第4小題 平面向量（2個(gè)命題點(diǎn)9大題型）2024年高考《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題型分類與方法點(diǎn)撥（解析版）

第第頁第4小題平面向量TOC\o"1-5"\h\u第4小題平面向量 1一、主干知識歸納與回顧 24.1.平面向量的概念 31.平面向量的概念： 34.2.平面向量的運(yùn)算 32.1.向量的加法運(yùn)算 32.2.向量的減法運(yùn)算 32.3.向量的數(shù)乘運(yùn)算 42.4.向量的數(shù)量積 44.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 53.1平面向量基本定理 53.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 53.3平面向量加.減運(yùn)算的坐標(biāo)表示 53.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示 53.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 5（一）命題角度剖析 6（二）考情分析 6（三）高考預(yù)測 6二、題型分類與預(yù)測 6命題點(diǎn)一：平面向量的概念與運(yùn)算 71.1母題精析（三年高考真題） 7一．向量的概念與向量的模（共1小題） 7二．向量相等與共線（共1小題） 7三．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共3小題） 7四．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題） 8五．平面向量的基本定理（共1小題） 10六．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共3小題） 10七．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共1小題） 121.2解題模型 121.3對點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?16一．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共14小題） 16二．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題） 22三．投影向量（共3小題） 23四．平面向量的基本定理（共1小題） 24五．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共2小題） 24六．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共4小題） 25七．平面向量的綜合題（共1小題） 26命題點(diǎn)二：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用 281.1母題精析（三年高考真題） 28一．向量的概念與向量的模（共1小題） 28二．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共15小題） 29三．平面向量的基本定理（共1小題） 42四．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共1小題） 43五．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共1小題） 43六．正弦定理（共1小題） 44七．余弦定理（共1小題） 45八．三角形中的幾何計(jì)算（共2小題） 451.2解題模型 471.3對點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?47一．向量的概念與向量的模（共1小題） 47二．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共17小題） 48三．平面向量的基本定理（共4小題） 62四．正弦定理（共1小題） 64五．三角形中的幾何計(jì)算（共1小題） 65六．解三角形（共2小題） 66三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）： 68一．向量的概念與向量的模（共1小題） 68二．平面向量的線性運(yùn)算（共1小題） 68三．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共26小題） 69四．投影向量（共2小題） 86五．平面向量的基本定理（共2小題） 87六．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（共1小題） 88七．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共3小題） 88八．正弦定理（共1小題） 90九．解三角形（共1小題） 90一、主干知識歸納與回顧4.1.平面向量的概念1.平面向量的概念：向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的模：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作.零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作. 單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量.平行（共線）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.記作：.規(guī)定：零向量與任意向量平行.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.4.2.平面向量的運(yùn)算2.1.向量的加法運(yùn)算1.向量加法的法則：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.2.≤（當(dāng)且僅當(dāng)與方向方向相同時(shí)等號成立）.3.向量加法的運(yùn)算律：交換律：結(jié)合律：2.2.向量的減法運(yùn)算1.相反向量：與長度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.記作.2.向量減法的定義：加上的相反向量，叫做與的差.3.向量減法的法則：三角形法則.2.3.向量的數(shù)乘運(yùn)算1.數(shù)乘的定義：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作：，它的長度和方向規(guī)定如下：⑴；⑵當(dāng)時(shí),的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí),的方向與的方向相反.2.運(yùn)算律：；；3.線性運(yùn)算：向量的加.減.數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.4.平面向量共線定理：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使.2.4.向量的數(shù)量積1.向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量，，O是平面上的任意一點(diǎn)，作,則叫做向量與的夾角.2.與垂直：如果與的夾角是，則與垂直，記作.3.數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即.4.投影向量：向量在上的投影向量：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作,過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.設(shè)與同方向的單位向量為，與的夾角為，則.5.數(shù)量積的性質(zhì)：（1）（2）（3）或（4）6.數(shù)量積的運(yùn)算律：（1）（2）（3）結(jié)論：，.4.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示3.1平面向量基本定理平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使.叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1.正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與軸.軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為,取作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實(shí)數(shù),使得，這樣平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定,我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標(biāo),記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示.3.3平面向量加.減運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.設(shè)，則：⑴，⑵，即：兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）2.已知，則.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.設(shè)，則.2.設(shè),則向量共線的充要條件是.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1.設(shè)，則：（1）（2）（3）（4）（5）設(shè)，則：.（一）命題角度剖析1.平面向量的概念與運(yùn)算★★★★☆2.平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用★★★☆☆（二）考情分析高考頻率：100%試題難度：中等呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題（三）高考預(yù)測試題以平面向量的基本運(yùn)算為主，考查平面向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角與模.著重考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、題型分類與預(yù)測命題點(diǎn)一：平面向量的概念與運(yùn)算1.1母題精析（三年高考真題）一．向量的概念與向量的模（共1小題）1．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足，，則．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)及方程思想，即可求解．【解答】解：，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)及方程思想，屬基礎(chǔ)題．二．向量相等與共線（共1小題）2．（2022?全國）已知向量，．若，則A． B． C． D．【分析】由已知可得，計(jì)算即可．【解答】解：，，．，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查兩向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．三．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共3小題）3．（2021?甲卷）若向量，滿足，，，則．【分析】由題意首先計(jì)算，然后結(jié)合所給的條件，求出向量的模即可．【解答】解：由題意，可得，因?yàn)?，，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算和向量的模，屬于基礎(chǔ)題．4．（2021?新高考Ⅱ）已知向量，，，則．【分析】或或，三等式兩邊平方可解決此題．【解答】解：方法1：由得或或，或或，又，，，，，，，，．故答案為：．方法．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2022?乙卷）已知向量，滿足，，，則A． B． C．1 D．2【分析】利用，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)橄蛄?，滿足，，，所以，兩邊平方得，，解得，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．四．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題）6．（2020?浙江）已知平面單位向量，滿足．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是．【分析】設(shè)、的夾角為，由題意求出；再求，的夾角的余弦值的最小值即可．【解答】解：設(shè)、的夾角為，由，為單位向量，滿足，所以，解得；又，，且，的夾角為，所以，，；則，所以時(shí)，取得最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角的運(yùn)算問題，是中檔題．7．（2022?乙卷）已知向量，，則A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先計(jì)算的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)模長公式求解．【解答】解：，故，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題．五．平面向量的基本定理（共1小題）8．（2022?新高考Ⅰ）在中，點(diǎn)在邊上，．記，，則A． B． C． D．【分析】直接利用平面向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而得解．【解答】解：如圖，，，即．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．六．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共3小題）9．（2023?甲卷）向量，，且，則，A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，用、表示，利用模長公式求出，，再計(jì)算與的數(shù)量積和夾角余弦值．【解答】解：因?yàn)橄蛄?，，且，所以，所以，即，，解得，，所以，又，，所以，，所以，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長夾角的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．10．（2023?甲卷）已知向量，，則，A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，求出和的坐標(biāo)，進(jìn)而求出、和的值，進(jìn)而由數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，則，，則有，，，故，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量的夾角，涉及向量的數(shù)量積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．11．（2022?新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，則A． B． C．5 D．6【分析】先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，再由，，，利用向量夾角余弦公式列方程，能求出實(shí)數(shù)的值．【解答】解：向量，，，，，，，，，解得實(shí)數(shù)．故選：．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量夾角余弦公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．七．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共1小題）12．（2023?新高考Ⅰ）已知向量，．若，則A． B． C． D．【分析】由已知求得與的坐標(biāo)，再由兩向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系列式求解．【解答】解：，，，，由，得，整理得：，即．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量加法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．1.2解題模型1．平面向量基本定理和性質(zhì)（1）共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．（2）平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個(gè)線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．推論1：若，則．推論2：若，則．（3）線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB（4）三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在，使得．（5）中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．DDACB2．平面向量數(shù)量積的類型及求法：（1）平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式．（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡．2．平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：（1）求夾角的大?。喝?，為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得（夾角公式），所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角．3．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：（1）向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．②基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解．【注】用坐標(biāo)法解題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)幕祝?）用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．4．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．（2）求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．（3）解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．（4）解三角形．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題．5．用向量法解決物理問題的步驟如下：（1）抽象出物理問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（2）建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；（3）利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；（4）用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問題．6．常見的向量表示形式：（1）重心．若點(diǎn)G是的重心，則或（其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）．反之，若，則點(diǎn)G是的重心．（2）垂心．若H是的垂心，則．反之，若，則點(diǎn)H是的垂心．（3）內(nèi)心．若點(diǎn)I是的內(nèi)心，則．反之，若，則點(diǎn)I是的內(nèi)心．（4）外心．若點(diǎn)O是的外心，則或．反之，若，則點(diǎn)是的外心．已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）1.3對點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹┮唬矫嫦蛄繑?shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共14小題）1．（2023?福州模擬）已知向量在單位向量上的投影向量為，則A． B． C．3 D．5【分析】根據(jù)投影向量的概念，即可求解．【解答】解：向量在單位向量上的投影向量為，又，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查投影向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．2．（2023?泉州模擬）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為A．1 B． C．2 D．4【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量的模的運(yùn)算及重要不等式的應(yīng)用求解即可．【解答】解：已知平面向量，，滿足，設(shè)，，，又，，，，即，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最小值為2，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量的模的運(yùn)算及重要不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．3．（2022?福州模擬）已知平面向量，，均為單位向量，且，則的最大值為A． B． C．1 D．【分析】利用和向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得，并將所求式子化為，由可求得結(jié)果．【解答】解：，，，，，的最大值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算以及最大值問題，屬于中檔題．4．（2022?福州模擬）已知向量，為單位向量，且，則A． B．3 C． D．5【分析】由題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求得答案．【解答】解：由題意可得，，則，故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)量積的應(yīng)用，考查學(xué)生運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2022?龍巖模擬）已知，，，，則與的夾角為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，求出、和的值，有向量數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，，，，則，，則，，，則與的夾角為；故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2021?泉州一模）已知單位向量，滿足，且，則，A． B． C． D．【分析】利用已知條件求出的長度，，然后求解向量數(shù)量積的余弦函數(shù)值，再求解，．【解答】解：單位向量，滿足，且，所以．，所以，，所以，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．7．（2019?漳州二模）已知向量，滿足，且與夾角為，則A．6 B． C． D．7【分析】先去括號再用數(shù)量積的性質(zhì)運(yùn)算可得．【解答】解：故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．8．（2021?漳州模擬）已知向量與的夾角為，，，則A．2 B． C．4 D．【分析】直接利用向量的數(shù)量積的求法，化簡求解即可．【解答】解：向量與的夾角為，，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．9．（2021?龍巖模擬）已知，，且與的夾角為，則A． B．1 C．2 D．3【分析】利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡求解即可．【解答】解：，，且與的夾角為，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積的求法，是基礎(chǔ)題．10．（2023?泉州模擬）已知向量，，則下列說法正確的是A．若，則 B．若，則 C．的最大值為2 D．的取值范圍是，【分析】由平面向量共線及垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合平面向量的模的運(yùn)算及三角函數(shù)值域的求法逐一判斷即可得解．【解答】解：已知向量，，對于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，則，即選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，若，則，即，則，，即選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，，，即的最大值為2，即選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，，則，，即選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量共線及垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的模的運(yùn)算及三角函數(shù)值域的求法，屬基礎(chǔ)題．11．（2023?福建模擬）已知向量，，則A． B． C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是【分析】先計(jì)算和，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可判斷選項(xiàng)，由模長的計(jì)算方法可判斷選項(xiàng)，根據(jù)投影向量的計(jì)算方法可判斷選項(xiàng)和．【解答】解：因?yàn)椋?，所以，，選項(xiàng)，，所以不成立，即錯(cuò)誤；選項(xiàng)，，，所以，即正確；選項(xiàng)，，，，所以在上的投影向量為，，即正確；選項(xiàng)，，，，所以在上的投影向量為，，，，即錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，投影向量的求法，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．（2023?莆田模擬）已知向量，均為單位向量，與夾角為，則．【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：由已知可得：，．．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了單位向量、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2022?莆田模擬）已知向量，若，則或．【分析】根據(jù)題意，求出的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，則，若，則，解可得或，故答案為：或．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題．14．（2022?三明模擬）若單位向量，滿足，則與的夾角為．【分析】根據(jù)題意，由向量數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系可得，變形可得，結(jié)合的范圍可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)向量，夾角為，若，則，則有，又由，，則，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．二．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題）15．（2023?泉州模擬）已知，為單位向量，，則．【分析】由題可得，再代入即得．【解答】解：因?yàn)?，為單位向量，，所以，所以，則．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了向量的模長公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（2022?泉州模擬）已知向量，，若的夾角為，則．【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，，的夾角為，所以，則．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．三．投影向量（共3小題）17．（2023?泉州模擬）已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，對兩邊同時(shí)平方得到，再由投影向量的定義即可求解．【解答】解：由已知條件得：，即，又在方向上的投影向量為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（2023?福州模擬）已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，以及投影向量的公式，即可求解．【解答】解：因?yàn)?，與的夾角為，所以，則在上的投影向量為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量的數(shù)量積公式，以及投影向量的求法，屬于基礎(chǔ)題．19．（2023?三明三模）若向量，滿足，與垂直，則在上的投影向量為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及投影向量的公式，即可求解．【解答】解：，與垂直，則，即，，故在上的投影向量為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．四．平面向量的基本定理（共1小題）20．（2022?寧德模擬）已知點(diǎn)是的中線上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．若，則的最小值為A．4 B．6 C．8 D．9【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則可得，再由，，三點(diǎn)共線，知，然后利用基本不等式中的“乘1法”，得解．【解答】解：因?yàn)橹芯€，所以，所以，又，，三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為8．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量基本定理，熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算法則，基本不等式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．五．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共2小題）21．（2021?三元區(qū)校級模擬）已知向量，，且與共線，則A． B． C． D．【分析】由與共線，先求出與，再由向量共線的性質(zhì)列出方程，能求出．【解答】解：向量，，與共線，，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．22．（2023?龍巖模擬）已知向量，若，則．【分析】先求出，再由平行向量的坐標(biāo)表示即可得出答案．【解答】解：由可得：，又因?yàn)?，由，可得：，解得：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．六．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共4小題）23．（2023?莆田模擬）已知向量，，若，則A．0 B． C．1 D．2【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【解答】解：由題意可得：，若，則，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．24．（2022?泉州模擬）已知向量，，且，則的值為A． B． C．1 D．2【分析】由題意，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求得的值．【解答】解：向量，，且，，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．25．（2022?福建模擬）已知向，，，若，則實(shí)數(shù)．【分析】根據(jù)即可得出，再根據(jù)即可求出的值．【解答】解：，，且，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．26．（2022?莆田模擬）已知向量，，，若，則．【分析】由題意，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，計(jì)算求得的值．【解答】解：向量，，，，則，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．七．平面向量的綜合題（共1小題）27．（2022?廈門模擬）已知，為單位向量，滿足，則的最小值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得，即，，建立坐標(biāo)系，分析的幾何意義，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，為單位向量，滿足，變形可得，則有，即，，如圖建立坐標(biāo)系，，，，，，，，，又由，即，在以為圓心，半徑為1的圓上，是該圓為圓，，則為圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又由，則的最小值為；故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量模的坐標(biāo)計(jì)算，屬于中檔題．命題點(diǎn)二：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用1.1母題精析（三年高考真題）一．向量的概念與向量的模（共1小題）1．（2020?江蘇）在中，，，，在邊上，延長到，使得．若為常數(shù)），則的長度是0或．【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得與的坐標(biāo)，再把的坐標(biāo)用表示．由列式求得值，然后分類求得的坐標(biāo)，則的長度可求．【解答】解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，得，整理得：，，，．由，得，解得或．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與重合，；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程可得，．即，，．的長度是0或．故答案為：0或．【點(diǎn)評】本題考查向量的概念與向量的模，考查運(yùn)算求解能力，利用坐標(biāo)法求解是關(guān)鍵，是中檔題．二．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共15小題）2．（2021?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，則A． B． C． D．【分析】法一、由已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別求得對應(yīng)向量的坐標(biāo)，然后逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得答案；法二、由題意畫出圖形，利用向量的模及數(shù)量積運(yùn)算逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．【解答】解：法一、，，，，，，，，，，，，則，，則，故正確；，，，故錯(cuò)誤；，，，故正確；，，，故錯(cuò)誤．故選：．法二、如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，作出單位圓，并作出角，，，使角的始邊與重合，終邊交圓于點(diǎn)，角的始邊為，終邊交圓于，角的始邊為，交圓于，于是，，，，由向量的模與數(shù)量積可知，、正確；、錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角和的三角函數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．3．（2023?乙卷）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則A． B．3 C． D．5【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解．【解答】解：正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，所以，，，，則．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?天津）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，，則可用，表示為；若，則的最大值為．【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及基本不等式的應(yīng)用求解即可．【解答】解：在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，則；設(shè)，，由余弦定理可得：，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又，則，則，即的最大值為．故答案為：；．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．5．（2022?北京）在中，，，．為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)條件，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，計(jì)算可得，進(jìn)而可利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解．【解答】解：在中，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，又，，所以，設(shè)，，所以，其中，當(dāng)時(shí)，有最小值為，當(dāng)時(shí)，有最大值為6，所以，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的最值問題，屬于中檔題．6．（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是，．【分析】以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出正八邊形各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，進(jìn)而得到，根據(jù)點(diǎn)的位置可求出的范圍，從而得到的取值范圍．【解答】解：以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，即的取值范圍是，，故答案為：，．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．7．（2021?天津）在邊長為1的等邊三角形中，為線段上的動點(diǎn)，且交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，則的值為1；的最小值為．【分析】設(shè)，表示出，，，利用數(shù)量積的定義與性質(zhì)即可求出．【解答】解：如圖，設(shè)，是邊長為1等邊三角形，，，，，，，是邊長為等邊三角形，，，則，，，的最小值為．故答案為：1，．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的定義，向量的運(yùn)算法則，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．8．（2020?山東）已知是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】畫出圖形，結(jié)合向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化判斷求解即可．【解答】解：畫出圖形如圖，，它的幾何意義是的長度與在向量的投影的乘積，顯然，在處時(shí)，取得最大值，，可得，最大值為6，在處取得最小值，，最小值為，是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，所以的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量在幾何中的應(yīng)用，是中檔題．9．（2020?天津）如圖，在四邊形中，，，，且，，則實(shí)數(shù)的值為，若，是線段上的動點(diǎn)，且，則的最小值為．【分析】以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的平行和向量的數(shù)量積即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，再設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積可得關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值．【解答】解：以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，解得，，，，，，，，設(shè)，則，其中，，，，，，當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為，故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了向量的共線和向量的數(shù)量積，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2019?江蘇）如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，，與交于點(diǎn)．若，則的值是．【分析】首先算出，然后用、表示出、，結(jié)合得，進(jìn)一步可得結(jié)果．【解答】解：設(shè)，，，，，，，，，．故答案為：【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的表示以及計(jì)算，考查計(jì)算能力．11．（2019?天津）在四邊形中，，，，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則．【分析】利用和作為基底表示向量和，然后計(jì)算數(shù)量積即可．【解答】解：，，，在等腰三角形中，，又，，，，又，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量基本定理和平面向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是選好基底，屬中檔題．12．（2022?上海）在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，則的最小值為．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再利用二次函數(shù)求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如下，則，，，直線的方程為，即，點(diǎn)在直線上，設(shè)，，，，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．13．（2020?北京）已知正方形的邊長為2，點(diǎn)滿足，則；．【分析】根據(jù)向量的幾何意義可得為的中點(diǎn)，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算和正方形的性質(zhì)即可求出．【解答】解：由，可得為的中點(diǎn)，則，，，故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查了向量的幾何意義和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14．（2020?上海）三角形中，是中點(diǎn)，，，，則．【分析】根據(jù)余弦定理即可求出，并得出，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．【解答】解：在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中點(diǎn)，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了余弦定理，向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（2018?天津）在如圖的平面圖形中，已知，，，，，則的值為A． B． C． D．0【分析】解法Ⅰ，由題意判斷，且，再利用余弦定理求出和的余弦值，計(jì)算即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨設(shè)四邊形是平行四邊形，由題意求得的值．【解答】解：解法Ⅰ，由題意，，，，，且，又，；，，．解題Ⅱ：不妨設(shè)四邊形是平行四邊形，由，，，，，知，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算問題，是中檔題．16．（2018?天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．3【分析】如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，求出，，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【解答】解：如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，過點(diǎn)做軸，過點(diǎn)做軸，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．三．平面向量的基本定理（共1小題）17．（2022?新高考Ⅰ）在中，點(diǎn)在邊上，．記，，則A． B． C． D．【分析】直接利用平面向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而得解．【解答】解：如圖，，，即．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．四．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共1小題）18．（2020?全國）設(shè)點(diǎn)，，在上，若，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，推得，即，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式，即可求解．【解答】解：設(shè)，，，即，，解得，，同理可得，，，△是等邊三角形，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．五．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共1小題）19．（2022?天津）在中，，，是中點(diǎn)，，試用，表示為，若，則的最大值為．【分析】由題意，利用兩個(gè)向量加減法及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，基本不等式，求出的最小值，可得的最大值．【解答】解：中，，，是中點(diǎn)，，如圖：．，，，即，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為，故的最大值為，即的最大值為，故答案為：；．【點(diǎn)評】本題主要考查兩個(gè)向量加減法及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．六．正弦定理（共1小題）20．（2022?甲卷）已知中，點(diǎn)在邊上，，，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．【分析】首先設(shè)出，，在兩個(gè)三角形中分別表示，，繼而，從而利用均值不等式取等號的條件即可．【解答】解：設(shè)，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：，要使得最小，即最小，，其中，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即或（舍去），即時(shí)取等號，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．七．余弦定理（共1小題）21．（2021?浙江）在中，，，是的中點(diǎn)，，則；．【分析】在、和中用余弦定理即可解決此題．【解答】解：在中：，，，解得：或（舍去）．點(diǎn)是中點(diǎn)，，，在中：，；在中：．故答案為：；．【點(diǎn)評】本題考查余弦定理應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．八．三角形中的幾何計(jì)算（共2小題）22．（2023?甲卷）在中，，，，為上一點(diǎn)，為的平分線，則2．【分析】在中，根據(jù)正弦定理可求出，從而可得，即得．【解答】解：如圖，在中，，，由正弦定理可得，，又，，，又為的平分線，且，，又，，．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查解三角形問題，正弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．23．（2019?浙江）在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則，．【分析】解直角三角形，可得，，在三角形中，運(yùn)用正弦定理可得；再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和差公式，計(jì)算可得所求值．【解答】解：在直角三角形中，，，，，在中，可得，可得；，，即有，故答案為：，，【點(diǎn)評】本題考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函數(shù)的恒等變換，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．1.2解題模型1.向量法解決平面幾何問題的“三步曲”一、轉(zhuǎn)化：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為向量問題二、運(yùn)算：通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系如距離、夾角等問題三、翻譯：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系2.向量法解決平面幾何問題的兩種方法用向量法解決平面幾何問題，一般來說有兩種方法.(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算，有時(shí)可選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底),將題中涉及的向量用基底表示.(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.一般地，題目中已建好平面直角坐標(biāo)系或易建平面直角坐標(biāo)系的問題適合用坐標(biāo)法.3.求平面幾何中的范圍或最值的方法(1)函數(shù)法：將待求式構(gòu)造成函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值的問題.(2)不等式法：將待求式利用絕對值不等式或均值不等式等進(jìn)行放縮.(3)坐標(biāo)法：在原圖以特殊點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，并將各點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，再結(jié)合題意求解.(4)幾何法：通過數(shù)形結(jié)合，找出最大(小)值.1.3對點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市模考）一．向量的概念與向量的模（共1小題）1．（2023?南平模擬）已知正方形的邊長為1，點(diǎn)滿足，則A． B．1 C． D．【分析】由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解．【解答】解：因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1，點(diǎn)滿足，所以為的中點(diǎn)，則．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共17小題）2．（2023?泉州模擬）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識別的一種生物識別技術(shù)．在人臉識別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，，，則曼哈頓距離，余弦距離，，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．已知，，則的最大值近似等于（參考數(shù)據(jù)：，．A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948【分析】根據(jù)題意分析可得在正方形的邊上運(yùn)動，結(jié)合圖象分析的最大值，即可得結(jié)果．【解答】解：設(shè)，由題意可得：，即，可知表示正方形，其中，，，，即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動，因?yàn)?，由圖可知：當(dāng)取到最小值，即最大，點(diǎn)有如下兩種可能：①點(diǎn)為點(diǎn)，則，可得；②點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，此時(shí)與同向，不妨取，則；因?yàn)?，所以的最大值為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．3．（2023?廈門模擬）已知定點(diǎn)在邊長為1的正方形外，且，對正方形上任意點(diǎn)，都有的面積，則的最大值為A． B． C．1 D．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，依題意在線段的垂直平分線上，根據(jù)面積公式及數(shù)量積的定義得到，即可確定的坐標(biāo)，設(shè)，表示出，再由不等式的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，在線段的垂直平分線上，又，即，，則，，即，設(shè)，則，，，解得或，又定點(diǎn)在邊長為1的正方形外，，設(shè)，則，，，若在線段上，則，，，此時(shí)，，則，，則，若在線段上，則，，，此時(shí)，，則，，則，若在線段上，則，，，此時(shí)，，則，，則，若在線段上，則，，，此時(shí)，，則，，則，綜上可得，的最大值為1．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算，考查分類討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．4．（2023?福建模擬）在中，，，，為所在平面上的一點(diǎn)，，則的最大值為A． B．25 C． D．【分析】建系，設(shè)，則，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及定點(diǎn)到圓上點(diǎn)最值求的最大值．【解答】解：以為原點(diǎn)，，分別為軸，軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，，，所以，而與的距離為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得的最大值為，的最大值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的最值的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．5．（2023?漳州模擬）已知的外接圓的圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，分析可得是的中點(diǎn)，由此可得，又由，分析有，可得，由投影向量的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，的外接圓的圓心為，由于，則是的中點(diǎn)，則為圓的直徑，必有，同時(shí)有，又由，則，又由，則，故向量在向量上的投影向量，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及投影向量的定義和計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023?廈門模擬）圓為銳角的外接圓，，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為A． B．， C． D．，【分析】把轉(zhuǎn)化為，由余弦定理、數(shù)量積的定義得，討論的位置得，結(jié)合銳角三角形恒成立，即可得范圍．【解答】解：由為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內(nèi)部，如下圖示，又，而，若外接圓半徑為，因?yàn)?，，，兩邊平方得，，，則，故，且，即，由，對于且在圓上，當(dāng)為直徑時(shí)，當(dāng)，重合時(shí)，，綜上，，銳角三角形中，則，即恒成立，，則恒成立，綜上所述，的取值范圍為，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2022?莆田模擬）已知是邊長為4的正三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為A．16 B．12 C．5 D．4【分析】延長到，使得，可得點(diǎn)在直線上，化簡可得，即可求出最小值．【解答】解：如圖，延長到，使得，因?yàn)椋渣c(diǎn)在直線上，取線段的中點(diǎn)，連接，則，顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)?，，則，所以最小值為，所以的最小值為，故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．8．（2022?廈門模擬）平面四邊形中，，，，，則的最小值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形建立平面直角坐標(biāo)系，從而求出的最小值．【解答】解：平面四邊形中，，，，，如圖所示：則點(diǎn)在以為直徑的圓劣弧上，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，其中，，則，，所以，，即的最小值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，是基礎(chǔ)題．9．（2022?漳州模擬）已知是邊長為2的正三角形，為線段上一點(diǎn)（包含邊界），則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【分析】通過建立坐標(biāo)系，設(shè)出的坐標(biāo)，化簡向量數(shù)量積的表達(dá)式，通過表達(dá)式的幾何意義，求解即可．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如圖：設(shè)，，，，，，直線的方程：，可得，它的幾何意義是線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方減去1，最小值為：到的距離的平方減去1，即，最大值為：．所以的取值范圍為：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．10．（2021?漳州模擬）已知直角梯形中，，，是邊上一點(diǎn)（不包括、兩點(diǎn)）．若，，且，則的最小值為A．0 B．2 C．3 D．4【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，，所以，，，設(shè)，，，所以，所以，所以，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值為3．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．11．（2021?莆田模擬）在中，若，，，則A．3 B． C．4 D．【分析】利用已知條件求解的余弦函數(shù)值，然后求解向量的數(shù)量積即可．【解答】解：在中，若，，，可得，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查新來的數(shù)量積的求法，三角函數(shù)求值，是基礎(chǔ)題．12．（2023?福建模擬）已知向量，，則A． B． C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是【分析】先計(jì)算和，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可判斷選項(xiàng)，由模長的計(jì)算方法可判斷選項(xiàng)，根據(jù)投影向量的計(jì)算方法可判斷選項(xiàng)和．【解答】解：因?yàn)?，，所以，，選項(xiàng)，，所以不成立，即錯(cuò)誤；選項(xiàng)，，，所以，即正確；選項(xiàng)，，，，所以在上的投影向量為，，即正確；選項(xiàng)，，，，所以在上的投影向量為，，，，即錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，投影向量的求法，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．13．（2023?福州模擬）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，則下列說法中正確的是A． B． C． D．【分析】分別求出對應(yīng)的向量坐標(biāo)，利用向量長度以及向量數(shù)量積的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)，所以，，即，正確；因?yàn)?，，，，則，，則，即，故正確；，，則，故正確；，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量模長以及向量數(shù)量積的運(yùn)算，利用向量坐標(biāo)公式以及兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．14．（2023?福建模擬）平面向量滿足，對任意的實(shí)數(shù)，恒成立，則A．與的夾角為 B．為定值 C．的最小值為 D．在上的投影向量為【分析】由題意可得：與的夾角，然后根據(jù)向量的運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，即可求解．【解答】解：設(shè)平面向量與的夾角為，對任意的實(shí)數(shù)，恒成立，對任意的實(shí)數(shù)，恒成立，又，對任意的實(shí)數(shù)，恒成立，△，，，選項(xiàng)正確；對選項(xiàng)，與變量有關(guān)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，取最小值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對選項(xiàng)，在上的投影向量為：，選項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)與定義，恒成立問題，投影向量的定義，化歸轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)思想，屬中檔題．15．（2022?荔城區(qū)校級模擬）四邊形為邊長為1的正方形，為邊的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【分析】本題，，選項(xiàng)利用三角形法則進(jìn)行線性運(yùn)算得到結(jié)果，選項(xiàng)將進(jìn)行轉(zhuǎn)化為從而進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：選項(xiàng)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)，，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)，，，，故選項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量三角形法則及數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?漳州模擬）已知長方體的底面是邊長為的正方形，若，則該長方體的外接球的表面積為；記，分別是方向上的單位向量，且，，則，為常數(shù)）的最小值為．【分析】根據(jù)長方體外接球直徑為長方體體對角線即可求出球半徑，得出球的面積，由所給條件可取與的方向相同或與的方向相同，問題可轉(zhuǎn)化為求平面上一點(diǎn)與的距離的最小值，即求到平面的距離得解．【解答】解：在中，，所以，，所以該長方體的外接球的半徑為，所以該長方體的外接球的表面積為．由，及可得，，，所以與的方向相同或與的方向相同，不妨取與的方向相同，由平面向量基本定理可得必與共面，在平面上取一點(diǎn)，故可設(shè)，則，所以其最小值為點(diǎn)到平面的最小值，即最小值為．故答案為：；．【點(diǎn)評】本題主要考查球的表面積公式，向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17．（2022?城廂區(qū)校級模擬）在正三角形中，是上的點(diǎn)，，，則．【分析】根據(jù)題意利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義、兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得的值．【解答】解：由題意可得，故答案為：6．【點(diǎn)評】本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．18．（2022?城廂區(qū)校級模擬）在中，，，，，則．【分析】由題意畫出圖形，由已知數(shù)量積求得，再由余弦定理求解．【解答】解：如圖，由，可得，由，得，，可得，則．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．三．平面向量的基本定理（共4小題）19．（2023?漳州模擬）如圖，在正方形中，，分別為邊、的中點(diǎn)，若，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到，，得到答案．【解答】解：，，故．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．20．（2022?寧德模擬）已知點(diǎn)是的中線上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．若，則的最小值為A．4 B．6 C．8 D．9【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則可得，再由，，三點(diǎn)共線，知，然后利用基本不等式中的“乘1法”，得解．【解答】解：因?yàn)橹芯€，所以，所以，又，，三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為8．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量基本定理，熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算法則，基本不等式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．（2021?福州一模）在中，為邊的中點(diǎn)，為邊上的點(diǎn)，，交于點(diǎn)．若，則的值為A．2 B．3 C．4 D．5【分析】設(shè)，可得，由，，三點(diǎn)在同一條直線上，可求得的值，即可得解．【解答】解：設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，三點(diǎn)在同一條直線上，所以，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的基本定理，三點(diǎn)共線的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．22．（2023?漳州模擬）已知，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為線段上異于，的動點(diǎn)，若，則的取值范圍是．【分析】利用向量得加減法，利用為基底，表示出，整理方程，結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由題意設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，又，則，所以，又因?yàn)?，由二次函?shù)得性質(zhì)得，所以得取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．四．正弦定理（共1小題）23．（2023?福州模擬）天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家梅文鼎，為清代“歷算第一名家”和“開山之祖”，在其著作《平三角舉要》中給出了利用三角形的外接圓證明正弦定理的方法．如圖所示，在梅文鼎證明正弦定理時(shí)的構(gòu)圖中，為銳角三角形外接圓的圓心．若，則A． B． C． D．【分析】易知，，再利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式即可得解．【解答】解：由圓的性質(zhì)可知，，而，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的求值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．五．三角形中的幾何計(jì)算（共1小題）24．（2022?荔城區(qū)校級模擬）如圖，已知為的重心，且，若，則角的大小為．【分析】取的中點(diǎn)，連接，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)和重心的性質(zhì)，可得，由，將其兩邊平方，并利用余弦定理，即可得解．【解答】解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹匦?，所以點(diǎn)在上，又，所以，，由，得，所以，即①，由余弦定理知，②，由①②可得，，因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算，余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．六．解三角形（共2小題）25．（2022?廈門模擬）埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時(shí)期著名的地理學(xué)家，他最出名的工作是計(jì)算了地球（大圓）的周長：如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進(jìn)該處一井內(nèi)而得到證明的）．同時(shí)在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上），其天頂方向與太陽光線的夾角測得為．因太陽距離地球很遠(yuǎn)，故可把太陽光線看成是平行的．已知駱駝一天走100個(gè)視距段，從亞歷山大城到賽伊尼須走50天．一般認(rèn)為一個(gè)視距段等于157米，則埃拉托斯特尼所測得地球的周長約為A．37680千米 B．39250千米 C．41200千米 D．42192千米【分析】首先讀懂題意，根據(jù)比例關(guān)系，即可求解地球周長．【解答】解：由亞歷山大城到賽伊尼走，則地球大圓周長的視距段為，則，得個(gè)視距段，則地球的周長為米千米．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形中的幾何計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．26．（2021?泉州二模）拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)正三角形，則這三個(gè)正三角形的中心恰為另一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)．”利用該定理可為任意形狀的市區(qū)科學(xué)地確定新的發(fā)展中心區(qū)位置，合理組織人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率達(dá)到最佳，因而在城市建設(shè)規(guī)劃中具有很好的應(yīng)用價(jià)值．如圖，設(shè)代表舊城區(qū)，新的城市發(fā)展中心，，分別為正，正，正的中心．現(xiàn)已知，，△的面積為，則的面積為．【分析】連接，，得，，，，進(jìn)一步可得，利用勾股定理求得，再由余弦定理，則的面積可求．【解答】解：如圖所示，連接，，由題意得：，，，，又，，又，，由勾股定理可得：，則，得，由余弦定理可得：又，解得，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查三角形的解法，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）：一．向量的概念與向量的模（共1小題）1．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）已知，，則A．2 B．4 C． D．【分析】由，兩邊平方可得，再由向量展開代入求解即可．【解答】解：由題意，可得，即，又，，代入可得，解得，所以，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了向量的線性運(yùn)算和模的求法，是基礎(chǔ)題．二．平面向量的線性運(yùn)算（共1小題）2．（2023?惠安縣模擬）在正方形中，在上且有，與對角線交于，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合向量的三角形法則及線性運(yùn)算，即可求解結(jié)論．【解答】解：如圖：在正方形中，在上且有，與對角線交于，，且，，可得，可得，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共26小題）3．（2023?泉州模擬）已知平面向量，，且，則A．1 B．14 C． D．【分析】根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解．【解答】解：因?yàn)椋?，所以，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?沙縣模擬）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是A． B． C． D．【分析】由向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可化簡已知等式得到，，根據(jù)向量夾角公式，結(jié)合推導(dǎo)出的等式可化簡得到，利用基本不等式可求得，由此可得的最大值．【解答】解：，即，，，即，，設(shè)向量與所成夾角為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量夾角最值的求解問題，向量的夾角公式，向量數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)思想，基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．5．（2023?惠安縣模擬）設(shè)向量與的夾角為，定義．已知向量為單位向量，，，則A． B． C． D．【分析】先閱讀題意，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及平面向量的模的運(yùn)算求解即可．【解答】解：已知向量為單位向量，則，又，解得，又，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．6．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）在矩形中，，．若，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【分析】先建系，求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、輔助角公式及三角函數(shù)值域的求法求解即可．【解答】解：在矩形中，，，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，又，則可設(shè)，其中，，則，，則，又，，則，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了輔助角公式及三角函數(shù)值域的求法，屬中檔題．7．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）在邊長為2的菱形中，，則的最小值為A． B． C． D．【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可．【解答】解：已知在邊長為2的菱形中，，則，則，又，，則當(dāng)時(shí)，取最小值．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．8．（2023?思明區(qū)校級模擬）已知平面向量，，，，且．若，則的最大值為A． B．10 C．2 D．5【分析】可設(shè)，夾角為，然后根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式得出，根據(jù)條件及即可求出答案．【解答】解：設(shè)，夾角為，則：，當(dāng)時(shí)取等號．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了向量數(shù)量積的計(jì)算公式，向量長度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023?思明區(qū)校級四模）已知直線與圓相交于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若平面上一動點(diǎn)滿足，則的取值范圍是A． B． C．， D．，【分析】由題意分析可得，從而得到，再由直線與圓的位置關(guān)系得到的取值范圍，從而求得．【解答】解：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，由平面向量數(shù)量積的幾何意義知：，直線與圓相交，圓心到直線的距離，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查用平面向量的數(shù)量積的幾何意義求平面向量的數(shù)量積的取值范圍和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．10．（2023?仙游縣校級模擬）以邊長為2的等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知為弧上的一點(diǎn)，且，則的值為A． B． C． D．【分析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可．【解答】解：如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，得，所以，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．11．（2023?鯉城區(qū)校級模擬）在中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則A． B．6 C． D．9【分析】先用，兩個(gè)向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可得到．【解答】解：，，因，所以，又，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023?思明區(qū)校級二模）在中，已知，，，若，且，則在上的投影向量為為與同向的單位向量），則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意得到，建系，得到，，的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)表示，最后分，，和四種情況討論的范圍．【解答】解：在中，，所以，如圖，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量和基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．13．（2022?荔城區(qū)校級模擬）已知正四面體的棱長為1，且，則A． B． C． D．【分析】利用向量減法的三角形法則和向量的數(shù)量積的定義和正四面體的定義即可求解．【解答】因?yàn)椋裕鶕?jù)向量的減法法則，得，所以，故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）設(shè)，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【分析】根據(jù)平面向量的基本定理以及向量數(shù)量積的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：．若，則，則無法判斷成立，故錯(cuò)誤，．當(dāng)時(shí)，與方向相同，則成立，當(dāng)時(shí)，與方向相反，則不成立，故錯(cuò)誤，．當(dāng)，不共線時(shí)，得成立，當(dāng)當(dāng)，共線時(shí)，得不一定成立，故錯(cuò)誤，．若，則成立，故正確，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則以及平面向量基本定理是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．15．（2022?上杭縣校級模擬）如圖，在平面四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，，，若，則實(shí)數(shù)的值是A． B． C．2 D．3【分析】由已知把的坐標(biāo)求出，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解．【解答】解：在平面四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，，，，由，得，即．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查劃歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．（2022?德化縣校級模擬）已知點(diǎn)，直線與圓相切于點(diǎn)，則的值為A． B． C．9 D．15【分析】由平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可．【解答】解：由，則，又，，則，則，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題．17．（2021?思明區(qū)校級模擬）在中，，，，，，則A． B．3 C．6 D．15【分析】由題意畫出圖形，利用已知結(jié)合向量的加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算即可求解的值．【解答】解：如圖所示，，．又，，則，即，又，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18．（2021?龍巖模擬）已知是圓外一點(diǎn)，過作圓的兩切線，切點(diǎn)為，，則的最小值為A． B． C．2 D．【分析】設(shè)，再把用表示，結(jié)合基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：圓，故圓的圓心為，半徑為的圓，如下圖所示，設(shè)，，則，則．當(dāng)時(shí)，不等式等號成立，故的最小值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角恒等變換，考查基本不等式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．19．（2016?福建模擬）平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【分析】先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求出，再建立坐標(biāo)系，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，問題得以解決．【解答】解：，，，，，，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以的垂線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，，，，設(shè)，則，，，，設(shè)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，（2），（5），的取值范圍是，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的坐標(biāo)的數(shù)量積和函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，屬于中檔題．20．（2023?新羅區(qū)校級模擬）已知向量，則下列說法正確的是A．若，則 B．若為銳角，則 C．若在上的投影向量為，則 D．的最小值為1，最大值為3【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷，由向量夾角的坐標(biāo)公式即可判斷，由投影向量即可判斷，由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可判斷．【解答】解：向量，若，則，解得，所以，故正確；若為銳角，則，且與不能同向共線，所以，故錯(cuò)誤；由題意可知，，即，解得，所以，故正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，則，所以，即，所以，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．21．（2023?泉州模擬）圓為銳角的外接圓，，則的值可能為A． B． C． D．【分析】利用正弦定理表示出，借助角表示出所求，根據(jù)為銳角三角形，結(jié)合圖形可得范圍，然后可得．【解答】解：記圓的半徑為，則，又，所以．因?yàn)闉殇J角三角形，如圖，易知，所以，所以，即．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．22．（2023?鯉