第二章 直線(xiàn)與平面的相對(duì)位置 兩平面的相對(duì)位置

第2

章幾何元素的相對(duì)位置

3.1平行問(wèn)題

§2.1平行問(wèn)題

§

2.2相交問(wèn)題

§

2.3垂直問(wèn)題

§

2.4綜合問(wèn)題舉例1一、直線(xiàn)與平面平行二、平面與平面平行§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例§2.1平行問(wèn)題一、直線(xiàn)與平面平行PCDBA?若平面外的一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與該平面平行。2例2-1試判斷直線(xiàn)AB是否平行于平面CDE。g

f

b

a

bc

d

edc結(jié)論：直線(xiàn)AB不平行于定平面一、直線(xiàn)與平面平行XOfgae

一、直線(xiàn)與平面平行二、平面與平面平行§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例分析：如果在平面內(nèi)能作一條直線(xiàn)平行于直線(xiàn)AB，則AB平行于定平面。3例2-2過(guò)點(diǎn)K作一水平線(xiàn)AB平行于已知平面ΔCDE。b

a

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kcXO一、直線(xiàn)與平面平行§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、直線(xiàn)與平面平行二、平面與平面平行分析：

AB應(yīng)平行于平面ΔCDE內(nèi)的水平線(xiàn)，因此，先在平面內(nèi)作一水平線(xiàn)，然后過(guò)點(diǎn)K作該水平線(xiàn)的平行線(xiàn)。4?若平面內(nèi)的兩相交直線(xiàn)對(duì)應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面平行。PSEFDACB二、平面與平面平行§2.1平行問(wèn)題§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、直線(xiàn)與平面平行二、平面與平面平行5m

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O例2-3試判斷兩平面是否平行f

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c結(jié)論：Xa

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md兩平面平行二、平面與平面平行§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、直線(xiàn)與平面平行二、平面與平面平行6例2-4已知定平面由平行兩直線(xiàn)AB和CD給定。試過(guò)

點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

n

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e

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kXOmn二、平面與平面平行§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、直線(xiàn)與平面平行二、平面與平面平行7例2-5試判斷兩平面是否平行ef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO二、平面與平面平行§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、直線(xiàn)與平面平行二、平面與平面平行分析：兩平面均為鉛垂面，且水平跡線(xiàn)平行，因此，兩平面平行。8一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例§2.2相交問(wèn)題PABKDBCALKEF一、交點(diǎn)與交線(xiàn)的性質(zhì)?直線(xiàn)與平面相交的交點(diǎn)是直線(xiàn)與平面的共有點(diǎn)。?兩平面的交線(xiàn)是直線(xiàn)，即兩個(gè)平面的共有線(xiàn)。?求交點(diǎn)、交線(xiàn)的實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有線(xiàn)的投影。9?當(dāng)直線(xiàn)為一般位置，平面的某個(gè)投影有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的投影為直線(xiàn)與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一投影可在直線(xiàn)的另一個(gè)投影上找到。VHPHPABCacbkNKMmn§2.2相交問(wèn)題二、積聚性法1.求交點(diǎn)空間分析：一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例10例2-6求一般位置直線(xiàn)與投影面垂直面的交點(diǎn)，

并判斷其判別可見(jiàn)性。b

bacc

m

mn

k

n?特殊位置線(xiàn)面相交，根據(jù)平面的積聚性投影能直接判別直線(xiàn)的可見(jiàn)性----觀(guān)察法k在平面之前a

二、積聚性法（求交點(diǎn)）一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例11XOa

a(b)b

c

e

d

cefdf

kk’例2-7求鉛垂線(xiàn)AB與一般位置平面ΔCDE的交點(diǎn)，并判別可見(jiàn)性。二、積聚性法（求交點(diǎn)）§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法總目錄122.求交線(xiàn)f

k

■求兩平面交線(xiàn)實(shí)質(zhì)是求兩直線(xiàn)與平面的交點(diǎn),由于平面的某個(gè)投影有積聚性，交線(xiàn)可直接求出。nlmm

l

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bacc

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b

XOfkVHMmnlBCackfFKNL二、積聚性法（求交線(xiàn)）§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法13平面可見(jiàn)性的判別b

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題二、積聚性法（求交線(xiàn)）§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法在平面之前?一特殊位置面和一般位置面相交，根據(jù)積聚性平面的投影能直接判別另一平面的可見(jiàn)性----觀(guān)察法14三、輔助平面法DECKBAK1PK2AXOa

b

bacd

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edc

121

2

k

k作題步驟：

1.過(guò)AB作鉛垂平面P。

2.求P平面與ΔCDE的交線(xiàn)ⅠⅡ。3.求交線(xiàn)ⅠⅡ與AB的交點(diǎn)K?！?.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題求一般位置直線(xiàn)與一般位置平面的交點(diǎn)§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法PH15Xa

b

bace

edc

12

1

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2344

3

§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題判斷可見(jiàn)性：三、輔助平面法第1步：在V面投影上任選一重影點(diǎn)，判斷V面投影的可見(jiàn)性第2步：在H面投影上任選一重影點(diǎn)，判斷H面投影的可見(jiàn)性§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法16利用求一般位置線(xiàn)面交點(diǎn)的方法找出交線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線(xiàn)即為兩平面的交線(xiàn)。FBCALKED兩一般位置平面相交求交線(xiàn)的方法§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題三、輔助平面法下一頁(yè)作圖求交線(xiàn)§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法17

1、用直線(xiàn)與平面求交點(diǎn)的方法求出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、L。bacc

b

a

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eff

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PVQV1k

kl

2、連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫(huà)出交線(xiàn)KL。XO作題步驟：1

2

2334

4l§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題三、輔助平面法上一頁(yè)空間分析下一頁(yè)判斷可見(jiàn)性§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法18利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性?xún)善矫嫦嘟?，判別可見(jiàn)性bacc

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1XO1

2

234

34§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題三、輔助平面法§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法19例2-8試過(guò)K點(diǎn)作一直線(xiàn)平行于已知平面ΔABC，并與直線(xiàn)EF相交。ac

ba

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kXO下一頁(yè)空間分析PVmm

§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題三、輔助平面法§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法20FP例2-8空間分析：CABEKM

過(guò)已知點(diǎn)K作平面P平行于

ABC；直線(xiàn)EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。返回原題目解題§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題三、輔助平面法§2.3垂直問(wèn)題§2.4綜合舉例一、交點(diǎn)與交線(xiàn)性質(zhì)二、積聚性法三、輔助平面法21一、直線(xiàn)與平面垂直§2.3垂直問(wèn)題VPAKLDCBEHa

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定理1：若一直線(xiàn)垂直于一平面、則直線(xiàn)的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線(xiàn)的水平投影；直線(xiàn)的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線(xiàn)的正面投影?！?.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題一、直線(xiàn)與平面垂直二、兩平面垂直§2.4綜合舉例22a

cac

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n一、直線(xiàn)與平面垂直例2-9過(guò)點(diǎn)K作直線(xiàn)與平面垂直?！?.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題一、直線(xiàn)與平面垂直二、兩平面垂直§2.4綜合舉例23e

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b

cdbfXO例2-10:試判斷直線(xiàn)MN是否垂直于AB、CD確定的平面。一、直線(xiàn)與平面垂直§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題一、直線(xiàn)與平面垂直二、兩平面垂直§2.4綜合舉例24二、兩平面垂直幾何條件：若一直線(xiàn)垂直于一定平面，則包含這條直線(xiàn)的所有平面都垂直于該平面。PAB§2.3垂直問(wèn)題§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題一、直線(xiàn)與平面垂直二、兩平面垂直§2.4綜合舉例25兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線(xiàn)必屬于第一個(gè)平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB二、兩平面垂直§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例§2.3垂直問(wèn)題一、直線(xiàn)與平面垂直二、兩平面垂直26g

ha

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dbfg例2-12：試過(guò)定點(diǎn)K作已知平面的垂面。二、兩平面垂直§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例§2.3垂直問(wèn)題一、直線(xiàn)與平面垂直二、兩平面垂直27平行、相交、及垂直等問(wèn)題側(cè)重于探求每一個(gè)單個(gè)問(wèn)題的投影特性、作圖原理與方法。而實(shí)際問(wèn)題是綜合性的，涉及多項(xiàng)內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。求解綜合問(wèn)題主要包括：空間幾何元素的定位問(wèn)題（交點(diǎn)、交線(xiàn)）和空間幾何元素的度量問(wèn)題（如距離、角度）。綜合問(wèn)題解題的一般步驟：

1.分析題意

2.明確所求結(jié)果，找出解題方法

3.擬定解題步驟§2-4綜合問(wèn)題分析及解法§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例一、定位問(wèn)題二、度量問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題28例2-13已知三條直線(xiàn)CD、EF和GH，求作一

直線(xiàn)AB與CD平行，并且與EF、GH均相交。c

g

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e

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cefghdXO一、空間幾何元素定位問(wèn)題

下頁(yè)空間分析§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例一、定位問(wèn)題二、度量問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題29分析所求得直線(xiàn)AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線(xiàn)EF、GH相交。ABCDHGEF

下頁(yè)作圖過(guò)程§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例一、定位問(wèn)題二、度量問(wèn)題一、空間幾何元素定位問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題30作圖過(guò)程k

kc

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cefghdXOPV11

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上頁(yè)空間分析§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例一、空間幾何元素定位問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題一、定位問(wèn)題二、度量問(wèn)題31例2-14試過(guò)A作直線(xiàn)與已知直線(xiàn)EF正交。a

efaf

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下頁(yè)空間分析§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例一、定位問(wèn)題二、度量問(wèn)題一、空間幾何元素定位問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題32空間分析：EQFAK過(guò)已知點(diǎn)A作平面與已知直線(xiàn)EF交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。

下頁(yè)作圖過(guò)程§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例一、定位問(wèn)題二、度量問(wèn)題一、空間幾何元素定位問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題33作圖過(guò)程：1a

efaf

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k§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例一、定位問(wèn)題二、度量問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題2134例2-15求點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離。c

a

b

cabXO

下頁(yè)空間分析§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例一、定位問(wèn)題二、度量問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題35空間分析：PABCK過(guò)C點(diǎn)作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)CK一定在過(guò)C點(diǎn)并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過(guò)C點(diǎn)作一平面與直線(xiàn)AB垂直，求出該平面與AB的交點(diǎn)K，最后求出垂線(xiàn)CK的實(shí)長(zhǎng)即為所求。

下頁(yè)作圖過(guò)程§2.1平行問(wèn)題§2.2相交問(wèn)題§2.4綜合舉例一、定位問(wèn)題二、度量問(wèn)題一、空間幾何元素定位問(wèn)題§2.3垂直問(wèn)題36作