2月大數(shù)據(jù)模擬卷04（山東、海南專用）（解析版）高中數(shù)學

2月大數(shù)據(jù)精選模擬卷04(山東、海南專用)

數(shù)學

本卷滿分150分，考試時間120分鐘。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.設集合/={中>一1},集合N={x卜2c<1},則Mp|N=()

A.(-2,-1)B.(-1/)C.(-1,+co)D.(-2,+oo)

【答案】B

【詳解】

已知集合”={%1>一1},集合N={x|-2<x<l},則=

故選：B.

.、2021

2.當復數(shù)二Bn時，實數(shù)。的值可以為()

U+aiJ

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】C

【詳解】

/j?、2O21

當。=o時，J*=1。"所以〃=0不滿足，故A不正確.

(1+山)

1,-I?/1?\2021

當。=1時，---；=-~~；=T'，所以(———=(-z)2°21故B不正確.

1+51+i(1+出,

]?"1I?，[?x2021

當。=一1時，Y=K=i,；上絲=產m=3滿足，故C正確.

1+ciiI—，\l+ai)

由上可知，選項。不正確.

故選：c

3.若實數(shù)。，b,c滿足蘇=5,b=log25,5。=3,則()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【詳解】

i

3

因為a=5,所以1<a=\[5<=2?b=log25>log24=2,

因為5。=3,所以，=啕3<1密5=1,

所以c<a<Z?,

故選：D

4.為響應國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中

選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法

有（）

A.48種B.36種C.24種D.12種

【答案】B

【詳解】

解：由題意可知，分三步完成：

第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；

第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；

第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法，

根據(jù)分步計數(shù)原理，共有2x3x6=36不同的選取方法，

故選：B

5.琵琶、二胡、編鐘、簫笛、瑟、琴、垠、笙和鼓這十種民族樂器被稱為“中國古代十大樂器”.為弘揚中

國傳統(tǒng)文化，某校以這十種樂器為題材，在周末學生興趣活動中開展了“中國古代樂器''知識講座，共連續(xù)

安排八節(jié)課，一節(jié)課只講一種樂器，一種樂器最多安排一節(jié)課，則琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三種

樂器互不相鄰的概率為（）

111

A.-----B.-C.—D.—

36061515

【答案】B

【詳解】

從這十種樂器中挑八種全排列，有情況種數(shù)為43從除琵琶、二胡、編鐘三種樂器外的七種樂器中挑五種

全排列，有用種情況，再從排好的五種樂器形成的6個空中挑3個插入琵琶、二胡、編鐘三種樂器，有大

種情況，故琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三種樂器互不相鄰的情況種數(shù)為用用.

萬⑷1

所以所求的概率p==-

Ao6

2

故選：B.

3H.prxc0v-

6.函數(shù)〃x)=Jc°S4的部分圖象大致是()

【答案】D

【詳解】

解：函數(shù)的定義域為k|xw。｝,故排除A,

3兇?cos2x

=—“X)，故函數(shù)為奇函數(shù),

-x

由于時，cos2x>0,故時，/(x)=-COS>0>故排除BC；

所以D選項為正確答案.

故選：D.

7.克羅狄斯?托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸

四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號，根據(jù)以上材料，

完成下題：如圖，半圓。的直徑為2,A為直徑延長線上的一點，。4=2,B為半圓上一點，以為一

邊作等邊三角形A8C,則當線段0C的長取最大值時，ZAOC=()

3

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【詳解】

因為OBAC+OABCNOCAB，且△A5C為等邊三角形，08=1,04=2,

所以OB+Q42OC，所以OCW3,所以OC的最大值為3,取等號時NO8C+NQ4C=180°，

所以cosNO8C+cosNQ4C=0，不妨設A3=x,

r2+1-9X2+4-9r-

所以+=0,所以解得》=嶼，

2x4x

9+4-71

所以cosNAOC=----------=一，所以Z4OC=60°,

2x2x32

故選：C.

8.若/-"Nlnx+a對一切正實數(shù)》恒成立，則實數(shù)4的取值范圍是()

A.(一002B.(-00,1]C.(-00,2]D.(-00,e]

【答案】B

【詳解】

設/(x)=e*-"-Inx-a,(x>()),則/(%)=產"一Inx-a2。恒成立，

由_f(x)=ei-J令〃(x)="-〃—：，則〃'(力=01+5>0恒成立，

所以〃(x)=e』—L(x>0)為增函數(shù)，令，-"一,=0得兀=毛,(％>0),

XX

當0＜%＜/時，〃（同＜0,當天）＜工時，力（%）＞0；

所以“X）在（0,/）遞減，在（毛,”）遞增，故〃力在x=%處取得最小值,

4

故最小值/（不））=6"-"一仙為一420，因為e*i='-，則x（）-a=TnXo

工0

所以一。一。20恒成立，得2。4」-+/,乂因為2S」-+X0（當且僅當題=1時等號成立）；所以

玉）xo*0

2aW2即aVl.

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中人、A3、A,是道路網(wǎng)中位于

一條對角線上的4個交匯處.今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙兩人分別要到N、M處，他們分別隨機地選

擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達N、M處為止.則下列說法正確的是（）

A.甲從M到達N處的方法有120種

B.甲從M必須經過&到達N處的方法有9種

O1

C.甲、乙兩人在A,處相遇的概率為——

-400

41

D.甲、乙兩人相遇的概率為訴

1\A/

【答案】BCD

【詳解】

A選項，甲從M到達N處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，

則甲從M到達N處的方法有=20種，A選項錯誤；

B選項，甲經過4到達N處，可分為兩步：

第?步，甲從M經過4需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為C；種;

第二步，甲從4到N需要走3步，其中1步向卜一走，2步向右走，方法數(shù)為C；種.

，甲經過4到達N的方法數(shù)為C；?C；=9種，B選項正確；

5

C選項，甲經過A2的方法數(shù)為G-C；=9和I,乙經過A2的方法數(shù)也為G-G=9種,

???甲、乙兩人在4處相遇的方法數(shù)為C；?C；?C；?=81,

8181

甲、乙兩人在人處相遇的概率為=碗，C選項正確;

D選項，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在4、&、&、4處相遇，

若甲、乙兩人在4處相遇，甲經過4處，則甲的前三步必須向上走，乙經過A處，則乙的前三步必須向左

走，兩人在4處相遇的走法種數(shù)為1種;

若甲、乙兩人在4處相遇，由c選項可知，走法種數(shù)為81種;

若甲、乙兩人在4處相遇，甲到4處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走,

乙到4處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走,

所以,兩人在4處相遇的走法種數(shù)為=81種:

若甲、乙兩人在處相遇，甲經過A4處，則甲的前三步必須向右走，乙經過處，則乙的前三步必須向

下走,兩人在A處相遇的走法種數(shù)為1種;

乙兩人相遇的概率=史_,口選項正確.

故甲、*81+81+1

400100

函數(shù)/(x)=Asin(69%+^)[A>0,(y〉0,網(wǎng)<y

10.的部分圖像如圖所示，下列結論中正確的是（）

24

A.直線》=一彳是函數(shù)/（X）圖像的一條對稱軸

6

(jrk才\

B.函數(shù)/(x)的圖像關于點-^+5一,。ZeZ對稱

jr

C.函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間為一記+k兀，記+k兀kwz

D.將函數(shù)〃x)的圖像向右平移看個單位得到函數(shù)g(x)=sin(2x+?)的圖像

【答案】BC

【詳解】

由圖知：/(x)1Tli門=-1，所以A=l，

L、「T1冗冗兀E口H2萬"

因為一二-------——,T=冗、即---=71?69=2o

41234s

所以/(x)=sin(2%+0).

又因為/(?)=sin等+°]=0，

22

所以1乃+9=%"，0=一§乃+左"，keZ.

又因為MIc',所以8=?,所以/(x)=sin(2x+?)

對選項A,/(-葛)=411(一4+?)=0力±1,故A錯誤.

對選項B,令2%+2=人左，解得》=-乙+包，keZ.

362

1k兀A

[--+—,0I,keZ,故B正確.

77'JI'H

對.選項C,----F2k兀W2,xH—<—F2k兀,Z€Z,

232

TT

解得—‘+女乃<%<t+左乃，

1212

57rTC

所以函數(shù)/(x)的增區(qū)間為一泊+k兀，記+k7T,k&z,故C正確.

對選項D,g(x)=si32(x-奪+/=sin[2x+^],故D錯誤.

故選：BC

7

11.已知四邊形ABC。是等腰梯形（如圖1）,AB=3,DC=\,NB4O=45°,DE工AB.將A4）E沿

OE折起，使得AELEB（如圖2）,連結AC，AB，設M是AB的中點.下列結論中正確的是（)

C.〃平面ACOD.四面體ABCE的外接球表面積為57

【答案】BD

【詳解】

因為DELAB，ZBAD^45°,

所以AADE為等腰直角三角形，過C做CFLAB，交A8于凡如圖所示:

所以△AnEgABb，即AE=BF,又A8=3,。。=1,

所以AE=EF=FB=DE=CF=1,則AO=8C=及，

對于A：因為4￡_L￡B，AE1DE-3E,OEu平面BCDE,

所以AE_1_平面BCDE,BCU平面BCDE,

所以AEL5C,

若BC_LA￡>,且AE,A0u平面

則BC±平面ADE,

所以8C_LQE

與已知矛盾，所以BC與AO不垂直，故A錯誤；

對于B；連接MC,如圖所示，

8

在RtzM)EC中，DE=DC=l,所以EC=a，又8C=0，EB=2,

所以+=q2,所以ECLBC,

又因為AE_L3C,AE,ECu平面AEC,

所以3C_L平面AEC,ACu平面AEC,

所以BC_LAC，即AA5c為直角三角形，

在中，AE=l,EC=y/i,所以AC=出，

因為M是AB的中點，

所以AAMC的面枳為RMABC面枳的一半，所以S=1X-!-XV3XV2=—.

“'we224

因為。ELAE,DELEB,

所以。E即為兩平行線CO、EB間的距離，

V

因為腺一AA/c=c-AEM)設點E到平面AMC的距離為h,

則TxSJMKxDE=—xSJMC即;x；xlxlxl=；xxh,

JJD乙JiT

所以/z=，5,所以點E到平面AMC的距離為亞，故B正確；

33

對于C：因為EBHDC,￡B(Z平面ADC,DCu平面ADC,

所以EBH平面ADC,

若EMU平面ACD,且EBcEM=E,EB,EMu平面AEB,

所以平面ACO〃平面AEB,與已知矛盾，故C錯誤.

對于D：因為EC1BC,所以ABCE的外接圓圓心為EB的中點，

又因為AE_LEB，所以△ABE的外接圓圓心為A8的中點M,

根據(jù)球的幾何性質可得：四面體43CE的外接球心為M,

9

又E為球上一點，在/SBE中，EM=-AB=—

22

所以外接球半徑R=ME=Z

2

所以四面體ABCE的外接球表面積S=4pR2=4p?［5p,故D正確.

12.若/(X)在區(qū)間［。,可上有恒成立，則稱M為了(X)在區(qū)間［a,目上的下界，且下界M的

最大值稱為/(x)在區(qū)間［區(qū)可上的下確界，簡記為例小句.己知/(力是R上的奇函數(shù)，且

/(x+8)=/(-x),當xe［(),4］時，有f(x)=T.若%>(),2>0,不等式叫。用44/《2婦恒成立，

下列結論中正確的是()

A.直線x=8是函數(shù)y=/(x)圖象的一條對稱軸

B.若左=7,則2的最大值為4

C.當xe［100/16］時，/(x)=4-|x-108|

D.若/I=§,則&45,9］是不等式叫OHW/IM⑻恒成立的充分不必要條件

【答案】BCD

【詳解】

因為/(力是R上的奇函數(shù)，所以〃f)=—“X),

當xe［0,4］時，有〃x)=—x,所以x?-4,0］時，有/(X)=—/(—X)=T,

因為/(x+8)=f{-x)=-/(x),所以/(x+16)=-/(x+8)=f(x),

所以/(x)的周期為16,且〃X+8)=/(T),所以/(X)關于x=4對稱，

圖象如圖，

對于A,可知(8,0)是函數(shù)y=/(x)的對稱中心，直線％=8不是對稱軸，錯誤;

10

/以【071

對于B,若女=7,=^,M</lM,即/IW=4,正確;

MO7][U4]=-1,MO>7,714]

約7,14]

對于C,當工?4/2]時,函數(shù)經過(8,0),(4,-4),設解析式為y=4x+4,

-4=4占+瓦

所以《

0=8匕+4

當工￡［2,20］時?，函數(shù)經過(16,0),(12,4),設解析式為y=

4=12公+4k=—\

所以《[。=曲+4’解得J2y=-x+16,

4=16

所以xw［4,20］時,/(x)=4-|x-12|,因為周期為16,當xe［100,l16］時,

/(%)=/(x-96)=4-|(x-96)-12|=4-|x-108|,正確；

44

D.若；I=§,即必0.《§”憶以恒成立，當0＜女＜4時，叫＜“］＞=-4故存在矛盾；當后＞10

時，/0『4＞泮憶燈=丑一4)=一方也存在矛盾；因此，&在［4,10］上考慮，此時必0.=7,所

-4_

以叫女叫24=-3,即在收,2燈上的最小值大于等于一3,在［4,20］上/(乩”一3的范圍為［5,19］,所

3

僅25r1

以力解得此［5,9.5］,

因為［5,9］。［5,9.5］,所以左w［5,9］是丘［5,9.5］的充分不必要條件，正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若函數(shù)/(X)滿足當尤＞0時，f(x)=3x,當x＜0時，〃x)=/(x+l),則

3

【答案】-

2

【詳解】

因為1(峪3；<0,所以/(10g3g)=/(10g3g+1)=/(logs'!)

解:

因為logs'>。，所以/(lOg3|")=3"'2=|,

11

（3x-j=）的展開式中，常數(shù)項為

14..（用數(shù)字作答）

【答案】135

【詳解】

。了-十）展開式的通項為1華=C：?（3X）6”.C（巾七C

3

令6--k=0,可得A=4,

2

因此，展開式中的常數(shù)項為豈=以?（—1）402=135.

故答案為：135.

15.已知拋物線C：y2=2px（p>o）的焦點為尸，點尸是拋物線。上一點，以尸為圓心，半徑為。的

圓與PE交于點。，過點P作圓尸的切線，切點為A，若|/%|=gp,且△OPQ的面積為乎，則夕=

【答案】2

【詳解】

因為|/利=6",|E4|=p,PAA.FA所以目=2"因為|F0|=p,所以。是線段Pb的中點，因

為△OPQ的面積為斗，所以△OPE的面積為?又由|P/|=2p=%+5可得號=卷，所以

12

Np=±Gp,所以S^OPF==6,解得p=2.

16.在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱

ABC—AgC是一個“塹堵”，其中A6=8g=2,BC=1,AC=5則這個“塹堵”的外接球的表面積

為.

【答案】9乃

【詳解】

因為A5=2,BC=1,AC=6,所以AB2+BC2=4。2,所以

所以可將三棱柱ABC-A4G補成一個長方體，如圖：

_________3

則該長方體的對角線長等于這個“塹堵”的外接球的直徑2H，所以27?=萬J萬亓=3,所以/?二].

所以外接球的表面積為4萬R2=4乃xg)2=9萬.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①4S“=a：+2a“，②q=2,〃。用=2S“這兩個條件中任選一個，補充到下面橫線處，并解答.

已知正項數(shù)列(??｝的前〃項和為S,,,.

(1)求數(shù)列加,,｝的通項公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足log也=,且％=。也，求數(shù)列｛%｝的前"項和M”.

32

注：如果選擇多個條件分別進行解答，按第一個解答進行計分.

【詳解】

(1)選①時，當〃=1時，4%=。；+2%,因為q>0,所以4=2,

由4S?=a：+2a“，①

可得4S“+]=a“+J+2an+t,②

13

②一①得,4《川=<,-a；+2a,t+1-2an,

2

整理得an+i-a：-2a/l+l-2an=0,

所以（4+i+4J（4+i一4一2）=0

因為a.>0,所以

所以數(shù)列｛%｝是首項為2，公差為2的等差數(shù)列,

所以=2〃；

選②時，

因為皿“+1=2S?①

所以當〃22時-，（〃—l）q,=2S,i②

①一②得：〃4+i=（〃+1）”“，即---=----

①中，令"=1,得。2=2。］=4,紜=2適合上式

4

n-\n-232c

所以當2時，-------------x—x2=2〃

an-\4-2n—\n—2n—321

又〃=1,q=2=2x1

所以對任意〃eN*,=2〃

（2）因為log|“%-l即logM,,=〃T

323

所隊記

//-1

丁是%=。也=2〃x[g)

2Z7-I

A1,=2xl+4x-+6xf-^

+...+2c/2X—③

"3⑴

、2

1+…+2〃x(g)④

—M?=2x—+4x+6x<1Y

33

14

③一④得2M=2+2X!+2X[，]+2X[4]+...+2X]!1-2HX

33⑶⑴⑴

=2x1H---F...+I——2〃x

Q（4\/1Y,r

所以"〃='一'+〃X-

2UJ⑶

18.在如圖所示的平面圖形中，AB=2,BC＜，ZABC=ZAEC^~,AE與BC交于點尸，若

ZCAE=0,91

（1）用。表示AE，AF；

（2）求一取最大值時。的值.

AF

【詳解】

（1）山題知在AABC中，由余弦定理知：

AC2=AB2+BC2-lABBCcosB-

7t

所以AC=1,且NAC8=—,

2

IT57r

在△4CE中，因為E=一,Z.CAE=6,所以NACE=———6,

66

由正弦定理知：———=^~,所以AE=2sin（苧一，],

smZACEsin￡\6）

AQ1

在RRACP中，AF=——=——.

cos6cos。

15

八AE.八,f5/r八、八今精兀

(2)由(1)知：---=2cos^-sin——0,01澧,一，

AF(6)穆3

AE(5萬、廣

所以---=2cos。?sin----0=cos2+V3sin^cos0

AF\6J

l+cos2e+Gsin261.

=------------------=—4-sin2。+一,

22I6)

因為?I重A，所以+仔，苧］)

猿36<66J

rr-jrjri7C\

當26H—=—時，即。=—時，sin］2。+:|取最大值］,

626V6J

Ap

所以，生取最大值時，0=7-r.

AF6

19.如圖，在四棱錐P—A8CO中，A88為矩形，AD=PA=PB=2五,PA1PB，平面P46,平

面ABCD.

（1）證明:平面平面P6C;

（2）若M為PC中點，求平面AMD與平面5A〃）的夾角的余弦值.

【詳解】

（1）證明：因為平面P48_L平面ABC。，平面％Be平面ABCD=A3，

矩形ABC。中，DA±AB-所以04,平面Q4B

因為QBu平面B45，所以

又因為B4_LP8，DAHPA^A.ZMu平面「AO，

Q4u平面PAD

所以總上平面/^。.

因為PBu平面尸BC,所以，平面Q4O_L平面PBC.

（2）解：由（1）知。A_L平面Q45，取中點0，連結P。，則尸OLAB,

16

以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫Z,

則P(2,0,0,),A(0,—2,0),8(0,2,0),。(0,-2,2血)，M(1,1,V2)

則方=(0,0,-2揚，麗=(1,3,-0)，麗=(0,4,-2揚，

設平面AMD的一個法向量為?=（x,y,z）,

n-DA=Q]z=0

則〈一即《廠

n-DM=0[x+3y-j2z=0

令y=-l,則x=3,z=0,所以萬=（3,-1,。）

同理易得，平面的一個法向量為沅=（-1,1，夜）

所以cos<m,n>=-------=—j=——=------.

\m\-\n\710x25

由圖示，平面AMD與平面所成夾角為銳角，

所以平面AMD與平面5Ag所成夾角的余弦值巫.

5

20.體檢時，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對其血液采樣進行化驗，若結果呈陽性，則患有該

疾病;若結果呈陰性，則未患有該疾病.對于“（〃wN*）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式:一是逐份檢驗,

則需檢驗“次.二是混合檢驗，將〃份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結果為陰性，那么這"份血液

全為陰性，因而檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這“份血液究竟哪些為陽性，就需要對

它們再次取樣逐份檢驗，則〃份血液檢驗的次數(shù)共為〃+1次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為

4（0<〃<1）,而且各體檢人是否患該疾病相互獨立.

17

o

(1)若〃=—,求3位體檢人的血液樣本混合檢驗結果為陽性的概率；

9

(2)某定點醫(yī)院現(xiàn)取得6位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗方案：

方案一:采用混合檢驗；

方案二:平均分成兩組，每組3位體檢人血液樣本采用混合檢驗.

若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越‘'優(yōu)試問方案一、二哪個更“優(yōu)”?請說明理由.

【詳解】

解：(1)該混合樣本陰性的概率是

Q1

根據(jù)對立事件可得，陽性的概率為1--=-

99

(2)方案一:混在一起檢驗，方案一的檢驗次數(shù)記為X，則X的可能取值為1,7

p(X=l)=(V?『=p2；p(x=7)=l—其分布列為：

X17

PP11-“2

則￡(X)=7-6P2,

方案二:由題意分析可知，每組3份樣本混合檢驗時，若陰性則檢測次數(shù)為1,概率為(加了=p,若陽性,

則檢測次數(shù)為4,概率為1-P，

方案.:的檢驗次數(shù)記為y,則y的可能取值為2,5,8,

p(y=2)=p2；p(y=5)=c>(i-p)=2p(i-p)；p(y=8)=(i-/?)2；

其分布列為：

Y258

PP22p-2p2（1-P）2

則E（y）=2p2+5（2p-2P2）+8（l-p）2=8-6p,

E（y）-￡（X）=8-6/?-（7-6/72）=6/?2-6/7+l,

18

當0<p〈三走或史避<0<1時，可得E(X)<E(y),所以方案一更“優(yōu)”

66

當〃=三正或「=亙正時，可得￡(x)=￡(y),所以方案一、二一樣“優(yōu)”

66

當土正時，可得七(y)<E(x),所以方案二更“優(yōu)

66

21.已知函數(shù)〃力=亍.

(1)當“=1時，判斷函數(shù)/(力的單調性；

(2)若a>0,函數(shù)g(尤)=/(x)+；x2—x只有1個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

V*

解：(1)當“=1時，/(%)=—，定義域為R,

所以尸(力=詈?

當x<l時，/")>0,函數(shù)“X)單調遞增；

當%>1時，函數(shù)/(可單調遞減.

綜上所述，當a=l時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,1)上單調遞增；

在區(qū)間(1,+?)上單調遞減.

(2)因為a>0,函數(shù)g(x)=￡+；f,

,,、a(l-x}./ex-o'

所以g(x)=Iv1+x_]=(x_l)—―.

eVe)

當,x)=0時，得x=l,或x=lna.

①若lna=l,即。=e,則碇工廠。恒成立，函數(shù)g(x)在R上單調遞增，

因為g(O)=O,所以函數(shù)g(x)只有1個零點.

②若lna<l,即Ocave,

當xvlna時,g")>0,函數(shù)g(x)單調遞增；

當lna<x<l時，g?x)<0，函數(shù)g(x)單調遞減；

19

當X>1時，g")>(),函數(shù)g(x)單調遞增.

(I)當lna<0,即0<a<l時，g(lna)>g(O)=O>g(l),

又因為g(2)=1|>0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,2)上有1個零點，

故函數(shù)g(x)在R上至少有2個零點，不符合題意.

(H)當lna=O,即”=1時，，g(lna)=g(O)=O>g(l),

2

又因為g(2)=/>0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,2)上有1個零點，

故函數(shù)g(x)在R上至少有2個零點，不符合題意.

(III)當lna>0,即l<a<e時,，g(lna)>g(O)=O>g(l),

若函數(shù)g(x)只有1個零點，需

e2

解得9c”<e.

2

③若lna>l,即”>e,

當x<l時，g?x)>0,函數(shù)g(x)單調遞增；

當1(尤<lna時，g?x)<0，函數(shù)g(x)單調遞減；

當x>lna時，g?x)>0,函數(shù)g(x)單調遞增.

所以g(l)>g(O)=O,g(lna)=^ln2a>0

所以函數(shù)g(x)在R上只有1個零點.

綜上所述，當函數(shù)g(x)只有I個零點時，實數(shù)°的取值范圍是+8).

22/T"

22.已知0為坐標原點，橢圓+親?=1(。>方>0)的離心率6=拳，點尸在橢圓。上，橢圓C的

左右焦點分別為￡，K，的中點為。，△。耳。周長等于6+邁.

2

(1)求橢圓。的標準方程；

2

(2)W為雙曲線。：產―二=1上的一個點，由卬向拋物線后：％2=4》做切線4，/2,切點分別為AB.

20

（i）證明：直線AB與圓/+丁=1相切;

（ii）若直線AB與橢圓C相交于M,N兩點，求AOMN外接圓面積的最大值.

【詳解】

⑴設出國=2c,因為。為尸耳的中點,

所以△。耳。周長閨O|+1。01+|QE|=c+匹"I冏=a+c,

V6

a+c=V3+

所以《2,解得a=V3，b=c=，

c_V22

a2

所以橢圓C的標準方程為—+^-=1.

33

r2,工

(2)(i)由％2=4y得y=],,求導得y=—,

設A（Xi，y）,B（X2，y2）,則「y-弘=+（%-%），即（：y=土無一土,

224

同理：/,:>=選尤一名

"-24

設卬（天,盟），因為W為4，4的交點，所以蒞=1；士，%=竽，