第二章 直線與平面的相對位置 兩平面的相對位置

第2

章幾何元素的相對位置

3.1平行問題

§2.1平行問題

§

2.2相交問題

§

2.3垂直問題

§

2.4綜合問題舉例1一、直線與平面平行二、平面與平面平行§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例§2.1平行問題一、直線與平面平行PCDBA?若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。2例2-1試判斷直線AB是否平行于平面CDE。g

f

b

a

bc

d

edc結論：直線AB不平行于定平面一、直線與平面平行XOfgae

一、直線與平面平行二、平面與平面平行§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例分析：如果在平面內能作一條直線平行于直線AB，則AB平行于定平面。3例2-2過點K作一水平線AB平行于已知平面ΔCDE。b

a

f

fabc

e

d

edk

kcXO一、直線與平面平行§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、直線與平面平行二、平面與平面平行分析：

AB應平行于平面ΔCDE內的水平線，因此，先在平面內作一水平線，然后過點K作該水平線的平行線。4?若平面內的兩相交直線對應地平行于另一平面內的兩相交直線，則這兩個平面平行。PSEFDACB二、平面與平面平行§2.1平行問題§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、直線與平面平行二、平面與平面平行5m

n

nr

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O例2-3試判斷兩平面是否平行f

d

c

c結論：Xa

abb

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md兩平面平行二、平面與平面平行§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、直線與平面平行二、平面與平面平行6例2-4已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過

點K作一平面平行于已知平面。em

n

f

e

fsr

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dc

a

acb

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kXOmn二、平面與平面平行§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、直線與平面平行二、平面與平面平行7例2-5試判斷兩平面是否平行ef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO二、平面與平面平行§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、直線與平面平行二、平面與平面平行分析：兩平面均為鉛垂面，且水平跡線平行，因此，兩平面平行。8一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例§2.2相交問題PABKDBCALKEF一、交點與交線的性質?直線與平面相交的交點是直線與平面的共有點。?兩平面的交線是直線，即兩個平面的共有線。?求交點、交線的實質是求共有點、共有線的投影。9?當直線為一般位置，平面的某個投影有積聚性時，交點的投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一投影可在直線的另一個投影上找到。VHPHPABCacbkNKMmn§2.2相交問題二、積聚性法1.求交點空間分析：一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例10例2-6求一般位置直線與投影面垂直面的交點，

并判斷其判別可見性。b

bacc

m

mn

k

n?特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影能直接判別直線的可見性----觀察法k在平面之前a

二、積聚性法（求交點）一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例11XOa

a(b)b

c

e

d

cefdf

kk’例2-7求鉛垂線AB與一般位置平面ΔCDE的交點，并判別可見性。二、積聚性法（求交點）§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法總目錄122.求交線f

k

■求兩平面交線實質是求兩直線與平面的交點,由于平面的某個投影有積聚性，交線可直接求出。nlmm

l

n

bacc

a

b

XOfkVHMmnlBCackfFKNL二、積聚性法（求交線）§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法13平面可見性的判別b

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO§2.1平行問題§2.2相交問題二、積聚性法（求交線）§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法在平面之前?一特殊位置面和一般位置面相交，根據(jù)積聚性平面的投影能直接判別另一平面的可見性----觀察法14三、輔助平面法DECKBAK1PK2AXOa

b

bacd

e

edc

121

2

k

k作題步驟：

1.過AB作鉛垂平面P。

2.求P平面與ΔCDE的交線ⅠⅡ。3.求交線ⅠⅡ與AB的交點K?！?.1平行問題§2.2相交問題求一般位置直線與一般位置平面的交點§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法PH15Xa

b

bace

edc

12

1

k

kd

2344

3

§2.1平行問題§2.2相交問題判斷可見性：三、輔助平面法第1步：在V面投影上任選一重影點，判斷V面投影的可見性第2步：在H面投影上任選一重影點，判斷H面投影的可見性§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法16利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。FBCALKED兩一般位置平面相交求交線的方法§2.1平行問題§2.2相交問題三、輔助平面法下一頁作圖求交線§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法17

1、用直線與平面求交點的方法求出兩平面的兩個共有點K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

PVQV1k

kl

2、連接兩個共有點，畫出交線KL。XO作題步驟：1

2

2334

4l§2.1平行問題§2.2相交問題三、輔助平面法上一頁空間分析下一頁判斷可見性§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法18利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性bacc

b

a

dd

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1XO1

2

234

34§2.1平行問題§2.2相交問題三、輔助平面法§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法19例2-8試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。ac

ba

cb

f

e

efk

kXO下一頁空間分析PVmm

§2.1平行問題§2.2相交問題三、輔助平面法§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法20FP例2-8空間分析：CABEKM

過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。返回原題目解題§2.1平行問題§2.2相交問題三、輔助平面法§2.3垂直問題§2.4綜合舉例一、交點與交線性質二、積聚性法三、輔助平面法21一、直線與平面垂直§2.3垂直問題VPAKLDCBEHa

ad

c

b

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XOa

定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影?！?.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題一、直線與平面垂直二、兩平面垂直§2.4綜合舉例22a

cac

n

kf

d

b

dbfk

n一、直線與平面垂直例2-9過點K作直線與平面垂直?！?.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題一、直線與平面垂直二、兩平面垂直§2.4綜合舉例23e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例2-10:試判斷直線MN是否垂直于AB、CD確定的平面。一、直線與平面垂直§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題一、直線與平面垂直二、兩平面垂直§2.4綜合舉例24二、兩平面垂直幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB§2.3垂直問題§2.1平行問題§2.2相交問題§2.3垂直問題一、直線與平面垂直二、兩平面垂直§2.4綜合舉例25兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB二、兩平面垂直§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例§2.3垂直問題一、直線與平面垂直二、兩平面垂直26g

ha

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h

kk

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d

b

dbfg例2-12：試過定點K作已知平面的垂面。二、兩平面垂直§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例§2.3垂直問題一、直線與平面垂直二、兩平面垂直27平行、相交、及垂直等問題側重于探求每一個單個問題的投影特性、作圖原理與方法。而實際問題是綜合性的，涉及多項內容，需要多種作圖方法才能解決。求解綜合問題主要包括：空間幾何元素的定位問題（交點、交線）和空間幾何元素的度量問題（如距離、角度）。綜合問題解題的一般步驟：

1.分析題意

2.明確所求結果，找出解題方法

3.擬定解題步驟§2-4綜合問題分析及解法§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例一、定位問題二、度量問題§2.3垂直問題28例2-13已知三條直線CD、EF和GH，求作一

直線AB與CD平行，并且與EF、GH均相交。c

g

h

e

f

d

cefghdXO一、空間幾何元素定位問題

下頁空間分析§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例一、定位問題二、度量問題§2.3垂直問題29分析所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF

下頁作圖過程§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例一、定位問題二、度量問題一、空間幾何元素定位問題§2.3垂直問題30作圖過程k

kc

g

h

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f

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cefghdXOPV11

2

2aa

bb

上頁空間分析§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例一、空間幾何元素定位問題§2.3垂直問題一、定位問題二、度量問題31例2-14試過A作直線與已知直線EF正交。a

efaf

e

XO

下頁空間分析§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例一、定位問題二、度量問題一、空間幾何元素定位問題§2.3垂直問題32空間分析：EQFAK過已知點A作平面與已知直線EF交于點K，連接AK，AK即為所求。

下頁作圖過程§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例一、定位問題二、度量問題一、空間幾何元素定位問題§2.3垂直問題33作圖過程：1a

efaf

e

2PVk

k§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例一、定位問題二、度量問題§2.3垂直問題2134例2-15求點C到直線AB的距離。c

a

b

cabXO

下頁空間分析§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例一、定位問題二、度量問題§2.3垂直問題35空間分析：PABCK過C點作直線AB的垂線CK一定在過C點并且與AB垂直的平面P內，過C點作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點K，最后求出垂線CK的實長即為所求。

下頁作圖過程§2.1平行問題§2.2相交問題§2.4綜合舉例一、定位問題二、度量問題一、空間幾何元素定位問題§2.3垂直問題36作