2021屆高考數(shù)學一輪復習第4章平面向量第3講平面向量的數(shù)量積及應用創(chuàng)新教學案（含解析）新人教版

第3講平面向量的數(shù)量積及應用

［考綱解讀］1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，了解平面向量的數(shù)量積

與向量投影的關系.（重點）

2.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算，能運用數(shù)量積表示

兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.（重點、難點）

［考向預測］從近三年高考情況來看，本講一直是高考中的一個熱點內容.預測

2021年高考將考查向量數(shù)量積的運算、模的最值、夾角的范圍.題型以客觀題為

主，試題難度以中檔題為主，有時也會與三角函數(shù)、解析幾何交匯出現(xiàn)于解答題

中.

基礎知識過關

1.兩個向量的夾角

定義圖示范圍共線與垂直

已知兩個非零向量

0=0或。=兀臺

a和'作應=a,設。是a與b的夾

角，則。的取值范畫a//b,畫6

OB=b,則畫Z小

0aA圍是甌［0,71］=g—a_LZ>

403就是a與b的z

夾角

2.平面向量的數(shù)量積

設兩個非零向量a，8的夾角為仇則數(shù)量畫㈤依?cos。叫做a

定義

與萬的數(shù)量積，記作al

國lalcos。叫做向量a在b方向上的投影,

投影

畫依cos。叫做向量方在a方向上的投影

幾何數(shù)量積al等于a的長度⑷與。在a的方向上的投影畫依cos。

意義的乘積

3.平面向量數(shù)量積的性質

設a,8都是非零向量，e是單位向量，。為a與/或e)的夾角，貝U

(l)e,a=a,e=|a|cos6.

(2)a,方臺畫ab=O.

(3)當a與b同向時,a-b=\a\\b\；

當a與b反向時,a-b=~\a\\b\.

特別地，a-a=|02|lap或⑷=畫]\[a^a.

…cab

(4)cos0=^.

(5)|a/|W國回回.

4.平面向量數(shù)量積滿足的運算律

(l)a-Z>=[01]ba；

(2)(%)?方=畫她@=畫a?(勸)>為實數(shù));

(3)(a+Z>)-c=|04|a-c+Z>c

5.平面向量數(shù)量積有關性質的坐標表示

設向量a=(xi,yi),b=(xi,刈，則。方=畫x\xi+y\y2,由此得到：

⑴若a=(x,y),則|才=畫一+y2或|@=阿、//+生

(2)設A(xi,”)，3(X2,竺)，則A,B兩點間的距離|A3|=|屈|=畫

xiP+(y2-yi)2；

(3)設兩個非零向量a,b,a=(xi,yi),b=g,yi),則a_LZ>臺南xixz+yiyz

=0;

(4)設兩個非零向量a,b,a=(xi,yi),b=(x2,>2),。是a與方的夾角，則cos。

xiX2+yiy2

山子+資々/+族?

口診斷自測

1.概念辨析

(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的結果是向

量?()

⑵若ab>0,則a和8的夾角為銳角；若ab<0,則a和〃的夾角為鈍角.()

(3)由a/=0可得a=0或8=0.()

(4)(a-Z>)c=a(Z>-c).()

(5)若a-Z>=>c(Z>W0),則a=c.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)X(5)X

2.小題熱身

(1)(2018?全國卷II)已知向量a,b滿足|a|=l,ab=~l,則a-(2a—3=()

A.4B.3

C.2D.0

答案B

解析因為分(2(1—萬)=242—4.力=2|4|2一(一1)=2+1=3.所以選8.

(2)已知平面向量a,8的夾角為茅|a|=4,網(wǎng)=小,則|a—臼=.

答案木

解析|a—Z>|2=(a—6)2=a2+Z>2—2a-Z>=16+3—2X4X^/3cos^=7,\a-b\

=a

(3)設向量a,力滿足：|a|=l,|用=2,a±(a-&),則a與力的夾角是.

答案60°

解析設a與b的夾角為仇因為a_L(a—〃),所以a-(a—方)=0,故3產(chǎn)一⑷步|cos。

=0,解得cosO=T，故a與8的夾角為60。.

(4)向量a=(3,4)在向量b=(l,—1)方向上的投影為

正

答案

2

鏟冰,,°ab3X1+4X(-1)正

斛析M|cos8=^=忑=—2.

經(jīng)典題型沖關

題型一平面向量數(shù)量積的運算

【舉例說明】

1.已知△A3C的三邊長均為1,且協(xié)=c,BC=a,CA=b,則a/+及c+a?c

=()

A.3B.—3

33

C2D-—]

答案D

13

解析根據(jù)題意ab=bc=ac=lX1Xcosl2(T=—亍故ab+bc+ac=一].

2.在梯形A5CD中，AB//CD,AB=4,BC=CD=DA=29若石為5C的中

點，則危?施=()

A.小B.3

C.2^3D.12

答案D

解析解法一：如圖，過點。作DMLA3,交A3于點

M,過點C作CNLAB,交A3于點N,則MN=DC=2.在

AB—MN4—2

RtAADM中，AD=2,AM=---5-----=~^—=1,所以N

DAM=60。.因為危=助+病=病+卸，施=Ab+反+及=助+昇+3宓=

1313

=田2+施.油+短2=22+2乂4><<0560。+石乂42=12.故選口.

ZoZ><；o

解法二：如圖，以A為坐標原點，A3所在直線為x軸建立

直角坐標系,則A(0,0),5(4,0).

設D(m,〃)(〃>0),則C(m+2,n),因此BC邊的中點

《“愛,"則公=(機+2,n),屐J"'，,"又由3C=D4=

、/(加+2—4>+“2=2,?A2

2,得彳所以m=l,*=3.則公.循=(加+2)?一-+，

、\冽2+序=2,

4X7a

氣一+]=12.故選D.

【據(jù)例說法】

計算向量數(shù)量積的三種方法

(1)定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即ab

=\a\\b\cos0(O是a與b的夾角).

(2)基向量法：計算由基底表示的向量的數(shù)量積時，應用相應運算律，最終轉

化為基向量的數(shù)量積，進而求解.如舉例說明2的解法一.

(3)坐標法：若向量選擇坐標形式，則向量的數(shù)量積可應用坐標的運算形式進

行求解.如舉例說明2解法二.

【鞏固遷移】

1.已知RtZXABC,點。為斜邊3C的中點，|油|=64，|危|=6,AE=^ED,

則■?旗等于()

A.-14B.-9

C.9D.14

答案D

解析如圖，以點A為原點，分別以邊AC,A3所在直線

為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A(0,0),5(0,6^3),C(6,0),卜火,

D(3,3?'：AE=^ED,.?楊=2=](3,35)=(1，小)，y\~;

EQ,4)，：.EB=(-l,5y/3),...施?旗=—1+15=14.故選D.

2.(2019?上饒模擬)設。，E為正三角形ABC中3c邊上的兩個三等分點，且

BC=2,則量).翁等于()

48

AA.gB.g

「2626

C.gD.—

答案C

C

解析如圖，|盛|=|病|=2,〈部，AC)=60°,

,:D,E是邊3C的兩個三等分點，

題型二平面向量數(shù)量積的性質多角探究

【舉例說明】

。角度1平面向量的模

1.已知平面向量a,方的夾角為器且同=小，|*|=2,在△ABC中，AB=2a

+2b,AC=2a-6b,。為3C的中點，則|量）|等于（）

A.2B.4

C.6D.8

答案A

解析因為屐>=3（b+公）=g（2a+28+2a—6毋=2a—2仇所以|量）F=4（a—

32=4（/—2萬a+戶）=4X（3—2X2X,Xco*+4）=4,則而|=2.故選A.

2兀

2.已知⑷=2,\b\=3,a與8的夾角為可，且a+b+c=0,則|c|=.

答案巾

解析因為a+b+c=0,所以c=—a—b,所以c2=a2+b2+2a-b=22+32+

2X2X3Xcos￡=4+9—6=7.所以匕|=市.

9角度2平面向量的夾角

3.已知a,b為單位向量，且ab=0,若c=2a—小b,則cos〈a,c〉=.

答案|

解析解法一：本題考查利用向量的數(shù)量積求夾角的余弦值，依題知|a|=|b|

1

=1,且ab=Q.c=2a—y[5b,a-c=a'（2a—y[5b）=2a—y/5a-b=29\c\=

yl（2a—\[5b）2=yj4a2-44a-b+5b2=3,cos（a,c〉

解法二：依題意，設a=（0,l）,/>=（1,0）,，c=（一小，2）,，a?c=2.又|a|=l,

?\ac2

|c|-3）..cos（a,c〉—⑷⑷―3，

4.已知向量a=(九-6),/>=(-1,2),若a與〃的夾角為鈍角，則丸的取值

范圍是________

答案(-12,3)U(3,+8)

解析?向量a與二的夾角為鈍角，二“力=(九-6)-(-1,2)=-^-12<0,解

——k,A3,

得丸>—12.當a與8共線時，設”=劭(左<0),可得｛,二解得1\即

［一6=2左，［左=—3,

當2=3時，向量a與8共線且反向，此時a/<0,但a與8的夾角不是鈍角.綜

上，丸的取值范圍是(一12,3)U(3,+8).

。角度3平面向量的垂直

5.(2019?華南師大附中一模)已知向量|而|=3,|麗|=2,BC=(m-n)OA+(2n

-m-^OB,若為與猿的夾角為60。，且沆，蕊，則實數(shù)彳的值為()

84

-B-

A.73

答案A

解析由題意得，0C=0B+BC=(m-n)dA+(2n-m)0B,AB=OB-OA,

OA-OB=3X2Xcos60o=3.

又因為沆，屈，

所以沆?屈=［(加一〃)為十(2〃一加)麗］?(/—為)=一(加一〃)為2+(2機一

3n)0A-0B-\-(2n—rri)OB1=一9(m—?)+3(2/71-3咒)+4(2〃-m)=0,

整理得7機—872=0,故:=/

【據(jù)例說法】

1.求向量模的常用方法

(1)若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴。|=嚴行.

(2)若向量a,方是以非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱霉絴aF=/=a.a,

\a±b\2=(a±Z>)2=a2±2a-b+b2,先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求

解.如舉例說明1.

2.求向量夾角的方法

(1)當a,8是非坐標形式時，求a與8的夾角仇需求出al及⑷，步|或得出

它們之間的關系.

,,_,.,xix2+yiy2,

(2)右已知a=(xi,yi),b=(x2,yi),則cos{a,b)=..如舉

例說明3的解法二.

3.解答向量垂直問題的兩個策略

(1)若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標;

然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可.

(2)根據(jù)兩個向量垂直的充要條件a/=0,列出相應的關系式.如舉例說明5.

【鞏固遷移】

1.已知非零向量a,8滿足⑷=2回，且(a—方)，。，則a與方的夾角為()

,7171

A-6B-3

若D-T

3o

答案B

解析本題考查平面向量的數(shù)量積運算.設向量a與8的夾角為仇則由(a—

b).Lb,得(a—瓦一方2=|0|例cose—|Z>|2=2|。12cos。一|肝=0,所以cos8=g,所

以。=方，故選B.

2.(2018?北京高考)設向量a=(l,0),b=(-l,m),若a±(ma-b),則m=

答案T

解析由已知，得機a—8=(加+1,一機)，又0_1(加°一。)，所以。,(加〃一，)=1*(加

+1)+OX(—m)=0,解得加=—1.

3.如圖，已知兩點A,5在單位圓上，ZyOB=60°,ZxOA=30°,貝口2為+

3麗=.

答案木

解析解法一：由題意可得

ZAOB=120°,|為|=|麗|=1,所以|2為+3/|=\I（2OA+3OB）2

解法二:易知樽,g,r坐,.所以無停,1碼尊I

所以2近+3屈=[—坐，|),所以|2以+3宓=4]—警+?。?巾.

題型三向量數(shù)量積的綜合應用多角探究

【舉例說明】

。角度1向量在平面幾何中的應用

1.已知命，疵是非零向量，且滿足(檢一2病)，協(xié)，(AC-2AB)±AC,則4

ABC的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析：港一2房，后=(檢一2證).協(xié)=0,即油.森一屈=0,(AC-

2AB)±AC^(AC-2AB)AC=0,即正應：一2屈?危=0,ABAB=ACAC=

-?-?,

2ABAC,SP|A5|=|AC|,則cosA=刖皿制,NA=60。，ZkABC為等邊三角

mm

形.

角度2向量在解析幾何中的應用

2.已知協(xié)?反：=0,|曲|=1,|病|=2,&)?虎=0,則|防|的最大值為.

答案小

解析由協(xié)?病=0可知，ABLBC.

故以3為坐標原點，分別以B4,BC所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐

標系(圖略)，

則由題意，可得3(0,0),A(l,0),C(0,2).設。(x,y),

則AD=(x-1,y),DC=(—x,2一y).

由病.虎=0,可得(x—1)(—x)+y(2—y)=0,

整理得(x—3/+6—1)2=*

所以點。在以i)為圓心，半徑廠=坐的圓上.

因為|筋|表示3,。兩點間的距離，

而扇=yg>+12=當

所以I應)|的最大值為I旗|十廠=坐+坐=小.

9角度3向量與三角函數(shù)的綜合應用

3.已知向量a=(sim9,cos0—2sin^),6=(1,2).

⑴若?！ㄍ咔箦隔璧闹?；

⑵若⑷=|瓦0＜。＜兀，求。的值.

解(1)因為a〃仇所以2sine=cos8—2sine,于是4sin8=cos。；

當cos6=0時,sin6=0,與sin2e+cos2e=l矛盾,

所以cosOWO,故tan8=(,

斫‘sin"cos。sin。cos。tan。4

1+3COS20sin20+4cos20tan20+465,

(2)由|a|=|加知,sin20+(cos0—2sin02=5,

即1—4sin0cos0+4sin20=5,

從而一2sin2。+2(1—cos26)=4,

即sin2e+cos26=—1,

于是sin(26+；)=—坐，

又由0<6<兀知，:<26+：號，

所以2。+才=苧或2。+：=竽，

因此。?；颉?苧.

【據(jù)例說法】

1.向量在平面幾何中的應用

用平面向量解決平面幾何問題時，常常建立平面直角坐標系，這樣可以使向

量的運算更簡便一些.在解決這類問題時，共線向量定理和平面向量基本定理起

主導作用.

2.向量在解析幾何中的作用

(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題

時關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的

關系，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.

(2)工具作用：利用臺aZ=O；a//b^a=lb(b^O'),可解決垂直、平行問

題，特別是向量垂直、平行的坐標表示在解決解析幾何中的垂直、平行問題時經(jīng)

常用到.

3.向量與三角函數(shù)的綜合應用

解決這類問題的關鍵是應用向量知識將問題準確轉化為三角函數(shù)問題，再利

用三角函數(shù)的知識進行求解.

【鞏固遷移】

1.已知點4—2,0),3(3,0),動點尸。,丁)滿足慶?麗=/，則點2的軌跡是()

A.圓B.橢圓

C.雙曲線D.拋物線

答案D

解析由已知得力一尸3=(-2—x,—y)-(3—x,—y)=(-2—x>(3—x)+(—y)?(一

y)=x2—x—6+y2=x2,所以V=x+6,故點P的軌跡是拋,物線.

2.若。為△ABC所在平面內任一點，且滿足(沅?一南.(油+沆-26)=0,

則△ABC的形狀為（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析:(B—沆)?(彷+沆-2而)=0,8P(O5-OC)(dB-dA+OC-dA)

=0,：.CB(AB+Ab)=Q,.\(AB-AC)(AB+AC)=0,KP|A5|2-|AC|2=0,\AB\=\AC

I，??.三角形ABC為等腰三角形.

3.在AABC中，NA,ZB,ZC的對邊分別為a,b,c,已知向量m=

[cosB,2cos節(jié)一1),n=(c,b-2a),且》rn=0.

(1)求NC的大?。?/p>

(2)若點。為邊A3上一點，且滿足病=所，|①尸由，c=2y[3,^AABC

的面積.

解(1)因為帆=(cosB,cosQ,n=(c,b-2a),mn=Q,

所以ccosB+(Z?—2a)cosC=0,

在△ABC中，由正弦定理得，

sinCcosB+(sinB—2sinA)cosC=0,

sinA=2sinAcosC,

又sinAWO,

所以cosC=g,而C￡(0,71),

所以NC=g.

(2)由量)=勵知，CD-CA=CB-Cb,

所以2詼=討+場，

兩邊平方得4|詼|2=爐+a2+2慶^cosNACB=廬+a2+仇^=28.①

又c2=a2-\-b2—2abcosZACB,

所以屋+尻一〃b=12.②

由①②得ab=8,

所以SAABC=^absinZACB=2小.

課時作業(yè)

/?組基礎關

1f-1

1.已知向量a,〃滿足|a|=l,\b\=2\[3,a與Z>的夾角的余弦值為sirr9,則

萬（2a一方）等于（）

A.2B.11

C.-6D.-18

答案D

解析.?2與8的夾角的余弦值為sin?1：一坐，

:?ab=-3,b（2a—b）=2ab—b2=—18.

2.若單位向量ei,e2的夾角為全向量a=ei+標2（丸?R）,且|<?|=坐,則7=（）

11

AiB.-2

33

C.4D.一^

答案B

113

解析由題意可得ei?C2=],|a|2=(ei+/le2)2=1+2/1*]+乃=不化簡得M+丸

11

解

得A-

4---2

3.（2020?力河高級中學月考）已知向量a=（—2,加）,6=（1,2）,若向量a在向

量8方向上的投影為2,則實數(shù)機=（）

A.-4B.-6

C.4D.小+1

答案D

解析""ab=-2+2m,|a|cos6=^^=^^^^=2.解得機=小+1.

7T

4.已知ei,C2是兩個單位向量，且夾角為于則ei+/02與?+?2數(shù)量積的最

小值為（）

C.|D坐

答案A

1113

解析因為（61+%2>01+62）=手2+2,+]=]?+2）2—2，所以當t=—2時，?

3

+/e2>（/ei+e2）取得最小值為一故選A.

5.（2019?黑龍江大慶實驗中學高考模擬）在矩形ABCD中，AB=j,BC=2,

點石為3C的中點，點R在CD上，若油.店=也，則南.麗的值為（）

ASB.2

C.0D.1

答案A

解析建立如圖所示的坐標系，可得A（0,0）,3（也,

0),E(y[2,1),F(x,2),：.AB=(y[2,0),AF=(x,2),

：.AB-AF=yflx=y[2,解得尤=1,/.F(l,2),

:.矗=他,1),BF=(l-y[2,2),

.,.AE-BF=V2X(1-72)+IX2=^2.

6.(2019?南昌模擬)已知a=(cosot,sina),6=(cos(—a),sin(—a)),那么ab

jr

=0是0{=航+1（左?2）的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

兀71

解析ab=O=cos2a—sin2?=cos2ot,2a=±^+2kn(kZ),a=kn±^(k^Z),

故選B.

7.已知非零向量a,Z＞滿足|a+b|=|a—。|=2,|a|=l,則a+8與a—〃的夾角

為()

，兀r兀

A6B3

若D.普

3o

答案c

解析由|°+。|=|°一。|,可得a?0=0,即aJ_A.如圖，設況=a,OB=b9則沆

=a+b,亦=0一5.因為|a+"=|。一"=2,|a|=l,所以NOZ)A=NOCA=%.所以

9jr2冗

ZCOD=y,即向量a+8與ai的夾角為號.故選C.

8.已知向量a=(x,2),8=(2,1),c=(3,2x),若a,"則步+c|=.

答案y[26

解析a.Lb,2x+2=0,/.x——1,'.b+c—(5,—1),\b+c\=

^/52+(-l)2=V26.

9.(2019?濰坊模擬)在等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=6,點、D為邊BC

的中點，則部.筋=.

答案一9

解析因為A3=AC,點。為邊BC的中點，所以ADL3C,所以油在前方

向上的投影為|的|cos(7T—3)=-|A5|cosB=~\BD\=-||5C|=-3,所以協(xié)?BD=

麗麗COS(L3)=3X(―3)=—9.

10.已知筋=(cos23°,cos67°),BC=(2cos68°,2cos22°),則△ABC的面積為

答案坐

解析因為筋=(cos23。，sin23°),BC=(2sin22°,2cos22°),所以cos(AB,BC>

2(cos23osin22o+sin23°cos220)6_

5由45。=4-.所以檢與病的夾角

^COS223°+sin223°-^/(2sin220)2+(2cos220)2

ii

0

為45°,故NABC=135。.所以5AABC=T|A5||5C|sinl35=^X1X2X^-=^-.

能力關

1.已知平面向量「=(1,2),1=(4,2),c=ma+b(m&R),且c與a的夾角等于

c與力的夾角，則m=()

A.12B.-1

C.1D.2

答案D

解析Va=(l,2),辦=(4,2),.?.c=77ia+辦=(機+4,2機+2),|。|=小，|例=2小,

?cb

.*.a-c=5m+8,ft-c=8m+20.Vc與a的夾角等于c與b的夾角,??麗=麗

5m+88m+20

解得m=2.

小一2小

2.(2019?長春二模)已知正方形A3C