第9章 平面向量 章末題型歸納總結(jié)-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁第9章平面向量章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：向量的線性運(yùn)算經(jīng)典題型二：三點(diǎn)共線定理（雞爪定理）的應(yīng)用經(jīng)典題型三：向量的數(shù)乘運(yùn)算經(jīng)典題型四：向量的數(shù)量積運(yùn)算經(jīng)典題型五：向量的模、向量的夾角經(jīng)典題型六：向量的投影、投影向量經(jīng)典題型七：平面向量的實際應(yīng)用經(jīng)典題型八：平面向量范圍與最值問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：向量的線性運(yùn)算例1．（2024·山東青島·高一校聯(lián)考期末）在中，為線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示：在中，為線段上一點(diǎn)，且，則，即，所以，，因為為的中點(diǎn)，所以，，因此，.故選：D.例2．（2024·高一課時練習(xí)）已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【答案】B【解析】分別為的邊上的中線,則,,由于，，所以,故解得故選：B例3．（2024·福建福州·高一校聯(lián)考期末）平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，即①，，，即②，由①②得，，故選：A．例4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B例5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】,故選：B.經(jīng)典題型二：三點(diǎn)共線定理（雞爪定理）的應(yīng)用例6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，中為重心，過點(diǎn)，，，則．

【答案】3【解析】設(shè)根據(jù)題意，；，，，三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，即，，整理得，所以；故答案為：3例7．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)且滿足，若P為BD上一點(diǎn)，且滿足（為正實數(shù)），則的最小值為.【答案】4【解析】∵B、P、D三點(diǎn)共線，∴設(shè)∵，∴，∴，由和平面向量基本定理得：，∴，∵為正實數(shù)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴的最小值為4．故答案為：4．例8．（2024·遼寧·高一沈陽二中校聯(lián)考期末）如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值．【解析】（1）因為，所以，因為是線段的中點(diǎn)，所以，又因為，設(shè)，則有，因為三點(diǎn)共線，所以，解得，即，所以．（2）因為，，由（1）可知，，所以，因為三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為．例9．（2024·遼寧大連·高一期末）在三角形中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，交于.(1)若.①用表示.②若，求的值.(2)若，求的最小值.【解析】（1）①因為，所以，故在中，；②因為三點(diǎn)共線，設(shè)，所以，因為，所以，所以又由①及已知，，所以，解得.（2）因為，又三點(diǎn)共線，設(shè)，所以，又因為，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，所以的最小值為.例10．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對稱，點(diǎn)D在線段OB上，，DC和OA交于點(diǎn)E.設(shè)，，用和表示向量，.

【解析】∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，∴是的中點(diǎn)，，，，，且，.綜上：，.經(jīng)典題型三：向量的數(shù)乘運(yùn)算例11．（2024·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學(xué)校校考期末）如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，那么向量等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為四邊形為矩形，為中點(diǎn)，所以，所以.故選：B例12．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，，設(shè)，，則，，因為，所以，解得，所以，即.故選：C.例13．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知平面內(nèi)四個不同的點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】,,即,.故選：D.例14．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】不妨設(shè)，如圖所示，根據(jù)題意則，即點(diǎn)O是的重心，取的中點(diǎn)，連接，則三點(diǎn)共線，且，所以邊上的高是邊上的高的倍，，即，同理可得：，，所以有，又因為，那么，故的面積與的面積的比值為.故選：A.例15．（2024·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)校考期末）已知是的重心，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】連接并延長交于，如圖，因為是的重心，則是的中點(diǎn)，所以，又，所以，，所以.故選：B.例16．（2024·河北石家莊·高一?？计谀┮阎叫兴倪呅沃?，，若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】在中，，即是的中點(diǎn)，則，又，即，因此，而，不共線，所以，.故選：D經(jīng)典題型四：向量的數(shù)量積運(yùn)算例17．（2024·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習(xí)）在邊長為2的等邊中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【解析】∵，向量與的夾角為120°，∴.故選：D例18．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）在中，滿足，，，則（

）A． B．0 C．25 D．65【答案】C【解析】如圖所示，因為在中，滿足，，，所以，即，所以.故選：C例19．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在三角形中，，，，則（

）A．10 B．12 C． D．【答案】A【解析】記，則，，，．故選：A.例20．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（

）A． B． C． D．12【答案】A【解析】依題意，，所以.故選：A例21．（2024·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，因為C，P，D三點(diǎn)共線，所以，即，所以，又，所以.故選：C例22．（2024·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)?？计谀┰O(shè)平面向量，，且，則=（

）A．1 B．14 C． D．【答案】B【解析】因為，所以又，則所以，則，故選：例23．（2024·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎獮榈耐饨訄A圓心，且，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由可知為中點(diǎn)，則為直徑，所以；在等腰中，由，得，所以，所以是為直角的等腰三角形，所以故選：A.經(jīng)典題型五：向量的模、向量的夾角例24．（2024·北京順義·高一牛欄山一中?？计谀┤鐖D，在中，，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，，由余弦定理得，，得到，又，所以為直角三角形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則有，又分別為中點(diǎn)，所以，故，所以，故選：D.例25．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在平面圖形ABCD中，，.若，，則（

）

A． B．3 C．9 D．13【答案】C【解析】由題意易知，則，過作于，所以，，所以，不妨設(shè)，則，故.故選：C例26．（2024·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）在中，為上一點(diǎn)，且滿足．若，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由題意可得：，因為三點(diǎn)共線，則，且，又因為，則，可得，解得，可得，所以，即.故選：C.例27．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知平面向量與的夾角為，若，，則（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【解析】由平方可得，因為，平面向量與的夾角為，所以即，解得或（舍去），故選：D例28．（2024·廣東揭陽·高一校聯(lián)考期末）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】與的夾角為鈍角，，又與的夾角為，所以，即，解得，又與不共線，所以，所以取值范圍為.故選：D例29．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知非零向量與滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以，而，所以，所以.故選：B例30．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，所以，同理由和可得所以，故，故選：D例31．（2024·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)向量的夾角為，因為，可得，又因為，，可得，解得，因為，可得.故選：B.例32．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知單位向量，的夾角為，向量，，，向量，的夾角的余弦值為，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】由題意，得，所以，．而，所以．整理，得，解得或（舍去）．故選：C．經(jīng)典題型六：向量的投影、投影向量例33．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)為．【答案】【解析】因為，，所以向量在上的投影向量為.故答案為：.例34．（2024·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.【答案】【解析】向量，則，所以向量在方向上的投影向量為故答案為：例35．（2024·云南昆明·高一昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知非零向量滿足，，則在方向上的投影向量的模為．【答案】【解析】在方向上的投影向量為，為與同向的單位向量，在方向上的投影向量的模長為；，，，，即所求模長為.故答案為：.例36．（2024·浙江金華·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則在上投影向量為，則．【答案】【解析】在上投影向量為，即，故.故答案為:.例37．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)校考期末）已知，，與的夾角為，則在方向上的投影向量是.【答案】【解析】因為，，與的夾角為，所以在方向上的投影向量是.故答案為：.例38．（2024·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，且，則向量在向量上的投影數(shù)量為.【答案】【解析】因為，所以，又因為，，所以，所以向量在向量上的投影數(shù)量為，故答案為：.經(jīng)典題型七：平面向量的實際應(yīng)用例39．（2024·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知船在靜水中的速度大小為，且知船在靜水中的速度大小大于水流的速度大小，河寬為，船垂直到達(dá)對岸用的時間為，則水流的速度大小為.【答案】3【解析】設(shè)船在靜水中的速度為，船的實際速度為，水流速度為，如圖所示，∵，∴，即水流的速度大小為.故答案為：3.例40．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為.（注：重力加速度取，精確到0.01N）

【答案】N【解析】如圖，設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，因為，所以在上的投影向量為，所以8根繩子拉力的合力為，又因為降落傘勻速下落，所以，必有，所以，，所以故答案為：N例41．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）一個物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生大小為100m的位移s，且力F與s的夾角為，則力F所做的功J．【答案】300【解析】J.故答案為：300例42．（2024·高一單元測試）長江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則.

【答案】/【解析】由題意知，則，因為，，即，所以.故答案為：例43．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知力與水平方向的夾角為（斜向上），大小為.一個質(zhì)量為的木塊受力的作用在動摩擦因數(shù)的水平平面上運(yùn)動了，則力和摩擦力所做的功分別為.（）

【答案】，【解析】由題可知，以木塊運(yùn)動的方向為正方向，則力在水平方向的分量為：，在豎直方向的分量為：，則摩擦力為：，則力做功為,摩擦力做功.故答案為：，經(jīng)典題型八：平面向量范圍與最值問題例44．（2024·云南昆明·高一?？计谀┮阎狝D是的中線，若，，則的最小值是．【答案】【解析】，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：例45．（2024·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動點(diǎn)在線段上移動，則的最小值為．

【答案】【解析】在中，，，，所以，又，所以，以所在直線為軸，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，所以，所以，所以當(dāng)時，有最小值.故答案為：.例46．（2024·安徽滁州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，與的交點(diǎn)為為邊上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最大值為.

【答案】【解析】令，則，，所以，所以時，的最大值為.故答案為：例47．（2024·福建漳州·高一校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)M是矩形內(nèi)（包括邊界）的一個動點(diǎn)，若，，則的最大值為.【答案】5【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則=．∵點(diǎn)點(diǎn)M是矩形內(nèi)（包括邊界）一動點(diǎn)，且,∴，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時，取得最大值5.故答案為：5．例48．（2024·江蘇南京·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，是正方形的外接圓上的動點(diǎn)，則的范圍是.【答案】,【解析】根據(jù)條件，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，則，.設(shè)，.,,，，的范圍是，.故答案為：,.例49．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，在直角三角形中，，，則實數(shù)的值是.【答案】或【解析】由已知可得，.若為直角，則有，解得，舍去；若為直角，則有，解得；若為直角，則有，解得（舍去負(fù)值），所以.綜上所述，或.故答案為：或.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例50．（2024·河北廊坊·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是.【答案】，且.【解析】由得，又當(dāng)時，，同向，故的取值范圍是，且.故答案為：，且.例51．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量滿足，若對任意共面的單位向量，記的最大值為，則的最小值等于．【答案】【解析】記，不難發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)為銳角時，；如圖2，當(dāng)為鈍角時，；如圖3，當(dāng)為直角時，，由上述三種情形可知，，由平行四邊形法則可知，當(dāng)時，．例52．（2024·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？计谀┢矫嫔先齻€力作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為45°，則的大小為N．【答案】【解析】由題意得：，所以，故答案為：.例53．（2024·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點(diǎn)是圓：上的動點(diǎn)，定點(diǎn)，，則的取值范圍為．【答案】【解析】由題意原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，因為，所以點(diǎn)在圓外，圓的圓心，半徑，，的人，即，所以，所以的取值范圍為.故答案為：.②轉(zhuǎn)化與化歸思想例54．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知平面向量的夾角為，且.若向量在向量上的投影向量為，則的值為.【答案】/0.25【解析】因為平面向量的夾角為，，所以，又，所以，即，即，所以或（舍去），所以，所以向量在向量上的投影向量為：，又向量在向量上的投影向量為，所以，故答案為：.例55．（2024·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上的三個頂點(diǎn)，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是（把你認(rèn)為正確的序號全部寫上）．①動點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；②動點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；③動點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；④動點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；⑤動點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．【答案】①②③④⑤【解析】對于①，因為動點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)是的重心，故①正確；對于②，因為動點(diǎn)滿足，，又在的平分線上，與的平分線所在向量共線，所以的內(nèi)心在滿足條件的點(diǎn)集合中，②正確；對于③，動點(diǎn)滿足，，，過點(diǎn)作，垂足為，則，，向量與邊的中線共線，因此的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中，③正確；對于④，動點(diǎn)滿足，，，，所以的垂心