3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第3章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的定義．2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法．3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.活動(dòng)方案1.情景導(dǎo)學(xué)活動(dòng)一了解雙曲線的定義，理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線也是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時(shí)差測(cè)定位等都要用到雙曲線的性質(zhì)．本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問題．我們知道，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．一個(gè)自然的問題是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？如圖，在直線l上取兩個(gè)定點(diǎn)A，B，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)．在平面內(nèi)，取定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，以點(diǎn)F1為圓心，線段PA為半徑作圓，再以點(diǎn)F2為圓心，線段PB為半徑作圓．我們知道，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果|PA－PB|<F1F2＜AB，那么兩圓相交，其交點(diǎn)的軌跡是橢圓．如圖，在AB<F1F2<PA＋PB的條件下，讓點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)，這時(shí)動(dòng)點(diǎn)M滿足什么幾何條件？?jī)蓤A的交點(diǎn)的軌跡是什么形狀？【解析】

我們發(fā)現(xiàn)，在AB<F1F2<PA＋PB的條件下，點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M靠近點(diǎn)F1時(shí)，MF2－MF1＝AB；當(dāng)點(diǎn)M靠近定點(diǎn)F2時(shí)，MF1－MF2＝AB.總之，點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的差的絕對(duì)值A(chǔ)B是一個(gè)常數(shù)(AB<F1F2)．這時(shí)，兩圓交點(diǎn)的軌跡是不同于橢圓的曲線，它分左右兩支．2.雙曲線的定義3.理解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程思考1???雙曲線與橢圓從定義上看極為相似，那么類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，能否得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？(1)如何建立坐標(biāo)系？建立坐標(biāo)系的依據(jù)是什么？【解析】

以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，依據(jù)：雙曲線的對(duì)稱性，且直線F1F2是它的一條對(duì)稱軸．(2)雙曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件是什么？【解析】

雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)．(3)如何用代數(shù)式表示這個(gè)幾何條件？(4)如何化簡(jiǎn)這個(gè)代數(shù)式？令c2－a2＝b2(b>0)，雙曲線的方程可化為什么形式？【解析】

化簡(jiǎn)，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，思考2???若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，你能從焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的結(jié)構(gòu)特征猜想此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？怎樣推導(dǎo)？思考3???雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么結(jié)構(gòu)特征？【解析】

略思考4???兩種形式雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些相同點(diǎn)？有哪些不同點(diǎn)？如何區(qū)分？【解析】

略思考5???雙曲線中a，b，c滿足怎樣的關(guān)系？橢圓中a，b，c滿足怎樣的關(guān)系？【解析】

雙曲線：c2＝a2＋b2，橢圓：a2＝b2＋c2.焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2活動(dòng)二掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法例1已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)P到點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值為8，求雙曲線的方程．【解析】

由題意，得c＝5,2a＝8，即a＝4，所以b2＝c2－a2＝9.因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，變式若將條件中的“絕對(duì)值”去掉，結(jié)果如何？【解析】

若PF1－PF2＝8，思考6???若已知條件中焦點(diǎn)所在的位置沒有明確，則結(jié)果如何？【解析】

應(yīng)分類討論，分為焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要“定位”，即確定雙曲線與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，從而選擇對(duì)應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程；其次要“定量”，即確定a，b的值．活動(dòng)三理解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【解析】

由題意，得(2＋k)(1＋k)>0，解得k>－1或k<－2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．【答案】(－∞，－2)∪(－1，＋∞)【答案】(－2,2)檢測(cè)反饋24513【答案】A24513【答案】A2453124531【答案】BC24531【解析】

由題意知，c＝2，即c2＝4.因?yàn)閎2＝3，且c2＝b2＋a2，所以a2＝1.又a＞0，所以a＝1.【答案】124531