山東省濟(jì)南市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編（14套）-03解答題（提升題）

山東省濟(jì)南市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編（14套）-03解答題（提升題）一．分式方程的應(yīng)用（共1小題）1．（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）某社區(qū)在防治新型冠狀病毒期間，需要購(gòu)進(jìn)一批防護(hù)服，現(xiàn)有甲、乙兩種不同型號(hào)的防護(hù)服，已知每件甲型防護(hù)服的價(jià)格比每件乙型防護(hù)服的價(jià)格便宜30元，用4200元購(gòu)買甲型防護(hù)服的件數(shù)與用5250元購(gòu)買乙型防護(hù)服的件數(shù)剛好相等．（1）求甲、乙兩種型號(hào)的防護(hù)服每件各是多少元？（2）如果該社區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)的防護(hù)服共需80件，且要求投入的經(jīng)費(fèi)不超過(guò)11400元，則最多可購(gòu)買多少件乙型防護(hù)服？二．一元一次不等式的應(yīng)用（共2小題）2．（2023?歷下區(qū)一模）某校手工社團(tuán)計(jì)劃制作A、B兩類手工產(chǎn)品共100個(gè)，準(zhǔn)備在“紅領(lǐng)巾愛(ài)心義賣”活動(dòng)中出售，所獲收入全部捐給希望小學(xué)建圖書(shū)角．若售出3個(gè)A類產(chǎn)品和2個(gè)B類產(chǎn)品收入65元，售出4個(gè)A類產(chǎn)品和3個(gè)B類產(chǎn)品收入90元．（1）求A、B兩類手工產(chǎn)品的售價(jià)各是多少元；（2）已知A類產(chǎn)品個(gè)數(shù)不超過(guò)B類產(chǎn)品的3倍，則制作A、B類兩種產(chǎn)品各多少個(gè)的時(shí)候總收入最多？請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023?市中區(qū)一模）某校藝術(shù)節(jié)，計(jì)劃購(gòu)買紅、藍(lán)兩種顏色的文化衫進(jìn)行手繪設(shè)計(jì)，并進(jìn)行義賣后將所獲利潤(rùn)全部捐給山區(qū)困難孩子．已知該學(xué)校從批發(fā)市場(chǎng)花4800元購(gòu)買了紅、藍(lán)兩種顏色的文化衫220件，每件文化衫的批發(fā)價(jià)及手繪后的零售價(jià)如表：批發(fā)價(jià)（元）零售價(jià)（元）紅色文化衫2545藍(lán)色文化衫2035（1）學(xué)校購(gòu)進(jìn)紅、藍(lán)文化衫各幾件？（2）若學(xué)校再次購(gòu)進(jìn)紅、藍(lán)兩種顏色的文化衫300件，其中紅色文化衫的數(shù)量不多于藍(lán)色文化衫數(shù)量的2倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案：學(xué)校購(gòu)進(jìn)紅色文化衫多少件時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？三．解一元一次不等式組（共1小題）4．（2023?槐蔭區(qū)一模）解不等式組：．四．一元一次不等式組的整數(shù)解（共1小題）5．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）解不等式組：，并寫(xiě)出它的所有整數(shù)解．五．反比例函數(shù)綜合題（共4小題）6．（2023?平陰縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P（﹣1，2），AB⊥x軸于點(diǎn)E，正比例函數(shù)y＝mx的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、P兩點(diǎn)．（1）求m、n的值；（2）求證：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．7．（2023?市中區(qū)一模）已知在等腰直角三角形△ABC中，∠B＝90°，A（0，2），B（1，0）．（1）如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）上，則k1＝；（2）如圖2，若將△ABC沿x軸向右平移得到△A'B'C'，平移距離為m，當(dāng)A'，C'都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）上時(shí)，求k2，m；（3）如圖3，在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△B'C'P的面積是△A'B'C'面積的一半．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）如圖，已知點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥x軸，交反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象于點(diǎn)A，若ABC的面積為1．（1）求k的值；（2）如圖2，點(diǎn)D在第二象限，△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，tan∠ADC＝，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．9．（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）如圖1，直線l與坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，CE與DF交于點(diǎn)G（4，3）．（1）當(dāng)點(diǎn)D恰好是FG中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；（2）如圖2，連接EF，求證：CD∥EF；（3）如圖3，將△CGD沿CD折疊，點(diǎn)G恰好落在邊OB上的點(diǎn)H處，求此時(shí)反比例函數(shù)的解析式．六．三角形綜合題（共1小題）10．（2023?萊蕪區(qū)一模）如圖1，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在△ACB的內(nèi)部，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接DE、BD、AE．（1）判斷線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）如圖2，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，寫(xiě)出線段BE、CE、AE的數(shù)量關(guān)系為；（3）如圖3，若AC＝2，DC＝1.2，點(diǎn)F為線段AB中點(diǎn)，當(dāng)E、D、F三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，連接BD，求BD的長(zhǎng)度．?七．平行四邊形的性質(zhì)（共3小題）11．（2023?萊蕪區(qū)一模）在?ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上，且DE∥BF，求證：BF＝DE．12．（2023?槐蔭區(qū)一模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE＝CF．求證：BE＝DF．13．（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，BF，DE∥BF．求證：AE＝CF．八．菱形的性質(zhì)（共1小題）14．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，DF，AE＝CF．求證：∠ADF＝∠CDE．九．切線的性質(zhì)（共6小題）15．（2023?歷下區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接BC，點(diǎn)E是⊙O上一點(diǎn)，OE∥BC，連接BE交AC于點(diǎn)H，BH＝BD．（1）求證：∠DBC＝∠EBA；（2）若BD＝5，求AB長(zhǎng)．16．（2023?萊蕪區(qū)一模）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，DE是⊙O的切線，DE⊥AC于E．（1）求證：AB＝AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠C＝30°，求AE的長(zhǎng)．?17．（2023?商河縣一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)F在AB上，以BF為直徑的⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，且邊AC與⊙O切于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：BE平分∠CBA；（2）若AE＝2AF＝4，求BC的長(zhǎng)．18．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，DO⊥AB交AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE＝DC；（2）若OE＝2，sin∠ODC＝，求⊙O的半徑．19．（2023?槐蔭區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的直徑CD，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接CP與AB交于點(diǎn)M．（1）求證：FM＝FP；（2）若cos∠F＝，⊙O半徑長(zhǎng)為3，求DG長(zhǎng)．20．（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，DP是⊙O的切線，過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：AP平分∠DAB；（2）若AC＝5，sin∠APC＝，求DP的長(zhǎng)．一十．相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）21．（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，過(guò)D作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于E，交BC于F．（1）求證：DF⊥BC；（2）求證：DE2＝AE?BE．一十一．解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）22．（2023?槐蔭區(qū)一模）圭表（如圖1）是我國(guó)古代度量日影長(zhǎng)度的天文儀器，它包括一根直立的桿（稱為“表”）和一把南北方向水平放置且與桿垂直的標(biāo)尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午的陽(yáng)光照射在“表”上時(shí)，“表”的影子便會(huì)投射在“圭”上．我國(guó)古代歷法將一年中白晝最短的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最長(zhǎng)）定為冬至；白晝最長(zhǎng)的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最短）定為夏至．某地發(fā)現(xiàn)一個(gè)圭表遺跡（如圖2），但由于“表”已損壞，僅能測(cè)得“圭”上記錄的夏至線與冬至線間的距離（即AB的長(zhǎng)）為11.3米．現(xiàn)已知該地冬至正午太陽(yáng)高度角（即∠CBD）為35°34′，夏至正午太陽(yáng)高度角（即∠CAD）為82°26'，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算推測(cè)損壞的“表”原來(lái)的高度（即CD的長(zhǎng)）約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin35°34′≈0.58；cos35°34′≈0.81；tan35°34′≈0.72；sin82°26'≈0.99；cos82°26'≈0.13；tan82°26'≈7.5）一十二．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共1小題）23．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）新元學(xué)?？萍忌鐖F(tuán)趙翔同學(xué)借助無(wú)人機(jī)，測(cè)量坡角為34°的滑行跑道斜坡部分AB的長(zhǎng)度．如圖所示，水平飛行的無(wú)人機(jī)在點(diǎn)D處測(cè)得跑道斜坡的頂端A處的俯角∠EDA＝25°，底端點(diǎn)B處的俯角∠EDB＝56°，點(diǎn)C，B，F(xiàn)在同一條水平直線上，BC＝28米．（1）求無(wú)人機(jī)的飛行高度CD；（2）求滑行跑道AB的長(zhǎng)度．（所有計(jì)算結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）一十三．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（共1小題）24．（2023?歷城區(qū)一模）如圖，一艘游輪在A處測(cè)得北偏東45°的方向上有一燈塔B，游輪以海里/時(shí)的速度向正東方向航行2小時(shí)到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得燈塔B在C處北偏東15°的方向上．（1）求C到直線AB的距離；（2）求游輪繼續(xù)向正東方向航行過(guò)程中與燈塔B的最小距離是多少海里？（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：，，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）一十四．頻數(shù)（率）分布折線圖（共1小題）25．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）實(shí)驗(yàn)中學(xué)為了解七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)交通安全知識(shí)的掌握情況，從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并對(duì)成績(jī)（百分制且成績(jī)均為整數(shù)）進(jìn)行整理、描述和分析，部分信息如下：信息一：七年級(jí)成績(jī)頻數(shù)分布直方圖（如圖）：信息二：七年級(jí)成績(jī)?cè)?0≤x＜80這一組的數(shù)據(jù)為：70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79信息三：七、八年級(jí)成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)七76.9m八79.279.5根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）在這次測(cè)試中，七年級(jí)在80分以下（不含80分）的有人；（2）表中m的值為；（3）該校七年級(jí)學(xué)生有500人，假設(shè)全部參加此次測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)成績(jī)超過(guò)平均數(shù)76.9分的人數(shù)．一十五．條形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）26．（2023?商河縣一模）某校為了了解家長(zhǎng)和學(xué)生參與“防疫教育”的情況，在本校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生做調(diào)查，把收集的數(shù)據(jù)分為以下4類情形：A．僅學(xué)生自己參與；B．家長(zhǎng)和學(xué)生一起參與；C．僅家長(zhǎng)自己參與；D．家長(zhǎng)和學(xué)生都未參與，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）在這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了名學(xué)生？（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中計(jì)算C類所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；（4）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校3200名學(xué)生中“家長(zhǎng)和學(xué)生一起參與”的人數(shù)．一十六．概率公式（共1小題）27．（2023?鋼城區(qū)一模）為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業(yè)中，各隨機(jī)抽取了25家郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入（單位：百萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下：（數(shù)據(jù)分成5組：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x＜16）b．甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10≤x＜12這一組的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8c．甲、乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)甲城市10.8m乙城市11.011.5根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）甲城市抽取4月份收入數(shù)據(jù)在8≤x＜10的有家郵政企業(yè)，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）寫(xiě)出表中m的值；（3）在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個(gè)數(shù)為p1．在乙城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個(gè)數(shù)為p2．比較p1，p2的大小，并說(shuō)明理由；（4）若乙城市共有200家郵政企業(yè)，估計(jì)乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入（直接寫(xiě)出結(jié)果）．

山東省濟(jì)南市2023年各地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬（一模）試題按題型難易度分層分類匯編（14套）-03解答題（提升題）參考答案與試題解析一．分式方程的應(yīng)用（共1小題）1．（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）某社區(qū)在防治新型冠狀病毒期間，需要購(gòu)進(jìn)一批防護(hù)服，現(xiàn)有甲、乙兩種不同型號(hào)的防護(hù)服，已知每件甲型防護(hù)服的價(jià)格比每件乙型防護(hù)服的價(jià)格便宜30元，用4200元購(gòu)買甲型防護(hù)服的件數(shù)與用5250元購(gòu)買乙型防護(hù)服的件數(shù)剛好相等．（1）求甲、乙兩種型號(hào)的防護(hù)服每件各是多少元？（2）如果該社區(qū)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)的防護(hù)服共需80件，且要求投入的經(jīng)費(fèi)不超過(guò)11400元，則最多可購(gòu)買多少件乙型防護(hù)服？【答案】（1）每件甲型防護(hù)服為120元，每件乙型防護(hù)服為150元；（2）最多可購(gòu)買60件乙種商品．【解答】解：（1）設(shè)每件乙型防護(hù)服為x元，則每件型防護(hù)服為（x﹣30）元，根據(jù)題意得：，解得：x＝150，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝150原方程的解，∴x﹣30＝120．答：每件甲型防護(hù)服為120元，每件乙型防護(hù)服為150元；（2）設(shè)購(gòu)買y件乙型防護(hù)服，則購(gòu)買（80﹣y）件甲型防護(hù)服，根據(jù)題意得：150y+120（80﹣y）≤11400，解得：y≤60．答：最多可購(gòu)買60件乙種商品．二．一元一次不等式的應(yīng)用（共2小題）2．（2023?歷下區(qū)一模）某校手工社團(tuán)計(jì)劃制作A、B兩類手工產(chǎn)品共100個(gè)，準(zhǔn)備在“紅領(lǐng)巾愛(ài)心義賣”活動(dòng)中出售，所獲收入全部捐給希望小學(xué)建圖書(shū)角．若售出3個(gè)A類產(chǎn)品和2個(gè)B類產(chǎn)品收入65元，售出4個(gè)A類產(chǎn)品和3個(gè)B類產(chǎn)品收入90元．（1）求A、B兩類手工產(chǎn)品的售價(jià)各是多少元；（2）已知A類產(chǎn)品個(gè)數(shù)不超過(guò)B類產(chǎn)品的3倍，則制作A、B類兩種產(chǎn)品各多少個(gè)的時(shí)候總收入最多？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）A類手工產(chǎn)品的售價(jià)是15元，B類手工產(chǎn)品的售價(jià)是10元；（2）制作A類產(chǎn)品75個(gè)、B類產(chǎn)品25個(gè)的時(shí)候總收入最多．理由見(jiàn)解答．【解答】解：（1）設(shè)A類手工產(chǎn)品的售價(jià)是x元，B類手工產(chǎn)品的售價(jià)是y元，依題意有：，解得．故A類手工產(chǎn)品的售價(jià)是15元，B類手工產(chǎn)品的售價(jià)是10元；（2）制作A類產(chǎn)品75個(gè)、B類產(chǎn)品25個(gè)的時(shí)候總收入最多．理由如下：設(shè)A類產(chǎn)品個(gè)數(shù)為m個(gè)，則B類產(chǎn)品個(gè)數(shù)為（100﹣m）個(gè)，依題意有：m≤3（100﹣m），解得m≤75．∵A類手工產(chǎn)品的售價(jià)是15元，B類手工產(chǎn)品的售價(jià)是10元，∴制作A類產(chǎn)品75個(gè)、B類產(chǎn)品25個(gè)的時(shí)候總收入最多．3．（2023?市中區(qū)一模）某校藝術(shù)節(jié)，計(jì)劃購(gòu)買紅、藍(lán)兩種顏色的文化衫進(jìn)行手繪設(shè)計(jì)，并進(jìn)行義賣后將所獲利潤(rùn)全部捐給山區(qū)困難孩子．已知該學(xué)校從批發(fā)市場(chǎng)花4800元購(gòu)買了紅、藍(lán)兩種顏色的文化衫220件，每件文化衫的批發(fā)價(jià)及手繪后的零售價(jià)如表：批發(fā)價(jià)（元）零售價(jià)（元）紅色文化衫2545藍(lán)色文化衫2035（1）學(xué)校購(gòu)進(jìn)紅、藍(lán)文化衫各幾件？（2）若學(xué)校再次購(gòu)進(jìn)紅、藍(lán)兩種顏色的文化衫300件，其中紅色文化衫的數(shù)量不多于藍(lán)色文化衫數(shù)量的2倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案：學(xué)校購(gòu)進(jìn)紅色文化衫多少件時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）學(xué)校購(gòu)進(jìn)紅文化衫80件，藍(lán)文化衫140件；（2）學(xué)校購(gòu)進(jìn)紅色文化衫200件時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是5500元．【解答】解：（1）設(shè)學(xué)校購(gòu)進(jìn)紅文化衫x件，藍(lán)文化衫y件，依題意，得：，解得：．答：學(xué)校購(gòu)進(jìn)紅文化衫80件，藍(lán)文化衫140件；（2）設(shè)學(xué)校再次購(gòu)進(jìn)紅文化衫a件，則藍(lán)文化衫（300﹣a）件，獲得的利潤(rùn)為w元，則w＝（45﹣25）a+（35﹣20）（300﹣a）＝5a+4500，由題意得a≤2（300﹣a），解得a≤200，∵k＞0，0≤a≤200，∴w隨a的增大而增大．當(dāng)a＝200時(shí)，最大利潤(rùn)為5500元．故學(xué)校購(gòu)進(jìn)紅色文化衫200件時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是5500元．三．解一元一次不等式組（共1小題）4．（2023?槐蔭區(qū)一模）解不等式組：．【答案】x＜﹣1．【解答】解：，由①得，x≤0，由②得，x＜﹣1，所以，不等式組的解集是x＜﹣1．四．一元一次不等式組的整數(shù)解（共1小題）5．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）解不等式組：，并寫(xiě)出它的所有整數(shù)解．【答案】0、1、2、3．【解答】解：解不等式①得，x≤3，解不等式②得，x＞﹣1，所以不等式組的解集為﹣1＜x≤3，所以原不等式組的整數(shù)解是0、1、2、3．五．反比例函數(shù)綜合題（共4小題）6．（2023?平陰縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P（﹣1，2），AB⊥x軸于點(diǎn)E，正比例函數(shù)y＝mx的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、P兩點(diǎn)．（1）求m、n的值；（2）求證：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．【答案】（1）﹣2，1；（2）證明見(jiàn)解答過(guò)程；（3）．【解答】（1）解：將點(diǎn)P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，解得：m＝﹣2，∴正比例函數(shù)解析式為y＝﹣2x；將點(diǎn)P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3），解得：n＝1，∴反比例函數(shù)解析式為y＝﹣．故m、n的值為﹣2，1．（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．∵AB⊥x軸，∴∠AEO＝∠CPD＝90°，∴△CPD∽△AEO；（3）解：聯(lián)立正、反比例函數(shù)解析式成方程組，得：，解得：（舍去），，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣2），∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP＝∠AOE，∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．所以sin∠CDB的值為．7．（2023?市中區(qū)一模）已知在等腰直角三角形△ABC中，∠B＝90°，A（0，2），B（1，0）．（1）如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)（3，1），若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）上，則k1＝3；（2）如圖2，若將△ABC沿x軸向右平移得到△A'B'C'，平移距離為m，當(dāng)A'，C'都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）上時(shí)，求k2，m；（3）如圖3，在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△B'C'P的面積是△A'B'C'面積的一半．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（3，1），3；（2）m＝3，k2＝6；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，﹣）或（0，﹣）．【解答】解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，則BA＝BC，∠ABC＝90°，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，∵∠ABO＝∠BHC＝90°，BC＝BA，∴△ABO≌△BHC（AAS），∴BH＝AO＝2，CH＝OB＝1，∴C（3，1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k1＝3×1＝3，故答案為：（3，1），3；（2）設(shè)A'（m，2），C'（3+m，1），∴k2＝2m＝3+m，∴m＝3，則點(diǎn)A′（3，2），將點(diǎn)A′坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k2＝2×3＝6；（3）存在，理由：∵A'（3，2），C'（6，1），B′（4，0），設(shè)A'B'中點(diǎn)為D，則D（，1），由點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo)得，直線B′C′的表達(dá)式為：y＝x﹣2，延長(zhǎng)C′B′交y軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H（0，﹣2），作DP∥B'C'交y軸于點(diǎn)P，則DH的表達(dá)式為：y＝（x﹣）+1，則點(diǎn)P（0，﹣），點(diǎn)P即為所求點(diǎn)；DP點(diǎn)關(guān)于直線B'C'的對(duì)稱直線與y軸交點(diǎn)P′也為所求點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，點(diǎn)P′（0，﹣），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，﹣）或（0，﹣）．8．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）如圖，已知點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥x軸，交反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象于點(diǎn)A，若ABC的面積為1．（1）求k的值；（2）如圖2，點(diǎn)D在第二象限，△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，tan∠ADC＝，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以A，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）k＝1；（2）點(diǎn)D（﹣4，6）；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（﹣2，7）或（﹣1，7）或（﹣5，﹣5）或（﹣5，5）．【解答】解：（1）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)C（﹣1，0），則BC＝2，則ABC的面積＝BC?AB＝2×AB＝1，解得：AB＝1，即點(diǎn)A（1，1），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k＝1×1＝1；（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，∵∠DCH+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAB＝90°，∴∠DCH＝∠CAB，∵∠DHC＝∠CBA＝90°，∴△DHC∽△CBA，∴，即，解得：DH＝6，CH＝3，∴點(diǎn)D（﹣4，6）；（3）設(shè)點(diǎn)M（x，0），點(diǎn)N（s，t），①當(dāng)AD是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AD＝MN得：，解得：，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（﹣2，7）或（﹣1，7）；②當(dāng)AM或AN是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AD＝MN或AN＝DM得：或，解得：或，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（﹣5，﹣5）或（﹣5，5）；綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（﹣2，7）或（﹣1，7）或（﹣5，﹣5）或（﹣5，5）．解法二：設(shè)M（m，0）．如圖1中，當(dāng)四邊形ADMN上當(dāng)矩形時(shí)，作DT⊥OM于點(diǎn)T，AG⊥DT于點(diǎn)G．由△DTM∽△AGD，可得＝，∴＝，∴m＝﹣10，∴M（﹣10，0）．由平移變換的性質(zhì)可知N（﹣5，﹣5），如圖2中，當(dāng)四邊形ADNM是矩形時(shí)，同法可得m＝0，M（0，0）．由平移變換的性質(zhì)可知，N（﹣5，5）．如圖3中，當(dāng)四邊形AMND是矩形時(shí)，同法可得m＝﹣2，M（﹣2，0），N（﹣1，7）．9．（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）如圖1，直線l與坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，CE與DF交于點(diǎn)G（4，3）．（1）當(dāng)點(diǎn)D恰好是FG中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；（2）如圖2，連接EF，求證：CD∥EF；（3）如圖3，將△CGD沿CD折疊，點(diǎn)G恰好落在邊OB上的點(diǎn)H處，求此時(shí)反比例函數(shù)的解析式．【答案】（1）2；（2）見(jiàn)解答；（3）y＝．【解答】（1）解：當(dāng)點(diǎn)D恰好是FG中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)D（4，），將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：＝，解得：k＝6，即反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y＝，當(dāng)y＝3時(shí)，則3＝，解得：x＝2，即此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2；（2）證明：設(shè)點(diǎn)D（4，），C（k，3），則GD＝3﹣，則＝1﹣，同理可得：，∴CD∥EF；（3）解：過(guò)點(diǎn)C作CN⊥OB于點(diǎn)N，設(shè)GD＝HD＝x，CG＝CH＝a，則EC＝4﹣a，DF＝3﹣x，即點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（4﹣a，3）、（4，3﹣x），則3（4﹣a）＝4（3﹣x）①，∵∠CHD＝90°，∴∠NCH+∠FHD＝90°，∠NCH+∠HNC＝90°，∴∠NCH＝∠DHF，∴sin∠NCH＝sin∠DHF，即②，聯(lián)立①②并解得：x＝，則點(diǎn)D（4，），將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：＝，解得：k＝，故反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y＝．六．三角形綜合題（共1小題）10．（2023?萊蕪區(qū)一模）如圖1，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在△ACB的內(nèi)部，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接DE、BD、AE．（1）判斷線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）如圖2，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，寫(xiě)出線段BE、CE、AE的數(shù)量關(guān)系為BE＝CE+AE；（3）如圖3，若AC＝2，DC＝1.2，點(diǎn)F為線段AB中點(diǎn)，當(dāng)E、D、F三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，連接BD，求BD的長(zhǎng)度．?【答案】（1）AE＝BD，理由見(jiàn)解答過(guò)程；（2）BE＝CE+AE；（3）1.6．【解答】解：（1）AE＝BD，理由如下：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠ECD＝90°＝∠ACB，CE＝CD，∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（2）在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CE＝CD，∴DE＝＝CE，∵AE＝BD，BE＝DE+BD，∴BE＝CE+AE，故答案為：BE＝CE+AE；（3）如圖3，連接CF，∵△ACB、△CDE是等腰直角三角形，∴∠CED＝45°＝∠CAB，∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓，∴∠EAC＝∠EFC，∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠DBC，∴∠EFC＝∠DBC，∴B、C、D、F四點(diǎn)共圓，∴∠DCF＝∠DBF，∵點(diǎn)F為線段AB中點(diǎn)，∴CF⊥AB，∴∠CFB＝90°，∴∠FCB+∠DBC+∠DBF＝90°，∴∠FCB+∠DBC+∠DCF＝90°，∴∠CDB＝180°﹣90°＝90°，∵BC＝AC＝2，DC＝1.2，∴BD＝＝＝1.6．七．平行四邊形的性質(zhì)（共3小題）11．（2023?萊蕪區(qū)一模）在?ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上，且DE∥BF，求證：BF＝DE．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD，BC∥AD，∴∠BCF＝∠DAE，∵DE∥BF，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BFC＝∠DEA，在△BCF和△DAE中，，∴△BCF≌△DAE（AAS），∴BF＝DE．12．（2023?槐蔭區(qū)一模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE＝CF．求證：BE＝DF．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解答部分．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．13．（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，BF，DE∥BF．求證：AE＝CF．【答案】見(jiàn)解析．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE∥BF，∴∠DEF＝BFE，∴∠AED＝∠CFB，在△ADE與△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．八．菱形的性質(zhì)（共1小題）14．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，DF，AE＝CF．求證：∠ADF＝∠CDE．【答案】證明見(jiàn)解析部分．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，在△DAE和△DCF中，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE+∠EDF＝∠CDF+∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE．九．切線的性質(zhì)（共6小題）15．（2023?歷下區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接BC，點(diǎn)E是⊙O上一點(diǎn)，OE∥BC，連接BE交AC于點(diǎn)H，BH＝BD．（1）求證：∠DBC＝∠EBA；（2）若BD＝5，求AB長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）5．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵OE∥BC，∴OE⊥AC，∴＝，∴∠ABE＝∠CBE，∵BH＝BD，BC⊥DH，∴BC平分∠DBH，即∠DBC＝∠CBH，∴∠DBC＝∠EBA；（2）解：∵BD為⊙O的切線，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠CBE＝∠EBA，∴∠DBC＝30°，∵∠BCD＝90°，∴∠D＝60°，在Rt△ABD中，AB＝BD＝5．16．（2023?萊蕪區(qū)一模）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，DE是⊙O的切線，DE⊥AC于E．（1）求證：AB＝AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠C＝30°，求AE的長(zhǎng)．?【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）AE的長(zhǎng)為2．【解答】（1）證明：如圖，連接AD、OD，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴AC∥OD，∴∠C＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∴∠C＝∠D，∴AB＝AC；（2）解：如圖，連接AD，∵⊙O的半徑為4，AB是⊙O的直徑，∴AB＝8，∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠C＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴AD＝AB＝4，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠C+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，∴AE＝AD＝2．17．（2023?商河縣一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)F在AB上，以BF為直徑的⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，且邊AC與⊙O切于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：BE平分∠CBA；（2）若AE＝2AF＝4，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）BC＝．【解答】（1）證明：連接OE，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∵AC與⊙O相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠AEO，∴OE∥BC，∴∠OEB＝∠CBE，∴∠OBE＝∠CBE，∴BE平分∠CBA；（2）解：∵AE＝2AF＝4，∴AF＝2，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝OF＝R，在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，即（R+2）2＝42+R2，解得：R＝3，∴BF＝6，∴OA＝OF+AF＝5，∵∠C＝∠OEA＝90°，∴OE∥BC，∴△OEA∽△BCA，∴，∴，∴BC＝．18．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，DO⊥AB交AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE＝DC；（2）若OE＝2，sin∠ODC＝，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4．【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥CD，∴∠OCE+∠DCE＝90°．∵DO⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠A+∠AEO＝90°．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCE．∴∠DCE＝∠AEO，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC；（2）解：∵sin∠ODC＝，sin∠ODC＝，∴，設(shè)OC＝4k，則OD＝5k，∴CD＝＝3k．∴DE＝DC＝3k，∴OE＝OD﹣DE＝2k．∵OE＝2，∴2k＝2，∴k＝1．∴⊙O的半徑＝OC＝4k＝4．19．（2023?槐蔭區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的直徑CD，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接CP與AB交于點(diǎn)M．（1）求證：FM＝FP；（2）若cos∠F＝，⊙O半徑長(zhǎng)為3，求DG長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3．【解答】（1）證明：連接OP，OB，OA，∵OA＝OB，E是AB中點(diǎn)，∴OE⊥AB，∵FG與圓相切于P，∴半徑PO⊥FG，∵OC＝OP，∴∠C＝∠OPC，∵∠EMC+∠C＝∠FPM+∠OPC＝90°，∴∠FPM＝∠EMC，∵∠FMP＝∠EMC，∴∠FMP＝∠FPM，∴FM＝FP；（2）解：∵cos∠F＝，∴∠F＝60°，∵∠OEB＝90°，∴∠G＝90°﹣∠F＝30°，∵∠OPG＝90°，∴OP＝OG，∵⊙O半徑長(zhǎng)為3，∴OG＝2×3＝6，∴DG＝OG﹣OD＝6﹣3＝3．20．（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，DP是⊙O的切線，過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：AP平分∠DAB；（2）若AC＝5，sin∠APC＝，求DP的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）6．【解答】（1）證明：連接PO，∵PD與圓相切于P，∴半徑OP⊥PD，∵AD⊥PD，∴OP∥AD，∴∠DAP＝∠APO，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠APO，∴∠DAP＝∠OAP，∴PA平分∠DAB；（2）解：連接BC，∵AB是圓的直徑，∴ACB＝90°，∵∠ABC＝∠APC，∴sin∠APC＝sin∠ABC＝，∴＝＝，∴AB＝13，∴BC＝＝＝12，∵BC⊥AD，PD⊥AD，∴PD∥BC，∵OP⊥PD，∴PO⊥BC，∴CH＝BC＝6，∵四邊形DCHP是矩形，∴PD＝CH＝6．一十．相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）21．（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，過(guò)D作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于E，交BC于F．（1）求證：DF⊥BC；（2）求證：DE2＝AE?BE．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）連接OD，∵OA＝OD，AB＝BC，∴∠A＝∠C，∠A＝∠ODA，∴∠C＝∠ODA，∴OD∥BC，∴∠BFE＝∠ODE，∵DE為⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∴∠BFE＝90°，∴DF⊥BC；（2）連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ODE＝90°，∴∠ODB+∠BDE＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠A＝∠BDE，∵∠E＝∠E，∴△DBE∽△ADE，∴＝，∴DE2＝AE×BE．一十一．解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）22．（2023?槐蔭區(qū)一模）圭表（如圖1）是我國(guó)古代度量日影長(zhǎng)度的天文儀器，它包括一根直立的桿（稱為“表”）和一把南北方向水平放置且與桿垂直的標(biāo)尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午的陽(yáng)光照射在“表”上時(shí)，“表”的影子便會(huì)投射在“圭”上．我國(guó)古代歷法將一年中白晝最短的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最長(zhǎng)）定為冬至；白晝最長(zhǎng)的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最短）定為夏至．某地發(fā)現(xiàn)一個(gè)圭表遺跡（如圖2），但由于“表”已損壞，僅能測(cè)得“圭”上記錄的夏至線與冬至線間的距離（即AB的長(zhǎng)）為11.3米．現(xiàn)已知該地冬至正午太陽(yáng)高度角（即∠CBD）為35°34′，夏至正午太陽(yáng)高度角（即∠CAD）為82°26'，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算推測(cè)損壞的“表”原來(lái)的高度（即CD的長(zhǎng)）約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin35°34′≈0.58；cos35°34′≈0.81；tan35°34′≈0.72；sin82°26'≈0.99；cos82°26'≈0.13；tan82°26'≈7.5）【答案】損壞的“表”原來(lái)的高度約為9米．【解答】解：設(shè)AD＝x米，∵AB＝11.3米，∴BD＝AD+AB＝（x+11.3）米，在Rt△ADC中，∠CAD＝82°26′，∴CD＝AD?tan82°26′≈7.5x（米），在Rt△CDB中，∠CBD＝35°34′，∴tan35°34′＝＝≈0.72，解得：x＝1.2，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝1.2是原方程的根，∴CD＝7.5x＝9（米），∴損壞的“表”原來(lái)的高度約為9米．一十二．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共1小題）23．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）新元學(xué)?？萍忌鐖F(tuán)趙翔同學(xué)借助無(wú)人機(jī)，測(cè)量坡角為34°的滑行跑道斜坡部分AB的長(zhǎng)度．如圖所示，水平飛行的無(wú)人機(jī)在點(diǎn)D處測(cè)得跑道斜坡的頂端A處的俯角∠EDA＝25°，底端點(diǎn)B處的俯角∠EDB＝56°，點(diǎn)C，B，F(xiàn)在同一條水平直線上，BC＝28米．（1）求無(wú)人機(jī)的飛行高度CD；（2）求滑行跑道AB的長(zhǎng)度．（所有計(jì)算結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【答案】（1）無(wú)人機(jī)的飛行高度CD約為41米；（2）滑行跑道AB的長(zhǎng)度約為30米．【解答】解：（1）由題意得：DC⊥CF，ED∥CB，∴∠EDB＝∠DBC＝56°，在Rt△DCB中，BC＝28米，∴CD＝BC?tan56°≈28×1.48＝41.44≈41（米），∴無(wú)人機(jī)的飛行高度CD約為41米；（2）∵∠EDB＝56°，∠EDA＝25°，∴∠ADB＝∠EDB﹣∠EDA＝31°，由題意得：∠ABF＝34°，∴∠DBA＝180°﹣∠DBC﹣∠ABF＝90°，在Rt△DCB中，BC＝28米，∴BD＝≈＝50（米），在Rt△ABD中，AB＝BD?tan31°≈50×0.60＝30（米），∴滑行跑道AB的長(zhǎng)度約為30米．一十三．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（共1小題）24．（2023?歷城區(qū)一模）如圖，一艘游輪在A處測(cè)得北偏東45°的方向上有一燈塔B，游輪以海里/時(shí)的速度向正東方向航行2小時(shí)到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得燈塔B在C處北偏東15°的方向上．（1）求C到直線AB的距離；（2）求游輪繼續(xù)向正東方向航行過(guò)程中與燈塔B的最小距離是多少海里？（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：，，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【答案】（1）點(diǎn)C到線段AB的距離為40海里；（2）與燈塔B的最小距離是77海里．【解答】解：（1）如圖，由題意可得，∠CAB＝45°，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，在△ABC中，∠BAC＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，由題意得：AC＝2×20＝40，∴CE＝AC＝40，即點(diǎn)C到線段AB的距離為40海里；（2）由題意可得，∠DCB＝15°，則∠ACB＝105°，∵∠ACE＝45°，∴∠CBE＝30°，在Rt△BEC中，AE＝CE＝40，∴BE＝CE＝40，∴AB＝AE+BE＝40+40，作BF⊥AC于點(diǎn)F，則∠AFB＝90°，在Rt△BEC中，cos∠BAC＝＝，∴BF＝20+20≈77，答：與燈塔B的最小距離是77海里．一十四．頻數(shù)（率）分布折線圖（共1小題）25．（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）實(shí)驗(yàn)中學(xué)為了解七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)交通安全知識(shí)的掌握情況，從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并對(duì)成績(jī)（百分制且成績(jī)均為整數(shù)）進(jìn)行整理、描述和分析，部分信息如下：信息一：七年級(jí)成績(jī)頻數(shù)