15.2 隨機(jī)事件的概率（六大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁(yè)15．2隨機(jī)事件的概率課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）掌握利用古典概型概率公式解決簡(jiǎn)單的概率計(jì)算問題．（2）理解概率的意義．（1）理解古典概型的概念及特點(diǎn).（2）掌握概率的基本性質(zhì).（3）了解頻率與概率的區(qū)別.知識(shí)點(diǎn)01古典概型1、古典概型如果某概率模型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：（1）樣本空間只含有有限個(gè)樣本點(diǎn)．（2）每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的．那么我們將滿足上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型．2、古典概型的概率公式在古典概型中，如果樣本空間（其中為樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)），那么每一個(gè)基本事件）發(fā)生的概率都是如果事件由其中個(gè)等可能基本事件組合而成，即中包含個(gè)樣本點(diǎn)，那么事件發(fā)生的概率為．【即學(xué)即練1】（2024·高一·北京·期末）從定義域及值域均為的函數(shù)中隨機(jī)選一個(gè)記為，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即且或且，即嚴(yán)格增或嚴(yán)格減；因?yàn)槎x域及值域均為，所以有3種情況，有2種情況，有1種情況，共有種情況，其中嚴(yán)格增的有1種，即，嚴(yán)格減的有1種，所以答案為，故選：B.知識(shí)點(diǎn)02頻率與概率1、概率的基本性質(zhì)（1）隨機(jī)事件的概率范圍為．（2）必然事件和不可能事件分別用和表示，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，2、頻率的穩(wěn)定性一般地，對(duì)于給定的隨機(jī)事件，在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率會(huì)在隨機(jī)事件發(fā)生的概率的附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們將頻率的這個(gè)性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性．3、頻率與概率的關(guān)系若隨機(jī)事件在次試驗(yàn)中發(fā)生了次，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，可以用事件發(fā)生的頻率來估計(jì)事件的概率，即．4、概率的意義對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象，雖然事先無法確定某個(gè)隨機(jī)事件是否發(fā)生，但是在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件的發(fā)生與否呈現(xiàn)出某種規(guī)律性．【即學(xué)即練2】（2024·高一·新疆喀什·期末）下列說法正確的是（

）①頻數(shù)和頻率都能反映一個(gè)對(duì)象在試驗(yàn)總次數(shù)中出現(xiàn)的頻繁程度；②每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)之和等于試驗(yàn)的總次數(shù)；③每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1；④概率就是頻率．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】對(duì)于①：頻數(shù)是指事件發(fā)生的次數(shù)，頻率是指本次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，二者都可以反映頻繁程度，故①正確；對(duì)于②：試驗(yàn)的總次數(shù)即為各個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)和，故②正確；對(duì)于③：各個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的頻率之和一定等于，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：概率是大量重復(fù)試驗(yàn)后頻率的穩(wěn)定值，故④錯(cuò)誤；故選：C.題型一：古典概型的判斷【典例1-1】（2024·高一·新疆·期末）下列實(shí)驗(yàn)中，是古典概型的有（

）A．某人射擊中靶或不中靶B．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一個(gè)C．四名同學(xué)用抽簽法選一人參加會(huì)議D．從區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到1的概率【答案】C【解析】由古典概型性質(zhì)：基本事件的有限性及它們的發(fā)生是等可能的，A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不滿足；B：基本事件坐標(biāo)系中整數(shù)點(diǎn)是無限的，不滿足；C：基本事件是四名同學(xué)是有限的，且抽到的概率相等，滿足；D：基本事件是區(qū)間上所有實(shí)數(shù)是無限的，不滿足；故選：C【典例1-2】（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于古典概型的說法正確的是（

）①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則.A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【解析】在①中，由古典概型的概念可知：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，故①正確；在②中，由古典概型的概念可知：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，故②錯(cuò)誤；在③中，由古典概型的概念可知：每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，故③正確；在④中，基本事件總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)基本事件，則由古典概型及其概率計(jì)算公式知，故④正確．故選：D．【變式1-1】（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）下列不是古典概型的是（

）A．在6個(gè)完全相同的小球中任取1個(gè)B．任意拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)C．已知袋子中裝有大小完全相同的紅色、綠色、黑色小球各1個(gè)，從中任意取出1個(gè)球，觀察球的顏色D．從南京到北京共有n條長(zhǎng)短不同的路線，求某人正好選中最短路線的概率【答案】B【解析】選項(xiàng)A中，在6個(gè)完全相同的小球中任取1個(gè)，每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等，且該試驗(yàn)包含的基本事件其有6個(gè)，故A符合古典概型；選項(xiàng)B中，由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故B不是古典概型；選項(xiàng)C中，該試驗(yàn)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；選項(xiàng)D中，滿足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．故選：B【變式1-2】（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）下列是古典概型的是（

）A．任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)B．求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任選一名志愿者去參加跳高項(xiàng)目，求甲被選中的概率D．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣至首次出現(xiàn)正面為止，拋擲的次數(shù)作為樣本點(diǎn)【答案】C【解析】A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是古典概型；B項(xiàng)中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無限的，故B不是古典概型；C項(xiàng)中滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D項(xiàng)中樣本點(diǎn)既不是有限個(gè)也不具有等可能性，故D不是．故選：C【變式1-3】（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）下列問題中是古典概型的是A．種下一粒楊樹種子，求其能長(zhǎng)成大樹的概率B．?dāng)S一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點(diǎn)的概率C．在區(qū)間[1，4]上任取一數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于1.5的概率D．同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率【答案】D【解析】A、B兩項(xiàng)中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項(xiàng)中基本事件的個(gè)數(shù)是無限多個(gè)；D項(xiàng)中基本事件的發(fā)生是等可能的，且是有限個(gè)．故選D．【方法技巧與總結(jié)】古典概型需滿足兩個(gè)條件（1）樣本點(diǎn)總數(shù)有限．（2）各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等．題型二：古典概型概率的計(jì)算【典例2-1】（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）在素?cái)?shù)研究中，華裔數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式，孿生素?cái)?shù)是指相差為2的素?cái)?shù)對(duì)，例如3和5，11和13等.從不超過10的正奇數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，則這2個(gè)奇數(shù)是孿生素?cái)?shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不超過10的正奇數(shù)有，共5個(gè)，從中隨機(jī)抽取2個(gè)，共有，10種情況，其中孿生素?cái)?shù)有，共2種情況，由古典概型可得這2個(gè)奇數(shù)是孿生素?cái)?shù)的概率為.故選：C.【典例2-2】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（

），并說明理由．A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，所有可能取法有：共6種情況，其中和為奇數(shù)的有4種，所以概率為.故選：C【變式2-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）某不透明的袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，它們除顏色不同，質(zhì)地和大小都完全相同.甲、乙兩同學(xué)先后從中各取一個(gè)球，先取的球不放回，則他們?nèi)〉讲煌伾虻母怕蕿椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)這幾個(gè)球中，紅球分別為、、，白球分別為、，則甲、乙兩同學(xué)先后取出的兩球可能的情況有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共二十種，其中取到不同顏色球的情況有：、、、、、、、、、、、共十二種，故其概率為.故選：C.【變式2-2】（2024·高一·遼寧朝陽(yáng)·開學(xué)考試）袋中共有5個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中1個(gè)紅球、2個(gè)白球、2個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)這五個(gè)球中紅球?yàn)椋浊蚍謩e為、，黑球分別為、，則從袋中任取兩球，有、、、、、、、、、共十種可能，其中一白一黑有、、、共四種可能，所以一白一黑的概率．故選：D.【變式2-3】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）某人射擊5槍，命中3槍，3槍中恰有2槍連中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，射擊5槍，命中3槍，總的方法數(shù)包含共10種，其中3槍中恰有2槍連中的情況有,,,,,，共6種，所以3槍中恰有2槍連中的概率為.故選：B【變式2-4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）甲?乙?丙三人被隨機(jī)的安排在周六?周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.則甲?乙被安排在同一天值班的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知將3人分成兩組，其中一組只有1人，另一組有2人，兩組分別安排在周六?周日值班共有6種情況：（甲乙，丙）?（甲丙，乙）?（乙丙，甲）?（甲，乙丙）?（乙，甲丙）?（丙，甲乙），顯然甲?乙被安排在同一天有2種情況，所以甲?乙被安排在同一天的概率為。故選：C【方法技巧與總結(jié)】利用古典概型公式計(jì)算概率的步驟（1）確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)n．（2）確定所求事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)m．（3）．題型三：較復(fù)雜的古典概型的概率計(jì)算【典例3-1】（2024·高一·遼寧遼陽(yáng)·階段練習(xí)）遼寧省朝陽(yáng)市婦聯(lián)發(fā)揮陣地優(yōu)勢(shì)，在市婦女兒童活動(dòng)中心開展了“萌童成長(zhǎng)”寒假公益課堂，涵蓋了創(chuàng)意美術(shù)、傳統(tǒng)文化、科學(xué)小實(shí)驗(yàn)、“親子閱讀”等豐富的活動(dòng)．公益課堂共開設(shè)24期，近200名少年兒童受益．從參加公益課堂的少年兒童中隨機(jī)抽取50名少年兒童進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分），將問卷調(diào)查結(jié)果按，，，，，，，分成八組，并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．(1)求的值，并估計(jì)被抽取的50名少年兒童問卷調(diào)查結(jié)果的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)若從樣本中問卷調(diào)查結(jié)果在和內(nèi)的少年兒童中隨機(jī)抽取2名少年兒童，求隨機(jī)抽取的這2名少年兒童在同一組的概率．【解析】（1）由題意得，解得.估計(jì)被抽取的名少年兒童問卷調(diào)查結(jié)果的平均數(shù)為.（2）依題意可得在內(nèi)抽取的人數(shù)為（人），設(shè)所抽取的人為，在內(nèi)抽取的人數(shù)為（人），設(shè)所抽取的人為，則從中隨機(jī)抽取2名少年兒童有共15種情況，其中隨機(jī)抽取的這2名少年兒童在同一組的有共7種情況.故隨機(jī)抽取的這2名少年兒童在同一組的概率.【典例3-2】（2024·高一·遼寧·期末）某學(xué)校為了解本校歷史?物理方向?qū)W生的學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)情況，分別從物理方向的學(xué)生中隨機(jī)抽取60人的成績(jī)得到樣本甲，從歷史方向的學(xué)生中隨機(jī)抽取人的成績(jī)得到樣本乙，根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：已知乙樣本中數(shù)據(jù)在的有10個(gè).(1)求和乙樣本直方圖中的值；(2)試估計(jì)該校物理方向的學(xué)生本次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值和歷史方向的學(xué)生本次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）.(3)采用分層抽樣的方法從甲樣本數(shù)據(jù)中分?jǐn)?shù)在和的學(xué)生中抽取6人，并從這6人中任取2人，求這兩人分?jǐn)?shù)都在中的概率.【解析】（1）由直方圖可知，乙樣本中數(shù)據(jù)在的頻率為，則，解得；由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖可知，，解得；（2）甲樣本數(shù)據(jù)的平均值估計(jì)值為，乙樣本數(shù)據(jù)直方圖中前3組的頻率之和為，前4組的頻率之和為，所以乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為，，解得，所以乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為82.（3）由頻率分布直方圖可知從分?jǐn)?shù)在和的學(xué)生中分別抽取2人和4人，將從分?jǐn)?shù)在中抽取的2名學(xué)生分別記為，從分?jǐn)?shù)在中抽取的4名學(xué)生分別記為，則從這6人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有，共15個(gè)，所抽取的兩人分?jǐn)?shù)都在中的基本事件有6個(gè)，所以所求概率為.【變式3-1】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在試驗(yàn)“袋中有白球3個(gè)（編號(hào)為1，2，3）、黑球2個(gè)（編號(hào)為1，2），這5個(gè)球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個(gè)，每次摸1個(gè)，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結(jié)果分別記為，，，摸到黑球的結(jié)果分別記為，．求：(1)取到的兩個(gè)球都是白球的概率；(2)取到的兩個(gè)球顏色相同的概率；(3)取到的兩個(gè)球至少有一個(gè)是白球的概率．【解析】（1）由前面的分析可知試驗(yàn)的樣本空間，共有20個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，可用古典概型來計(jì)算概率．設(shè)事件A表示“取到的兩個(gè)球都是白球”，則，共含有6個(gè)樣本點(diǎn)，所以，即取到的兩個(gè)球都是白球的概率為；（2）設(shè)事件B表示“取到的兩個(gè)球顏色相同”，則，共含有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以，即取到的兩個(gè)球顏色相同的概率為；（3）設(shè)事件C表示“取到的兩個(gè)球至少有一個(gè)是白球”，則，共含有18個(gè)樣本點(diǎn)，所以，即取到的兩個(gè)球至少有一個(gè)是白球的概率為.【變式3-2】（2024·高一·遼寧阜新·階段練習(xí)）某中學(xué)高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，成績(jī)分組區(qū)間為：，，，，，，．其中，且．物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表．（說明：數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分）物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)表分組頻數(shù)6920105(1)根據(jù)頻率分布直方圖，請(qǐng)估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于140分的為“優(yōu)”，物理成績(jī)不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”的同學(xué)總數(shù)為6人，從數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好均為物理成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的概率．【解析】（1）依題意，，解得，所以數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分：.（2）數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)有人，物理成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”有5人，因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)“優(yōu)”的同學(xué)總數(shù)為6名同學(xué)，則兩科均為“優(yōu)”的人數(shù)為3人.設(shè)兩科均為“優(yōu)”的同學(xué)為，物理成績(jī)不是“優(yōu)”的同學(xué)為B，則從4人中隨機(jī)抽取2人的所有情況有：，符合題意的情況有：，故兩人恰好均為物理成績(jī)“優(yōu)”的概率.【變式3-3】（2024·高一·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）從一批柚子中隨機(jī)抽取100個(gè)，獲得其質(zhì)量（單位：）數(shù)據(jù)，按照區(qū)間，進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖，如圖所示．(1)用分層抽樣的方法從質(zhì)量在和內(nèi)的柚子中抽取5個(gè)，求抽取的質(zhì)量在內(nèi)的柚子數(shù)；(2)從（1）中抽出的5個(gè)柚子中任取2個(gè)，求最多有1個(gè)柚子的質(zhì)量在內(nèi)的概率．【解析】（1）由頻率分布直方圖知，質(zhì)量在內(nèi)的柚子數(shù)為，質(zhì)量在內(nèi)的柚子數(shù)為，從質(zhì)量在和內(nèi)的柚子中抽取5個(gè)，其中質(zhì)量在內(nèi)的柚子數(shù)為．（2）由（1）知，質(zhì)量在內(nèi)的柚子數(shù)為3，記為，質(zhì)量在內(nèi)的柚子數(shù)為2，記為，則從這5個(gè)柚子中任取2個(gè)的所有基本事件為,，共10個(gè)，其中最多有1個(gè)柚子的質(zhì)量在內(nèi)所包含的基本事件有,，共7個(gè)，所以最多有1個(gè)柚子的質(zhì)量在內(nèi)的概率．【變式3-4】（2024·高一·河南焦作·期末）某校組織《反間諜法》知識(shí)競(jìng)賽，將所有學(xué)生的成績(jī)（單位：分）按照，，…，分成七組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這次競(jìng)賽成績(jī)平均數(shù)的估計(jì)值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)從競(jìng)賽成績(jī)不低于85分的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取12人，再?gòu)牡诹M和第七組被抽到的學(xué)生中任選2人做主題演講，求至少有1名第七組的學(xué)生做主題演講的概率.【解析】（1），解得，這次競(jìng)賽成績(jī)平均數(shù)的估計(jì)值為.（2）不低于85分的三組頻率之比為，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取12人，應(yīng)從第六組和第七組分別抽取4人和2人，設(shè)第六組的4人為，，，，第七組的2人為甲、乙，于是從這6人中任選2人的所有情況為：甲乙，甲，甲，甲，甲，乙，乙，乙，乙，，，，，，，共15種，其中甲、乙至少有1人被選中的有9種，所以至少有1名第七組的學(xué)生做主題演講的概率為.【方法技巧與總結(jié)】在求概率時(shí)，若事件可以表示成有序數(shù)對(duì)的形式，則可以把全體樣本點(diǎn)用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示，即采用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)．故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，更方便．題型四：對(duì)概率概念的理解【典例4-1】（2024·高二·新疆和田·期中）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“正面向上”，則下列說法正確的是（

）A．拋擲硬幣次，事件必發(fā)生次B．拋擲硬幣次，事件不可能發(fā)生次C．拋擲硬幣次，事件發(fā)生的頻率一定等于D．隨著拋擲硬幣次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在附近【答案】D【解析】不管拋擲硬幣多少次，事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)事件，故ABC錯(cuò)誤；隨著拋擲硬幣次數(shù)的增多，事件A發(fā)生的頻率在0.5附近波動(dòng)的幅度較大的可能性??；故選：D【典例4-2】（2024·高一·新疆喀什·期末）下列說法正確的是（

）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率B．某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為，買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)C．連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為D．某市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺(tái)專家中，有70%認(rèn)為明天會(huì)降水，30%認(rèn)為明天不會(huì)降水【答案】A【解析】對(duì)于A,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率，概率是頻率的穩(wěn)定值，故A正確，對(duì)于B,某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為，買1000張這種彩票不一定中獎(jiǎng)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則在100此拋硬幣的實(shí)驗(yàn)中擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的頻率為，而擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，某市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的明天會(huì)降水的可能性為70%.故D錯(cuò)誤，故選：A【變式4-1】（2024·高一·天津河?xùn)|·期末）用木塊制作的一個(gè)四面體，四個(gè)面上分別標(biāo)記1，2，3，4，重復(fù)拋擲這個(gè)四面體200次，記錄每個(gè)面落在地上的次數(shù)（如下表）．下列說法正確的是（

）四面體的面1234頻數(shù)44364278A．該四面體一定不是均勻的 B．再拋擲一次，估計(jì)標(biāo)記2的面落地概率0.72C．再拋擲一次，標(biāo)記4的面落地 D．再拋擲一次，估計(jì)標(biāo)記3的面落地概率0.2【答案】D【解析】A選項(xiàng)，就算四面體是均勻的，理論上每個(gè)面落地的次數(shù)仍舊可能不一樣，在均勻的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，每個(gè)面落地的次數(shù)將會(huì)變得越來越接近，換句話說，即使是均勻的四面體，僅僅在200次試驗(yàn)下，得到落地的面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果也可能不一樣，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；BCD選項(xiàng)，由于這200次實(shí)驗(yàn)2，3，4落在底面的頻率分別為，即，B選項(xiàng)中所估計(jì)的概率和頻率差別過大，C選項(xiàng)認(rèn)為標(biāo)記4的面必定落地，是必然事件，概率為，但頻率只有，因此不能認(rèn)為必然發(fā)生，BC選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，標(biāo)記3的面落地概率估計(jì)是，和實(shí)驗(yàn)頻率非常接近，D選項(xiàng)正確.故選：D【變式4-2】（2024·高一·山西·期末）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：第一組第二組第三組合計(jì)投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)68124174366命中的頻率0.680.620.580.61根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，則使誤差較小、可能性大的估計(jì)值是（

）A．0.58 B．0.61 C．0.62 D．0.68【答案】B【解析】由題可知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對(duì)可能性的估計(jì)誤差越小，可能性越大，所以合計(jì)列對(duì)應(yīng)的頻率最為合適.故選：B.【變式4-3】（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）概率反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大??；（2）做次隨機(jī)試驗(yàn)，事件發(fā)生次，則事件發(fā)生的頻率就是事件發(fā)生的概率；（3）頻率是不能脫離次試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依瀨于試驗(yàn)次數(shù)的理論值；（4）在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，頻率是概率的近似值，而概率是頻率的穩(wěn)定值．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】概率反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，故（1）正確；做次隨機(jī)試驗(yàn)，事件發(fā)生次，則事件發(fā)生的頻率是事件發(fā)生的概率的近似值，故（2）不正確；頻率是不能脫離次試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依瀨于試驗(yàn)次數(shù)的理論值，故（3）正確；在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，頻率是概率的近似值，而概率是頻率的穩(wěn)定值，故（4）正確.故選：C【變式4-4】（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）將一枚硬幣擲10次，正面向上出現(xiàn)了6次，若用表示正面向上這一事件，則（）A．發(fā)生的概率為 B．發(fā)生的概率接近C．在這十次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率為 D．在這十次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率為6【答案】C【解析】概率是頻率的穩(wěn)定值，發(fā)生的概率等于，故AB錯(cuò)誤；在這十次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C【方法技巧與總結(jié)】概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的量，概率大，只能說明這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大，而不是必然發(fā)生或必然不發(fā)生．題型五：利用頻率估計(jì)概率【典例5-1】（2024·高三·云南·階段練習(xí)）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了200位某種疾病患者的年齡，得到了如圖的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的年齡位于的概率為.【答案】0.14/【解析】由題知：故該地區(qū)這種疾病患者的年齡位于的概率為.故答案為：0.14【典例5-2】（2024·高一·甘肅武威·開學(xué)考試）一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同．經(jīng)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為．【答案】15【解析】設(shè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，由摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25左右知，摸到黑球的概率為0.25，則，解得，即盒子中紅球個(gè)數(shù)大約15個(gè).故答案為：15【變式5-1】（2024·高一·福建寧德·開學(xué)考試）在一個(gè)不透明的紙盒中裝有2個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，通過多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則袋子中紅球約有個(gè).【答案】【解析】因?yàn)槊郊t球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，估計(jì)袋中紅球個(gè)數(shù)是.故答案為：.【變式5-2】（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）某制造商今年月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)乒乓球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下：分組頻數(shù)頻率100.10200.20500.50200.20合計(jì)1001.00若用上述頻率近似概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為，則這批乒乓球的直徑誤差不超過的概率是．【答案】【解析】標(biāo)準(zhǔn)尺寸是，并且誤差不超過，即直徑需落在[39.97，40.03]范圍內(nèi)．由頻率分布表知，頻率為，所以直徑誤差不超過的概率約為.故答案為：【變式5-3】（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）投擲硬幣的結(jié)果如下表：投擲硬幣的次數(shù)200500c正面向上的次數(shù)102b404正面向上的頻率a0.4820.505則，，．據(jù)此可估計(jì)若擲硬幣一次，正面向上的概率為．【答案】0.51/2418000.5/【解析】，，.三組試驗(yàn)正面向上的頻率都在0.5附近，由頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)若擲硬幣一次，正面向上的概率應(yīng)為0.5.故答案為：0.51；241；800；0.5.【變式5-4】（2024·高一·新疆烏魯木齊·期末）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表所示．第一組第二組第三組合計(jì)投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)68125176369命中的頻率0.680.6250.5870.615根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，那么使誤差較小的可能性大的估計(jì)值是．【答案】【解析】由題意知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對(duì)可能性的估計(jì)誤差就越小.所以使誤差較小的可能性大的估計(jì)值是.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率．頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率．（2）解此類題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估計(jì)概率．題型六：概率的應(yīng)用【典例6-1】（2024·高一·河南商丘·期末）某班同學(xué)利用春節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)本地歲的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，將生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖．序號(hào)分組（歲）本組中“低碳族”人數(shù)“低碳族”人數(shù)在本組所占的比例1[25,30)1200.62[30,35)195p3[35,40)1000.54[40,45)a0.45[45,50)300.36[55,60)150.3（一）人數(shù)統(tǒng)計(jì)表

（二）各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖(1)在答題卡給定的坐標(biāo)系中補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求出、、的值；(2)從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)．若將這6個(gè)人通過抽簽分成甲、乙兩組，每組的人數(shù)相同，求歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率．【解析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖可知，第二組的頻率為，所以第二組高為．故補(bǔ)全頻率分布直方圖如下：結(jié)合人數(shù)統(tǒng)計(jì)表與頻率分布直方圖，可知第一組的人數(shù)為，頻率為，所以；因?yàn)榈诙M的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為，所以；因?yàn)榈谒慕M的頻率為，所以第四組的人數(shù)為，所以．（2）因?yàn)闅q年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比為，所以采用分層抽樣法抽取6人，則在歲中抽取4人，在歲中抽取2人．設(shè)年齡在中被抽取的4個(gè)人分別為：；年齡在歲中被抽取的2個(gè)人分別為：；則總的基本事件有：,,,,,……，共20個(gè)；記“歲中被抽取的人恰好有分在同一組”為事件C，而事件C包含的基本事件有8個(gè)；所以.【典例6-2】（2024·高一·北京延慶·期末）為了了解某校高一學(xué)生一次體育健康測(cè)試的得分情況，一位老師采用分層抽樣的方法選取了20名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，來估計(jì)本校高一學(xué)生的得分情況，并以，，，，分組，作出了如圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定成績(jī)不低于90分為“優(yōu)秀”.(1)從該學(xué)校高一學(xué)生中隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生本次體育健康測(cè)試成績(jī)“優(yōu)秀”的概率；(2)從樣本成績(jī)優(yōu)秀的，兩組學(xué)生中任意選取2人，記為，中的學(xué)生為，中的學(xué)生為，求這2人來自同一組的概率；(3)從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中任取3名學(xué)生記為A組，從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生它任取3名學(xué)生記為B組，這兩組學(xué)生的得分記錄如下：A組:；B組:.寫出a為何值時(shí)，A、B兩組學(xué)生得分的方差相等（結(jié)論不要求證明）.【解析】（1）頻率分布直方圖中，成績(jī)優(yōu)秀的兩組學(xué)生，頻率為，

所以估計(jì)這名學(xué)生本次體育健康測(cè)試成績(jī)“優(yōu)秀”的概率為0.3.（2）樣本中，組中有人，組中有人，

從樣本成績(jī)優(yōu)秀的，兩組學(xué)生中任意選取2人，其樣本空間可記為：共包含15個(gè)樣本點(diǎn),記事件A：兩人來自同一組，則，共包含7個(gè)樣本點(diǎn)，所以這2人來自同一組的概率.（3）這兩組學(xué)生的得分記錄：A組:；B組:.方差反映的是數(shù)據(jù)的離散程度，要使A、B兩組學(xué)生得分的方差相等，對(duì)比兩組數(shù)據(jù)，可知：或.【變式6-1】（2024·高一·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這些人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從各年齡分組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國(guó)夢(mèng)”宣傳使者，若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；(3)若第四組的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計(jì)這人中35-45歲所有人的年齡的方差．【解析】（1）這些人的平均年齡為（歲）．由頻率分布直方圖知，年齡在的頻率為，在的頻率為，則第80百分位數(shù)為，由，解得，所以這些人的平均年齡為（歲），第80百分位數(shù)為.（2）依題意，第四組應(yīng)抽取人，記為,甲，第五組抽取人，記為,乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間{(a,b),(a,c),(a,甲),(a,乙),(a,d),(b,c),(b,甲),(b,乙),(b,d),(c,甲),(c,乙),(c,d),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共15個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則{(a,甲),(a,乙),(b,甲),(b,乙),(c,甲),(c,乙),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共有9個(gè)樣本點(diǎn)，所以甲、乙兩人至少有一人被選上的概率．（3）設(shè)第四組、第五組的年齡的平均數(shù)分別為，方差分別為，則，由第一組有10人，得第四組有40人，第五組有20人，設(shè)第四組和第五組所有人的年齡平均數(shù)為，方差為，則，因此第四組和第五組所有人的年齡方差為10，據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在歲的所有人的年齡方差約為10.【變式6-2】（2024·高三·海南儋州·階段練習(xí)）某中學(xué)為研究本校高三學(xué)生在市聯(lián)考中的語(yǔ)文成績(jī)，隨機(jī)抽取了100位同學(xué)的語(yǔ)文成績(jī)作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖.(1)請(qǐng)估計(jì)本次聯(lián)考該校語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；(2)樣本內(nèi)語(yǔ)文分?jǐn)?shù)在的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績(jī)?cè)谥械母怕?【解析】（1）由頻率分布直方圖知，解得語(yǔ)文成績(jī)?cè)诘念l率依次為，顯然語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)落在，則，解得，所以語(yǔ)文成績(jī)的中位數(shù)為；語(yǔ)文成績(jī)的平均數(shù)為.（2）語(yǔ)文成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的人數(shù)比為，因此5名學(xué)生中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生應(yīng)抽4名，記為，在的學(xué)生應(yīng)抽1名，記為，則所有抽取情況有，共10種，恰有一人成績(jī)?cè)谟?，?種，所以這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，恰有一人成績(jī)?cè)谥械母怕蕿?【變式6-3】（2024·高三·上海青浦·期中）2023年上海書展于8月16日至22日在上海展覽中心舉辦.展會(huì)上隨機(jī)抽取了50名觀眾，調(diào)查他們每個(gè)月用在閱讀上的時(shí)長(zhǎng)，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)求x的值，并估計(jì)這50名觀眾每個(gè)月閱讀時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從這兩組觀眾中隨機(jī)抽取6名觀眾，再若從這6名觀眾中隨機(jī)抽取2人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求所抽取的2人恰好都在這組的概率.【解析】（1）由頻率分布直方圖得：，解得，閱讀時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間內(nèi)的頻率分別為，所以閱讀時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù).（2）由頻率分布直方圖，得數(shù)據(jù)在兩組內(nèi)的頻率比為，則在內(nèi)抽取人，記為，在內(nèi)抽取人，記為，從這名志愿者中隨機(jī)抽取人的不同結(jié)果如下：，共15個(gè)，其中抽取的人都在內(nèi)的有，共6個(gè)，所以所抽取2人都在內(nèi)的概率．【變式6-4】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某次茶話會(huì)上，共安排4個(gè)節(jié)目，其中有2個(gè)歌唱節(jié)目、1個(gè)舞蹈節(jié)目、1個(gè)小品節(jié)目，按任意次序排出一個(gè)節(jié)目單，試求下列事件的概率：(1)舞蹈在最前或最后；(2)舞蹈和小品1個(gè)在最前、1個(gè)在最后；(3)舞蹈和小品至少有1個(gè)在最前或最后；(4)兩個(gè)歌唱節(jié)目相鄰；(5)舞蹈排在小品之前．【解析】（1）依題意，記2個(gè)歌唱節(jié)目為，記1個(gè)舞蹈節(jié)目為，1個(gè)小品節(jié)目為，則按任意次序排出一個(gè)節(jié)目單的基本事件有：，，，，共件，其中舞蹈在最前或最后的基本事件有，，，，共件，則其概率為；（2）其中舞蹈和小品1個(gè)在最前、1個(gè)在最后的基本事件有，，共件，則其概率；（3）因?yàn)椤拔璧负托∑分辽儆?個(gè)在最前或最后”的對(duì)立事件為“舞蹈和小品排在中間”，而舞蹈和小品排在中間的基本事件有，，共件，所以舞蹈和小品至少有1個(gè)在最前或最后的基本事件有件，則其概率；（4）其中兩個(gè)歌唱節(jié)目相鄰的基本事件有，，，，共件，則其概率；（5）其中舞蹈排在小品之前的基本事件有，，，共件，則其概率.【變式6-5】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，這5個(gè)球除顏色外完全相同．(1)采取有放回抽取方式，從中依次摸出兩個(gè)球，求兩球顏色不同的概率；(2)采取不放回抽取方式，從中依次摸出兩個(gè)球，求兩球顏色不同的概率．【解析】（1）用表示2個(gè)白球，用表示3個(gè)黑球，采取有放回抽取方式，從中依次摸出兩個(gè)球，樣本空間為，每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生的，,設(shè)“兩球顏色不同的事件”，則，,所以.（2）用表示2個(gè)白球，用表示3個(gè)黑球，采取不放回抽取方式，從中依次摸出兩個(gè)球，樣本空間為，每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生的，,設(shè)“兩球顏色不同的事件”，則，,所以.【變式6-6】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，設(shè)事件A表示“2次出現(xiàn)正面，2次出現(xiàn)反面”，事件B表示“3次出現(xiàn)正面，1次出現(xiàn)反面”，則事件A與事件B發(fā)生的概率哪個(gè)更大？【解析】用表示正面向上，用表示反面向上，將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，樣本空間為，每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生，，因?yàn)?，所以.因?yàn)?，所以.由，得.【變式6-7】（2024·高一·甘肅臨夏·期末）某旅游景點(diǎn)，“五一”假期吸引了眾多游客，為了解游客“五一”假期旅行支出情況，在該景點(diǎn)隨機(jī)抽取了部分游客進(jìn)行問卷調(diào)查，從中統(tǒng)計(jì)得到游客旅行總支出（單位：百元）頻率分布直方圖如圖所示．

(1)利用分層抽樣在，，三組中抽取6人，應(yīng)從這三組中各抽取幾人？(2)從（1）抽取的6人中隨機(jī)選出2人，對(duì)其消費(fèi)情況進(jìn)行進(jìn)一步分析，求這2人不在同一組的概率；(3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該區(qū)間的左端點(diǎn)值代替，估計(jì)該景點(diǎn)游客旅行支出的平均值．【解析】（1）由頻率分布直方圖可得組的頻率為，組的頻率為，組的頻率為，故利用分層抽樣在，，三組中抽取6人，組抽取人數(shù)為，組抽取人數(shù)為，組抽取人數(shù)為；（2）設(shè)組3人為，租的2認(rèn)為，組的1人為，從這6人中隨機(jī)選出2人，共有共15種抽法，其中2人不在同一組的抽法有共11種，故這2人不在同一組的概率為；（3）由題意得估計(jì)該景點(diǎn)游客旅行支出的平均值為：（百元）.【方法技巧與總結(jié)】概率是事件的本質(zhì)屬性，不隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率反映了事件發(fā)生的可能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗(yàn)總次數(shù)中某一事件一定發(fā)生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定發(fā)生，只是認(rèn)為發(fā)生的可能性大．一、單選題1．（2024·高一·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）甲同學(xué)在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中做拋硬幣實(shí)驗(yàn)，共拋擲了2000次，其中正面朝上的有1034次，則下列說法正確的是（

）A．拋擲一枚硬幣，正面朝上的概率為0.517B．甲同學(xué)的實(shí)驗(yàn)中，反面朝上的頻率為0.483C．拋擲一枚硬幣，反面朝上的概率小于0.5D．甲同學(xué)的實(shí)驗(yàn)中，正面朝上的頻率接近0.517【答案】B【解析】甲同學(xué)的實(shí)驗(yàn)中，正面朝上的頻率為0.517，反面朝上的頻率為0.483，故B正確；拋擲一枚硬幣，正面朝上與反面朝上的概率均為0.5，為定值，故AC錯(cuò)誤；甲同學(xué)的實(shí)驗(yàn)中，正面朝上的頻率就是0.517，而不是接近0.517，故D錯(cuò)誤.故選：B2．（2024·高一·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）從集合中任取兩個(gè)元素，則這兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值為2的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】從集合中任取兩個(gè)元素的取法有，共6種，其中滿足兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值為2的取法有，共3種.故這兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值為2的概率為.故選：B.3．（2024·高一·山東威?！て谀┘?、乙兩校各有名教師報(bào)名支教，若從報(bào)名的名教師中任選名，則選出的名教師來自不同學(xué)校的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)甲校報(bào)名支教的兩名教師為，乙校報(bào)名支教的兩名教師為，從這報(bào)名的名教師中任選名，共有這6種情況，選出的名教師來自不同學(xué)校共有這4種情況，所以所求概率為.故選：C.4．（2024·高三·河南·專題練習(xí)）“天問一號(hào)”中的天問是中國(guó)行星探測(cè)任務(wù)的名稱，它的名字起源于屈原的《天問》，想要表達(dá)的是中華民族對(duì)追求真理的執(zhí)著，對(duì)科技創(chuàng)新的不懈．中國(guó)行星探測(cè)任務(wù)被命名為“天問系列”是在2020年4月24日，首次火星探測(cè)任務(wù)的探測(cè)器則被命名為“天問一號(hào)”．2020年7月23日，中午12時(shí)41分，長(zhǎng)征五號(hào)遙四運(yùn)載火箭托舉著我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)“天問一號(hào)”探測(cè)器，在中國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火升空．若從“天，問，一，號(hào)”，這4個(gè)字中任取一個(gè)字，再?gòu)摹?，24，7，23”這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)“系列組”，則該“系列組”中包含“天問一號(hào)”命名時(shí)間“4，24”或發(fā)射時(shí)間“7，23”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】所有“系列組”的不同情況有：(天，4，24)，(天，4，7)，(天，4，23)，(天，24，7)，(天，24，23)，(天，7，23)，(問，4，24)，(問，4，7)，(問，4，23)，(問，24，7)，(問，24，23)，(問，7，23)，(一，4，24)，(一，4，7)，(一，4，23)，(一，24，7)，(一，24，23)，(一，7，23)，(號(hào)，4，24)，(號(hào)，4，7)，(號(hào)，4，23)，(號(hào)，24，7)，(號(hào)，24，23)，(號(hào)，7，23)．共24種不同情況，其中包含命名時(shí)間“4，24”或發(fā)射時(shí)間“7，23”的不同情況有8種，故所求概率為：．故選：D．5．（2024·高一·江西九江·期末）某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)舉辦美食短視頻大賽，要求參賽的博主從九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面這5個(gè)美食主題中任選一個(gè)主題進(jìn)行拍攝，則甲、乙兩位參賽博主抽到不同主題的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】九江茶餅、北京烤鴨、上海生煎包、西安肉夾饃、武漢熱干面分別記為，兩位參賽博主任選一個(gè)主題的試驗(yàn)的樣本空間，共25個(gè)樣本點(diǎn)，兩位參賽博主抽到不同主題的事件，共20個(gè)樣本點(diǎn)，所以兩位參賽博主抽到不同主題的概率為.故選：D6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）“百年風(fēng)雨歷經(jīng)苦難，百年成就激蕩人心”，為弘揚(yáng)陳延年、陳喬年烈士的光榮事跡及革命精神，傳承紅色基因，某?！把訂躺倌晷小睂?shí)踐團(tuán)于1月6日開展紅色文化活動(dòng)，實(shí)踐團(tuán)成員中有來自高二（1）班和高二（2）班的學(xué)生各2人，高二（3）班和高二（4）班的學(xué)生各1人，在瞻仰陳延年烈士雕像舉行宣誓環(huán)節(jié)，需要從這6名學(xué)生中任選4名手持國(guó)旗，則這4名學(xué)生來自不同班級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】記高二（1）班的2名學(xué)生分別為，高二（2）班的2名學(xué)生分別為，高二（3）班的學(xué)生為，高二（4）班的學(xué)生為，則從這6名學(xué)生中任選4名的事件包含，，共15個(gè)，其中這4名學(xué)生來自不同班級(jí)的事件包含，共4個(gè)，所以所求事件的概率為．故選：D．7．（2024·高一·陜西漢中·期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來石（古代容量單位），驗(yàn)得米內(nèi)夾谷（假設(shè)一粒米與一粒谷的體積相等），抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（

）A．213石 B．152石 C．169石 D．196石【答案】C【解析】根據(jù)題意，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則樣本中夾谷的頻率為，則這批米內(nèi)夾谷約為（石，故選：C8．（2024·高一·湖南岳陽(yáng)·期末）“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是.一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）之和，也就是我們所謂的“”問題.他是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國(guó)數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤(rùn)等在哥德巴赫猜想的證明中都取得了相當(dāng)好的成績(jī).若將16拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】16可以拆成共有15種情況,其中拆成的和式中加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的有：共有4種情況.所以拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為.故選：C.二、多選題9．（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）甲、乙兩人做游戲，下列游戲中公平的是（

）A．拋一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則乙勝B．同時(shí)拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上則甲勝，兩枚都是正面向上則乙勝C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝D．甲、乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝【答案】ACD【解析】A項(xiàng)，P(點(diǎn)數(shù)為奇數(shù))P(點(diǎn)數(shù)為偶數(shù))；B,同時(shí)拋擲兩枚硬幣，共有4種情況：正正；正反；反正；正反.則P(恰有一枚正面向上)，P(兩枚都正面向上)＝；概率不相等，故B錯(cuò)誤，C項(xiàng)，P(牌色為紅)P(牌色為黑)；D項(xiàng)，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同).故選：ACD.10．（2024·高一·江西南昌·期末）下列說法正確的是（

）A．一名籃球運(yùn)動(dòng)員，號(hào)稱投籃“百發(fā)百中”，則他投籃一次，命中為必然事件B．隨機(jī)事件發(fā)生的可能性越大，它發(fā)生的概率越接近1C．投擲兩枚均勻的骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和，點(diǎn)數(shù)和為2是一個(gè)樣本點(diǎn)D．試驗(yàn)“連續(xù)投擲一枚均勻的骰子直到出現(xiàn)3點(diǎn)停止，觀察投擲的次數(shù)”的樣本空間為【答案】BC【解析】對(duì)于A，他投籃一次，命中為隨機(jī)事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性越大，它發(fā)生的概率越接近1，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)數(shù)和為2當(dāng)且僅當(dāng)兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都為1，這是有可能的，故C正確；對(duì)于D，試驗(yàn)“連續(xù)投擲一枚均勻的骰子直到出現(xiàn)3點(diǎn)停止，觀察投擲的次數(shù)”的樣本空間為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．（2024·高一·河南南陽(yáng)·期末）甲乙兩人約定玩一種游戲，把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，游戲規(guī)則有如下四種，其中對(duì)甲有利的規(guī)則是（

）A．若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，則甲獲勝，否則乙獲勝B．若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)中最大的點(diǎn)數(shù)大于4，則甲獲勝，否則乙獲勝C．若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)，則甲獲勝；若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)，則乙獲勝D．若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)是一奇一偶，則甲獲勝；若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均是奇數(shù)或者偶數(shù)﹐則乙獲勝【答案】AB【解析】對(duì)于A，把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，共有36個(gè)基本事件，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有：，，共19種，則甲獲勝的概率為，乙獲勝概率小于，故此種情況對(duì)甲有利，A正確；對(duì)于B，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)中最大的點(diǎn)數(shù)大于4，最大的點(diǎn)數(shù)為5或6，最大的點(diǎn)數(shù)為5時(shí)，基本事件共有9個(gè)，最大的點(diǎn)數(shù)為6時(shí)，基本事件共有11個(gè)，此時(shí)共有20個(gè)基本事件，則甲獲勝的概率為，故此種情況對(duì)甲有利，B正確；對(duì)于C，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)，共有，，共18個(gè)基本事件，則兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)，也有18個(gè)基本事件，此時(shí)甲、乙獲勝的概率均為，此時(shí)對(duì)甲并不有利；對(duì)于D，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)是一奇一偶，則基本事件有個(gè)，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均是奇數(shù)或者偶數(shù)，基本事件也是個(gè)，此時(shí)甲、乙獲勝的概率均為，此時(shí)對(duì)甲并不有利；故選：AB三、填空題12．（2024·高一·安徽宣城·自主招生）已知函數(shù)和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一數(shù).則這兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)的概率為.【答案】【解析】根據(jù)已知條件聯(lián)立，即，整理有：，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象有交點(diǎn)，所以，即，當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，滿足條件的、共對(duì)，又根據(jù)已知條件、的所有取值情況為種，所以兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)的概率為.故答案為：13．（2024·高二·上海·階段練習(xí)）甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若或，就稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)在任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為．【答案】【解析】甲、乙的所有可能情況用二維有序數(shù)組表示：，，，總共有36種，符合條件的有，共11種，所以他們“心有靈犀”的概率為.故答案為：.14．（2024·高二·四川成都·階段練習(xí)）已知這5個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為2，若在中隨機(jī)取出3個(gè)不同的數(shù)，則5為這3個(gè)數(shù)的中位數(shù)的概率是．【答案】/【解析】這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，因?yàn)檫@5個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為2，，解得，則，即為，按照從小到大的順序?yàn)?，從隨機(jī)取出3個(gè)不同的數(shù)，有，共種，其中5為這3個(gè)數(shù)的中位數(shù)有共種，所以5為這3個(gè)數(shù)的中位數(shù)的概率是.故答案為：.四、解答題15．（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行雙向飛碟射擊訓(xùn)練，七次訓(xùn)練的成績(jī)記錄如下：射擊次數(shù)n100120150100150160150擊中飛碟次數(shù)819512081119127121(1)求各次擊中飛碟的頻率；（保留三位小數(shù)）(2)該射擊運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟的概率約為多少？【解析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，擊中飛碟的頻率依次為，.（2）由（1）可知該射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下?lián)糁酗w碟的頻率都在0.800附近擺動(dòng)，所以該運(yùn)動(dòng)員擊中飛碟的概率約為0.800.16．（2024·高一·安徽淮北·階段練習(xí)）某校對(duì)2023年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)估計(jì)該校高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)的中位數(shù)；(3)為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，在成績(jī)位于和的兩組中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.【解析】（1）由，可得.（2）由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績(jī)90分以下的所占比例為，110分以下的所占比例為，因此，中位數(shù)一定位于內(nèi)，由，可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位