數(shù)學(xué)（人教版必修3）課件222用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

第二章統(tǒng)計(jì)2.2用樣本估計(jì)總體2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1．會(huì)求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差．(重點(diǎn))2．理解用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的方法．(難點(diǎn))3．會(huì)應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)問題．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中________________的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于________位置的數(shù)．如果個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么取_______兩個(gè)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的_______除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)．出現(xiàn)次數(shù)最多

中間

中間

和

(1)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(

)A．a(chǎn)>b>c

B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a答案：D(2)有一組數(shù)據(jù)，其中10,12,13,15,16出現(xiàn)的頻率分別是0.15,0.2,0.3,0.2,0.15，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．解析：該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10×0.15＋12×0.2＋13×0.3＋15×0.2＋16×0.15＝13.2．答案：13.22．標(biāo)準(zhǔn)差與方差(1)標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差s＝___________________________________________．顯然，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?2)方差：標(biāo)準(zhǔn)差s的平方s2，即s2＝__________________________________________．叫做這組數(shù)據(jù)的方差，同標(biāo)準(zhǔn)差一樣，方差也是用來測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的分散程度的特征數(shù)．在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9．4

8.4

9.4

9.9

9.6

9.4

9.7去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為(

)A．9.4,0.484 B．9.4,0.016C．9.5,0.04 D．9.5,0.016答案：D判斷下列說法是否正確，正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．1．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，也可以沒有．(

)2．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定存在且是唯一的．(

)3．樣本容量越小，樣本平均數(shù)越接近總體平均數(shù)．(

)4．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?

)答案：1.√

2.√

3.×

4.√

據(jù)報(bào)道，某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用(1)求該公司的職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)．(2)你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司職工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)概念求值，再進(jìn)行評(píng)估說明．解：(1)平均數(shù)是＝1500＋(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20)÷33≈1500＋591＝2091(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(2)在這個(gè)問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的工資水平．因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司職工的工資水平．2．中位數(shù)的求法(1)當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，中位數(shù)是按從小到大(或從大到小)的順序依次排列的中間那個(gè)數(shù)．(2)當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)為按從小到大(或從大到小)的順序依次排列的最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)．答案：A

甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測(cè)量，數(shù)據(jù)為甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差．(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．標(biāo)準(zhǔn)差、方差的應(yīng)用2．(2017·高考全國(guó)卷Ⅰ)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn.下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(

)A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)解析：因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選B．答案：B

某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05．

數(shù)字特征的綜合運(yùn)用求：(1)高一參賽學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)．(2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)字特征在直方圖中的求法求解．解：(1)由圖可知眾數(shù)為65．又∵第一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為0.3，∴設(shè)中位數(shù)為60＋x，則0.3＋x×0.04＝0.5，解得x＝5．∴中位數(shù)為60＋5＝65．(2)依題意，平均成績(jī)?yōu)?5×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成績(jī)約為67分．

1.利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征．(1)眾數(shù)是最高的小長(zhǎng)方形的底邊的中點(diǎn)．(2)中位數(shù)左、右兩側(cè)直方圖的面積相等．(3)平均數(shù)等于每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積與小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和．2．利用直方圖求的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計(jì)值，與實(shí)際數(shù)據(jù)可能不一致．3．從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如下的頻率分布直方圖．試?yán)妙l率分布直方圖求：(1)這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)；(2)這50名學(xué)生的平均成績(jī)．解：(1)由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求，所以眾數(shù)應(yīng)為75．將頻率分布直方圖中所有小長(zhǎng)方形的面積一分為二的直線所對(duì)應(yīng)的成績(jī)即為中位數(shù)．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三個(gè)小長(zhǎng)方形面積的和為0.3．而第四個(gè)小長(zhǎng)方矩形面積為0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，∴中位數(shù)應(yīng)位于第四個(gè)小長(zhǎng)方形內(nèi)．設(shè)其底邊為x，由高為0.03，∴令0.03x＝0.2，得x≈6.7．故中位數(shù)應(yīng)為70＋6.7＝76.7．(2)樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”，取每個(gè)小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘以每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積求和即可．平均成績(jī)?yōu)?5×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2(分)．學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，需把握以下幾個(gè)方面：(1)平均數(shù)受個(gè)別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù))影響大，因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)時(shí)，平均數(shù)對(duì)總體估計(jì)的可靠性較差，往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計(jì)總體．有時(shí)也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計(jì)總體．(2)用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似．實(shí)際應(yīng)用