高二上學(xué)期中復(fù)習(xí)專題02空間向量研究直線平面位置關(guān)系

期中復(fù)習(xí)專題02：空間向量研究直線、平面位置關(guān)系解析版考點一：空間向量的坐標(biāo)運算【知識點梳理】1.空間直角坐標(biāo)系：軸上點坐標(biāo)、面上點坐標(biāo)、空間上點坐標(biāo).2.空間向量的坐標(biāo)運算（1）由兩點寫出空間向量：若，則（2）空間線段中點坐標(biāo)空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標(biāo)為.（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運算若，則①;②;③;（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算若，則（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計算公式若，則(1).(2).（6）空間向量平行和垂直的條件若，則①②【典例例題】例1.（2022·浙江臺州市期中）設(shè)，向量，且，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的平行、垂直以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.【詳解】因為，所以，解得，所以又因為，所以，解得，所以，所以，則，故選：A.【變式訓(xùn)練】1.（2022·浙黑龍江佳木斯第一中學(xué)期中）已知點，，則線段的中點的坐標(biāo)為（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用中點坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】解：因為點，，線段的中點的坐標(biāo)為，故選B.2.（2022·浙黑龍江佳木斯第一中學(xué)期中）若，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示直接構(gòu)造方程求解即可.【詳解】設(shè)，則，，解得：，.故答案為：.3.（2022·浙黑龍江佳木斯第一中學(xué)期中）若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三點共線，則________.【答案】【解析】【分析】由斜率相等得的關(guān)系．【詳解】解析：由題意得，ab+2(a+b)=0，．故答案為：．4.（2022·浙江紹興市第二中學(xué)期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間里面點關(guān)于面對稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)是.故選：C.5.（2022烏魯木齊第一中學(xué)期中）點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點關(guān)于線對稱的特點，利用中點坐標(biāo)公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，則，解得.所以點的坐標(biāo)為故選：A.6.（2022·廣東實驗附屬中學(xué)期中）（多選）如圖，在長方體中，AB＝5，AD＝4，，以直線DA，DC，分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（）A.點的坐標(biāo)為B.點B關(guān)于點對稱的點為C.，D.點關(guān)于x軸對稱的點為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題中條件，由空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示和對稱相關(guān)結(jié)論逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知：點的坐標(biāo)為，選項A正確；點關(guān)于x軸對稱點為，選項D錯誤；點的坐標(biāo)為，故點關(guān)于點對稱的點為，選項B正確；點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，所以，選項C正確；故選：ABC.7.（2022·湖北省高中聯(lián)考期中）試寫出一個點的坐標(biāo)：______，使之與點，三點共線.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，利用向量共線得到，求得，寫出一個符合要求的即可.【詳解】設(shè)，根據(jù)題意可得()，即，則，故，不妨令，則，，故.故答案為：（答案不唯一）.8.（2022·山東省淄博市實驗中學(xué)期中）已知向量，，且與互相垂直，則_______.【答案】【解析】【分析】利用兩向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因向量，，且與互相垂直，所以，解得.故答案為：.考點二：空間向量研究直線、平面平行位置關(guān)系【知識點梳理】直線的方向向量：與這條直線平行(或共線)的向量，記作；或者已知直線上兩點坐標(biāo)，即方向向量.2、平面的法向量：若直線，則該直線的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作,有無數(shù)多個，且任意兩個都是共線向量.3、平面法向量的求法：設(shè)平面的法向量為，在平面內(nèi)找出（或求出）兩個不共線的向量，根據(jù)定義建立方程組，得到，通過賦值，取其中一組解，得到平面的法向量.4、利用空間向量表示空間線面平行、垂直設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為.位置關(guān)系平行線線（與）線面（與）面面（與）【典例例題】例1.（2021秋·廣東湛江·高二湛江二十一中?？计谥校┤鐖D所示，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點．(1)若P為側(cè)棱SD上的中點，證明SB平面PAC．(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．【答案】(1)詳見解析；(2)存在，.【詳解】（1）證明：如圖所示：連接BD與AC交于點O，連接OP，因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)為中點，又P為側(cè)棱SD上的中點，所以，又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)側(cè)棱SC上存在一點E，使得BE平面PAC，且，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則，所以，則，因為SD⊥平面PAC，所以是平面PAC的一個法向量，若BE平面PAC，則，解得，所以側(cè)棱SC上存在一點E，使得BE平面PAC，且.【變式訓(xùn)練】1.（2022·黑龍江佳木斯第一中學(xué)期中）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）．A.， B.，C.， D.以上都不對【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算法則即可求解.【詳解】因為，所以；因為，所以，故選：C.2.（2022·浙江紹興市第二中學(xué)期中）已知直線的方向向量是，平面的法向量是，則直線與平面的位置關(guān)系是（）A.或 B.C.與相交但不垂直 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的位置關(guān)系可判斷直線與平面的位置關(guān)系.【詳解】，所以，所以或.故選：A.3.（2022·山東省淄博市實驗中學(xué)期中）（多選）已知四棱錐的底面是邊長為3的正方形，平面，，為的中點，過作平面分別與線段、交于點、，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.四邊形的面積為【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運用四點共面的充要條件即可獲解.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)點的坐標(biāo)為,,,,相關(guān)向量為,,,，由題意平面即平面因為，平面，平面所以設(shè)，則因為四點共面所以存在實數(shù)使得即即解得所以,所以與不平行，故A錯誤；，,所以，故B正確；因為，所以，故C錯誤；所以所以四邊形的面積,故正確.故選：BD4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．證明：.【詳解】根據(jù)正四棱柱性質(zhì)可知，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，可得，即向量與共線，又不在同一條直線上，所以.5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點，在線段上，且.求證：平面；【詳解】由于底面，平面，所以，而，故以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，，易知平面的一個法向量為，故，則，又平面，故平面．6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點，求證：平面平面．【詳解】因為平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則．所以，，，，設(shè)是平面EFG的法向量，則，，即，得，令，則，，所以，設(shè)是平面PBC的法向量，由，，即，得，令，則，，所以，所以，所以平面EFG∥平面PBC．考點三：空間向量研究直線、平面垂直位置關(guān)系【知識點梳理】利用空間向量表示空間線面平行、垂直設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為.位置關(guān)系垂直線線（與）線面（與）面面（與）【典例例題】例1.（2022·湖北省省部高級中學(xué)期中）直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（）A. B.C.或 D.與的位置關(guān)系不能判斷【答案】B【解析】【詳解】解：直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，顯然它們共線，所以．故選：B．例2.（2022秋·廣東·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點.(1)求證：；(2)在平面內(nèi)求一點G，使平面.【答案】(1)證明見解析；(2)G為AD的中點.【詳解】（1）因為底面，平面，平面，所以，，又底面為正方形，所以，以D為原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F(xiàn)，∴，，∴＝0，∴，即EF⊥CD；（2）設(shè)，則，，，若使GF⊥平面PCB，則需且，由，解得，由，解得，因為為平面內(nèi)兩條相交直線，故平面，∴G點坐標(biāo)為，即G為AD的中點．【變式訓(xùn)練】1.（2022·浙江紹興市第二中學(xué)期中）已知，，分別是平面，，的法向量，則，，三個平面中互相垂直的有________對.【答案】3【解析】【分析】通過證明法向量相互垂直得平面相互垂直.【詳解】，故，所以，，故，所以，，故，所以，則，，三個平面中互相垂直的有3對.故答案為：32.（2022·浙江紹興市第二中學(xué)期中）如圖，在正方體中，與平面垂直的向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】證明直線平面即可.【詳解】，連接，在正方體中有平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，平面，所以平面，所以是與平面垂直的向量.故選：B3.（2022·浙江臺州市期中）已知正方體的棱長為1，是棱上的動點，則下列說法正確的有（）A.平面 B.C.二面角的大小為 D.三棱錐的體積的最大值為【答案】BD【解析】【分析】假設(shè)平面，由此推出，繼而不妨取E為CD的中點，推出矛盾，判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)判斷B；取E點的一個特殊位置求出此時的二面角判斷C；利用等體積法求出三棱錐的體積的最大值判斷D.【詳解】對于A，是棱上的動點，假設(shè)平面，而平面，故；不妨取E為CD的中點，連接EB，由平面，平面，得，故，而，則，即，即和不垂直，故與矛盾，A錯誤；對于B，由平面，平面，得，又，而平面，故平面，平面，故，B正確；對于C，是棱上的動點，不妨取E位于C點位置，此時二面角即二面角，設(shè)F中點，連接，由于，故，則即為二面角的平面角，，又，故，故不等于，C錯誤；對于D，由題意知，由于是棱上的動點，當(dāng)E在C點處時，E到平面的距離最大，即最大；連接，由平面，平面，得，又，而平面，故平面，平面，故，同理證明，而平面，故平面，設(shè)交平面于G點，則，即，則，,故，即三棱錐的體積的最大值為，D正確，故選：BD4.（2022·浙江臺州市期中）已知長方體中，.若是側(cè)面內(nèi)的動點，且，則的長度的最小值為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意設(shè)，然后根據(jù)可得的關(guān)系，再換元可求得的長度的最小值,【詳解】如圖，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因為，所以，即，令，則，所以，所以（其中），所以當(dāng)時，取得最小值，即的長度的最小值為，故選：C5.（2022·廣東實驗附屬中學(xué)期中）（多選）以下命題正確的是（）A.直線l方向向量為，直線m方向向量，則l與m垂直；B.直線l的方向向量，平面的法向量，則；C.平面的法向量分別為，則；D.平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則．【答案】AD【解析】【分析】按照線線垂直、線線平行、面面平行的向量表示以及平面的法向量依次判斷4個選項即可.【詳解】，直線l與m垂直，A正確；

，或，B錯誤；不共線，所以與不平行，故C錯誤；，向量是平面的法向量，

，即，則，D正確．

故選：AD．6.（2022·浙江紹興市第二中學(xué)期中）（多選）如圖，在正方體中，，點，分別在棱和上運動（不含端點），若，則下列命題正確的是（）A. B.平面C.線段長度的最大值為1 D.三棱錐體積不變【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由得，對A：用向量證明；對B：用向量證明與不垂直即可；對C：將長度表示為的函數(shù)求最大值；對D：轉(zhuǎn)化為判斷即可.【詳解】在正方體中，以D為原點，以射線分別為軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則.設(shè)，則，因為,所以，即.對于A：，則，所以，即，故A正確;對于B：，即與不垂直，從而與平面不垂直，故B不正確；對于C：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；對于D：不論點如何移動，點到平面的距離為4，且為定值，而為定值，故三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：ACD.7.（2022·湖北省高中聯(lián)考期中）已知空間三點、、，設(shè)，.（1）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值；（2）若向量與共線，求實數(shù)的值.【答案】（1）或2（2）或1【解析】【小問1詳解】由已知可得，，所以，，，由題意可知，即，解得或2.【小問2詳解】，，由題意，設(shè)，所以，解得或.因此，或1.8.（2022·黑龍江佳木斯第一中學(xué)期中）如圖，在直三棱柱中，，，，分別是和上動點，且.求證：；【答案】【解析】【詳解】以點為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，.設(shè)，則，，∴，，∵，∴，即.9．（2020秋·廣東深圳·高二紅嶺中學(xué)校考期中）如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD．四邊形ADEF為正方形，四邊形ABCD為梯形，且，是邊長為1的等邊三角形，．（1）求證：；（2）線段BD上是否存在點N，使得直線平面AFN？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】【詳解】（1）因為四邊形ADEF為正方形，所以，又平面平面ABCD，且平面平面ABCD=AD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.（2）線段BD上不存在點N，使得直線平面AFN，證明如下：取AD中點O，EF中點K，連接OB，OK，因為為正三角形，所以，在正方形ADEF中，，又平面平面ABCD，所以平面ADEF，所以，所以O(shè)B，OD，OK兩兩垂直，以O(shè)為原點，分別以O(shè)B，OD，OK為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：所以,設(shè)，，所以,所以,所以，所以，即,所以,設(shè)平面AFN的法向量，則，所以，令，則一條法向量，因為平面AFN，所以，所以，此方程無解，所以不存在點N，使得直線平面AFN.10.（2022秋·廣東梅州·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，面，在四邊形中，，點在上，.求證：(1)CM面；(2)面面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)為平面的一個法向量，由得令，得，，則，又平面，平面.（2）如圖，取的中點，連接，則..又，，又平面,平面，又平面，平面平面一、單項選擇（10道）1.（2022·河北省辛集市育才中學(xué)期中）已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零求坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)求模長計算即可.【詳解】因為，，且，所以，即，所以，所以，故選：C．2.（2022·河北省辛集市育才中學(xué)期中）設(shè)，向量，，且，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示，求得的值，結(jié)合向量模的計算公式，即可求解.【詳解】由向量且，可得，解得，所以，，則，所以.故選：C.3.（2022·廣東省肇慶端州中學(xué)期中）設(shè)，向量，，，且，，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示，求得的值，得到向量，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】由題意，向量，，，因為，可得，解得，即，又因為，可得，解得，即，可得，所以.故選：C.4.（2022秋·廣東汕頭·高二?？计谥校┤糁本€l的方向向量為，平面α的法向量為，能使的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用空間位置關(guān)系的向量證明，結(jié)合各選項中的向量，計算判斷即可．【詳解】若，則，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤．故選：A．5．（2022秋·廣東江門·高二江門市培英高級中學(xué)?？计谥校┮阎本€l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則＝（）A．﹣3 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的向量表示即可求解.【詳解】因為，所以，解得，所以.故選：B6．（2022秋·廣東廣州·高二?？计谥校┫铝欣梅较蛳蛄?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】C【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系的向量判斷方法對四個選項一一判斷即可.【詳解】對于A：因為，所以不成立，所以不成立.故A錯誤；對于B：因為，,所以，所以，所以或.故B錯誤；對于C：因為，,所以，所以，所以.故C正確；對于D：因為，,所以，所以.故D錯誤；故選：C7．（2022秋·廣東深圳·高二深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）校考期中）已知平面內(nèi)有一點，平面的一個法向量為，則下列四個點中在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)只需，由各選項的點坐標(biāo)求的坐標(biāo)，即可得答案.【詳解】由題意，符合條件的點應(yīng)滿足，A：，則，故不在平面內(nèi)，不滿足；B：同理，則，故在平面內(nèi)，滿足；C：同理，則，故不在平面內(nèi)，不滿足；D：同理，則，故不在平面內(nèi)，不滿足；故選：B8．（2022秋·廣東惠州·高二統(tǒng)考期中）若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（

）A． B． C． D．與斜交【答案】A【分析】根據(jù)平面的法向量與直線的方向向量平行，從而得到直線與平面垂直.【詳解】由題意得：，則，.故選：A9．（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項分析、判斷作答.【詳解】在正四棱柱中，以點D為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，是底面的中心，分別是的中點，則，，，對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對于B，因，則，即，B正確；對于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對于D，由選項C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B10．（2020秋·廣東佛山·高二?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長為a、M、N分別為A1B和AC上的點，，則MN與平面的位置關(guān)系是（）A．相交但不平行 B．平行 C．相交且垂直 D．不能確定【答案】B【分析】利用向量法，計算出與平面的法向量垂直，由此判斷出與平面平行.【詳解】∵正方體棱長為a，∴，∴=又∵是平面的法向量，且∴，∴MN//平面故選：B二、多項選擇（10道）11.（2022·河北省辛集市育才中學(xué)期中）在長方體中，，與交于點P，以D為原點，以，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（）A.點的坐標(biāo)為 B.點P的坐標(biāo)為C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由題意可得，,,，,,所以,,故CD錯誤，AB正確，故選：AB12.（2022·廣東肇慶百花中學(xué)期中）已知為直線l的方向向量，，分別為不重合的兩個平面α、β的法向量，則下列說法中，正確的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由題意，根據(jù)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，可得答案.【詳解】對于A，由，則平面平行，而，可得，故A正確；對于B，由，則，反之也成立，故B正確；對于C，由，則，反之，由，則，故C錯誤；對于D，由，則或，反之，由，則，故D錯誤；故選：AB.13.（2022·浙江紹興市第二中學(xué)期中）已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量運算求解.【詳解】向量，，所以，故A正確；因為，所以，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD14.（2022·河北省辛集市育才中學(xué)期中）給出下列命題正確的是（）A.直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直B.直線a，b的方向向量，，若，，則直線a，b相交C.無論m取何實數(shù)，直線恒過一定點D.平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則【答案】ACD【解析】【分析】對于選項A：由，得出，即可作出判斷；對于選項B：由，夾角為鈍角，可能是相交也可能是異面，即可作出判斷；對于選項C：直線可化簡為：，由直線的點斜式方程可知直線恒過定點，即可作出判斷；對于選項D：易知，由此計算即可得出，即可作出判斷詳解】對于選項A：，所以，即l與m垂直，故A正確；對于選項B：，夾角為鈍角，可能是相交也可能是異面，故B錯誤；對于選項C：直線可化簡為：，顯然無論m取何實數(shù)，直線恒過定點，故C正確；對于選項D：因為向量是平面的法向量，所以有，又，所以有，即，故D正確.故選：ACD.15.（2022·廣東省肇慶市端州中學(xué)期中）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點，在線段上，則下列說法中正確的有（）A.平面B.平面C.存在點，滿足D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】對于A，在平面找一條直線，使其與平行即可；對于B，先由證明四點共面，再證四點共面，進(jìn)而能判斷直線與平面的位置關(guān)系；對于C，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運算即可；對于D，把三棱錐的正面和上底面展開，即能找到的最小值，構(gòu)造直角三角形求解即可.【詳解】對于A，連接，分別是棱的中點，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面在平面內(nèi)，所以平面，故A正確；對于B，易知，所以四點共面，又點，所以四點共面，平面，而平面，直線平面，故B不正確；對于C，以為正交基底，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，若，則，，在線段延長線上，而不在線段上，故C不正確；對于D，把圖1的正面和上底面展開如圖2所示，連接即為所求，過做PG垂直于且與其相交于，與相交于，易得，，，，在中，，，故D正確.故選：AD三、填空題（10道）16.（2022·廣東省實驗附屬中學(xué)期中）已知向量，則___________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】因為，則，故答案為：.17.（2022·廣東省肇慶市端州中學(xué)期中）在空間直角坐標(biāo)系中，記點關(guān)于軸的對稱點為關(guān)于平面的對稱點為，則___________.【答案】【解析】【分析】利用對稱性求對稱點坐標(biāo)，應(yīng)用空間兩點距離公式求.【詳解】依題意，關(guān)于軸的對稱點為關(guān)于平面的對稱點為所以.故答案為：18.（2022·河北省辛集市育才中學(xué)期中）若，，點P在x軸上，且，則點P的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間中兩點間距離即可求解.【詳解】設(shè)，由可得，解得，所以，故答案為：19.（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)校考期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，若點在軸上，且，則M的坐標(biāo)是.【答案】【分析】設(shè)，利用距離公式可得關(guān)于的方程，解方程后可得的坐標(biāo).【詳解】依題意，設(shè)，因為，，，所以，解得，所以．故答案為：.20．（2022秋·廣東深圳·高二紅嶺中學(xué)?？计谥校┲本€的方向向量是，平面的法向量，若直線，則.【答案】1【分析】結(jié)合已知條件可得，然后利用垂直向量的數(shù)量積為0即可求解.【詳解】由題意可知，，因為，，從而，解得.故答案為：1.21．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┰O(shè)直線的方向向量為，平面的一個法向量為，若直線平面，則實數(shù)的值為．【答案】【分析】由線面平行可得，由向量垂直的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】直線平面，，即，解得：.故答案為：.22.（2022·河北省辛集市育才中學(xué)期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，點C，D，分別在x軸，y軸上，且，那么的最小值是___________.【答案】.【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)可得，利用定義求結(jié)合二次函數(shù)求最值.【詳解】設(shè)，，∵，，∴，，∵，∴，即.∵，∴.（當(dāng)時取最小值）故答案為：23．（2022秋·廣東廣州·高二廣州四十七中?？计谥校┤羝矫娴囊粋€法向量為，平面的一個法向量為，且，則．【答案】【分析】由，得，利用向量坐標(biāo)平行計算公式代入計算.【詳解】由，得，所以，解得，，∴．故答案為：24.（2022秋·廣東江門·高二新會陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）如圖，多面體中，面為正方形，平面，，且，，為棱的中點，為棱上的動點，有下列結(jié)論：①當(dāng)為棱的中點時，平面；②存在點，使得；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐的外接球表面積為．其中正確的結(jié)論序號為．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①③④【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定，結(jié)合棱錐體積的計算公式，以及棱錐外接球半徑的求解，對每一項進(jìn)行逐一求解和分析即可.【詳解】對①：當(dāng)H為DE的中點時，取中點為，連接，因為分別為的中點，故可得//，，根據(jù)已知條件可知：//，故//，故四邊形為平行四邊形，則//，又平面平面，故//面，故①正確；對②：因為平面平面，故，又四邊形為矩形，故，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，設(shè)，，若GH⊥AE，則，即，解得，不滿足題意，故②錯誤；對③：，因為均為定點，故為定值，又//平面平面，故//面，又點在上運動，故點到平面的距離是定值，故三棱錐的體積為定值，則③正確；對④：由題可得平面，又面為正方形，∴，∴AB⊥平面BCF，則AB，BC，CF兩兩垂直，∴AF為三棱錐的外接球的直徑，又，∴三棱錐的外接球表面積為，故④正確.故答案為：①③④.25.（2021秋·廣東廣州·高二廣州市第七中學(xué)校考期中）若點在平面外，過點作面的垂線，則稱垂足為點在平面內(nèi)的正投影，記為.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與，不重合），.給出下列三個結(jié)論：①線段長度的取值范圍是；②存在點使得平面；③存在點使得；其中正確結(jié)論的序號是.【答案】①②【分析】由題意結(jié)合空間位置關(guān)系確定、的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點坐標(biāo)后，由空間兩點間距離公式、方向向量和法向量的應(yīng)用，逐個判斷即可得解.【詳解】取的中點，過點在平面內(nèi)作于，再過點在平面內(nèi)作于,在正方體中，平面，平面，，又，，平面，即，，同理可證，，則，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)，則，，，，，對于命題①，，，則，所以，所以，命題①正確；對于命題②，，則平面的一個法向量為，，令，解得，所以存在點使得平面，命題②正確；對于命題③，，令，整理得，該方程無解，所以不存在點使得，命題③錯誤.故答案為：①②.四、簡答題（5道）26.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖1，已知是上，下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸折成