè)運(yùn)動x分鐘后△CAP與△PQB全等；則BP＝xm，BQ＝2xm，則AP＝（12﹣x）m，分兩種情況：①若BP＝AC，則x＝4，此時AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，則12﹣x＝x，得出x＝6，BQ＝12（m）≠AC，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，設(shè)運(yùn)動x分鐘后△CAP與△PQB全等；則BP＝xm，BQ＝2xm，則AP＝（12﹣x）m，分兩種情況：①若BP＝AC，則x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，則12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12（m）≠AC，此時△CAP與△PQB不全等；綜上所述：運(yùn)動4分鐘后△CAP與△PQB全等；故答案為：4．11．如圖，點A和動點P在直線l上，點P關(guān)于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直線l上有一點C在點P右側(cè)，PC＝4cm，過點C作射線CD⊥l，點F為射線CD上的一個動點，連接AF．當(dāng)△AFC與△ABQ全等時，AQ＝12或2或cm．【分析】根據(jù)直角三角形的全等的判定解答即可．【解答】解：當(dāng)P在A點的右側(cè)時，AC不可能等于AQ，要使三角形全等，只能AC＝AB要使△AFC與△ABQ全等，則應(yīng)滿足，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝AP，PC＝4cm，設(shè)AQ＝3x，AB＝4x，則有4x﹣3x＝4，∴x＝4，∴AQ＝12（cm），當(dāng)P在A點的左側(cè)時，若AC＝AQ（即C，Q重合），可得AQ長為2；若AC＝AB，可得AQ長為，故答案為：12或2或．12．如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件AB＝ED，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并寫出證明過程．【分析】根據(jù)題意可得∠B＝∠D，∠BAC＝∠DEF＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理可知只需要添加一條對應(yīng)邊相等即可，由此求解即可．【解答】解：添加條件AB＝ED，證明如下：在Rt△ABC和Rt△EDF中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA）．13．如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB＝CD，BE＝CF．求證：Rt△ABF≌Rt△DCE．【分析】由于△ABF與△DCE是直角三角形，根據(jù)直角三角形全等的判定的方法即可證明．【解答】證明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．14．如圖，在△ABC中，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足，AE＝CF．求證：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理證明△ACE和△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因為∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根據(jù)平角定義可得∠ACB＝90°．【解答】證明：如圖，在Rt△ACE和Rt△CBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．15．如圖，AC與BD相交于點O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．說明OD＝OC成立的理由．【分析】由DA⊥AC，DB⊥BC，得到∠A和∠B都為直角，在直角三角形ACD和BCD中，由已知的邊AC＝BD，再加上公共邊DC，利用HL可得三角形ACD與三角形BCD全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，可得∠BDC＝∠ACD，最后根據(jù)等角對等邊可得證．【解答】證明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知），∴∠A＝∠B＝90°（垂直定義），在Rt△ADC和Rt△BCD中，，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），∴∠BDC＝∠ACD（全等三角形的對應(yīng)角相等），∴OD＝OC（等角對等邊）．16．如圖，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD與A'D'分別為BC，B'C'邊上的中線，且AD＝A'D'．求證：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．【分析】根據(jù)HL證明Rt△ACD和Rt△A'C'D'全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出CD＝C'D'，進(jìn)而利用SAS證明全等即可．【解答】證明：在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中，，∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'（HL），∴CD＝C'D'，∵AD與A'D'分別為BC，B'C'邊上的中線，∴CB＝C'B'，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）．17．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BD＝CD．試說明BE＝CF．【分析】先證明△AED≌△AFD，得出AE＝AF，再證明△ABD≌△ACD得出AB＝AC，從而得出BE＝CF．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°．∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD．∴AE＝AF，DE＝DF．∵BD＝CD，∴△BED≌△CFD（HL）．∴BE＝CF．解法二：利用角平分線的性質(zhì)定理，可以直接證明DE＝DF，不需要全等三角形的性質(zhì)證明．18．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF．（1）如圖，當(dāng)點O在BC邊中點時，試說明AB＝AC；（2）如圖，當(dāng)點O在△ABC內(nèi)部時，且OB＝OC，試說明AB與AC的關(guān)系；（3）當(dāng)點O在△ABC外部時，且OB＝OC，試判斷AB與AC的關(guān)系．（畫出圖形，寫出結(jié)果即可，無需說明理由）【分析】（1）證△BOE≌△COF，可得∠B＝∠C，通過等角對等邊，得出AB＝AC；（2）與（1）類似，在證得△BOE≌△COF后，得∠OBE＝∠OCF，OB＝OC；則∠OBC＝∠OCB，可證得∠ABC＝∠ACB，根據(jù)等角