2022-2023學(xué)年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市常青聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題試卷滿(mǎn)分：150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.2.若虛數(shù)z使得z2+z是實(shí)數(shù)，則z滿(mǎn)足（）A.實(shí)部是 B.實(shí)部是 C.虛部是0 D.虛部是〖答案〗A〖解析〗設(shè)（且），，是實(shí)數(shù)，因此，（舍去），或．故選：A．3.古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus，約前417-前369）通過(guò)圖來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)．記，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由圖可知，，，，所以故選：B4.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為，最大值為B.的最小正周期為，最大值為C.的最小正周期為，最大值為D.的最小正周期為，最大值為〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值為，故選B.5.在中，為邊上的中線，，若，則（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?所以，即，所以.故選：D6.在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所?所以直角三角形.故選：B7.若函數(shù)在區(qū)間上恰有唯一對(duì)稱(chēng)軸，則ω的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因?yàn)?，，所以，因?yàn)閰^(qū)間上恰有唯一對(duì)稱(chēng)軸，故，解得.故選：D8.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是正八邊形邊上的一點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，觀察圖形可知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在方向上的射影取最大值，且，則，所以，，故的最大值為.故選：C二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.z的虛部為－1C.為純虛數(shù) D.〖答案〗CD〖解析〗因?yàn)?，所?對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，z的虛部為1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為純虛數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：CD10.已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.C.存在，使得 D.當(dāng)時(shí)，在上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，若，則，得，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，，在時(shí)無(wú)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，在上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確.故選：ABD11.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若是銳角三角形，恒成立C.若，，，則符合條件的只有一個(gè)D.若為非直角三角形，則〖答案〗AD〖解析〗對(duì)A，由正弦定理可知，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C，如示意圖，點(diǎn)A在射線上，，易得，則，即符合條件的三角形有2個(gè)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)闉榉侵苯侨切?，所以，整理可得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.12.在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作，定義為角的余矢，記作，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.若，則C.若，則的最小值為0D.若，則的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；，令，則，所以，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若，其中、都是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，解得，因此，.故〖答案〗為：.14.已知，若記，則______．〖答案〗〖解析〗，∴，則有，∴.故〖答案〗為：15.銳角滿(mǎn)足，則____________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，，又，且為銳角，所以，即.故〖答案〗為：16.筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（圖1）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖2，將筒車(chē)抽象為一個(gè)半徑為的圓，設(shè)筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，當(dāng)時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)t秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)滿(mǎn)足，則當(dāng)筒車(chē)旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為_(kāi)___________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)橥曹?chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，所以，得，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以?dāng)筒車(chē)旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，故〖答案〗為：四、解答題：（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知，，且．（1）求和的值；（2）求與的夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)得，；.（2）記與的夾角為，.所以與的夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)的部分圖像，如圖所示．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．解：（1）根據(jù)函數(shù)的部分圖像，得，，所以．根據(jù)圖像可得，，所以，又因?yàn)?，所以，所?（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，可得的圖像，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像．由，可得，所以，所以.所以函數(shù)在的值域?yàn)?.19.某自然保護(hù)區(qū)為研究動(dòng)物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個(gè)相距的觀測(cè)站A和B，觀測(cè)人員分別在A，B處觀測(cè)該動(dòng)物種群．如圖，某一時(shí)刻，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)C處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得，，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)D處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得，．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）（1）求的面積；（2）求點(diǎn)之間的距離．解：（1）在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以,，所以的面積為．（2）由，，得，且,．在中由余弦定理，得,所以．即點(diǎn)C，D之間的距離為．20.△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為（1）求;（2）若求△ABC的周長(zhǎng).解：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長(zhǎng)為.21.如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn).（1）求；（2）求的余弦值.解：（1）又已知為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，又，，，所以，所以，（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以,所以，，所以，又與的夾角相等，所以，所以的余弦值為.22.對(duì)于函數(shù)，稱(chēng)向量為函數(shù)相伴特征向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．記向量的相伴函數(shù)為．（1）當(dāng)且時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）由題意得，向量的相伴函數(shù)為，所以∵，∴．∵，∴，∴所以（2）向量的相伴函數(shù)為當(dāng)時(shí)，，即，恒成立．所以①當(dāng)，即時(shí)，，所以，即，由于，所以的最小值為，所以；②當(dāng)，，不等式化為成立．③當(dāng)，時(shí)，，所以，即，由于，所以的最大值為，所以．綜上所述，k的取值范圍是.湖北省武漢市常青聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題試卷滿(mǎn)分：150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.2.若虛數(shù)z使得z2+z是實(shí)數(shù)，則z滿(mǎn)足（）A.實(shí)部是 B.實(shí)部是 C.虛部是0 D.虛部是〖答案〗A〖解析〗設(shè)（且），，是實(shí)數(shù)，因此，（舍去），或．故選：A．3.古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus，約前417-前369）通過(guò)圖來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)．記，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由圖可知，，，，所以故選：B4.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為，最大值為B.的最小正周期為，最大值為C.的最小正周期為，最大值為D.的最小正周期為，最大值為〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值為，故選B.5.在中，為邊上的中線，，若，則（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?所以，即，所以.故選：D6.在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所?所以直角三角形.故選：B7.若函數(shù)在區(qū)間上恰有唯一對(duì)稱(chēng)軸，則ω的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，因?yàn)?，，所以，因?yàn)閰^(qū)間上恰有唯一對(duì)稱(chēng)軸，故，解得.故選：D8.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是正八邊形邊上的一點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，觀察圖形可知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在方向上的射影取最大值，且，則，所以，，故的最大值為.故選：C二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.z的虛部為－1C.為純虛數(shù) D.〖答案〗CD〖解析〗因?yàn)椋?對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，z的虛部為1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為純虛數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：CD10.已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.C.存在，使得 D.當(dāng)時(shí)，在上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，若，則，得，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，，在時(shí)無(wú)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，在上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確.故選：ABD11.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若是銳角三角形，恒成立C.若，，，則符合條件的只有一個(gè)D.若為非直角三角形，則〖答案〗AD〖解析〗對(duì)A，由正弦定理可知，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C，如示意圖，點(diǎn)A在射線上，，易得，則，即符合條件的三角形有2個(gè)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)闉榉侵苯侨切?，所以，整理可得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.12.在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作，定義為角的余矢，記作，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.若，則C.若，則的最小值為0D.若，則的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；，令，則，所以，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若，其中、都是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋瑒t，解得，因此，.故〖答案〗為：.14.已知，若記，則______．〖答案〗〖解析〗，∴，則有，∴.故〖答案〗為：15.銳角滿(mǎn)足，則____________.〖答案〗〖解析〗由題意可知，，又，且為銳角，所以，即.故〖答案〗為：16.筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（圖1）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖2，將筒車(chē)抽象為一個(gè)半徑為的圓，設(shè)筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，當(dāng)時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)t秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)滿(mǎn)足，則當(dāng)筒車(chē)旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為_(kāi)___________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)橥曹?chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，所以，得，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)椋?，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以?dāng)筒車(chē)旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，故〖答案〗為：四、解答題：（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知，，且．（1）求和的值；（2）求與的夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)得，；.（2）記與的夾角為，.所以與的夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)的部分圖像，如圖所示．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．解：（1）根據(jù)函數(shù)的部分圖像，得，，所以．根據(jù)圖像可得，，所以，又因?yàn)椋?，所?（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，可得的圖像，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像．由，可得，所以，所以.所以函數(shù)在的值域?yàn)?.19.某自然保護(hù)區(qū)為研究動(dòng)物種群的生活習(xí)性，設(shè)