重難點(diǎn)專題02 平面向量痛點(diǎn)問(wèn)題之三角形“四心”問(wèn)題-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁(yè)重難點(diǎn)專題02平面向量痛點(diǎn)問(wèn)題之三角形“四心”問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：重心定理題型二：內(nèi)心定理題型三：外心定理題型四：垂心定理【知識(shí)點(diǎn)梳理】一、四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直．二、三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧與總結(jié)】（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．為的內(nèi)心．（2）外心：為的外心．（3）垂心：為的垂心．（4）重心：為的重心．【典型例題】題型一：重心定理【例1】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”是“點(diǎn)為重心”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】依題意，則是重心，即充分性成立；若是重心時(shí)，，可得所以，必要性成立，故選：C.【變式1-1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與兩邊交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】若是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)G是的重心，則必過(guò)，且，由題設(shè)，又共線，所以，即，注意，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故目標(biāo)式最小值為1.故選：A【變式1-2】（2024·廣西玉林·高一博白縣中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)G稱為的重心，那么是（

）

A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3【答案】B【解析】因?yàn)闉榈闹芯€，所以，設(shè)，則，故，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可設(shè)，則，故，故，相加得，解得，故.故選：B【變式1-3】（2024·山西晉中·高一?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的重心，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】記的中點(diǎn)為D，因?yàn)?，由正三角形性質(zhì)可知，，因?yàn)?，O為的外接圓圓心，所以，所以.故選：B題型二：內(nèi)心定理【例2】（2024·福建三明·高一統(tǒng)考期末）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，所以，，所以的?nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)椋?，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所?故選：B.【變式2-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面上的一點(diǎn)，的三邊為，若，則點(diǎn)是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】在，上分別取點(diǎn)，，使得，，則．以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，則四邊形是菱形，且．為的平分線．

，

即，．，，三點(diǎn)共線，即在的平分線上．同理可得在其它兩角的平分線上，是的內(nèi)心．故選：B．【變式2-2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知所在的平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則直線一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【解析】因?yàn)?，根?jù)平行四邊形法則知表示的向量在三角形角的平分線上，而向量與共線，點(diǎn)的軌跡過(guò)的內(nèi)心.故選：．題型三：外心定理【例3】（2024·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，，，，為的外心，若，則的值為（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】由題意可知，為的外心，設(shè)外接圓半徑為，在圓中，過(guò)作，，垂足分別為，，則，分別為，的中點(diǎn)，因?yàn)?，兩邊乘以，即，的夾角為，而，則，得①，同理兩邊乘，即，，則，得②，①②聯(lián)立解得，，所以．故選：C．【變式3-1】（2024·黑龍江佳木斯·高一佳木斯一中校考期末）已知O為的外心，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．1【答案】A【解析】如圖，O為的外心，過(guò)作于因?yàn)椋詣t.故選：A.【變式3-2】（2024·湖北武漢·高一武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）期末）在中，O是三角形的外心，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【解析】如圖，,因?yàn)?所以，又因?yàn)槭侨切蔚耐庑?，所?所以.故選：B題型四：垂心定理【例4】（2024·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谀┰谥校珹B＝5，AC＝6，D是BC的中點(diǎn)，H是的垂心，則.【答案】【解析】因?yàn)镠是的垂心，可得，所以.又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，可得AD是中線，所以.從而.故答案為：【變式4-1】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）是所在平面上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，，則點(diǎn)形成的圖形一定通過(guò)的．（填外心或內(nèi)心或重心或垂心）【答案】垂心【解析】，與垂直，，點(diǎn)在的高線上，即的軌跡過(guò)的垂心.故答案為：垂心．【變式4-2】（2024·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)H是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】A【解析】因?yàn)?，則，所以，即點(diǎn)H在邊的高線所在直線上，同理可得：，所以點(diǎn)H為的三條高線的交點(diǎn)，即點(diǎn)H是的垂心.故選：A.【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2024·全國(guó)·高一期末）平面上點(diǎn)P與不共線三點(diǎn)A、B、C滿足關(guān)系式：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上，且 B．在上，且C．在上，且 D．點(diǎn)為的重心【答案】A【解析】依題意，，，，所以三點(diǎn)共線，所以A選項(xiàng)正確.故選：A2．（2024·福建莆田·高一福建省仙游縣華僑中學(xué)校考階段練習(xí)）已知O，N，P，I在所在的平面內(nèi)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若，則O是的外心B．若，則I是的內(nèi)心C．若，則P是的垂心D．若，則N是的重心【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若，即到的距離相等，根據(jù)外心的定義可知：O是的外心，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，即I是三邊高線的交點(diǎn)，所以I是的垂心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，即，同理可得：，由選項(xiàng)B可知：P是的垂心，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則（D為AB的中點(diǎn)），即，根據(jù)重心的性質(zhì)可知：N是重心，故D正確；故選：B.3．（2024·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表了一個(gè)令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線稱為歐拉線．其中重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．已知M，N，P分別為的外心、重心、垂心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)是的外心，則，A錯(cuò)誤；如圖，由歐拉線定理得，B正確；點(diǎn)為的重心，延長(zhǎng)交于，則是的中點(diǎn)，于是，則，C正確；點(diǎn)是的垂心，由，得，即，由，同理得，因此，D正確.故選：A4．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考階段練習(xí)）若O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，H，N，Q在△ABC所在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則直線AP一定經(jīng)過(guò)的____心，點(diǎn)H滿足，則H是的____心，點(diǎn)N滿足，則N是的____心，點(diǎn)Q滿足，則Q是的____心，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．外心，內(nèi)心，重心，垂心 B．內(nèi)心，外心，重心，垂心C．內(nèi)心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，內(nèi)心【答案】B【解析】，變形得到，其中分別代表方向上的單位向量，故所在直線一定為的平分線，故直線AP一定經(jīng)過(guò)的內(nèi)心，，即點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)相等，故點(diǎn)是的外心，因?yàn)?，所以，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，故三點(diǎn)共線，且，所以是的重心，由可得，故，同理可得，故為三條高的交點(diǎn)，為的垂心.故選：B5．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）若是內(nèi)一點(diǎn)，，則是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】D【解析】取線段的中點(diǎn)，連接，則，而，因此，即三點(diǎn)共線，線段是的中線，且是靠近中點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以是的重心.故選：D6．（2024·四川成都·高一樹德中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)，，在所在平面內(nèi)，且，，，則點(diǎn)，，依次是的（

）A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心【答案】A【解析】由，得，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以，所以點(diǎn)在邊上的中線上，同理可得也在的中線上，所以點(diǎn)是的重心，由，得，所以到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，由，得，所以，所以，所以，同理得，所以為的垂心，故選：A7．（2024·河南濮陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有，，，則點(diǎn)分別為的（

）A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心【答案】A【解析】由，得，即，則，得所以，則，同理可得，，即是三邊上高的交點(diǎn)，則為的垂心；由，得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，即，，三點(diǎn)共線，所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，即是三邊中線的交點(diǎn)，故為的重心；由，得，即，又是的中點(diǎn)，所以在的垂直平分線上，同理可得，在，的垂直平分線上，即是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故是的外心，故選：A8．（2024·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？计谀㎝為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】C【解析】設(shè)邊的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，又點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)在邊的垂直平分線上，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的外心，故選：C.9．（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)O是的內(nèi)心，，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)镺是的內(nèi)心，所以為的平分線，所以根據(jù)角平分線定理可得，所以,因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè)，則，因?yàn)椋?，故選：D10．（2024·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀┮阎獮樗谄矫鎯?nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（

）A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．邊的中點(diǎn)【答案】C【解析】由動(dòng)點(diǎn)滿足，且，所以三點(diǎn)共線，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的邊的中線，所以點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的重心.故選：C.11．（2024·上海黃浦·高一上海市敬業(yè)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，則，所以，所以點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，故點(diǎn)P的軌跡過(guò)的外心.故選：A12．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【解析】因?yàn)闉榉较蛏系膯挝幌蛄?，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點(diǎn)P的軌跡為的角平分線所在直線，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的內(nèi)心.故選：C.13．（2024·四川南充·高一四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)滿足則點(diǎn)一定的（

）A．外心 B．重心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【解析】因?yàn)椋?，即，即可得，即是的角平分線；同理可得是的角平分線，是的角平分線,所以點(diǎn)為三條角平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)是的內(nèi)心.故選：C14．（2024·上海虹口·高一上外附中校考期末）若所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則P是的（

）．A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】C【解析】設(shè)中點(diǎn)為D，由可得，即點(diǎn)共線，且，則P為的重心.故選：C15．（多選題）（2024·江蘇連云港·高一連云港高中?？计谀┰O(shè)點(diǎn)O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則O為的重心；B．若，則O為的垂心；C．若，則為等邊三角形；D．若，則△BOC與△ABC的面積之比為．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，如圖，取邊中點(diǎn)，連接邊上的中線，則，又∵，∴，∴，∴為的重心，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，如圖，取邊中點(diǎn)，邊中點(diǎn)，連接，，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，分別是，邊上的垂直平分線，∴，為的外心，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，作角的內(nèi)角平分線與邊交于點(diǎn)，∵為方向的單位向量，為方向的單位向量，∴（），∴（），∴，∴，∴，為等腰三角形，又∵，且，∴，∴為等邊三角形，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，設(shè)，，由得，則由選項(xiàng)A可知，為的重心，設(shè)的面積，∴，又∵，，∴，，，∴，∴，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.16．（多選題）（2024·河南鄭州·高一校聯(lián)考期末）點(diǎn)為△所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．若，則點(diǎn)為△的重心B．若，則點(diǎn)為△的垂心C．若．則點(diǎn)為△的垂心D．在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)△的外心【答案】AD【解析】A．由于，其中為的中點(diǎn)，可知為邊上中線的三等分點(diǎn)（靠近線段），故為△的重心；選項(xiàng)A正確.B．向量，，分別表示在邊和上取單位向量和，它們的差是向量，當(dāng)，即時(shí)，則點(diǎn)在的平分線上，同理由，知點(diǎn)在的平分線上，故為△的內(nèi)心；選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C．是以，為邊的平行四邊形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)，而是該平行四邊形的另一條對(duì)角線的長(zhǎng)，表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，故為△的外心．選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于D，設(shè)是的中點(diǎn)，，即，所以，所以動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)△的外心.選項(xiàng)D正確.故選：AD.17．（多選題）（2024·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則點(diǎn)O為的垂心B．若，則點(diǎn)O為的外心C．若，則1D．若且，則點(diǎn)O是的內(nèi)心【答案】ACD【解析】對(duì)A：如圖所示，，則，，，，為的垂心，A正確；對(duì)B：如圖，取的中點(diǎn)，連接，由，則，，，三點(diǎn)共線，又是的中線，且，為的重心，B錯(cuò)誤；對(duì)C：如圖：，分別是，的中點(diǎn)，由，，，，，，則，，，則，C正確；對(duì)D：如圖，，，，，即為的平分線，同理由得，即為的平分線，為的內(nèi)心，D正確．故選：ACD18．（2024·廣東深圳·高一?？计谀┑冗叺倪呴L(zhǎng)為，點(diǎn)為的重心，則.【答案】2【解析】由于等邊的重心為中線（也是角平分線）的三等分點(diǎn)，則，且向量與的夾角為，所以，故答案為：19．（2024·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M滿足，且實(shí)數(shù)x，y形成的向量與向量共線，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過(guò)的心.（在重心、內(nèi)心、外心、垂心中選擇）【答案】重心【解析】與向量共線，故，即，則變形為，即，所以，取的中點(diǎn)，則，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過(guò)的重心.故答案為：重心20．（2024·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)O是△ABC的外心，，若，則．【答案】7【解析】如圖，，，，且，，，，，，整理得，，．故答案為：721．（2024·安徽六安·高一六安市裕安區(qū)新安中學(xué)校考期末）已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個(gè)填寫）【答案】外心【解析】如圖所示：為中點(diǎn)，連接，，，故，即，故的軌跡一定經(jīng)過(guò)的外心.故答案為：外心22．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，，則