2023-2024學年長春市八中高二數學（下）第一次月考試卷附答案解析

-2024學年長春市八中高二數學（下）第一次月考試卷考試時間：120分鐘分值：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數列{an}的公差為4，且a2，a3，a6成等比數列，則a14等于()A．46B．48C．50D．522．下列式子求導正確的是（

）A． B．C． D．3．數列{an}滿足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，則a2024等于()A．22023－1B．42023－1C．22023＋1 D．42023＋14．意大利數學家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此數列在現代物理、化學等方面都有著廣泛的應用，若此數列的每一項被2除后的余數構成一個新數列，則數列的前2020項的和為（

）A．1348 B．1358 C．1347 D．13575．設函數的導數為，且，則（

）A． B． C． D．6．從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災害嚴重威脅了國際農業(yè)生產，影響了人民生活.世界性與區(qū)域性溫度的異常、旱澇頻繁發(fā)生給蝗災發(fā)生創(chuàng)造了機會.已知蝗蟲的產卵量y與溫度x的關系可以用模型（其中e為自然對數的底數）擬合，設，其變換后得到一組數據：x2023252730z22.4334.6由上表可得經驗回歸方程，則當x＝35時，蝗蟲的產卵量y的估計值為（

）A． B． C．8 D．7．已知函數在區(qū)間上單調遞增，則實數的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，定理內容如下：如果函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(a，b)內的導數為f′(x)，那么在區(qū)間(a，b)內至少存在一點c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值點”．根據這個定理，可得函數f(x)＝(x－2)lnx在[1,2]上的“拉格朗日中值點”的個數為()A．0 B．1 C．2D．3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．某服裝生產商為了解青少年的身高和體重的關系，在15歲的男生中隨機抽測了10人的身高和體重，數據如表所示：編號12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數據制作成如圖所示的散點圖，由最小二乘法計算得到經驗回歸直線l1的方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))1x＋eq\o(a,\s\up6(^))1，樣本相關系數為r1，決定系數為Req\o\al(2,1)；經過殘差分析確定(168,89)為離群點(對應殘差過大)，把它去掉后，再用剩下的9對數據計算得到經驗回歸直線l2的方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))2x＋eq\o(a,\s\up6(^))2，樣本相關系數為r2，決定系數為Req\o\al(2,2).則以下結論中正確的有()A.eq\o(a,\s\up6(^))1>eq\o(a,\s\up6(^))2B.eqB.eq\o(b,\s\up6(^))1>eq\o(b,\s\up6(^))2C．r1<r2 D．Req\o\al(2,1)>Req\o\al(2,2)10．下列不等式恒成立的是()A．ex≥x＋1B．lnx≤x－1C．sinx≤x D．ex≥2x＋111．已知數列的前項和為，下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數列B．若，則是等比數列C．若，則數列為遞增數列D．若數列為等差數列，，則最小三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知數列的前n項和為，，，則.13．為各項非零的等差數列，其前項和為，若對任意正整數，均有，則的通項公式bn=;數列的前項和．14．若函數f(x)＝ax＋ex在(－∞，1]上單調遞減，則實數a的取值范圍是________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數.(1)求曲線與直線垂直的切線方程；(2)若過點的直線與曲線相切，求直線的斜率.16．（15分）已知等差數列前項和為（），數列是等比數列，，，，.(1)求數列和的通項公式；(2)若，設數列的前項和為，求.17．（15分）某企業(yè)2024年的純利潤為500萬元,因為企業(yè)的設備老化等原因,企業(yè)的生產能力將逐年下降.若不進行技術改造,預測從2024年開始,此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進行技術改造,2025年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元,在未扣除技術改造資金的情況下,預計2025年的利潤為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.(1)設從2025年起的第n年(以2025年為第一年),該企業(yè)不進行技術改造的年純利潤為萬元;進行技術改造后,在未扣除技術改造資金的情況下的年利潤為萬元,求和;(2)設從2025年起的第n年(以2025年為第一年),該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元,進行技術改造后的累計純利潤為萬元,求和;(3)依上述預測,從2025年起該企業(yè)至少經過多少年,進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤?18．（17分）2024年1月4日，教育部在京召開全國“雙減”工作視頻調度會，會議要求進一步提高雙減政治站位，將“雙減”工作作為重中之重，堅定不移推進，成為受老師和家長關注的重要話題．某學校為了解家長對雙減工作的滿意程度進行問卷調查（評價結果僅有“滿意”、“不滿意”），從所有參與評價的對象中隨機抽取120人進行調查，部分數據如表所示（單位：人）：滿意不滿意合計男性1050女性60合計120(1)請將列聯表補充完整，試根據小概率值α=0.10的獨立性檢驗，能否認為“對雙減工作滿意程度的評價與性別有關”？(2)若將頻率視為概率，從所有給出“滿意”的家長中隨機抽取3人，用隨機變量表示被抽到的男性家長的人數，求的分布列；(3)在抽出的120人中，從給出“滿意”的家長中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“不滿意”的對象中抽取人．現從這人中，隨機抽出2人，用隨機變量表示被抽到的給出“滿意”的女性家長的人數．若隨機變量的數學期望不小于1，求的最大值．參考公式：，其中．參考數據：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（17分）已知函數．（1）當時，討論的單調性；（2）若在點處的切線方程為，若對任意的恒有，求的取值范圍（是自然對數的底數）．一．單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.C2.C2.C3.B4.C5.B6.A7.D8.B二．多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。）9.AC10.AB11.BC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.13.（2分）;（3分）14.(－∞，－e]1．已知等差數列{an}的公差為4，且a2，a3，a6成等比數列，則a14等于()A．46B．48C．50D．52答案C解析由題意得aeq\o\al(2,3)＝a2a6＝(a3－4)(a3＋3×4)，解得a3＝6，所以a14＝a3＋11×4＝50.2．下列式子求導正確的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】利用導數的運算公式分別求導數即可，注意A中的余弦函數的導數公式，B中的分式求導可轉化為冪函數求導，C中注意求導要用到復合函數的求導法則，D中的是常數，求導為零，不同于在時導數值.【詳解】∵，∴，由，可得，，∵是常數，而常數的導數為0，∴，故選：C3.數列{an}滿足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，則a2024等于()A．22023－1 B．42023－1C．22023＋1 D．42023＋1答案B解析∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1為首項，4為公比的等比數列，則an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1.4．意大利數學家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，（，），此數列在現代物理、化學等方面都有著廣泛的應用，若此數列的每一項被2除后的余數構成一個新數列，則數列的前2020項的和為（

）A．1348 B．1358 C．1347 D．1357【答案】C【解析】由題意可知，得數列是周期為3的周期數列，前3項和為，又，由此可得答案【詳解】解：由數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各項除以2的余數，可得數列為，所以數列是周期為3的周期數列，前3項和為，因為，所以數列的前2020項的和為故選：C5．設函數的導數為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可先求函數的導數，令求出即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：B6．從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災害嚴重威脅了國際農業(yè)生產，影響了人民生活.世界性與區(qū)域性溫度的異常、旱澇頻繁發(fā)生給蝗災發(fā)生創(chuàng)造了機會.已知蝗蟲的產卵量y與溫度x的關系可以用模型（其中e為自然對數的底數）擬合，設，其變換后得到一組數據：x2023252730z22.4334.6由上表可得經驗回歸方程，則當x＝35時，蝗蟲的產卵量y的估計值為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】根據線性回歸方程的性質求出，由此可求.【詳解】由表格數據知：，，因為數對滿足，得，∴，即，∴，∴x＝35時，.故當x＝35時，蝗蟲的產卵量y的估計值為.故選：A.7．已知函數在區(qū)間上單調遞增，則實數的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據題意，可得在上恒成立，分離參數結合二次函數的性質求得答案.【詳解】因為在區(qū)間上單調遞增，所以在上恒成立，即，又當時，函數，在時取得最大值4，所以，所以的最小值為4.故選：D．8．拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，定理內容如下：如果函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(a，b)內的導數為f′(x)，那么在區(qū)間(a，b)內至少存在一點c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值點”．根據這個定理，可得函數f(x)＝(x－2)lnx在[1,2]上的“拉格朗日中值點”的個數為()A．0B．1C．2D．3答案B解析f′(x)＝1＋lnx－eq\f(2,x)，設x0為函數f(x)＝(x－2)lnx在[1,2]上的“拉格朗日中值點”，則1＋lnx0－eq\f(2,x0)＝eq\f(f2－f1,2－1)＝0，令g(x)＝1＋lnx－eq\f(2,x)，1≤x≤2，則g′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(2,x2)>0在[1,2]上恒成立，故g(x)＝1＋lnx－eq\f(2,x)在[1,2]上單調遞增，又g(1)＝1－2＝－1<0，g(2)＝1＋ln2－1＝ln2>0，由零點存在定理可得，存在唯一的x0∈[1,2]，使得g(x0)＝0.9(多選)某服裝生產商為了解青少年的身高和體重的關系，在15歲的男生中隨機抽測了10人的身高和體重，數據如表所示：編號12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數據制作成如圖所示的散點圖，由最小二乘法計算得到經驗回歸直線l1的方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))1x＋eq\o(a,\s\up6(^))1，樣本相關系數為r1，決定系數為Req\o\al(2,1)；經過殘差分析確定(168,89)為離群點(對應殘差過大)，把它去掉后，再用剩下的9對數據計算得到經驗回歸直線l2的方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))2x＋eq\o(a,\s\up6(^))2，樣本相關系數為r2，決定系數為Req\o\al(2,2).則以下結論中正確的有()A.eq\o(a,\s\up6(^))1>eq\o(a,\s\up6(^))2 B.eq\o(b,\s\up6(^))1>eq\o(b,\s\up6(^))2C．r1<r2 D．Req\o\al(2,1)>Req\o\al(2,2)答案AC解析身高的平均數為eq\f(165＋168＋170＋172＋173＋174＋175＋177＋179＋182,10)＝173.5，因為離群點(168,89)的橫坐標168小于平均值173.5，縱坐標89相對過大，所以去掉離群點后經驗回歸直線的截距變小而斜率變大，所以eq\o(a,\s\up6(^))1>eq\o(a,\s\up6(^))2，eq\o(b,\s\up6(^))1<eq\o(b,\s\up6(^))2，所以A正確，B錯誤；去掉離群點后成對樣本數據的線性相關程度更強，擬合效果會更好，所以r1<r2，Req\o\al(2,1)<Req\o\al(2,2)，所以C正確，D錯誤．10(多選)下列不等式恒成立的是()A．ex≥x＋1 B．lnx≤x－1C．sinx≤x D．ex≥2x＋1答案AB解析對于A，設f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，所以f(x)min＝f(0)＝0，即ex≥x＋1，故A正確；對于B，設g(x)＝lnx－x＋1，x>0，g′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，當x∈(0,1)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增，當x∈(1，＋∞)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減，所以g(x)max＝g(1)＝0，即lnx≤x－1，故B正確；對于C，當x＝－eq\f(π,2)時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝－1，此時sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))>－eq\f(π,2)，故C錯誤；對于D，當x＝1時，e<2＋1，故D錯誤．11．已知數列的前項和為，下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數列B．若，則是等比數列C．若，則數列為遞增數列D．若數列為等差數列，，則最小【答案】BC【分析】借助等差數列、等比數列的概念、數列的遞推關系逐項計算即可得.【詳解】對于選項A，，，，，不滿足是等差數列，故選項A錯誤；對于選項B，當時，，當時，，因為時也滿足上式，所以，則，所以是等比數列，故選項B正確；對于選項C，因為，所以，因為，所以，因此數列為以為首項，4為公差的等差數列，也是遞增數列，故選項C正確；對于選項D，設數列的公差為，因為，所以，即，當時，沒有最小值，故選項D錯誤.故選：BC．三、填空題12．已知數列的前n項和為，，，則.【答案】【分析】由求得，求出，由等比數列的通項公式求解即可.【詳解】由題意得，又，則，故數列是以6為首項，為公比的等比數列，則.故答案為：.13．為各項非零的等差數列，其前項和為，若對任意正整數，均有，則數列的前項和．【答案】【分析】根據等差數列求和公式及下標和性質求出，得到，再利用錯位相減法求解即可.【詳解】∵為等差數列且，∴，又，∴，∴，①，∴②，由①②，得，，．故答案為：14．若函數f(x)＝ax＋ex在(－∞，1]上單調遞減，則實數a的取值范圍是________．答案(－∞，－e]解析由題意知，f′(x)＝a＋ex≤0在(－∞，1]上恒成立，得a≤(－ex)min，又函數y＝－ex在(－∞，1]上單調遞減，所以(－ex)min＝－e，所以a≤－e.15．已知函數.(1)求曲線與直線垂直的切線方程；(2)若過點的直線與曲線相切，求直線的斜率.【答案】(1)(2)或5【分析】（1）求出切線的斜率，再寫出切線方程；（2）根據切線的斜率與直線的方程列方程組求解即可.【詳解】（1）因為斜率為，所以，所以，又.所以所求切線方程為，即.（2），設切點的橫坐標為，直線的斜率為，直線的方程：，則則，整理得，所以，所以或5.16．已知等差數列前項和為（），數列是等比數列，，，，.(1)求數列和的通項公式；(2)若，設數列的前項和為，求.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為（），根據等差等比數列通項公式基本量的計算可得結果.（2）求出，代入求出，再分組求和，利用裂項求和方法和等比數列的求和公式可求得結果.【詳解】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此當為奇數時，，當為偶數時，，所以.17．某企業(yè)2024年的純利潤為500萬元,因為企業(yè)的設備老化等原因,企業(yè)的生產能力將逐年下降.若不進行技術改造,預測從2024年開始,此后每年比上一年純利潤減少20萬元.如果進行技術改造,2025年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元,在未扣除技術改造資金的情況下,預計2025年的利潤為750萬元,此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元.(1)設從2025年起的第n年(以2025年為第一年),該企業(yè)不進行技術改造的年純利潤為萬元;進行技術改造后,在未扣除技術改造資金的情況下的年利潤為萬元,求和;(2)設從2025年起的第n年(以2025年為第一年),該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元,進行技術改造后的累計純利潤為萬元,求和;(3)依上述預測,從2025年起該企業(yè)至少經過多少年,進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤?【答案】(1),(2),(3)至少經過4年，進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤.【分析】(1)利用等差數列、等比數列的通項公式求和(2)是數列的前項和，是數列的前項和減去600，利用等差數列和等比數列的前項和公式求出即可(3)作差，利用函數的單調性，即可得出結論【詳解】(1)由題意得是等差數列，所以由題意得所以所以是首項為250，公比為的等比數列所以所以(2)是數列的前項和所以是數列的前項和減去600，所以(3)易得此函數當時單調遞增且時時所以至少經過4年，進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤.【點睛】本題考查的是數列的綜合知識，包含通項公式的求法、前n項和的求法及數列的單調性.18．2024年1月4日，教育部在京召開全國“雙減”工作視頻調度會，會議要求進一步提高雙減政治站位，將“雙減”工作作為重中之重，堅定不移推進，成為受老師和家長關注的重要話題．某學校為了解家長對雙減工作的滿意程度進行問卷調查（評價結果僅有“滿意”、“不滿意”），從所有參與評價的對象中隨機抽取120人進行調查，部分數據如表所示（單位：人）：滿意不滿意合計男性1050女性60合計120(1)請將列聯表補充完整，試根據小概率值α=0.10的獨立性檢驗，能否認為“對雙減工作滿意程度的評價與性別有關”？(2)若將頻率視為概率，從所有給出“滿意”的家長中隨機抽取3人，用隨機變量表示被抽到的男性家長的人數，求的分布列；(3)在抽出的120人中，從給出“滿意”的家長中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“不滿意”的對象中抽取人．現從這人中，隨機抽出2人，用隨機變量表示被抽到的給出“滿意”的女性家長的人數．若隨機變量的數學期望不小于1，求的最大值．參考公式：，其中．參考數據：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯表見解析，根據小概率值α=0.10的獨立性檢驗，沒有充分證據證明零假設不成立，即不能認為“對雙減工作滿意程度的評價與性別有關”（或直接說無關）(2)分布列見解析；(3)2【分析】（1）先完善列聯表，計算出，結合臨界值表即可求解；（2）先求出抽到男性家長