2015年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）考點卡片

考點卡片

1.交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【知識點的認(rèn)識】

集合交換律4n8=BCA,AU8=BUA.

集合結(jié)合律(ACB)nc=An(eno,(AUB)UC=AU(BUO.

集合分配律An(BUC)=(AAB)U(Ano,AU(BDC)=(AUB)n(AUC).

集合的摩根律C”(AHB)^CuAUCuB,Cu(AUB)^CuACiCuB.

集合吸收律AU(ACIB)=A,AD(AU8)=A.

集合求補(bǔ)律AUCuA^U,AnC“A=?.

【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖

直接解答.

【命題方向】理解交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，每年高考一般都是單獨(dú)命題，一道選擇題

或填空題，屬于基礎(chǔ)題.

2.充分條件、必要條件、充要條件

【知識點的認(rèn)識】

1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p=q,稱p為q的充分條件，q是p的必

要條件.事實上，與“p=q”等價的逆否命題是它的意義是：若q不成立，

則p一定不成立.這就是說，“對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件.例如：p：

x>2；q：%>0.顯然x€p,則等價于》幽，則x即一定成立.

2、充要條件：如果既有“p=q”,又有“q>p”,則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條

件4是p成立的充要條件，記作“p=q”.p與q互為充要條件.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與

必要條件，缺一不可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件,

必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反

例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若p=q為真命題且q0P為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若p=q為假命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若p=q為真命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若pnq為假命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷

命題p與命題q的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而

幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，

所以命題的范圍特別廣.

3.奇偶性與單調(diào)性的綜合

【知識點的認(rèn)識】

對于奇偶函數(shù)綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在

一起，所以說關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時能融會貫通，靈活運(yùn)

用.在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)/(X)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個

x,都有f(-x)=-f(x),其圖象特點是關(guān)于(0,0)對稱.②偶函數(shù)/(X)的定義域關(guān)

于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x,都有/(-X)=/(x),其圖象特點是關(guān)于y軸對稱.

【解題方法點撥】

參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點，有：

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運(yùn)用/(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運(yùn)用f(x)=-/(-X)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f(x)=/(-x)這個去求解；

④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反

例題：如果/(x)=需為奇函數(shù)，那么〃=.

解：由題意可知，f(x)的定義域為R,

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，/(x)==-/(-%)=4=1

【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合.

不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個基本前提，另外做題的時候多多

總結(jié)，一定要重視這一個知識點.

4.函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

【函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系】

函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一

樣的.但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的.

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不

多講了.我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法(配方法).

例題：求函數(shù)f(x)=X4+5?-277-101x-70的零點.

解：\'f(x)=A4+5?-27x2-lOlx-70

=(x-5)?(x+7)?(x+2)?(x+l)

...函數(shù)f(x)=/+5--27f-101X-70的零點是：5、-7、-2、-1.

通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的

乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0

時的解即可.

【考查趨勢】

考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可.

5.定積分的應(yīng)用

【應(yīng)用概述】

正如前面定積分的概念哪里所說，定積分表示的是一個面積，是一個大于零的數(shù).那

么它在實際當(dāng)中的應(yīng)用也就和求面積相關(guān).

3n

例1：定積分|siar|公的值是.

37r3ff

解：G|sior|公=sinxdx+(―smx)dx

3n

=_cosx|J+cosx|J

=1+1+0-(-1)

=3

這個題如果這樣子出，|sinx|在區(qū)間(0,—)上與x軸所圍成的面積，那么就成了一個

2

應(yīng)用題.如何解這類應(yīng)用題呢？其實就是構(gòu)建一個定積分，找到區(qū)間和要積分的函數(shù)即可.

【定積分在求面積中的應(yīng)用】

1、直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積

a)由曲線產(chǎn)f&)與直線x=a,x=b(a<i>)及y=0所圍成平面圖形的面積

特別：I、若f(x)20,(見圖1),則其面積為A=;

*a

n.若f見圖2),則其面積為A=-J)(x粒；

b)由曲線y=f(x),尸g(x)與直線x=a,*=b(aWb)所圍成平面圖形面積

為A=.C|/(x)-g(x?tr

特別:若曲線y=f(x)位于曲線y=g(x)的上方(見圖3),則其面積為

A=f〉(x)-g(x)拉

C、由曲線X=(p(y),X=w(y)與直線尸C,尸d(c4d)所圍成的平面圖形的面積

特別：I：、若曲線x=(p(y)位于曲線x=w(y)的右側(cè)(見圖4)

則其面積為A=(&<>，)_p(y)］力

H、若左側(cè)曲線為x==0(即y軸)，(見圖5)則其面積為A=［彳心-昉，

2、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積

由連續(xù)曲線r=r(O)及射線0=a,0所圍成的平面圖形的面積(圖6)為

3、用定積分求平面圖形的面積的步驟

?)根據(jù)已知條件，作出平面圖形的草圖；根據(jù)圖形特點，恰當(dāng)選取計算公式；

b)解方程組求出每兩條曲線的交點，以確定積分的上、下限；

c)具體計算定積分，求出圖形的面積.

6.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【知識點的知識】

1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：

(1)若/(x)>0在(“，b)上恒成立，則/(x)在(a,h)上是增函數(shù)，f(x)>0

的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；

(2)若，(x)<0在(a,b)上恒成立，則/(x)在(a,b)上是減函數(shù)，f(x)<0

的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.

2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：

(1)確定/(x)的定義域；

(2)計算導(dǎo)數(shù)/(x)；

(3)求出/'(無)=0的根；

(4)用，(x)=0的根將/(x)的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)廣

(x)的符號，進(jìn)而確定了(x)的單調(diào)區(qū)間：fCx)>0,則/(x)在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù),

對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f(x)<0,則/(x)在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.

【典型例題分析】

題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

典例1：已知函數(shù)/(x)的定義域為R,/(-1)=2,對任意xeR,/(%)>2,則/(x)

>2x+4的解集為()

A.(-1,1)B.(-1,+°°)C.(-8,-1)。.(-8,4-00)

解：設(shè)g(x)=f(x)-2x-4,

則g'(x)=f(x)-2,

:對任意x€R,f(x)>2,

對任意x6R,g'(x)>0,

即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

■:f(-1)=2,

；.g(-1)=/(-1)+2-4=4-4=0,

則由g(x)>g(-1)=0得

x>-1,

即/(x)>2x+4的解集為(-1,+8),

故選：B

題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用

典例2：已知函數(shù)/(x)=alnx-ax-3(aGR).

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,/(2))處的切線的傾斜角為45°,對于任意的始[1,

2],函數(shù)g(x)=x?+爐『⑴+劣在區(qū)間"3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求，〃的取值范圍；

4T52ln3ln4Inn1

(ZTITITXI)求證：—x—x—x…x—<-(n>2,neNY

234nn

解：(I)廣(x)=a(1~x)(x>0)(2分)

當(dāng)〃>0時，fCx)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1］,減區(qū)間為［1,+8)；

當(dāng)”<0時，/(x)的單調(diào)增區(qū)間為［1,+8),減區(qū)間為(0,1］；

當(dāng)a=0時，f(X)不是單調(diào)函數(shù)(4分)

(11)f，(2)=-*=1得a=-2,f(x)--2lnx+2x-3

??g(x)=x3+6+2)x2—2x>

.".g'(x)=3f+(m+4)x-2(6分)

,：g(x)在區(qū)間(f,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g'(0)=-2

"?VO

(8分)

由題意知：對于任意的正［1,2J,g1(f)<0恒成立,

僅‘⑴<0

所以有：｛g<2)<0，，一當(dāng)■Vm<—9(10分)

晶3)>0

(III)令a=-1此時f(x)=-lnx+x-3,所以/(I)=-2>

由(I)知/(x)=-lnx+x-3在(1,+8)上單調(diào)遞增，

...當(dāng)(1,+°°)時/(x)>f(1),B[J-lnx+x-1>0,

lnx<x-1一切(1,+8)成立，(12分)

:心2,nGN*,則有

.AAnn^n—1

，?uV----<-------

.In2ln3ln4Inn123n-11

??----?-----?-----??-----<-，—一??---=~(n>2,n6JV)

234n234nn

【解題方法點撥】

若在某區(qū)間上有有限個點使/(x)=0,在其余的點恒有/(%)>0,則/(x)仍為增

函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似).即在區(qū)間內(nèi)，(%)>0是/G)在此區(qū)間上為增函數(shù)的

充分條件，而不是必要條件.

7.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

【考點描述】

利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點的切線方程是高考中的一個?？键c，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能

力，也考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了兒個比較重要的

基本點，所以在高考出題時備受青睞.我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點，第一找到切

線的斜率；第二告訴的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的情況下可以用點斜式

把直線方程求出來.

【實例解析】

例：已知函數(shù)'=工/"彳，求這個函數(shù)的圖象在點X=1處的切線方程.

解：k=y'\x=\—ln\+\=\

又當(dāng)尤=1時，y=0,所以切點為(1,0)

,切線方程為y-0=lX(%-1),

即y=x-1.

我們通過這個例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導(dǎo)數(shù)；第三

步利用點斜式求出直線方程.這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié).

8.簡單線性規(guī)劃

【概念】

線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一

種重要的數(shù)學(xué)模型.簡單的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃,其最優(yōu)解可

以用數(shù)形結(jié)合方法求出.我們高中階段接觸的主要是由三個二元一次不等式組限制的可行

域，然后在這個可行域上面求某函數(shù)的最值或者是斜率的最值.

【例題解析】

x+2y<8

例：若目標(biāo)函數(shù)z=x+y中變量x,y滿足約束條件0三尤=4.

.0<y<3

(1)試確定可行域的面積；

(2)求出該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解.

解：(1)作出可行域如圖：對應(yīng)得區(qū)域為直角三角形A8C,

其中B(4,3),A(2,3),C(4,2),

則可行域的面積S=^BC-AB=jx1X2=1.

（2）由z=x+y,得＞=-萬+2,則平移直線y=-x+z,

則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點A（2,3）時，直線），=-x+z得截距最小，

此時z最小為z=2+3=5,

當(dāng)直線經(jīng)過點2（4,3）時，直線y=-x+z得截距最大，

此時z最大為z=4+3=7,

故該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解為（4,3）,（2,3）

這是高中階段接觸最多的關(guān)于線性規(guī)劃的題型，解這種題一律先畫圖，把每條直線在同一

個坐標(biāo)系中表示出來，然后確定所表示的可行域，也即范圍；最后通過目標(biāo)函數(shù)的平移去找

到它的最值.

【典型例題分析】

題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線），=船+分為面積相等的兩部分，則k的值是

（）

7343

A.—B.—C.—D.—

3734

44

分析：畫出平面區(qū)域，顯然點（0,-）在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點（0,-）,結(jié)合

33

圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可.

解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.

由于直線尸質(zhì)+得過定點(0,因此只有直線過AB中點時，直線產(chǎn)質(zhì)+然平分平面

33J

區(qū)域.

因為A(1,1),B(0,4),所以AB中點O(-,-).

22

Aisq"4-7

當(dāng)過點(一，—)時，—=—I-所以左=5.

3222233

答案：A.

點評：二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域.

注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線.測試點可

以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點.

題型二：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

X—3

<3x+5yW25

典例2：設(shè)x,y滿足約束條件：1x21,求2=彳+、的最大值與最小值.

分析：作可行域后，通過平移直線/o：x+y=0來尋找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

解答：先作可行域，如圖所示中△ABC的區(qū)域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1,),作

出直線/o：x+)，=O,再將直線/o平移，當(dāng)/o的平行線4過點B時，可使z=x+y達(dá)到最小值;

當(dāng)lo的平行線12過點A時，可使Z=x+y達(dá)到最大值.故Zmin=2,Zmax=1.

OK2345

*、、

\zo^+y=o

點評：(1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得.

（2）求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線

的縱截距的關(guān)系.

題型三：實際生活中的線性規(guī)劃問題

典例3：某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假

設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價

黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元

韭菜6噸0.9萬元0.3萬元

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入-總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植

面積（單位：畝）分別為（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

分析：根據(jù)線性規(guī)劃解決實際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件，

設(shè)出目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.

<X+y<50

解析設(shè)種植黃瓜x畝，韭菜y畝，則由題意可知卜2x+0.9y=54

yeN+

求目標(biāo)函數(shù)z=x+0.9），的最大值，

根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示.

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線/向右平移，移至點A（30,20）處時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植

30畝，韭菜種植20畝時，種植總利潤最大.故答案為：B

點評：線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列

成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題，再按如

下步驟完成：

（1）作圖--畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的

那一條/;

（2）平移--將/平行移動，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點A的位置；

（3）求值--解方程組求出A點坐標(biāo)（即最優(yōu)解），代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.

題型四：求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

2^0,

<x+2y—4N0,

典例4：（1）設(shè)實數(shù)x,y滿足12y—3W0，,則丫的最大值為

儼+p22,

1x^1,

（2）已知。是坐標(biāo)原點，點A（1,0）,若點M（x,y）為平面區(qū)域上lj'W2，的一個

動點，則|易+公/|的最小值是.

分析：與二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域有關(guān)的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題的求解一

般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來完成.

解答：（1）評示點（，，y）與原點（0,0）連線的斜率，在點。，|）處取到最大值.

（2）依題意得，OA+OM=（x+1，y），|辦+加1|=+1產(chǎn)+尸可視為點（x，y）與點

（-1,0）間的距離，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，

在該平面區(qū)域內(nèi)的點中，由點（-1,0）向直線x+y=2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內(nèi)，

且與點（7,0）的距離最小，因此|4+加］|的最小值是=任.

2

故答案為：（1）-（2）——.

22

點評：常見代數(shù)式的幾何意義有

（1）J爐+阿表示點（x,y）與原點（0,0）的距離；

（2）—a），+（y-b尸表示點（”,y）與點（a,b）之間的距離;

(3)丫表示點(x,y)與原點(0,0)連線的斜率；

x

(4)匕上表示點(x,y)與點(a,h)連線的斜率.

x-a

【解題方法點撥】

1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.

2.在通過求直線的截距日的最值間接求出z的最值時，要注意：當(dāng)。>0時，截距三取最大值

bb

時，z也取最大值；截距土取最小值時，z也取最小值；當(dāng)b<0時，截距日取最大值時，z取

bb

最小值；截距三取最小值時，z取最大值.

b

9.數(shù)列的求和

【知識點的知識】

就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比

數(shù)列等等，常用的方法包括：

(1)公式法：

①等差數(shù)列前”項和公式：％=刖+6(n-1)”或S“=隼出

②等比數(shù)列前〃項和公式：

九％(9=1)

—ax_anq

—:-----------=------------(9+1)

\-q\-q

③幾個常用數(shù)列的求和公式：

八1

(1)SR=k-1+2+3+...+九=—九(九+1)

-1

（2）2222

Sn=^/r=i+2+3+...+?=-n(n+l)(2n+l)

￡=16

（3）3332

=1+2+3+…+"=[-n(n+1)]

2

(2)錯位相減法:

適用于求數(shù)列｛a”X6”｝的前八項和，其中｛珈｝｛瓦｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

（3）裂項相消法:

適用于求數(shù)列｛」一｝的前〃項和，其中｛板｝為各項不為o的等差數(shù)列，即」一

anan+ianan+i

anan+i

特別：一:士__:11(11

n(n2)21九1十2

n(n+1)nn+l+

a

n—,.......-=J〃+1—即

y/n+l+y/n

（4）倒序相加法：

推導(dǎo)等差數(shù)列的前〃項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再

把它與原數(shù)列相加，就可以得到“個（⑶+刖）.

（5）分組求和法：

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個

等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

【典型例題分析】

典例1:已知等差數(shù)列｛前｝滿足:43=7,a5+07=26,｛，〃｝的前十項和為S〃.

（I）求〃〃及Sn；

（H）令bn=-4-7（nGN*）,求數(shù)列｛加｝的前n項和T,,.

分析：形如｛等欄的求和，可使用裂項相消法如：

11111111111

——+——+——4-

1X33X55X7+^^=K(1一/(二？十。一尹.”+(石一

199

乖）｝二荷

解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛〃"｝的公差為d,

,**673=7,。5+。7=26,

*甯（乙6,解得…d=2,

???！?3+2(〃~1)=2〃+1；

2

Sn=3n+"(丁)x2=n+2n.

(II)由(I)知Un=2n+1，

岳==_=_I_=1=__L

°n2-1(2n+l)2-l4n(n+l)4?in+1

??""4…+A方=1.(】_51)=

4(n+l)>

即數(shù)列｛b｝的前n項和Tn=

4（n+l）

點評：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像

友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和.

【解題方法點撥】

數(shù)列求和基本上是必考點，大家要學(xué)會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要

往這里面考.

10.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【知識點的知識】

1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：

設(shè)Z，b都是非零向量，"是與b方向相同的單位向量，片與b和夾角為。，則:

（1）a?e=e-a=la|cos0；

（2）a1b=Q?b=0；（判定兩向量垂直的充要條件）

（3）當(dāng)，b方向相同時,a?b=lall&l;當(dāng)1，b方向相反時,a-b=-lalldl：

特別地：a-aHZ/或而=J=（用于計算向量的模）

（4）cos0==g（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）

\a\\b\

（5）|a-S^lalJl

2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

（1）交換律：a?b=b?a；

（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（底）石=入（a.6）=：?（?）；

（3）分配律：（Q?*a9（b.c）

【平面向量數(shù)量積的運(yùn)算】

平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a±b）2=a2±1a'b+b2.?（a-&）（a+ft）

=a2-?.③■（二？）手（a-b）-c，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是

相同的，有些不一樣.

【例題解析】

例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則:

①umn^nmn類比得到5?b=b.a"

②u（/w+n）t=mt+ntn類比得到"（；+5）*c=a-c+b-c

③“f"0,mt=nt^m=nn類比得到“Zh0,a-c=b-c=>a=Z";

④?川=依卜|川"類比得到“丘?h|=|al,lbl，，s

⑤“（,〃?〃）t=m（〃"）”類比得到“（Zl）W=1（0Z）”；

TTT

@“竺=類比得到軍1=1以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②.

bebb'Ca

解：：向量的數(shù)量積滿足交換律，

二類比得到“；）>a",

即①正確；

???向量的數(shù)量積滿足分配律，

“（〃z+〃）t=mt+ntn類比得到“（'+>）?〃=a-c+b-c,>,

即②正確；

???向量的數(shù)量積不滿足消元律，

“*0,，“=〃/=，”=/'不能類比得到“Zh0,a-c=b-c^a=

即③錯誤；

???日）|片面?日，

..."w=i刑?1川”不能類比得到“向岳=|/?iM；

即④錯誤;

???向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,

...“（〃??〃）（〃“）”不能類比得到“（Z￡）??=[（￡]',

即⑤錯誤；

?.?向量的數(shù)量積不滿足消元律，

=巴’不能類比得到箋=1

bebbtca

即⑥錯誤.

故答案為：①②.

向量的數(shù)量積滿足交換律，由“加7=即”類比得到“:工=鼠滔；向量的數(shù)量積滿足分

配律，故“（，"+"）t=mt+ntn類比得到+=a-c+b-c^向量的數(shù)量積不滿足

消元律，故"fWO,,加=〃Q%=〃”不能類比得到h0,a-c=b-c=>a=cw;la'b\^

而?山，故“依?川=|〃力?|川”不能類比得到“日工戶面，1加'；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，

故”（"?〃）t=m（〃"）”不能類比得到“。.b）*c=a-（b?己”；向量的數(shù)量積不滿足消元

律，故竺=巴"不能類比得到笠=2

bebb*ca

【考點分析】

本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，

題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握.

11.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)

【虛數(shù)單位，?的概念】

i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，『=-1,所以，?是-1的平方根.我們把4+瓦的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，

把〃=0且6W0的數(shù)叫做純虛數(shù)，aWO,且〃=0叫做實數(shù).復(fù)數(shù)的模為“1二+后.

【復(fù)數(shù)的運(yùn)算】

①復(fù)數(shù)的加法，若M=a+bi,N=c+di,那么M+N=(a+c)+(h+d)i,即實部與實部相加，

虛部與虛部相加.

②復(fù)數(shù)的乘法，若M=a+bi,N=c+di,那么M?N=(ac-bd)+(ad+bc)i,與多項式乘

法類似，只不過要加上i.

【例題解析】

例：定義運(yùn)算^=ad-bc，則符合條件［l|=4+2i的復(fù)數(shù)z為.

解：根據(jù)定義，可知IXzi-(-1)Xz=4+2/,即z(1+i)=4+2/,

4+2i(4+2Q(l-i)6-2i.

TH-(l+i)(l-i)~~T八

這個題很好地反應(yīng)了復(fù)數(shù)的一般考法，也就是考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算能力，其中常常用到復(fù)數(shù)與復(fù)

數(shù)相除.這個題的第一步先把復(fù)數(shù)當(dāng)做一個整體進(jìn)行運(yùn)算，第二部相除，思路就是把分母變

成實數(shù)，方法就是乘以它的共配復(fù)數(shù)(虛數(shù)前面的符號變?yōu)橄喾醇仁?.處理這種方法外，

有的時候還需要設(shè)出復(fù)數(shù)的形式為。+萬，然后在求出a和4這種類型的題一般用待定系數(shù)

法.

【復(fù)數(shù)的概念】形如a+歷(小旄R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a,b分別是它的實部和虛部.若6

=0,則a+從為實數(shù)；若bWO,則a+切'為虛數(shù)；若a=0,bWO,則〃+方為純虛數(shù).

2、復(fù)數(shù)相等：a+bi—c+di<^>a—c,b—d(a,b,c,t/GR).

3、共貌復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共規(guī)=a=c,b+d=O(a,b,c,deR).

4、復(fù)數(shù)的模：&的長度叫做復(fù)數(shù)z=a+6i的模，記作|z|或|a+41，即|z|=|a+4|=后與

12.離散型隨機(jī)變量及其分布列

【考點歸納】

1、相關(guān)概念；

(1)隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變

量隨機(jī)變量常用希臘字母晶口等表示.

(2)離散型隨機(jī)變量：對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)

變量叫做離散型隨機(jī)變量.若s是隨機(jī)變量，”=戒+從其中“、人是常數(shù)，則n也是隨機(jī)

變量.

（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變

量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量

（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量

都是用變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而

連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出.

2、離散型隨機(jī)變量

（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是

隨著試驗結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母X,

匕…表示，也可以用希臘字母奉口，…表示.

（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離

散型隨機(jī)變量.

3、離散型隨機(jī)變量的分布列.

（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為xi,也，…，物；X取每一個對

應(yīng)值的概率分別為〃，P2,…,Pn,則得下表：

Xx\X2…Xi?,?Xn

PPiP2…pi-

該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.

（2）性質(zhì)：①pi'O,i=l,2,3,???,n；@p\+p2+--+pn=1.

13.離散型隨機(jī)變量的期望與方差

【知識點的知識】

1、離散型隨機(jī)變量的期望

數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量s的概率分布為

XIX2…Xn???

??????

PpiP2Pn

則稱段=xipi+x2P2+…+X"P"+…為W的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望.

數(shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的

平均水平.

平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量f的概率分布中，令pi=p2="=pn,

則有pi=p2="=p“=L筋=(X1+JQ+…+X”)xL所以；的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均

nn

值.

期望的一個性質(zhì):若「求+"則E(求+〃)=aE^+b.

2、離散型隨機(jī)變量的方差；

方差：對于離散型隨機(jī)變量亭如果它所有可能取的值是XI,X2,…，切，…，且取這些值

的概率分別是pi,P2,…,P”…，那么,

：2

DJ=區(qū)-港)2Pl+(x7-E4)-----卜(xn-E^p?+…稱

為隨機(jī)變量E的均方差，簡稱為方差，式中的&J分是隨機(jī)變量S的期望.

標(biāo)準(zhǔn)差：。孑的算術(shù)平方根必叫做隨機(jī)變量：的標(biāo)準(zhǔn)差，記作上.

方差的性質(zhì)：①。(謔+匕)=/。5;②-(EM2.

方差的意義：

(1)隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；

(2)隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)

定與波動、集中與離散的程度；

(3)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛.

14.二項式定理

【二項式定理】又稱牛頓二項式定理.公式(a+b)"=￡乜0Cn3?"7.通過這個定理可以

把一個多項式的多次方拆開.

例1：用二項式定理估算1。1°=1.105.(精確到0.001)

解：1.0110=(1+0.01)1O=1IO+CIOU19XO.O1+CIO2M8.O.O12=?1+O.1+O.OO45=?1.1O5.

故答案為：1.105.

這個例題考查了二項式定理的應(yīng)用，也是比較常見的題型.

例2：把(、，予-乃2。把二項式定理展開，展開式的第8項的系數(shù)是.

解：由題意78=CIO7X(技尸X(-1)7=120義3技=360技.

故答案為：360V4工

通過這兩個例題，大家可以看到二項式定理的重點是在定理，這類型的題都是圍著這個定

理運(yùn)作，解題的時候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了.

【性質(zhì)】

1、二項式定理

一般地，對于任意正整數(shù)〃，都有

(a+b)"=CW+C\an-Xb+…+C：a"-'b'+…+C：b"(neN)

這個公式就叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a+b)”的二項展開式.其中各項的系數(shù)

C；&=0J2…，)叫做二項式系數(shù).

注意：

(1)二項展開式有"+1項；

(2)二項式系數(shù)與二項展開式系數(shù)是兩個不同的概念；

(3)每一項的次數(shù)是一樣的，即為"次，展開式依a的降基排列，b的升塞排列展開；

(4)二項式定理通常有如下變形：

①(a—與"=亡優(yōu)一+…+(―1)'。：廣引+…+(—1)"

②(1+x)”=1-rC^x+C：.x'+…+C：x'+…+x"；

(5)要注意逆用二項式定理來分析問題、解決問題.

2、二項展開式的通項公式

二項展開式的第n+\項77=。：屐""'&=()工2,?：〃)叫做二項展開式的通項公

式.它體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項式定理的核心，它在求展

開式的某些特定的項及其系數(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用.

注意：

(1)通項公式表示二項展開式的第汁1項，該項的二項式系數(shù)是Cn『；

(2)字母人的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

(3)a與b的次數(shù)之和為〃.

3、二項式系數(shù)的性質(zhì).

(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即

c黑c,c^cr1,第=?-2,…，噂=器；

（2）增減性與最大值：當(dāng)上〈亨時，二項式系數(shù)是逐漸增大的.由對稱性知，它的后半

部分是逐漸減小的，且在中間取最大值.當(dāng)"為偶數(shù)時，則中間一項C?的二項式系數(shù)最大;

rx-1n+1

當(dāng)”為奇數(shù)時，則中間的兩項c/~，。了相等，且同時取得最大值.

15.程序框圖

【知識點的知識】

1.程序框圖

（1）程序框圖的概念：程序框圖乂稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來

準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形;

（2）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

起止框表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何算法程序框圖不

可缺少的.

輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息、，可用在算法中任何

需要輸入、輸出的位置.

處理框賦值、計算.算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等,

它們分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi).

判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是”

或“y”；不成立時在出口處標(biāo)明則標(biāo)明“否”或"N".

流程線算法進(jìn)行的前進(jìn)方向以及先后順序

連結(jié)點連接另一頁或另一部分的框圖

注釋框幫助編者或閱讀者理解框圖

(3)程序框圖的構(gòu)成.

一個程序框圖包括以下幾部分：實現(xiàn)不同算法功能的相對應(yīng)的程序框；帶箭頭的流程線；程

序框內(nèi)必要的說明文字.

16.兩角和與差的三角函數(shù)

【知識點的認(rèn)識】

(1)C(?-P)：cos(a-p)=cosacosB+sinasinB;

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacosB-sioasinB;

(3)S<a+p)：sin(a+p)=sinacosB+cosasinB；

(4)S<a-p)：sin(a-p)=sinacosB-cosasinB;

tana-^tan^

(5)T(a+p):tan(a+0)=

l-tmiatanfi

tana-tanfi

(6)T<a-p>:tan(a-p)=

1+tanatanft

17.三角函數(shù)的周期性

【知識點的認(rèn)識】

周期性

①一般地，對于函數(shù)/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,

都有/~(x+T)=f(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

②對于一個周期函數(shù)/'(X),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正

數(shù)就叫做了(X)的最小正周期.

③函數(shù)y=Asin(axr+(p),JIER及函數(shù)y=Acos(a)x+(p)；xER(其中A、3、<p為常數(shù)，且

AWO,3>o)的周期r=紅.

3

【解題方法點撥】

1.一點提醒

求函數(shù)y=Asin(3x+(p)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)注意3的符號，只有當(dāng)3>0時，才能把cox+cp

看作一個整體，代入y=sinr的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯誤.

2.兩類點

y=sinx,xG[O,2ny=cosx,xG[O,2n]的五點是:零點和極值點(最值點).

3.求周期的三種方法

①利用周期函數(shù)的定義./(x+T)=f(x)

②利用公式：y=Asin(a)x+(p)和y=Acos(a)x+(p)的最小正周期為；三，y=tan(a)x+(p)

的最小正周期為白

③利用圖象.圖象重復(fù)的x的長度.

18.余弦定理

【知識點的知識】

1.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

內(nèi)容c^—tr+ci-2/?ccosA,

b

----=-----=-----=2R

sinAsinBsinC廿="2+02-2accos_B,

(R是△ABC外接圓半徑)<?=次+/_2abcos_C

變形①a=2RsinA,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C；

b"+c2—a2

形式2bc

②sinA=右sinB=尋sinC=號

cosB=M噌"

③a：b：c=sinA：sinB：sinC；2ac

④〃sinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC

=csinA

解決①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩①己知三邊，求各角;

三角條邊;②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和

形的②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另其他兩角

問題一邊和其他兩角

【正余弦定理的應(yīng)用】

1、解直角三角形的基本元素.

2、判斷三角形的形狀.

3、解決與面積有關(guān)的問題.

4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方

面都要用到解三角形的知識

(1)測距離問題：測量一個可到達(dá)的點到一個不可到達(dá)的點之間的距離問題，用正弦定理

就可解決.

解題關(guān)鍵在于明確：

①測量從一個可到達(dá)的點到一個不可到達(dá)的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形

兩個角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；

②測量兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)

用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點與不可

到達(dá)的一點之間的距離問題.

(2)測量高度問題：

解題思路：

①測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三

角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達(dá)的點之間的距離，

然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

②對于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，

然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余

弦定理求解即可.

點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概