2022-2023學(xué)年陜西省商洛市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省商洛市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后．再選涂其他〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第六章．第七章、第八章．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?/p>

，，所以，故選：A2.關(guān)于平行六面體，下列結(jié)論正確的是（）A.平行六面體有12個(gè)頂點(diǎn) B.正方體不是平行六面體C.平行六面體有12條棱 D.平行六面體的每個(gè)面都是矩形〖答案〗C〖解析〗平行六面體有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，正方體是平行六面體．故C正確，ABD錯(cuò)誤故選：C3.若向量與垂直，則非零實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C.－1 D.－2〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榕c垂直，所以，解得：或.又因?yàn)椋?故選：A.4.在中，，，，則（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得．故選：B5.如圖，的斜二測畫法的直觀圖是腰長為2的等腰直角三角形，軸經(jīng)過的中點(diǎn)，則（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意可得的原圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，由于為的中點(diǎn)，,且OA=2，，，故．故選：C6.在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，則向量AE在向量AC上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)O為正方形對角線的交點(diǎn)，取CO的中點(diǎn)F，連接EF，E為CD的中點(diǎn)，則，因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，，所以，而，所以向量在向量上投影向量為，故選：D7.在正六棱臺中，，，，則該棱臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)上、下底面的中心分別為M，N，上、下底面的面積分別為、，過A作，垂足為P，如圖所示，則，故該棱臺的體積.故選：D.8.明孝陵位于江蘇省南京市玄武區(qū)紫金山南麓獨(dú)龍阜玩珠峰下，東毗中山陵，南臨梅花山，位于鐘山風(fēng)景名勝區(qū)內(nèi)，其占地面積達(dá)170余萬平方米，是中國規(guī)模最大的帝王陵寢之一．明孝陵景區(qū)共有8個(gè)門，1號門位于植物園路，4號門在1號門的南偏東53°48′的492m處，8號門在4號門的東偏北75°48′方向，且1號門在8號門的西偏南63°18′方向，則1號門到8號門的距離約為（參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.927，sin53°48′≈0.807，sin12°30′≈0.216，sin75°48′≈0.969）（）A.2112m B.2107m C.2105m D.2109m〖答案〗A〖解析〗記1號門的位置為A，4號門的位置為B，8號門的位置為C，則根據(jù)條件可得，.由正弦定理可得，得.故選：A二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.為純虛數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)椋?，A正確，B錯(cuò)誤；，C正確；為純虛數(shù)，D正確，故選：ACD10.某長方體的長、寬、高分別為4，2，1，則（）A.該長方體的體積為8 B.該長方體的體對角線長為C.該長方體的表面積為24 D.該長方體外接球的表面積為21π〖答案〗ABD〖解析〗該長方體的體積為4×2×1=8，體對角線長為，表面積為，由于長方體的體對角線為其外接球的直徑，所以外接球的表面積為．故ABD正確，C錯(cuò)誤，故選：ABD11.已知點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，則（）A.過點(diǎn)P只能作一個(gè)平面與平行B.過點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線與平行C.過點(diǎn)P只能作一個(gè)平面與垂直D.過點(diǎn)P只能作一條直線與垂直〖答案〗ABD〖解析〗過點(diǎn)P只能作一個(gè)平面與平行，過點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線與平行，過點(diǎn)P只能作一條直線與垂直，過點(diǎn)P可以作無數(shù)個(gè)平面與垂直.故選：ABD12.在中，，為邊上一點(diǎn)，，且，則的面積可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)AB=m，AC=n．由，得，所以，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，故面積的最小值是，結(jié)合選項(xiàng)，符合題意.故選：BCD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在鈍角中，角A，B，C的對邊分別a，b，c，已知，則A，B，C中，______是鈍角．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?所以，所以B是鈍角．故〖答案〗為：14.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，寫出方程的一個(gè)解：______．〖答案〗（本題〖答案〗不唯一，〖答案〗還可以是）〖解析〗由

，

得

，

則，所以．故〖答案〗為：（本題〖答案〗不唯一，〖答案〗還可以是）15.在平行四邊形中，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)镋為BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以，所以，所以

，，故．故〖答案〗為：16.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）．例如，正四面體的每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角為，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為．在底面為矩形的四棱錐中，底面，，與底面所成的角為，在四棱錐中，頂點(diǎn)的曲率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，平面，即為與底面所成角，即，，，，，；平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，即，又，頂點(diǎn)的曲率為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，（1）若，求；（2）若，求的值．解：（1）因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋?，解得?8.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）若，求外接圓的半徑.解：（1）因?yàn)?，所以由余弦定理?（2）因?yàn)椋?，所以，設(shè)外接圓的半徑為R，由正弦定理得，解得，即外接圓的半徑為5.19.如圖，在直三棱柱中，D，F(xiàn)分別是AB，的中點(diǎn)．（1）若E為CD的中點(diǎn)，O為側(cè)面的中心，證明：四點(diǎn)共面．（2）若，，，側(cè)面為菱形，求三棱錐的體積．（1）證明：連接，，因?yàn)镺為側(cè)面的中心，且側(cè)面為矩形，所以O(shè)是的中點(diǎn)．因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以．因?yàn)镈，F(xiàn)分別是AB，的中點(diǎn)，且，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以．又，所以，所以A，F(xiàn)，O，E四點(diǎn)共面．（2）解：因?yàn)椋珼是AB的中點(diǎn)，且側(cè)面為菱形，所以．因?yàn)?，，所以，所以的面積．在直三棱柱中，底面ABC，所以．20.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．（1）若的實(shí)部與虛部之和為7，且，求；（2）若，且的實(shí)部不為0，討論在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第幾象限．解：（1）依題意可設(shè)（a，b∈R，a>0，b<0），因?yàn)閦的實(shí)部與虛部之和為7，且，所以解得a=12，b=-5，故（2）依題意可設(shè)因?yàn)椋╝>0，b<0），所以，且．因?yàn)?，所以，所以．?dāng)時(shí)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限；當(dāng)時(shí)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．21.在中，角的對邊分別為，且，（1）求角B的大??；（2）若的面積為，且，求的周長.解：（1）因?yàn)?，所以，?由正弦定理得，即，即.又，則，所以，則.（2）由的面積為，得，則，由余弦定理得，代入，得，則，故的周長為.22.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，為棱上任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），為棱上任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且（1）證明：；（2）已知，，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，平面與交于點(diǎn)，求的長．（1）證明：因四邊形為矩形，所以，，因?yàn)椋?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)?，，、平面，因此，平面，因平面，所以?（2）解：如圖，在直線上取點(diǎn)，使得．由，設(shè)，則，其中．因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，，則，則，，．因?yàn)?，平面，則平面．在中，有，可得，可得．的面積為．，可得當(dāng)時(shí)，三棱錐體積的最大值為．當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．延長交直線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．因?yàn)?，所以，，則．因?yàn)?，所以，，則．又，所以，．陜西省商洛市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后．再選涂其他〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第六章．第七章、第八章．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?/p>

，，所以，故選：A2.關(guān)于平行六面體，下列結(jié)論正確的是（）A.平行六面體有12個(gè)頂點(diǎn) B.正方體不是平行六面體C.平行六面體有12條棱 D.平行六面體的每個(gè)面都是矩形〖答案〗C〖解析〗平行六面體有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，正方體是平行六面體．故C正確，ABD錯(cuò)誤故選：C3.若向量與垂直，則非零實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C.－1 D.－2〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榕c垂直，所以，解得：或.又因?yàn)?，所?故選：A.4.在中，，，，則（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗由余弦定理得．故選：B5.如圖，的斜二測畫法的直觀圖是腰長為2的等腰直角三角形，軸經(jīng)過的中點(diǎn)，則（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意可得的原圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，由于為的中點(diǎn)，,且OA=2，，，故．故選：C6.在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，則向量AE在向量AC上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)O為正方形對角線的交點(diǎn)，取CO的中點(diǎn)F，連接EF，E為CD的中點(diǎn)，則，因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，，所以，而，所以向量在向量上投影向量為，故選：D7.在正六棱臺中，，，，則該棱臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)上、下底面的中心分別為M，N，上、下底面的面積分別為、，過A作，垂足為P，如圖所示，則，故該棱臺的體積.故選：D.8.明孝陵位于江蘇省南京市玄武區(qū)紫金山南麓獨(dú)龍阜玩珠峰下，東毗中山陵，南臨梅花山，位于鐘山風(fēng)景名勝區(qū)內(nèi)，其占地面積達(dá)170余萬平方米，是中國規(guī)模最大的帝王陵寢之一．明孝陵景區(qū)共有8個(gè)門，1號門位于植物園路，4號門在1號門的南偏東53°48′的492m處，8號門在4號門的東偏北75°48′方向，且1號門在8號門的西偏南63°18′方向，則1號門到8號門的距離約為（參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.927，sin53°48′≈0.807，sin12°30′≈0.216，sin75°48′≈0.969）（）A.2112m B.2107m C.2105m D.2109m〖答案〗A〖解析〗記1號門的位置為A，4號門的位置為B，8號門的位置為C，則根據(jù)條件可得，.由正弦定理可得，得.故選：A二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.為純虛數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，所以，A正確，B錯(cuò)誤；，C正確；為純虛數(shù)，D正確，故選：ACD10.某長方體的長、寬、高分別為4，2，1，則（）A.該長方體的體積為8 B.該長方體的體對角線長為C.該長方體的表面積為24 D.該長方體外接球的表面積為21π〖答案〗ABD〖解析〗該長方體的體積為4×2×1=8，體對角線長為，表面積為，由于長方體的體對角線為其外接球的直徑，所以外接球的表面積為．故ABD正確，C錯(cuò)誤，故選：ABD11.已知點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，則（）A.過點(diǎn)P只能作一個(gè)平面與平行B.過點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線與平行C.過點(diǎn)P只能作一個(gè)平面與垂直D.過點(diǎn)P只能作一條直線與垂直〖答案〗ABD〖解析〗過點(diǎn)P只能作一個(gè)平面與平行，過點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線與平行，過點(diǎn)P只能作一條直線與垂直，過點(diǎn)P可以作無數(shù)個(gè)平面與垂直.故選：ABD12.在中，，為邊上一點(diǎn)，，且，則的面積可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)AB=m，AC=n．由，得，所以，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，故面積的最小值是，結(jié)合選項(xiàng)，符合題意.故選：BCD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在鈍角中，角A，B，C的對邊分別a，b，c，已知，則A，B，C中，______是鈍角．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?所以，所以B是鈍角．故〖答案〗為：14.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，寫出方程的一個(gè)解：______．〖答案〗（本題〖答案〗不唯一，〖答案〗還可以是）〖解析〗由

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得

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則，所以．故〖答案〗為：（本題〖答案〗不唯一，〖答案〗還可以是）15.在平行四邊形中，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)镋為BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以，所以，所以

，，故．故〖答案〗為：16.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）．例如，正四面體的每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角為，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為．在底面為矩形的四棱錐中，底面，，與底面所成的角為，在四棱錐中，頂點(diǎn)的曲率為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，平面，即為與底面所成角，即，，，，，；平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，即，又，頂點(diǎn)的曲率為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，（1）若，求；（2）若，求的值．解：（1）因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以，解得?8.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）若，求外接圓的半徑.解：（1）因?yàn)?，所以由余弦定理?（2）因?yàn)?，，所以，設(shè)外接圓的半徑為R，由正弦定理得，解得，即外接圓的半徑為5.19.如圖，在直三棱柱中，D，F(xiàn)分別是AB，的中點(diǎn)．（1）若E為CD的中點(diǎn)，O為側(cè)面的中心，證明：四點(diǎn)共面．（2）若，，，側(cè)面為菱形，求三棱錐的體積．（1）證明：連接，，因?yàn)镺為側(cè)面的中心，且側(cè)面為矩形，所以O(shè)是的中點(diǎn)．因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以．因?yàn)镈，F(xiàn)分別是AB，的中點(diǎn)，且，，所以，，所以四邊形是平