2022-2023學年河南省鄭州市高一下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省鄭州市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題注意事項：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考試時間120分鐘，滿分150分．考生應首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效，交卷時只交答題卡．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖，向量對應的復數(shù)是，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖可知，所以，所以，所以復數(shù)的虛部為.故選：D2.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，則事件與事件（）A.相互獨立 B.互為對立事件 C.互斥 D.相等〖答案〗A〖解析〗分別拋擲兩面均勻的硬幣，設事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，則,,所以，所以事件與相互獨立故選：A.3.已知向量，若，則x的值為（）A.6 B. C.16 D.〖答案〗C〖解析〗向量，則，又，因此，解得，所以x的值為16.故選：C4.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為4，則下列說法錯誤的是（）A.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為13B.數(shù)據(jù)的方差為12C.D〖答案〗B〖解析〗依題意，，，對于A，，A正確；對于B，依題意，，所以數(shù)據(jù)的方差為：，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，由，解得，D正確.故選：B5.已知中，角所對的邊分別為，設向量，，且，則角可以為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量，，因為，可得，即，可得，因為，可得，所以或，所以或，結(jié)合選項B適合.故選：B.6.已知的外心為O，且，，向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，由，得點為線段的中點，而為的外心，則，即有，又，則為正三角形，即，于是，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B7.2023年鄭州市科技活動周暨鄭州科技館“青春逐夢科技”主題活動于5月31日落下帷幕．科技活動周期間，鄭州市科技館為青少年準備了一場場科技盛宴，通過魅力科學課、深度看展品、科普表演秀、科普大篷車等活動，引導青少年用科學的眼光看待世界，點燃青少年對科學的好奇心．5月27日科技館安排了《失重通道》、《永不消逝的密碼》、《海底小火山》、《回旋紙飛機》四個體驗課程．每個人選擇每門課程是相互獨立的．已知小明選擇四門課程的概率分別為，若他恰好選擇兩門課程的概率為，則他四門課程都選擇的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗小明選擇《失重通道》、《永不消逝的密碼》、《海底小火山》、《回旋紙飛機》的事件分別記為，則，小明恰好選擇兩門的事件，因此，整理得，而，解得，所以小明四門課程都選擇的概率為.故選：D8.三棱錐的所有頂點都在球O的表面上，且，，，則球O的表面積為（）A.16π B.32π C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，平面，平面，作出的外接圓圓心，設其外接圓半徑為，，則，則根據(jù)正弦定理有，則，在圖中作出外接球球心，設外接球半徑為，則，平面，因為，則為中點，則，平面，平面，則，同理，則四邊形為矩形，則，在中，由勾股定理得，即，則球O的表面積為.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.某校隨機抽取了100名學生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學生的體重數(shù)據(jù)（單位：kg）全部介于45至75之間，且體重不低于60kg的人數(shù)為35人，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.頻率分布直方圖中b的值為0.04B.這100名學生中體重低于55kg的人數(shù)為35C.用樣本估計總體，估計該校學生體重的第80百分位數(shù)約為D.用樣本估計總體，估計該校學生體重的平均數(shù)小于中位數(shù)〖答案〗AC〖解析〗A選項，由題意得，解得，A正確；B選項，這100名學生中體重低于55kg的人數(shù)為，故B錯誤；C選項，，，故第80百分位數(shù)落在內(nèi)，，解得，用樣本估計總體，估計該校學生體重的第80百分位數(shù)約為，C正確；D選項，平均數(shù)為，因為，，故學生體重的中位數(shù)落在內(nèi)，設中位數(shù)為，則，解得，因為，故樣本估計總體，估計該校學生體重的平均數(shù)大于中位數(shù)，D錯誤.故選：AC10.已知復數(shù)：，，則下列說法正確的是（）A.若為純虛數(shù)，則B.若為實數(shù)，則C.設，復數(shù)z滿足，則的最大值為D.復數(shù)對應的點不可能在第一、三象限的角平分線上〖答案〗AC〖解析〗復數(shù)，，對于A，，由為純虛數(shù)，得，A正確；對于B，，而，因此不能為實數(shù)，B錯誤；對于C，，，令復數(shù)在復平面內(nèi)所對點分別為，則，令坐標原點為，有，而，解得，當且僅當點在線段上時取等號，所以的最大值為，C正確；對于D，，當時，對應的點在第一、三象限的角平分線上，D錯誤.故選：AC11.已知四面體的各棱長均為2，且E為CD的中點，則（）A.B.四面體的表面積為C.直線AC與BE所成的角為60°D.四面體的體積為〖答案〗ABD〖解析〗對A，如圖，由題意，四面體ABCD為正四面體，取底面BCD的中心為G，連接BE，則點為的三等分點，且，連接，則，底面BCD，平面，所以，又因為面，所以平面，平面，所以，故A正確；對B，根據(jù)棱長均為2，則四個面均為邊長為2的等邊三角形，則，故B正確，對C，取中點，分別連接，因為為的中點，則，直線AC與BE所成的角即為直線EF與BE所成的角,,則，則C錯誤；對D，底面BCD，底面BCD，則，，則，則，則，故D正確；故選：ABD．12.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則（）A.B.若D為AB邊的中點，且CD＝2，c＝4，則b＝2C.若，則D.當取得最大值時，為直角三角形〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由余弦定理得,，則，A錯誤；對于B，由于是的中點，有，又，即有，則為直角，，聯(lián)立，解得，B正確；對于C，由選項A知，，由正弦定理得，而，整理得，又，顯然，于是，有，而，所以，C正確；對于D，由得，，而，有，則，，有，又，因此，顯然角都為銳角，則，又，當且僅當時取等號，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此取得最大值，此時，，有，等式成立，所以為直角三角形，D正確.故選：BCD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.某學校組織“紅色故事”知識競賽，某班的8名參賽學生的成績（單位：分）分別是：98、93、84、92、82、87、86、94，則這8名學生成績的75%分位數(shù)是______．〖答案〗〖解析〗8名學生成績由小到大排列為：82、84、86、87、92、93、94、98，由，得這8名學生成績的75%分位數(shù)是.故〖答案〗為：14.已知某圓臺的上底面和下底面的面積之比為，軸截面面積為15，母線長為上底面半徑的倍，則該圓臺的體積為______．〖答案〗〖解析〗設圓臺上底面圓半徑為，因為圓臺的上底面和下底面的面積之比為，則上下底面圓半徑之比為，因此圓臺下底面圓半徑為，軸截面等腰梯形上下底邊長為，腰長為圓臺母線長，于是圓臺的高即軸截面等腰梯形的高，由軸截面面積為15，得，解得，則下底面圓半徑為3，高為3，所以該圓臺的體積.故〖答案〗為：15.在中，，．設，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗在中，由，，得，則，又，則有，所以.故〖答案〗為：16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是______．〖答案〗〖解析〗在中，，則，由正弦定理得，由余弦定理得，當且僅當時取等號，因此，解得，所以最大值是.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，其中，是單位向量且夾角為．（1）求，夾角；（2）設，若，求和的值．解：（1）單位向量，的夾角為，則，于是，，，因此，而，所以.（2）依題意，，而與不共線，因此，解得，所以.18.在一次校園詩朗誦比賽中，由10名專業(yè)評委和10名觀眾代表各組成一個評委小組為選手打分．已知某參賽選手的得分如下：評委小組12345678910A組7.37.57.87.88.08.08.28.38.58.6B組6.87.57.67.87.88.08.08.59.09.0（1）分別計算該選手在A組和B組得分的平均數(shù)；（2）選擇一個可以度量打分一致性的量，并對每組評委的打分計算該度量值，根據(jù)這個值判斷A組與B組哪個是專業(yè)評委組，哪個是觀眾代表組？解：（1）小組的打分中，選手得分的均值，小組的打分中，選手得分的均值.（2）由（1）知，該選手在A組和B組得分的平均數(shù)相同，于是選擇方差度量打分一致性，組數(shù)據(jù)的方差，組數(shù)據(jù)的方差，由以上數(shù)據(jù)知，組的打分方差較大，數(shù)據(jù)波動較大，所以組為專業(yè)組，組為觀眾組.19.如圖，已知正方體的棱長為4．（1）求二面角的正切值；（2）若E，F(xiàn)分別是棱AD，的中點，請畫出過B，E，F(xiàn)三點的平面與正方體表面的交線（保留作圖痕跡，畫出交線，無需說明理由），并求出交線圍成的多邊形的周長．解：（1）在正方體中，取的中點，連接，如圖，則，又為的中點，則有，即是二面角的平面角，而平面平面，即有，由正方體的棱長為4，得，在中，，所以二面角的正切值為.（2）在正方體中，取中點，的中點，連接，則線段是過,,三點的平面與正方體表面的交線，理由如下：連接,，因為為棱中點，則，即四邊形為平行四邊形，于是，四邊形是平行四邊形，則，又為棱的中點，因此，即,,,四點共面，所以線段是過,,三點的平面與正方體表面的交線，，，所以交線圍成的四邊形的周長是.20.數(shù)學核心素養(yǎng)是指在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的關于數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)．數(shù)學核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析六個方面．某學校高一、高二、高三學生分別有720，1080，1200人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該學校上述學生中抽取250人調(diào)查學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展情況．（1）應從高一、高二、高三學生中分別抽取多少人？（2）抽取的250人中，核心素養(yǎng)六個方面中至少兩項不達標的學生有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)．具體情況如下表，其中“○”表示達標，“×”表示不達標．現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪．數(shù)學核心素養(yǎng)ABCDEF數(shù)學抽象××○×○×直觀想象○○×○××邏輯推理○○○×○○數(shù)學運算××○○××數(shù)學建模○○×○○○數(shù)據(jù)分析××○○○×（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設M為事件“抽取的2人不達標的項目中至少有一項相同”，求事件M發(fā)生的概率．解：（1）由已知,高一、高二、高三學生人數(shù)之比為，由于采取分層抽樣的方法從中抽取250位學生，，因此應從高一、高二、高三學生中分別抽取60人，90人，100人.（2）（i）從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結(jié)果為,共15種.（ii）由表格知,符合題意的所有可能結(jié)果為,共11種，所以事件發(fā)生的概率.21.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B的值；（2）給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件，并回答下列問題：的角平分線與直線AC交于點D，求BD的長．解：（1）在中，由得，，因此，而，則，又，所以.（2）在中，由（1）知，，則，顯然條件②不成立，因此正確的條件為①③，由余弦定理得，由，得，于是，而，解得，又，解得，因為是的角平分線，即，則由，得，即，所以.22.如圖，直三棱柱中，，且平面平面．（1）求BC的長；（2）求直線AC與平面所成角的正弦值．解：（1）在平面內(nèi)任取一點，分別作，如圖所示，因為直三棱柱，可得平面平面，又因為平面，且平面平面，所以平面，因為平面，所以，又由平面平面，且平面，且平面平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，在直角中，因為，可得.（2）過點作，垂足為，由平面平面，且平面，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，在直角中，，可得，所以，在直角中，可得，所以直線與平面所成的角的正弦值為.河南省鄭州市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題注意事項：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考試時間120分鐘，滿分150分．考生應首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效，交卷時只交答題卡．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖，向量對應的復數(shù)是，則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖可知，所以，所以，所以復數(shù)的虛部為.故選：D2.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，則事件與事件（）A.相互獨立 B.互為對立事件 C.互斥 D.相等〖答案〗A〖解析〗分別拋擲兩面均勻的硬幣，設事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，則,,所以，所以事件與相互獨立故選：A.3.已知向量，若，則x的值為（）A.6 B. C.16 D.〖答案〗C〖解析〗向量，則，又，因此，解得，所以x的值為16.故選：C4.若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為4，則下列說法錯誤的是（）A.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為13B.數(shù)據(jù)的方差為12C.D〖答案〗B〖解析〗依題意，，，對于A，，A正確；對于B，依題意，，所以數(shù)據(jù)的方差為：，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，由，解得，D正確.故選：B5.已知中，角所對的邊分別為，設向量，，且，則角可以為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量，，因為，可得，即，可得，因為，可得，所以或，所以或，結(jié)合選項B適合.故選：B.6.已知的外心為O，且，，向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，由，得點為線段的中點，而為的外心，則，即有，又，則為正三角形，即，于是，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B7.2023年鄭州市科技活動周暨鄭州科技館“青春逐夢科技”主題活動于5月31日落下帷幕．科技活動周期間，鄭州市科技館為青少年準備了一場場科技盛宴，通過魅力科學課、深度看展品、科普表演秀、科普大篷車等活動，引導青少年用科學的眼光看待世界，點燃青少年對科學的好奇心．5月27日科技館安排了《失重通道》、《永不消逝的密碼》、《海底小火山》、《回旋紙飛機》四個體驗課程．每個人選擇每門課程是相互獨立的．已知小明選擇四門課程的概率分別為，若他恰好選擇兩門課程的概率為，則他四門課程都選擇的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗小明選擇《失重通道》、《永不消逝的密碼》、《海底小火山》、《回旋紙飛機》的事件分別記為，則，小明恰好選擇兩門的事件，因此，整理得，而，解得，所以小明四門課程都選擇的概率為.故選：D8.三棱錐的所有頂點都在球O的表面上，且，，，則球O的表面積為（）A.16π B.32π C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，平面，平面，作出的外接圓圓心，設其外接圓半徑為，，則，則根據(jù)正弦定理有，則，在圖中作出外接球球心，設外接球半徑為，則，平面，因為，則為中點，則，平面，平面，則，同理，則四邊形為矩形，則，在中，由勾股定理得，即，則球O的表面積為.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.某校隨機抽取了100名學生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學生的體重數(shù)據(jù)（單位：kg）全部介于45至75之間，且體重不低于60kg的人數(shù)為35人，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.頻率分布直方圖中b的值為0.04B.這100名學生中體重低于55kg的人數(shù)為35C.用樣本估計總體，估計該校學生體重的第80百分位數(shù)約為D.用樣本估計總體，估計該校學生體重的平均數(shù)小于中位數(shù)〖答案〗AC〖解析〗A選項，由題意得，解得，A正確；B選項，這100名學生中體重低于55kg的人數(shù)為，故B錯誤；C選項，，，故第80百分位數(shù)落在內(nèi)，，解得，用樣本估計總體，估計該校學生體重的第80百分位數(shù)約為，C正確；D選項，平均數(shù)為，因為，，故學生體重的中位數(shù)落在內(nèi)，設中位數(shù)為，則，解得，因為，故樣本估計總體，估計該校學生體重的平均數(shù)大于中位數(shù)，D錯誤.故選：AC10.已知復數(shù)：，，則下列說法正確的是（）A.若為純虛數(shù)，則B.若為實數(shù)，則C.設，復數(shù)z滿足，則的最大值為D.復數(shù)對應的點不可能在第一、三象限的角平分線上〖答案〗AC〖解析〗復數(shù)，，對于A，，由為純虛數(shù)，得，A正確；對于B，，而，因此不能為實數(shù)，B錯誤；對于C，，，令復數(shù)在復平面內(nèi)所對點分別為，則，令坐標原點為，有，而，解得，當且僅當點在線段上時取等號，所以的最大值為，C正確；對于D，，當時，對應的點在第一、三象限的角平分線上，D錯誤.故選：AC11.已知四面體的各棱長均為2，且E為CD的中點，則（）A.B.四面體的表面積為C.直線AC與BE所成的角為60°D.四面體的體積為〖答案〗ABD〖解析〗對A，如圖，由題意，四面體ABCD為正四面體，取底面BCD的中心為G，連接BE，則點為的三等分點，且，連接，則，底面BCD，平面，所以，又因為面，所以平面，平面，所以，故A正確；對B，根據(jù)棱長均為2，則四個面均為邊長為2的等邊三角形，則，故B正確，對C，取中點，分別連接，因為為的中點，則，直線AC與BE所成的角即為直線EF與BE所成的角,,則，則C錯誤；對D，底面BCD，底面BCD，則，，則，則，則，故D正確；故選：ABD．12.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則（）A.B.若D為AB邊的中點，且CD＝2，c＝4，則b＝2C.若，則D.當取得最大值時，為直角三角形〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由余弦定理得,，則，A錯誤；對于B，由于是的中點，有，又，即有，則為直角，，聯(lián)立，解得，B正確；對于C，由選項A知，，由正弦定理得，而，整理得，又，顯然，于是，有，而，所以，C正確；對于D，由得，，而，有，則，，有，又，因此，顯然角都為銳角，則，又，當且僅當時取等號，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此取得最大值，此時，，有，等式成立，所以為直角三角形，D正確.故選：BCD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.某學校組織“紅色故事”知識競賽，某班的8名參賽學生的成績（單位：分）分別是：98、93、84、92、82、87、86、94，則這8名學生成績的75%分位數(shù)是______．〖答案〗〖解析〗8名學生成績由小到大排列為：82、84、86、87、92、93、94、98，由，得這8名學生成績的75%分位數(shù)是.故〖答案〗為：14.已知某圓臺的上底面和下底面的面積之比為，軸截面面積為15，母線長為上底面半徑的倍，則該圓臺的體積為______．〖答案〗〖解析〗設圓臺上底面圓半徑為，因為圓臺的上底面和下底面的面積之比為，則上下底面圓半徑之比為，因此圓臺下底面圓半徑為，軸截面等腰梯形上下底邊長為，腰長為圓臺母線長，于是圓臺的高即軸截面等腰梯形的高，由軸截面面積為15，得，解得，則下底面圓半徑為3，高為3，所以該圓臺的體積.故〖答案〗為：15.在中，，．設，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗在中，由，，得，則，又，則有，所以.故〖答案〗為：16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是______．〖答案〗〖解析〗在中，，則，由正弦定理得，由余弦定理得，當且僅當時取等號，因此，解得，所以最大值是.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，其中，是單位向量且夾角為．（1）求，夾角；（2）設，若，求和的值．解：（1）單位向量，的夾角為，則，于是，，，因此，而，所以.（2）依題意，，而與不共線，因此，解得，所以.18.在一次校園詩朗誦比賽中，由10名專業(yè)評委和10名觀眾代表各組成一個評委小組為選手打分．已知某參賽選手的得分如下：評委小組12345678910A組7.37.57.87.88.08.08.28.38.58.6B組6.87.57.67.87.88.08.08.59.09.0（1）分別計算該選手在A組和B組得分的平均數(shù)；（2）選擇一個可以度量打分一致性的量，并對每組評委的打分計算該度量值，根據(jù)這個值判斷A組與B組哪個是專業(yè)評委組，哪個是觀眾代表組？解：（1）小組的打分中，選手得分的均值，小組的打分中，選手得分的均值.（2）由（1）知，該選手在A組和B組得分的平均數(shù)相同，于是選擇方差度量打分一致性，組數(shù)據(jù)的方差，組數(shù)據(jù)的方差，由以上數(shù)據(jù)知，組的打分方差較大，數(shù)據(jù)波動較大，所以組為專業(yè)組，組為觀眾組.19.如圖，已知正方體的棱長為4．（1）求二面角的正切值；（2）若E，F(xiàn)分別是棱AD，的中點，請畫出過B，E，F(xiàn)三點的平面與正方體表面的交線（保留作圖痕跡，畫出交線，無需說明理由），并求出交線圍成的多邊形的周長．解：（1）在正方體中，取的中點，連接，如圖，則，又為的中點，則有，即是二面角的平面角，而平面平面，即有，由正方體的棱長為4，得，在中，，所以二面角的正切值為.（2）在正方體中，取中點，的中點，連接，則線段是過,,三點的平面與正方體表面的交線，理由如下：連接,，因為為棱中點，則，即四邊形為平行四邊形，于是，四邊形是平行四邊形，則，又為棱的中點，因此，即,,,四點共面，所以線段是過,,三點的平面與正方體表面的交線，，，所以交線圍成的四邊形的周長是.20.數(shù)學核心素養(yǎng)是指在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的關于