2023年云南省保山市統(tǒng)招專升本高數(shù)自考真題(含答案)

2023年云南省保山市統(tǒng)招專升本高數(shù)自考

真題（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（20題）

1.

設(shè)函數(shù)y=y（z）由方程e"=h—y所確定，則dy|,=<,=)

A.2dlB.2

C.d.rD.3&r

2.

1.若函數(shù)/(.I)=lg(.r2—3^+2)的定義域?yàn)镕,函數(shù)g(.r)=lg(.r-1)+lg(x—2)的

定義域?yàn)镚.則()

A.FUG=0B.F=G

C.FCGD.FZ)G

3.

設(shè)/(.r)在［1,2］上可枳.且/(I)=l./(2)==—1.則|-

(

A.-1B.0C.1D.2

4.

廣義積分「eT'dr=()

?不存在B.一3C.-i-D.2

5.

當(dāng)彳—>0時(shí)與1—cost等價(jià)，則1im=()

r-*i?xsinj

A.0B.C.1D.8

6.

下列級(jí)數(shù)收斂的是()

y(-1)?_J—

A邑?+iB￡叩+：)

C.Vsin-D?羽

7.

]父=e—士+cos八[?

設(shè)函數(shù)y=j，(H)由參數(shù)方程J所確定?則孚=()

=d+sin?d/'r-n

A.0B.1C.2D.-2

8.

(1>)T-f1(ABr

設(shè)A.B都是”階方陣，|A|=-2,|B|=3,則=()

4nO2ir-1￡

A.~~z-B.-C.---D.-

3333

9.

若|a|=3"力|=4,且向量Q、b垂直?則|a+bI=()

A.-5B.5C.--12D.12

10.

當(dāng)上f0時(shí),下列無窮小量中與ln(l+2.r)等價(jià)的是()

A.xB.-yj'C.jr2D.2J

11.

,極限in看+-『工=(

3j-2—1+1

A.OB.3C.4-D.-1

12.

用待定系數(shù)法求微分方程y-y-6jr=1小的特解時(shí)，應(yīng)設(shè)V

B.a—e"

：u3

CT2(cur+b)cD.J+6)c'

13.

設(shè)八①)在［0,2］上連續(xù)，令，=2.，則|"(2T)d?=

A.jB.

C.2/⑺出D.j./(/)dz

14.

當(dāng)if0時(shí)3+/是sin.r()的無窮小.

A.高階B.低階C.同階D.等價(jià)

15.

aresin(1-x)

函數(shù)y=的定義域是()

A.[0,2]B.(1,+8)C.(1.2]口幻

16.

1十1

代數(shù)方程2+工父=0的根才)

3+

*34

A--nn

C.--

11D?一5

17.

aex?彳《0,

若/(X)=V1在才=0處連續(xù)，則a

rcos---F1,1>0

X

B.1

C.—1D.2

18.

已知d[e^/(x)]=e'dr,且已。)=0,則/(j)=

A.*+crB.c"-cz

C.c2r+c-D.j一5r

19.

1-sin_z-sina

lim=()

才x-a

A.0B.cost?C.1D.sin?

20.

設(shè)y=/"公),/?為可導(dǎo)函數(shù)，則用=()

aJr

A.sinj-2f(siirr2)B.cos/f(siirr2)

C.2j"siru2/'(sinj,)D.2^cos.r2f'(sin/)

二、填空題（10題）

21.

由方程arctan*=InJ個(gè)+.y?確定的隱函數(shù)y=J（J"）的導(dǎo)數(shù)=

X

已知.y=cos\r,則y"(-y)=

22.6

*1

23/1f1-e

,尸一1

24已知函數(shù)/Q）=＜（］一］），則點(diǎn)工二1是人力的間斷點(diǎn).

25設(shè)函數(shù)v=arctan2-r?則dy=

8

26哥級(jí)數(shù)-的收斂半徑口=

耗級(jí)效X(-1""?一1尸的和函數(shù)為

27.

I4

28函數(shù)N=eH'在區(qū)間內(nèi)是凸的.

29函數(shù)y—ln[ln(lnjr)]的定義域?yàn)?/p>

幫級(jí)數(shù)七(二一2)"的收斂域?yàn)?/p>

30.*=”4+1

三、判斷題(10題)

函數(shù)/lx)=亡與/(a)=In①的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.

31.A.否B.是

函數(shù)＜y=/'(1)在J-Q處可導(dǎo).則lim」)----.............—豐Jo).

32.2hA.

否B.是

33.

已知丫=ln[ccs(10+3./)」?則dy=—6.rtan(10+3/〉.()

A.否B.是

34.

lim1+2"=oo.()

/-0工

A.否B.是

35.

6.設(shè)函數(shù)/（二■）=siitr,rW［a骨］,由拉格朗日中值公式得存在［￡儲(chǔ)力）,使sin。一sin”

=cos??(b-a).)

A.否B.是

y=sinjr是方程y"+1y=0的通解.

36.A.否B.是

7-r24-Q

曲線y=-■-的垂直漸近線為］=±1.

37.)A.否B.是

在區(qū)間［-1，口上.函數(shù)/（.r）=,“3滿足羅爾定理.

38.“工十1A.否B.是

/<-/)=(—+1產(chǎn)與g(.r)=.r+1不是同一函數(shù).，^口

39.A.否B.是

若lin")=2,則a=1.

40.…”>A.否B.是

四、計(jì)算題（5題）

求不定積分［arc：ane'd］

41.

1-10］

已知A=01-1,且滿足AX=2X+A.求矩陣X.

—101

42.

2

43求函數(shù)y=ln(l+.r)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).

44求由曲線》，=V及了="所圍成的平面圖形的面積.

45.

設(shè)F(jr)=/(Ag(i),其中函數(shù)/(H),g(x)在(―人+―)內(nèi)滿足以下條件：

/'(1)=g(jr)>gz(J*)=/(1)，且/(0)=0,/(z)+g(u7)=2eJ?

求出F(4)的表達(dá)式.

五、證明題(2題)

證明：當(dāng)1>0時(shí)，T=>Ind+x).

%/1+.f

46.

47.

已知f(z)=2(e，—1一1)是定義在區(qū)間10.+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù).證明：當(dāng)z>0

時(shí)?/(,r)>x2+

六、應(yīng)用題(5題)

48.

求由曲線1=y+e',直線.r==l,.y=2圍成的平面圖形的面枳S,并求該圖形

繞.y軸旋轉(zhuǎn)?周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.

49.

要建造一個(gè)容積為16n(單位：m1)的圓柱形蓄水池.已知側(cè)面單位造價(jià)為a(單

位：元),池底單位造價(jià)為側(cè)面單位造價(jià)的兩倍，問應(yīng)如何選擇蓄水池的底半徑r和高/，,才

能使總造價(jià)最低.

某商品的需求量Q關(guān)于價(jià)格P的函數(shù)為Q=75一尸.

（1）求P=4時(shí)的需求的價(jià)格彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義；

⑵P=4時(shí)，若價(jià)格提高1%，總收益如何變化.

50（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

51.

要建造一個(gè)容積為16n（單位:m1）的圓柱形蓄水池.已知惻面單位造價(jià)為a（單

位：元）,池底單位造價(jià)為側(cè)面單位造價(jià)的兩倍，問應(yīng)如何選擇蓄水池的底半徑，?和高/，.才

能使總造價(jià)最低.

52.

設(shè)需求函數(shù)為P+O.1Q=80,成本函數(shù)為C（Q）=5OOO+2OQ,其中Q是商品的需求

量，P為商品價(jià)格?計(jì)算邊際利潤(rùn)函數(shù),以及Q=150.400時(shí)的邊際利潤(rùn),并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.

參考答案

1.A

【精析】方程兩邊對(duì)了求導(dǎo)數(shù)得平+?=1—義整理得半=曰導(dǎo)

\ax）d、rd、r1十九）

將I=0帶入方程，得y=-1,所以dy=|+'dw=2dl.

.r=01十（）

2.D

[答案1D

【精析】由題可知尸={"/-3上+2>0}={.r|]>2或丁V1},G={丁|工

—1>0且]-2>0}=<①|(zhì)丁>2}.故GuF.

［答案］D

=j：f(T)|—f/(-r)cLr

【精析】xf'(x)<\x=Til/(X)

IJI

=2/(2)-/(I)-「/(U)心?

J)

=2-1-(-1)=2.

3.D故選D.

［答案］C

【精析】|e-2,d<r=—1-e-21——1-X(0-1)=-y.

4C1“411

5.B

［答案1B

【精析】由題意可知,/(—與l—cosi等價(jià).則

X2

/(x)1，1—cosx「21

rlima<—：——=lim------：------=lim--------=—.

.rsin.r.?---<!Tsin.r,-。彳?iZ

6.A

【精析】A項(xiàng)中，玄(-1)，—二為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，lim工=0,且由萊布

占w+1L8n+1n+1〃+2

sin-g［

尼茨判別法知其收斂；9=1,而2人發(fā)散，由比較判別法

?-?<?1n??>1n_j71

nn

的極限形式知B、C項(xiàng)均發(fā)散;D項(xiàng)中.lim[=8,故發(fā)散.

w-?ooflI

7.D

［答案1D

【精析】$?=—1—sin?.膂=d+cost,故祟e'+ccsf

—1-sin//-o

8.C

【精析】由于(從尸=《4T.A，=|A|4-'?可得

R

|(4.AB)'-y(.4B),|=|2(AB)-'—y|.ABI'(AB)-1

=2(AB)-1—4-IA||B|?(,AB)

=||=1"|AB

?2L

［A||B|3~

9.B

【精析】|a+，|=\/(fl+b)?(a4-￡>)=-Jcr+b2+2a?b=5.

10.D

［答案1D

【精析】由于lim皿空出=lim=1,所以當(dāng)1fo時(shí)。與ln(l+2.r)等價(jià).

-r*0LX.r-。4JT

1+2---L

+4—］「‘十才/1

【精析】lim=hm------；-----j-

3/2—JT+1

-一3-±+-1

11.C

12.D

［答案1D

【精析】特征方程為，一「一6-0.特征根為乃=-2,心=3,因此；I=3是特征方

程的特征單根.所以特解應(yīng)設(shè)為＞,=+6)c”.故應(yīng)選D.

13.B

［答案］B

【精析】「/(2.r)d.r=4T/(27「(2T)'二」】⑺山.故應(yīng)選B.

Ju/JuZJKl

2

【精析】lim/.+I=lim-~=lim(a+1)=1,故應(yīng)選D,

14.Dx*0SI11*2'JT-*0①才-H

15.C

一1w1—1w1.

【精析】為使函數(shù)有意義，須有即1V、rW2.故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

>0,

(1.2口?故選C.

16.D

［答案］D

1+J--2()1-20

【精析】2+3才2+/02+31=111+6=0,

x3+10_930-23

所以」—

17.B

【精析】lim/(.r)limae*=a=/(0),lim/(才)XCOS：+1)=1.由于

JT■**(>+

f(x)在i=0處連續(xù)?故a=/(0)=1?即a=1.

18.B

［答案］B

【精析】對(duì)＜1［針'/(1)］=e'dr兩邊同時(shí)積分有］［-'/(.「)丁dr=卜&、即有針丁(丁)=

e，+C.兩邊同時(shí)乘以e:即得./(.7-)=/+Ce",又/(0)=1+C=(),即得C=-1.于是

,/(.r)=e2j—e「故應(yīng)選B.

yyrsiru—sinacos.r

［稍析Jhm-----------------=vlim---=cosa.

19.B………1

20.D

，［答案］D

【精析】學(xué)=［/(sinM)了=/^fsin-r2)?(siru")'=2.zcos.r2j'(sirur2).

d.r

21.

jr+》

x-y

【精析】?jī)蛇厡?duì)上求導(dǎo)?得----------4￡二2'=-；?烏±3二.整理

1+(±)2X-2，-+一

JC

得》，=￡±>,

/一y

22.

［答案1-1

【精析】y=cos'1.貝!jy'=-2COSJsiru'=—sin2-r.y'=-2COS2J>yr(-^-)=

-2cos—-=—1.

23.

【精析】1備"=￡洋de-+1)|：=屈e+1)—In2=

In嬰.

24.可去

【精析】limf(i)=limf------=lim3±J.=2.且y(.r)在①=1處無定義*故

LiLi、r(《r-1)x-ix

z=1為/(.r)的可去間斷點(diǎn).

25.

［答案］舟"

【精析】由函數(shù)N—annan2”9則y---浮F

1-

2-、-d_x

則dy=1I4工百?

26.3

]

【精析】因04=nl-i*moo3___-產(chǎn)1___'=?l-oio(m77+3)3祟=《3，則收斂半徑R=3.

(w+2)3"

27.

[答案1--

【精析】易求該塞級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1，所以當(dāng)|七一1IV1,即0V*V2時(shí)轅級(jí)

數(shù)收斂.

V(-1嚴(yán)'(了-1)"=-Y(1-J-)"=-^_4-------=-—(0<J<2).

G言]一(1—1)M

28.(-1,1)

【精析】yf=-je=—e獷+j2e去'=e(J2—1).

令y"V0,得/—1V0,即一1VhV1.

29.

(e.+)

［答案］（e,十'x）

'.!■>0.>0,

【精析】要使函數(shù)y=有意義,必須滿足｛n，>0,=<才>1.

ln（IHJT>>0-r>e?

取三者交集可得.r>e.

30.

［1.3）

]

【精析】因?yàn)閜=lim|""II=lim十2-]jni1：+=1■.故收斂半徑為R=—

H-*?>I<2nIn-*oo1L8/〃+2P

，“+]

=1,即當(dāng)一lV_r-2Vl,即1VnV3時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂.

當(dāng)了=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為X1)一‘因?yàn)閍,=_J,-/J一-=a中，lima”=lim'J’

仁x/n+1A/M+1s/n+2……+1

=0,所以收斂.

當(dāng)《=3時(shí)，原級(jí)數(shù)為玄-，發(fā)散.

n=0VW4-1

所以，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?.3）.

31.N

【精析】因?yàn)椋?e，所以了=Iny,函數(shù)/＜.r)=e，與/(J)=Iru"互為反函數(shù)，圖像

關(guān)于J=/對(duì)稱.

32.N

［精析］limW一/。_")=lim.勺—?一』＜”)=,(.r。).

h-ohA-o—h

33.N

［答案］x

【精析】y=―s'"7f:|:6"=-6.rtan(10+3./),故dv=-6.rtan(10+3］')dr.

［答案］V

【精析】lim1土■=lim/—+2\=oo.

34Y"''/

35.Y

【精析】..,/(?r)=sinj,A/(.r)在［a,，］上連續(xù)，在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，且/(.r)=cos/,

A由拉格朗日中值公式得存在E63力，使嗎-4皿=cos^即sin6_sinfl=

b-a

cos^?(〃—”).

36.N

【精析】通解中含有任意常數(shù).故.y=sin.r不是方程的通解，但y=sin_r滿足y"+y

=。，是該方程的解.

37.Y

【精析】因?yàn)閘im學(xué)*=8,hm馬色=8,所以曲線的垂直漸近線為了=±1.

X-1JC-1工-1上~-1

38.Y

【精析】因?yàn)椤肮?在［-1.口上連續(xù)，在(一1,1)上可導(dǎo)，且/(-D=/(I)=1,所以

KI)滿足羅爾定理.

39.Y

【精析】/(.r＞的定義域是.r+l20,即工2—1，小工)的定義域是R.則/(a)與gQ)

不是同一函數(shù).

40.N

【精析】因?yàn)閘im(匚士紅+“”)=1311(1+“)”+2］=2,所以。+1=0,即”=-1.

N.3Tln-*3

41.

【精析】ar￡tane=—arct<inerde'

JeJ

=-e-jarct4,ane/+i「—d~.r~77

J1+產(chǎn)

=—「arctane，+1一］；/)di

=-c-rarctane7+.r-----ln(1+c2r)+C

42.

1-10100-1-10、

【精析】A-21011-20100-1-1

-101001-10-1

*.*AX=2X+A,且A-2I\=—2,：.A-21可逆，X=(A-21)-'A.

-1-1010O'-1-1010c

n—r]

[(A-21)U]0-1-1010-------------A0-1-101C

-10-100101-1-101

匕+r>-10100(—2-20200)

2r>

0-2-20200-20111

00-2-11100-2-111

-2001-11

0-201-1

00—2-111

111

100

222

1

門，—?一2111

010；

222

11

001

222

111

222

111

BP(A-21)1=

222

11

222

因此

111

~~2~2-T

1-1°]II°1-1

X=(A—21)"A=01—101

~2~2~2T=

—101-10

111；1

222

43.

【精析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?8.+8）“'=2xn_2-

TT~^,y=(i尸

令；/'=o,可得,=士1,當(dāng)『￡（―3’,—1）時(shí)，y"vo.函數(shù)為凸的；當(dāng)？e（—1.1）

時(shí)./>0,函數(shù)為凹的；當(dāng)1e（1,+8）時(shí)V0,函數(shù)為凸的.

且當(dāng)了——1時(shí)，.y=In2;當(dāng).r=1時(shí).》=ln2,

故函數(shù)的凸區(qū)間為（一8,—1）和（1.+2）.函數(shù)的凹區(qū)間為（一1,1）,拐點(diǎn)為（一1.

In2)和(1.1112).

44.

[精析]S=r(77-x2)da-=1

J<i\oJ/“333

45.

【精析】由已知可得了"(『>=［，'(『)［'=//)=八］)，

且當(dāng)J=0時(shí),”0)+g(0)=2,*(0)=/(0)=2-/(0)=2,

所以得微分方程：

f/(.r)-/(.r)=0,

|/(0)=0/(0)=2.

方程/(J)-/(.r)=0的特征方程為r-1=0,其特征根為n=-l,r2=1.

1y

故/(-r)=C'Ie'—C'2e?/(J)=e—C2e

將y(0)=0./\0)=2代入/(.r)、/'(.?).得C1=l.C=-1.

所以滿足條件的fS=-e-er.

又因?yàn)間<.r)=/(J)=e'+e',

--/r_1-2,

所以F(j)=g(J)y(a)=(e+e")(e—e)=e*'—e.

46.

【證明】原不等式即為ln(l+z)>0,令/(x)=?，上一In不+z),則

v/r+7yr+7

A/1+X

27TT7］=%+2-2ym~

f'(工)—--------

1+x1+H2(1+X)VT+7

(A/TTT-I》>0(x>0),

2(1+x)vT+7

故故工)在［0,+8)上單調(diào)增加，則故工)>故0)=0(。>0),

即當(dāng)之>0時(shí),「_ln(l+外>0成立?故原不等式成立.

>/r+7

47.

【證明】設(shè)F(M=f(.r)—&2一千,(工二0),

V

則F'(.r)=2(eJ—1)—2.r—x2,

r(a)=2ex-2-2.r=2(eJ-x-1)=/(x)>0