15.1 隨機(jī)事件和樣本空間（三大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁15.1隨機(jī)事件和樣本空間課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）了解隨機(jī)事件的有關(guān)概念，掌握隨機(jī)事件的表示方法及含義.（1）理解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本點(diǎn)與樣本空間，會(huì)寫試驗(yàn)的樣本空間.（2）理解事件的關(guān)系與運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)01隨機(jī)試驗(yàn)1、隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)（randomexperiment），簡稱試驗(yàn)，常用字母E表示．2、隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．【即學(xué)即練1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）下列變化中是周期現(xiàn)象的是（

）A．月球到太陽的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系B．某同學(xué)每天上學(xué)的時(shí)間C．某交通路口每次綠燈通過的車輛數(shù)D．某同學(xué)每天打電話的時(shí)間【答案】A【解析】球到太陽的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是周期現(xiàn)象，某同學(xué)每天上學(xué)的時(shí)間是隨機(jī)現(xiàn)象，某交通路口每次綠燈通過的車輛數(shù)是隨機(jī)現(xiàn)象，某同學(xué)每天打電話的時(shí)間也是隨機(jī)現(xiàn)象，故選：A.知識(shí)點(diǎn)02樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間（samplespace）．一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)．在本書中，我們只討論為有限集的情況．如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，則稱樣本空間為有限樣本空間．【即學(xué)即練2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y，結(jié)果為．

(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)；(3)“”這一事件包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？“且”呢？(4)“”這一事件包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？“”呢？【解析】（1）（2）由（1）知，樣本點(diǎn)的總數(shù)為16.（3）由（1）知，事件“”包含以下4個(gè)樣本點(diǎn)：；事件“且”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn)：.（4）由（1）知，事件“”包含以下3個(gè)樣本點(diǎn)：；事件“”包含以下4個(gè)樣本點(diǎn)：.知識(shí)點(diǎn)03隨機(jī)事件1、隨機(jī)事件一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示．為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件（randomevent），簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件（elementaryevent）．隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．2、必然事件，不可能事件在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．而空集抔包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱不可能事件．【即學(xué)即練3】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）對(duì)滿足的非空集合、，有下列四個(gè)命題：①“若任取，則”是必然事件；

②“若，則”是不可能事件；③“若任取，則”是隨機(jī)事件；

④“若，則”是必然事件.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】①：因?yàn)?，，所以，因此“若任取，則”是必然事件，故本命題是真命題；②：當(dāng)集合是集合的真子集時(shí)，顯然存在一個(gè)元素在集合中，不在集合中，因此“若，則”是隨機(jī)事件，故本命題是假命題；③：任取，當(dāng)集合是集合的真子集時(shí)，有可能成立，也可能不成立，因此“若任取，則”是隨機(jī)事件,故本命題是真命題；④：因?yàn)?，所以一定有，顯然“若，則”是必然事件，故本命題是真命題．因此①③④為真命題.故選：B知識(shí)點(diǎn)04事件的關(guān)系與運(yùn)算（1）事件的包含關(guān)系：事件B發(fā)生必導(dǎo)致事件A發(fā)生，稱事件A包含事件B(或事件B包含于事件A)，記作BA.（2）事件的運(yùn)算定義符號(hào)圖示并事件(或和事件)一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，即為事件C發(fā)生(或)交事件(或積事件)一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，即為事件C發(fā)生(或)【即學(xué)即練3】（2024·高二·新疆·期中）連續(xù)拋擲兩枚骰子，觀察落地時(shí)的點(diǎn)數(shù).記事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為6}.(1)用樣本點(diǎn)表示事件，；(2)若事件，則事件E與已知事件是什么運(yùn)算關(guān)系？【解析】（1）由題意得，事件，事件，事件，事件.則，；（2）由（1）知，事件，，因?yàn)椋?題型一：樣本空間【典例1-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）做試驗(yàn)“從，1，2這3個(gè)數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個(gè)數(shù)字，構(gòu)成有序數(shù)對(duì)，為第1次取到的數(shù)字，為第2次取到的數(shù)字”．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)寫出這個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)；(3)寫出“第1次取出的數(shù)字是2”這一事件包含的樣本點(diǎn)．【解析】（1）這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間．（2）易知這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)是6．（3）“第1次取出的數(shù)字是2”這一事件包含的樣本點(diǎn)為：，.【典例1-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；（2）求這個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)；（3）寫出“第一象限內(nèi)的點(diǎn)”所包含的樣本點(diǎn)．【解析】（1）Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}；（2）試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)是12；（3）“第一象限內(nèi)的點(diǎn)”所包含的樣本點(diǎn)為：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．【變式1-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.（與先后順序有關(guān)）（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間及樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）寫出事件“恰有兩枚正面向上”的集合表示.【解析】（1）這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是8.（2）記事件“恰有兩枚正面向上”為事件A，則{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.【變式1-2】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）求出下列各試驗(yàn)的樣本空間，并指出其樣本點(diǎn)的總數(shù)．(1)從字母a，b，c中任意取出兩個(gè)字母的試驗(yàn)；(2)從裝有形狀、大小完全一樣且分別標(biāo)有1，2，3，4，5號(hào)的5個(gè)球的袋中任意取出兩個(gè)球的試驗(yàn)．【解析】（1）從三個(gè)字母中任取兩個(gè)字母的樣本空間為，樣本點(diǎn)的總數(shù)為3.（2）從袋中取兩個(gè)球的樣本空間為：球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5，樣本點(diǎn)的總數(shù)為10.【變式1-3】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：(1)連續(xù)拋擲一枚硬幣5次，記錄正面出現(xiàn)的次數(shù)；(2)從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取1張，記錄它的花色．【解析】（1）連續(xù)拋擲一枚硬幣5次，記錄正面出現(xiàn)的次數(shù)為0，1，2，3，4，5，樣本空間是；（2）從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取1張，記錄它的花色只能是黑桃、紅心、方塊、梅花中的一個(gè)，樣本空間是黑桃，紅心，方塊，梅花．【方法技巧與總結(jié)】（寫樣本空間的注意事項(xiàng)）在寫試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，一般采用列舉法寫出，必須首先明確事件發(fā)生的條件，根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，按一定次序列舉，才能保證所列結(jié)果沒有重復(fù)，也沒有遺漏．題型二：必然事件、不可能事件與隨機(jī)事件的判斷【典例2-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）下列事件中是隨機(jī)事件的是（

）A．在數(shù)軸上向區(qū)間(0，1)內(nèi)投點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)B．在數(shù)軸上向區(qū)間(0，1)內(nèi)投點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)間(0，2)內(nèi)C．在數(shù)軸上向區(qū)間(0，2)內(nèi)投點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)D．在數(shù)軸上向區(qū)間(0，2)內(nèi)投點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)間(－1，0)內(nèi)【答案】C【解析】利用隨機(jī)事件的概念，結(jié)合題意寫出所有的樣本點(diǎn)即可得解．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必然事件；當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，有x∈(0，1)或x?(0，1)，所以C是隨機(jī)事件；當(dāng)∈(0，2)時(shí)，必有x?(－1，0)，所以D是不可能事件．故選：C．【典例2-2】（2024·高一·陜西渭南·期末）一質(zhì)點(diǎn)從平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)開始，等可能地向上、下，左、右四個(gè)方向移動(dòng)，每次移動(dòng)一個(gè)單位長度，觀察該點(diǎn)移動(dòng)3次后的位置，則事件“該點(diǎn)位于第一象限”是（

）A．必然事件 B．不可能事件C．隨機(jī)事件 D．以上選項(xiàng)均不正確【答案】C【解析】一質(zhì)點(diǎn)從平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)開始，等可能地向上、下，左、右四個(gè)方向移動(dòng)是隨機(jī)的等可能，每次移動(dòng)一個(gè)單位長度，觀察該點(diǎn)移動(dòng)3次后的位置，則事件“該點(diǎn)位于第一象限”是隨機(jī)事件.故選：C.【變式2-1】（2024·高一·天津河?xùn)|·期末）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是（

）①未來某年8月18日，北京市不下雨；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰好取?號(hào)簽；④任取，則.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①未來某年8月18日，北京市不下雨，屬于隨機(jī)事件；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時(shí)結(jié)冰，屬于不可能事件；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號(hào)簽，屬于隨機(jī)事件；④任取，則，屬于必然事件；所以屬于隨機(jī)事件的有①③，即隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是.故選：B【變式2-2】（2024·高一·陜西渭南·期末）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（

）①經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，剛好是紅燈；②投擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為14；③拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，字朝上；④13個(gè)人中至少有2個(gè)人的生日在同一個(gè)月.A．①③ B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【解析】由題可知，①③可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件；對(duì)于②，骰子最大的點(diǎn)數(shù)為6，2顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和不可能為14，故②是不可能事件；對(duì)于④，每年有12個(gè)月，13個(gè)人中至少有2個(gè)人的生日在同一個(gè)月，故④是必然事件.故選：A.【變式2-3】（2024·高一·河南南陽·期中）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為（

）①明天是陰天；②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③明年鴨河水庫儲(chǔ)水量將達(dá)到；④一個(gè)三角形的大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①③是隨機(jī)事件；④是必然事件；對(duì)②，，無實(shí)數(shù)根，②是不可能事件.故選：B.【變式2-4】（2024·高一·福建廈門·開學(xué)考試）有兩個(gè)事件，事件拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)；事件人中至少有人生日相同.下列說法正確的是（

）A．事件、都是隨機(jī)事件 B．事件、都是必然事件C．事件是隨機(jī)事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是隨機(jī)事件【答案】C【解析】判斷事件、的類型，由此可得出結(jié)論.對(duì)于事件，拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，則事件為隨機(jī)事件；對(duì)于事件B，一年有天或天，由抽屜原理可知，人中至少有人生日相同，事件為必然事件.故選：C.【變式2-5】（2024·高二·四川巴中·期末）如圖，由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時(shí)，下列事件為必然事件的是（

）A．A燈亮，B燈不亮 B．A燈不亮，B燈亮C．A，B兩盞燈均亮 D．A，B兩盞燈均不亮【答案】C【解析】由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時(shí)，可知A，B兩盞燈均亮.故選：C.【變式2-6】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）擲一個(gè)質(zhì)地均勻且六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)的正方體骰子（如圖），觀察向上的?面的點(diǎn)數(shù)，下列屬必然事件的是（

）A．出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是7 B．出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不會(huì)是0C．出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2 D．出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)【答案】B【解析】擲一個(gè)質(zhì)地均勻且六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)的正方體骰子，是不可能出現(xiàn)0的，所以事件出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不會(huì)是0為必然事件，B正確；擲一個(gè)質(zhì)地均勻且六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)的正方體骰子，是不可能出現(xiàn)7的，所以事件出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是7為不可能事件，A錯(cuò)誤；擲一個(gè)質(zhì)地均勻且六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)的正方體骰子，可能出現(xiàn)2點(diǎn)，也可能不出現(xiàn)3點(diǎn)，所以事件出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2和事件出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)都為隨機(jī)事件，C，D錯(cuò)誤，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】：（判斷事件類型的步驟）要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因?yàn)槿N事件都是相對(duì)于一定條件而言的，第二步再看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件．題型三：事件的運(yùn)算【典例3-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件．例如，事件={出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件={出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件={出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件={出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件={出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件={出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件，請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；【解析】因?yàn)槭录?，，發(fā)生，則事件必發(fā)生，所以，，，．所以事件包含事件，，，；同理可得，事件E包含事件，，，，，；事件包含事件，，；事件F包含事件，，；事件G包含事件，，．因?yàn)樵跀S骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1即為出現(xiàn)1點(diǎn)，所以事件與事件相等，即．【典例3-2】（2024·全國·高一專題練習(xí)）擲一個(gè)骰子，下列事件：，，，，．求：(1)，；(2)，；(3)記是事件的對(duì)立事件，求，，，．【解析】（1），，，，.（2），，，，．（3），，，，.，，，，，．【變式3-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取出一件產(chǎn)品，設(shè)事件A：抽到的是一等品，事件B：抽到的是二等品，事件C：抽到的是三等品，試用A，B，C表示下列事件：(1)事件D：抽到的是一等品或二等品；(2)事件E：抽到的是二等品或三等品．【解析】（1）∵事件A：抽到的是一等品，事件B：抽到的是二等品，又∵事件D：抽到的是一等品或二等品，∴；（2）∵事件B：抽到的是二等品，事件C：抽到的是三等品，又∵事件E：抽到的是二等品或三等品，∴．【變式3-2】（2024·高一單元測(cè)試）設(shè)A，B，C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.（1）三個(gè)事件都發(fā)生；（2）三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生；（4）A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；（5）A，B至少有一個(gè)發(fā)生，C不發(fā)生；（6）A，B，C中恰好有兩個(gè)發(fā)生.【解析】（1）三個(gè)事件都發(fā)生表示為；（2）三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生表示為；（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生表示為；（4）A，B都發(fā)生，C不發(fā)生表示為；（5）A，B至少有一個(gè)發(fā)生，C不發(fā)生表示為；（6）A，B，C中恰好有兩個(gè)發(fā)生表示為【方法技巧與總結(jié)】：（事件運(yùn)算的規(guī)律）（1）利用事件間運(yùn)算的定義，列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算．（2）利用Venn圖，借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，并進(jìn)行運(yùn)算．一、單選題1．（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）一部三冊(cè)的小說，任意排放在書架的同一層上，則各冊(cè)的排放次序共有（）A．3種 B．4種C．6種 D．12種【答案】C【解析】設(shè)這部小說三冊(cè)分別為1，2，3，則共有共6種．故選：C.2．（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】用表示試驗(yàn)的射擊情況，其中表示第1次射擊的情況，表示第2次射擊的情況，以1表示擊中，0表示沒中，則樣本空間.由題意得，，，，則，，且.即ABC都正確；又，..故D不正確.故選：D.3．（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）對(duì)滿足的非空集合、，有下列四個(gè)命題：①“若任取，則”是必然事件；

②“若，則”是不可能事件；③“若任取，則”是隨機(jī)事件；

④“若，則”是必然事件.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】①：因?yàn)?，，所以，因此“若任取，則”是必然事件，故本命題是真命題；②：當(dāng)集合是集合的真子集時(shí)，顯然存在一個(gè)元素在集合中，不在集合中，因此“若，則”是隨機(jī)事件，故本命題是假命題；③：任取，當(dāng)集合是集合的真子集時(shí)，有可能成立，也可能不成立，因此“若任取，則”是隨機(jī)事件,故本命題是真命題；④：因?yàn)?，所以一定有，顯然“若，則”是必然事件，故本命題是真命題．因此①③④為真命題.故選：B4．（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球的大小、質(zhì)地完全相同，隨機(jī)從袋子中摸出4個(gè)球，則下列事件是必然事件的是（

）A．摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是白球B．摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是黑球C．摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是黑球D．摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是白球【答案】B【解析】因?yàn)榇杏写笮　①|(zhì)地完全相同的5個(gè)黑球和3個(gè)白球，所以從中任取4個(gè)球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四種情況.故事件“摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是白球”是隨機(jī)事件，故A錯(cuò)誤；事件“摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是黑球”是必然事件，故B正確；事件“摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是黑球”是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；事件“摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是白球”是隨機(jī)事件，故D錯(cuò)誤.故選：B.5．（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）下列說法不正確的是（

）A．普查是要對(duì)所有的對(duì)象進(jìn)行調(diào)查B．樣本不一定是從總體中抽取的，沒抽取的個(gè)體也是樣本C．當(dāng)調(diào)查的對(duì)象很少時(shí)，普查是很好的調(diào)查方式，但當(dāng)調(diào)查的對(duì)象很多時(shí)，則要耗費(fèi)大量的人力、物力和財(cái)力D．普查不是在任何情況下都能實(shí)現(xiàn)的【答案】B【解析】選項(xiàng)A：普查是為特定目的而專門組織的一次性全面調(diào)查，要對(duì)所有的對(duì)象進(jìn)行調(diào)查，說法正確；選項(xiàng)B：樣本必須是從總體中抽取的，沒抽取的個(gè)體不是樣本，說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由于普查需要對(duì)所有對(duì)象進(jìn)行調(diào)查，所以當(dāng)調(diào)查對(duì)象較少時(shí)，普查是很好的調(diào)查方式，但當(dāng)調(diào)查的對(duì)象很多時(shí)，則要耗費(fèi)大量的人力、物力和財(cái)力，說法正確；選項(xiàng)D：當(dāng)調(diào)查對(duì)象很多，或調(diào)查具有破壞性時(shí)，不適合用普查，說法正確；故選：B6．（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）采用不放回抽取樣本的方法，從一個(gè)含有5個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本，可能得到的樣本共有（

）A．10種 B．7種 C．9種 D．20種【答案】A【解析】假設(shè)5個(gè)個(gè)體分別記為，容量為2的樣本分別為共10種.故選：A7．（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件，則（

）A． B．C．表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3 D．表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3【答案】C【解析】由題意可知，，，，，所以，，2，，則表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3，故ABD錯(cuò)誤，C正確．故選：C．8．（2024·高二·四川遂寧·階段練習(xí)）A,B兩個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件“元件正?！?，“B元件正?！?，用分別表示A,B兩個(gè)元件的狀態(tài)，用表示這個(gè)串聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，0表示元件失效.下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①樣本空間；

②事件；③事件“電路是斷路”可以用（或）表示；④事件“電路是通路”可以用（或）表示，共包含3樣本點(diǎn).A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)榉謩e取值0和1，因此的取值為，①正確；事件中，而任取，因此②正確；事件“電路是斷路”中，至少有一個(gè)取0，因此事件“電路是斷路”，，，，從而“電路是斷路”可表示為，③錯(cuò)；事件“電路是通路”中，兩個(gè)都取1，因此事件“電路是通路”，，從而“電路是通路”可表示為，其中只有一個(gè)樣本點(diǎn)，④錯(cuò)．正確的個(gè)數(shù)是2，故選：B．二、多選題9．（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）（多選）袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，3，5，7的四個(gè)相同的小球，從中取出兩個(gè)，下列事件是樣本點(diǎn)的是（

）A．取出的兩球標(biāo)號(hào)為3和7B．取出的兩球標(biāo)號(hào)的和為4C．取出的兩球標(biāo)號(hào)都大于3D．取出的兩球標(biāo)號(hào)的和為8【答案】ABC【解析】對(duì)于A：取出的兩球標(biāo)號(hào)為3和7是樣本點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：取出的兩球標(biāo)號(hào)的和為4，指取出的兩球標(biāo)號(hào)為1和3，是樣本點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：取出的兩球標(biāo)號(hào)都大于3，指取出的兩球標(biāo)號(hào)為5和7，是樣本點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：取出的兩球標(biāo)號(hào)的和為8包括取出的兩球標(biāo)號(hào)為1和7、3和5，是兩個(gè)樣本點(diǎn)，故選項(xiàng)D不正確；故選：ABC.10．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）(多選)給出關(guān)于滿足的非空集合A，B的四個(gè)命題，其中正確的命題是（

）A．若任取，則是必然事件B．若任取，則是不可能事件C．若任取，則是隨機(jī)事件D．若任取，則是必然事件【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由知是的子集，集合中的元素全在集合中，但集合中的元素不一定在集合中，故A正確；對(duì)于B，若，則是有可能的，所以是可能事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，任取，則x不一定是A中的元素，所以是隨機(jī)事件，故C正確；對(duì)于D，若，則x一定不是A中的元素，所以是必然事件，故D正確；故選：ACD11．（2024·高二·重慶北碚·階段練習(xí)）某家商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，小聰?小明兩人共同前去抽獎(jiǎng)，設(shè)事件“兩人都中獎(jiǎng)”；“兩人都沒中獎(jiǎng)”；“恰有一人中獎(jiǎng)”；“至少一人沒中獎(jiǎng)”.下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，事件為“至多一人中獎(jiǎng)”，即“至少一人沒中獎(jiǎng)”，所以，故A正確；對(duì)于B，事件表示兩人都中獎(jiǎng)且恰有一人中獎(jiǎng)，沒有這樣的事件，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，至少一人沒中獎(jiǎng)包括恰有一人中獎(jiǎng)和兩人都沒中獎(jiǎng)兩種情況，所以，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題12．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）在總數(shù)為的一批零件中抽取一個(gè)容量為30的樣本，若每個(gè)零件被抽取的可能性為20%，則的值為.【答案】150【解析】∵對(duì)于總數(shù)為的一批零件，抽取一個(gè)容量為30的樣本，每個(gè)零件被抽到的可能性均為，∴，解得．故答案為：．13．（2024·高一·江西上饒·期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米3285石，驗(yàn)得米內(nèi)有夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得261粒米內(nèi)有夾谷29粒，則這批米內(nèi)夾谷約為石.【答案】365【解析】設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為粒，則，解得，則這批米內(nèi)夾谷約為．故答案為：．14．（2024·遼寧撫順·一模）“水能載舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得當(dāng)則有利，反之必有弊害.對(duì)于高中生上學(xué)是否應(yīng)該帶手機(jī)，有調(diào)查者進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查：調(diào)查者向被調(diào)查者提出兩個(gè)問題：（1）你的編號(hào)是奇數(shù)嗎？（2）你上學(xué)時(shí)是否帶手機(jī)？學(xué)生在被調(diào)查時(shí)，先背對(duì)著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣（保證調(diào)查人員看不到硬幣的拋擲結(jié)果），如果正面向上，就回答第一個(gè)問題，否則就回答第二個(gè)問題.被調(diào)查的學(xué)生不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問題，只需回答“是”或“不是”，由于只有被調(diào)查者本人知道回答了哪一個(gè)問題，所以都如實(shí)地做了回答.某次調(diào)查活動(dòng)共有800名高中生（編號(hào)從1至800）參與了調(diào)查，則回答為“不是”的人數(shù)的最大值是.如果其中共有260人回答為“是”，則由此可以估計(jì)這800名學(xué)生中，上學(xué)帶手機(jī)的人數(shù)約為.【答案】800120【解析】∵某次調(diào)查活動(dòng)共有800名高中生參與了調(diào)查，∴回答為“不是”的人數(shù)的最大值是800，