2019-2020學(xué)年江蘇省某中學(xué)附中九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2019-2020學(xué)年江蘇省泰州中學(xué)附中九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.（cos30°）T的值為（）

A.2B.—C.返D.

223

2.下列說法正確的是（）

A.三角形的外心一定在三角形的外部

B.三角形的內(nèi)心到三個頂點的距離相等

C.外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形

D.直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點連線的夾角為125°

3.下列說法：①概率為0的事件不一定是不可能事件；②試驗次數(shù)越多，某情況發(fā)生的頻

率越接近概率；③事件發(fā)生的率與實驗次數(shù)有關(guān)；④在拋擲圖釘?shù)脑囼炛嗅樇獬系?/p>

概率為表示3次這樣的試驗必有1次針尖朝上.其中正確的是（）

O

A.①②B.②③C.①③D.①④

4.如圖1,在5c中，AB=BC,AC=m,D,E分別是A5,5c邊的中點，點尸為AC

邊上的一個動點，連接尸。，PB,PE.設(shè)AP=x,圖1中某條線段長為y,若表示y與x

的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這條線段可能是（）

A.PDB.PBC.PED.PC

5.ZkABC中，ZC=90°,內(nèi)切圓與45相切于點O,AD=2,BD=3>,則△A5C的面積

為()

A.3B.6C.12D.無法確定

6.若二次函數(shù)y=-f+px+g的圖象經(jīng)過A(.1+m,it)、B(0,ji)、C(3-/n,")、O

22

(m-2m+5,j2)、E(,2m-tn-5,j3),則yi、j2>為的大小關(guān)系是()

A.J3<J2<J1B.J3<J1<J2c.yi<y2<y3D.j2<j3<ji

二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分.請把答案直接填寫在答題卡相

應(yīng)位置上）

7.二次函數(shù)y=2f+4x+l圖象的頂點坐標(biāo)為.

8.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,則sinA的值為.

9.數(shù)據(jù)3000,2998,3002,2999,3001的方差為.

10.某人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染共感染了121人.設(shè)該病毒一人平均每輪傳染x

人，則關(guān)于x的方程為.

11.一元二次方程有一個根為2-依，二次項系數(shù)為1,且一次項系數(shù)和常數(shù)項都是非0

的有理數(shù),這個方程可以是.

12.若與*2為關(guān)于x的方程x+2mx+m=0（小手0）的兩個實數(shù)根，則」一+」-的值為_____.

X1x2

13.A、3為OO上兩點，C為上一點（與A、B不重合），若NAC8=100°,則NA03

的度數(shù)為°.

14.如圖，與矩形A5C。的邊43、C。分別相交于點E、尸、G、H,若AE+CH=6,

則BG+DF為.

15.如圖，半圓。的直徑AB=18,C為半圓。上一動點，NCA5=a,點G為△A5C的重

心.則GO的長為

16.用正五邊形鋼板制作一個邊框總長為40c機的五角星（如圖），則正五邊形的邊長為

c/n（保留根號）.

三、解答題

17.(1)計算：J(tan30。_])2+sin60。-tan45°;

(2)解方程：2(x-1)2=M(x-1)

18.已知：關(guān)于x的方程X?-(wi+1)x+m2-1=0,根據(jù)下列條件求nz的值.

(1)方程有一個根為1;

(2)方程兩個實數(shù)根的和與積相等.

19.我市有2000名學(xué)生參加了2018年全省八年級數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試.其中有這樣一題：

如圖，分別以線段30的端點8、。為圓心，相同的長為半徑畫弧，兩弧相交于A、C

兩點，連接A3、AD.CB、CD.若4B=2,BD=2^＞求四邊形ABC。的面積.

統(tǒng)計我市學(xué)生解答和得分情況，并制作如下圖表：

各解答類型人數(shù)百分率條形統(tǒng)計圖

(1)求學(xué)業(yè)水平測試中四邊形4BCZ)的面積;

(2)請你補全條形統(tǒng)計圖；

(3)我市該題的平均得分為多少？

(4)我市得3分以上的人數(shù)為多少？

20.證明相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比.

已知：如圖，B'C,相似比為A,

求證：.(先填空，再證明)

證明:

21.如圖，的半徑為2a,A、3為。。上兩點，C為內(nèi)一點，ACJ.BC,

BC=a.

(1)判斷點0、C、b的位置關(guān)系；

22.一次函數(shù)y=3x+6的圖象與X軸相交于點A,與y軸相交于點5,二次函數(shù)5

圖象經(jīng)過點A、B,與x軸相交于另一點C.

(1)求a、b的值；

(2)在直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；

(3)求NA5C的度數(shù).

（1）如圖①，點。在斜邊45上，以點。為圓心，長為半徑的圓交于點。，交

BC于點、E,與邊AC相切于點F.求證：N1=N2;

（2）在圖②中作OM,使它滿足以下條件：

①圓心在邊A5上；②經(jīng)過點8;③與邊AC相切.

（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

24.某軟件開發(fā)公司開發(fā)了A、8兩種軟件，每種軟件成本均為1400元，售價分別為2000

元、1800元，這兩種軟件每天的銷售額共為112000元，總利潤為28000元.

（1）該店每天銷售這兩種軟件共多少個？

（2）根據(jù)市場行情，公司擬對4種軟件降價銷售，同時提高3種軟件價格.此時發(fā)現(xiàn)，

A種軟件每降50元可多賣1件，3種軟件每提高50元就少賣1件.如果這兩種軟件每

天銷售總件數(shù)不變，那么這兩種軟件一天的總利潤最多是多少？

25.定義：點尸在△A5C的邊上，且與△ABC的頂點不重合.若滿足△尸48、APBC.△

PAC至少有一個三角形與△△5c相似（但不全等），則稱點P為△△5c的自相似點.

如圖①，已知點A、5、C的坐標(biāo)分別為（1,0）、（3,0）、（0,1）.

（1）若點尸的坐標(biāo)為（2,0）,求證：點尸是△A5C的自相似點；

（2）求除點（2,0）外△△3c所有自相似點的坐標(biāo)；

（3）如圖②，過點3作Z>JB_L5C交直線AC于點O,在直線AC上是否存在點G,使

（1）試判斷函數(shù)山的圖象是否經(jīng)過點C,并說明理由；

（2）若山為任意實數(shù)時，函數(shù)”的圖象始終經(jīng)過點C,求a的值；

（3）在（2）的條件下，存在不唯一的x值，當(dāng)x增大時，函數(shù)%的值減小且函數(shù)以

的值增大.

①直接寫出機的范圍；

②點P為x軸上異于原點O的任意一點，過點P作y軸的平行線，與函數(shù)”的圖象

分別相交于點。、E.試說明邁的值只與點尸的位置有關(guān).

AB

0

C

參考答案

一、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分.在每小題所給出的四個選項中，

恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.（cos30°）T的值為（）

A.2B.—C.返D.

223

1仄

【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)森：ap=—（“于0,p為正整數(shù)），COS300=工亙計算即可.

ap2

解：原式=（蟲）T=2返，

23

故選：D.

2.下列說法正確的是（）

A.三角形的外心一定在三角形的外部

B.三角形的內(nèi)心到三個頂點的距離相等

C.外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形

D.直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點連線的夾角為125°

【分析】利用三角形內(nèi)心以及三角形外心的性質(zhì)判斷得出即可.

解：A、三角形的外心不一定在三角形的外部，錯誤；

5、三角形的內(nèi)心到三個邊的距離相等，錯誤；

C、外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形，正確；

。、直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點連線的夾角為135°,錯誤；

故選：C.

3.下列說法：①概率為0的事件不一定是不可能事件；②試驗次數(shù)越多，某情況發(fā)生的頻

率越接近概率；③事件發(fā)生的概率與實驗次數(shù)有關(guān)；④在拋擲圖釘?shù)脑囼炛嗅樇獬系?/p>

概率為表示3次這樣的試驗必有1次針尖朝上.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①④

【分析】①根據(jù)不可能事件發(fā)生的概率為0,但是概率為0的事件不一定是不可能事件;

②試驗次數(shù)越多，某情況發(fā)生的頻率越接近概率；

③事件發(fā)生的概率與實驗次數(shù)無關(guān)；

④在拋擲圖釘?shù)脑囼炛嗅樇獬系母怕蕿椤叮桥既皇录?，不一?次這樣的試驗必有

O

1次針尖朝上.

解：①不可能事件發(fā)生的概率為0,但是概率為0的事件不一定是不可能事件，還有可

能是檢測的手段問題，不能說明該事件是不可能事件，這個和測度論有關(guān)，

所以①正確；

②試驗次數(shù)越多，某情況發(fā)生的頻率越接近概率，正確；

③事件發(fā)生的概率與實驗次數(shù)有關(guān)，錯誤；

④在拋擲圖釘?shù)脑囼炛嗅樇獬系母怕蕿椤叮桥既皇录?，不一?次這樣的試驗必有

O

1次針尖朝上，故本選項錯誤；

故選：A.

4.如圖1,在△A3C中，AB=BC,AC=m,D,E分別是AB,BC邊的中點，點尸為AC

邊上的一個動點，連接PZ>,PB,PE.設(shè)圖1中某條線段長為y,若表示y與x

的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這條線段可能是（）

A.PDB.PBC.PED.PC

【分析】觀察圖2,確定x為何值取得最小值即可一一判斷.

解：A錯誤，觀察圖2可知尸￡>在》=處取得最小值.

4

B、錯誤.觀察圖2可知尸5在取得最小值.

C,正確.觀察圖2可知PE在取得最小值.

4

。、錯誤.觀察圖2可知PC在丫=機取得最小值為0.

故選：C.

5.△A3C中，ZC=90°,內(nèi)切圓與A8相切于點O,AD=2,BD=3>,則△△5c的面積

為（）

A.3B.6C.12D.無法確定

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可.

解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC.BC相切于點E、F,CE的長為

根據(jù)切線長定理，得AE=AD=2,BF=BD=3,CF=CE=x.

根據(jù)勾股定理，得(x+2)2+(x+3)2=(2+3)2.

整理，得f+5x=6.

所以SAABC=/4C.BC

=—(x+2)(x+3)

2

=—(X2+5X+6)

2

=--X(6+6)

2

=6.

故選：B.

6.若二次函數(shù)y=-尸+0計4的圖象經(jīng)過A(1+M，〃)、5(0,ji)、C(3-m,n)、D

2

(m-2m+5,j2)、E{2m-m-5,丁3),則力、力、了3的大小關(guān)系是()

A.J3<J2<J1B.J3<J1<J2C.J1<J2<J3D.J2<J3<J1

【分析】由點A(1+m,〃)、C(3-m,n)的對稱性，可求函數(shù)的對稱軸為x=2,再

22

由6(0,ji)、D(m-2m+5,y2)、E(2m-m-5fj3),與對稱軸的距離，即可判

斷)1>丁2>為

解：:■經(jīng)過A(1+m,n)、C(3-m,n),

...二次函數(shù)的對稱軸x=2竽工=2,

Vm-2m+5=(m-1)2+4^4,2m-m2-5=-(m-1)2-4^-4,

:.(川2-2機+5-2)-[2-(2m-m2-5)]=-4<0,

??D點離對稱軸x=2比E點離對稱軸x=2近,

.".B(0,ji)、D(.m2-2m+5,J2)、E(2m-m2-5,萬)與對稱軸的距離E最遠，B

最近，

Va=-l<0,

.*.J1>J2>J3；

故選：A.

二、填空題(本大題共有10小題，每小題3分，共30分.請把答案直接填寫在答題卡相

應(yīng)位置上)

7.二次函數(shù)y=2x，4x+l圖象的頂點坐標(biāo)為(-1,-1).

【分析】用配方法把二次函數(shù)的解析式化成頂點式便可求得頂點坐標(biāo).

解：,：y=2x2+4x+l=2(X2+2X)+1=2[(X+1)2-1]+1=2(X+1)2-1,

.?.二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為(-1,-1),

故答案為：(-1,-1).

A

8.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,則sinA的值為

5一

【分析】先利用勾股定理計算出A3的長，然后根據(jù)正弦的定義即可求解.

解：VZC=90°,AC=6,BC=8,

AAB=VAC2+BC2=10,

故答案為：告.

5

9.數(shù)據(jù)3000,2998,3002,2999,3001的方差為2.

【分析】先求出平均數(shù)，再根據(jù)方差的計算公式進行計算即可.

_1

解：x=—(3000+2998+3002+2999+3001)=3000,

5

S2=—[(3000-3000)2+(3000-2998)2+(3000-3002)2+(3000-2999)2+(3000

5

-3001)2]=—X10=2;

5

故答案為：2.

10.某人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染共感染了121人.設(shè)該病毒一人平均每輪傳染x

人，則關(guān)于x的方程為l+x+(1+x)x=121.

【分析】等量關(guān)系為：1+第一輪傳染的人數(shù)+第二輪傳染的人數(shù)=121,把相關(guān)數(shù)值代入

即可求得所求方程.

解：人患流感，一個人傳染x人，

...第一輪傳染X人，此時患病總?cè)藬?shù)為1+X；

.?.第二輪傳染的人數(shù)為(1+x)X,此時患病總?cè)藬?shù)為l+x+(1+x)X,

?經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，

二可列方程為：l+x+(1+x)x=121.

故答案為：l+x+(1+x)x=121.

11.一元二次方程有一個根為2-代，二次項系數(shù)為1,且一次項系數(shù)和常數(shù)項都是非0

的有理數(shù)，這個方程可以是*24工-1=0.

【分析】直接利用一元二次方程的根以及一次項系數(shù)和常數(shù)項都是非0的有理數(shù)，結(jié)合

已知得出符合題意的方程.

解：?.?這個一元二次方程的二次項系數(shù)是1,

二設(shè)一元二次方程為：(x-2-，門)(.X-2+[^)=0,

整理為：x2-4x-1=0.

故答案為：x2-4x-1=0.

,11

12.若Xi、初為關(guān)于X的方程1+2mx+ffi=0(桃豐0)的兩個實數(shù)根，則—+——的值為_二

X1x2

2.

11X,+Xn

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出xi+x2=-2m,xi'x2=m,再將---+---變形為-------

X1x2x/2

即可求解.

解：Vxi，為關(guān)于x的方程￥+2“a+，”=0(nz=#0)的兩個實數(shù)根，

/.Xi+X2=_2m,Xi*xi=m,

x+x

AJ_,Jl2_-2m__2.

Xx

**12Xjx2m

故答案為：-2.

13.A、3為OO上兩點，C為。。上一點(與A、8不重合)，若NACB=100°,則NA05

的度數(shù)為160°.

【分析】如圖，在優(yōu)弧定上取一點。，連接A。，BD.求出NAO3,再利用圓周角定理

解決問題即可.

解：如圖，在優(yōu)弧:而上取一點D,連接AD,BD.

VZADB+ZACB=180°,

/.ZADB=1SO°-ZACB=180°-100°=80°,

AZAOB=2ZADB=160°.

故答案為160.

14.如圖，。。與矩形4BCD的邊Ab、CD分別相交于點￡、RG、H,若AE+CN=6,

貝IBG+DF為6.

【分析】作OM_LGH于M,OM爻EF于N,如圖，先證明0M利用垂徑定理得

到EN=FN,GM=HM,利用四邊形AbMN和四邊形MNDC為矩形得到AN=5M,

DN=CM,然后根據(jù)等線段代換得到5G+Z＞尸=4￡+CH.

解：作OM_LGH于M,OM交EF于N,如圖，

9：EF//GH,

：.OM1.EF,

:?EN=FN,GM=HM,

易得四邊形A5MN和四邊形MNDC為矩形，

：.AN=BMfDN=CM,

：.BG+DF=BM-GM+DN-NF

=AN-HM+CM-EN

=AN-EN+CM-HM

=AE+CH

=6.

15.如圖，半圓。的直徑A3=18,C為半圓。上一動點，NCAB=a,點G為△△5c的重

心.則GO的長為3.

【分析】根據(jù)圓周角定理和重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1即可

求解.

解：連接0C,

?.?半圓。的直徑43=18,

：.0C=9,

?.?點G為△ABC的重心，

.?.OC經(jīng)過G,

：.GO=^OC=3.

3

故答案為：3.

16.用正五邊形鋼板制作一個邊框總長為40cm的五角星（如圖），則正五邊形的邊長為

2盜+2cm（保留根號）.

【分析】由五邊形ABCDE為圓內(nèi)接正五邊形，得出AB=BC=CD=DE=AE，則NBAS

=108°,NHAN=NAEH=NBAC=NDAE=NABE=L/BAE=36。,易求NEAH

3

=NEHA=NANH=NAHN=72°,得出AE=HE,AAEHsAAHN,則嶇=旭，

ANHN

4n

求出AH=AN=EN=/=4,HN=HE-NE=AE-4,代入即可得出結(jié)果.

解：二?五邊形A3C0E是正五邊形，

二五邊形ABCDE為圓內(nèi)接正五邊形，

^—

??AB=BC=CD=DE=AE>

:.ZBAE='5_2''A18U—=108°,ZHAN=NAEH=NBAC=ZDAE=ZABE=^-

53

ZBAE=^X108°=36°,

3

AZEAH=ZBAN=36°+36°=72°,

AZAHE=180°-72°-36°=72°,ZANB=1SO0-72°-36°=72°,

:.NEAH=NEHA=TT,ZANH=ZAHN=12°,

：.AE=HE,NEAH=NEHA=NANH=NAHN,

：.AAEH^>/\AHN,

?AE=AH

??屈一而

...五角星的邊框總長為40cm,

40

：.AH=AN=EN=—=4,HN=HE-NE=AE-4,

10

.AE_4

,?4AE-4,

整理得：(AE-2)2=20,

，AE=2旄+2(cm),

故答案為：2J虧+2.

三、解答題

17.(1)計算：i/(tan30°-l)2+sin60°-tan45";

⑵解方程：2(x-1)2=-7s(x-D

【分析】(D將特殊銳角三角函數(shù)值代入、根據(jù)二次根式的性質(zhì)去根號，再取絕對值,

最后計算加減即可得；

(2)根據(jù)方程的特點利用因式分解法求解可得.

解：(1)原式=|tan30°-1|+苧-1

=|返

32

=1-^4■遮—1

32

(2)V2(x-1)2-?(x-1)=0,

/.(x-1)(2X-2-73)=0,

則x-1=0<2x-2-依=0,

解得X=1或X=

2

18.已知：關(guān)于x的方程f-(m+1)x+m2-1=0,根據(jù)下列條件求/n的值.

(1)方程有一個根為1;

(2)方程兩個實數(shù)根的和與積相等.

【分析】(1)根據(jù)一元二次方程的解的定義把x=l定義方程得到關(guān)于機的一元二次方

程，然后解此方程即可得到機的值；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于m的一元二次方程，然后解此方程即可得到m的值.

解：(1)依題意有1-(/n+1)+m2-1=0,

2

m-m-1=0,

解得.=1土遙;

2

(2)依題意有機+1=/T,

2

m-m-2=0,

解得m=-1或2,

當(dāng)機=2時△V0,方程無實數(shù)根，故m=-L

19.我市有2000名學(xué)生參加了2018年全省八年級數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試,其中有這樣一題:

如圖，分別以線段BD的端點B.D為圓心，相同的長為半徑畫弧，兩弧相交于A、C

兩點，連接A3、40、CB、CD.若A5=2,3。=2愿，求四邊形A3C。的面積.

統(tǒng)計我市學(xué)生解答和得分情況，并制作如下圖表：

解答類型及得分情況表

得分序號解答類型

0A沒有作答

B解答不正確

2C連接AC交30于點0,正

確求出BO;

3D正確計算出AO的長；

E結(jié)論正確，過程不完整；

4F正確，與參考答案一致；

G用其他方法，完全正確.

各能答類型人數(shù)百分率條形統(tǒng)計圖

(2)請你補全條形統(tǒng)計圖；

(3)我市該題的平均得分為多少？

(4)我市得3分以上的人數(shù)為多少？

【分析】(1)根據(jù)畫法可知四邊形ABC。是菱形，連接對角線，利用勾股定理求出0A,

進而求出對角線AC的長，再根據(jù)菱形的面積計算方法進行計算即可;

（2）求出“F組”所占的百分比，即可補全條形統(tǒng)計圖；

（3）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法計算即可；

（4）先求出“3分及以上”的人數(shù)所占的百分比，即可求出答案.

解：（1）連接4c交50于點。；由作圖可知A5=5C=CZ）=ZM,

.?.ABC。是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,0B=0D=^BD=M，

在RtAAOB中，0A=62_（匾）2=i,

：.AC=2OA=2,

.\Sg_?）=-^AC*BD=2./3；

（2）100-1.4-6.7-9.2-28.7-10.8-8.9=34.3,補全條形統(tǒng)計圖如圖所示:

（3）2X1.4%+3X（6.7%+9.2%）+4X（34.3%+28.7%）=3.025（分）

答：我市該題的平均得分為3.025分；

（4）2000X（6.7%+9.2%+34.3%+28.7%）=1578（人）.

答：我市得3分及以上的人數(shù)有1578人.

20.證明相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比.

已知：如圖，B'C，相似比為k,4。、A'0分別是和△4'

B'C的角平分線.

求證：T7r7-=k.（先填空，再證明）

-AD----

證明:

【分析】畫出圖形，寫出已知，求證，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得NB=N8',

ZBAC=ZB,A'C,再根據(jù)角平分線的定義求出N3AO=N5'A'D',然后利用

兩組角對應(yīng)相等兩三角形相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式證明即可.

解：已知：如圖，△ABC^>AA/B'C,相似比為k,AD.A'D'分別是△ABC和

△A'B'C'的角平分線.

求證：、*—=4.（先填空，再證明）

AU

證明：VAABC^AA7B'C,

/.ZB=ZBf,NBAC=NB'A'C,

"：AD.A'D'分別是△ABC和△△'B'C的角平分線，

AZBAD=^ZBAC,NB，AfD'=[N5'A'C',

/.ZBAD=ZB,AfD',

：.AABD^AAfB'D',

.ADAB.

??—;-----;-=—；-----；—=k.

ND'A'By

故答案為：AD.AfD'分別是△ABC和△&'B'C'的角平分線；嗎=k.

AU

21.如圖，O。的半徑為2a,A、5為OO上兩點，C為。0內(nèi)一點，AC±BC,AC=J區(qū),

5C=〃?

（1）判斷點。、C、3的位置關(guān)系；

（2）求圖中陰影部分的面積.

cT

【分析】（1）求出AB=2a,則△045為等邊三角形，可得點C在線段03上，則可得

出結(jié)論；

（2）可用扇形AO5的面積和SAOW,即可得出答案.

【解答】（1）解：0、C、B三點在一條直線上.

證明：連接。4、OB、OC,

在RtZkABC中，AB=hc2+Bc2=2a,

：.ZABC=60°,

.,.OA=OB=AB,

:.△OAB是等邊三角形，

AZABO=60°,

故點C在線段上，

即0、C、5三點在一條直線上.

⑵vS=z€>C*AC=yxV3a=^J

A0ACa1?2

乙乙乙

SM4.B=60?7lX（2a）2=^.

3603

二陰影部分的面積為空-a2二&a?=（2L心、2

?。゛.

323

22.一次函數(shù)y=3x+6的圖象與X軸相交于點A,與y軸相交于點僅二次函數(shù)y=af+x+b

圖象經(jīng)過點A、B,與x軸相交于另一點C.

（1）求“、》的值；

（2）在直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象;

(3)求NA5C的度數(shù).

【分析】(1)先利用一次函數(shù)解析式確定A、3點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物

線解析式得到a、b的值；

(2)利用配方法得到y(tǒng)=-(x+—)2+空，則拋物線的頂點坐標(biāo)為(-工，型)；解

2424

方程-f+x+6=o得c(3,0),然后利用描點法畫圖象；

(3)作于H,如圖，利用勾股定理計算出5c=3遙，再利用面

積法求出A7f=2代，然后利用正弦的定義求出NA8〃=45°.

解：(1)當(dāng)y=0,y=3x+6=6,則3(0,6)；

當(dāng)x=0時，3x+6=0,解得x=-2,則A(-2,0),

把3(0,6),A(-2,0)代入尸修+.+二得6,解得'

(4a-2+b=0Ib=6

(2)拋物線解析式為y=-X2+X+6,

''y="X2+X+6=-(x+-^-)2+-^-

拋物線的頂點坐標(biāo)為(-工，—)；

24

當(dāng)y=0時，-￥+^+6=0,解得刈=-2,X2=3,

???拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為A(-2,0),C(3,0),

如圖,

AB=722+62=2"/10,

?AC=—?A77?BC,

2

需=2代，

在RtZ\A377,sinZABH=-=■

AB2V102

AZABH=45°,

即NA8C=45°.

23.在Rt2\ABC中，ZC=90".

（1）如圖①，點。在斜邊AB上，以點。為圓心，03長為半徑的圓交4B于點O,交

BC于點、E,與邊AC相切于點足求證：N1=N2：

（2）在圖②中作OM,使它滿足以下條件：

①圓心在邊45上；②經(jīng)過點3;③與邊AC相切.

（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不妥求寫出作法）

【分析】（1）連接。死可證得。歹〃8C,結(jié)合平行線的性質(zhì)和圓的特性可求得N1=N

0FB=Z2,可得出結(jié)論；

（2）由（1）可知切點是NA3C的角平分線和AC的交點，圓心在的垂直平分線上,

由此即可作出OM.

解：（1）證明：如圖①，連接0K

:.OE±AC9

VZC=90°,

：.OE//BC9

:.ZI=ZOFB9

■:OF=OBf

:?NOFB=N2,

???N1=N2.

(2)如圖②所示OM為所求.

②作5方的垂直平分線交Ab于M,以MB為半徑作圓,

即OM為所求.

證明：在如F的垂直平分線上，

：.ZMBF=ZMFB,

又；BF平分NABC,

:.NMBF=NCBF,

：.ZCBF=ZMFB,

：.MF//BC,

,.-ZC=90",

：.FM±AC,

.?.OM與邊AC相切.

24.某軟件開發(fā)公司開發(fā)了4、5兩種軟件，每種軟件成本均為1400元，售價分別為2000

元、1800元，這兩種軟件每天的銷售額共為112000元，總利潤為28000元.

(1)該店每天銷售這兩種軟件共多少個？

(2)根據(jù)市場行情，公司擬對4種軟件降價銷售，同時提高5種軟件價格.此時發(fā)現(xiàn)，

A種軟件每降50元可多賣1件，3種軟件每提高50元就少賣1件.如果這兩種軟件每

天銷售總件數(shù)不變，那么這兩種軟件一天的總利潤最多是多少？

【分析】(1)由4、3兩種軟件每天的營業(yè)額為112000元，總利潤為28000元建立方

程組即可；

(2)設(shè)出A種軟件多賣出機個，則B種軟件少賣出機個，最后建立利潤與A種軟件多

賣出的個數(shù)的函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論.

解：(1)設(shè)每天銷售A種軟件x個，3種軟件y個.

上wof2000x+1800y=112000

由題意得：.、，

I(2000-1400)x+(1800-1400)y=2800(

解得：J'-",20+40=60.

[y=40

...該公司每天銷售這兩種軟件共60個.

(2)設(shè)這兩種軟件一天的總利潤為W,A種軟件每天多銷售，”個，則3種軟件每天少

銷售m個.

W=(2000-1400-50m)(20+m)+(1800-1400+50/n)(40-my

=-100(m-6)2+31600(OWmW12).

當(dāng)機=6時，W的值最大，且最大值為31600.

二這兩種軟件一天的總利潤最多為31600元.

25.定義：點尸在△ABC的邊上，且與△A3C的頂點不重合.若滿足△PA3、APBC、△

產(chǎn)AC至少有一個三角形與△ABC相似(但不全等)，則稱點尸為△A3C的自相似點.

如圖①，已知點4、5、C的坐標(biāo)分別為（1,0）、（3,0）、（0,1）.

（1）若點P的坐標(biāo)為（2,0）,求證：點尸是△△5c的自相似點；

（2）求除點（2,0）外△A5C所有自相似點的坐標(biāo)；

（3）如圖②，過點5作交直線AC于點O,在直線AC上是否存在點G,使

△G5O與△G5C有公共的自相似點？若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）通過證明△APCsaCAB,可得點尸是△△3c的自相似點；

（2）由題意可得點尸只能在上，分兩種情形：若△CP/s^cAB,若△A5P”s4

P''BA,利用相似三角形的性質(zhì)分別求解即可.

（3）存在.當(dāng)點G的坐標(biāo)為（5,-4）時，△G5O與△GBC公共的自相似點為S（3,

-2）.利用數(shù)形結(jié)合的思想證明三角形相似解決問題即可.

【解答】證明：（D連接c尸，

圖①

VA（1,0）,B（3,0）,C（0,1）,P（2,0）,

：.AP=1,AC=y/2,AB=2,

.AP=1=返A(chǔ)C_V2

"AC"V2瓶丁，

APAC

且NPAC=NCAB,

ACAB

:.AAPCSACAB,

.?.點P^AABC的自相似點；

(2)由題意可得點尸只能在上,

圖①

VA(1,0),5(3,0),C(0,1),

:.AC=M，5c=773，AB=2,

如圖，若

.CA_CPy

''C5=CA

.\2=VioxCP,,

:.CP'=^^,

5

.CPZ_1

,

，，"BC-一后

.?.點P'(3X&IX當(dāng)，即點P坐標(biāo)(-1，當(dāng)；

5555

若△AKP"s2\p”8A,

.P"B_AB

ABW

**-4=710*P'S

...P"3=設(shè)亙

5

.P"B2

BC

.?.點p"爛，4)；