與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題同步練習(xí) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題1．底面半徑為eq\r(3)，母線長為2的圓錐的外接球O的表面積為()A．6πB．12πC．8πD．16π2．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面為直角三角形，且兩直角邊長分別為1和2eq\r(3)，此三棱柱的高為eq\r(3)，則該三棱柱的外接球的體積為()A.eq\f(8π,3)B.eq\f(16π,3)C.eq\f(32π,3)D.eq\f(64π,3)3．若圓錐的高等于其內(nèi)切球半徑長的3倍，則圓錐的側(cè)面積與球的表面積的比值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(4,3)4．有一個圓錐與一個圓柱的底面半徑相等，且圓錐的母線與底面所成角為60°，若圓柱的外接球的表面積是圓錐的側(cè)面積的4倍，則圓柱的高是其底面半徑的()A.eq\r(2)倍B．2倍C．2eq\r(2)倍D．3倍5．將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為()A.eq\f(\r(2)π,3)B.eq\f(\r(3)π,3)C.eq\f(4π,3)D．2π6．(多選)正四棱錐P－ABCD的底面積為3，外接球的表面積為8π，則正四棱錐P－ABCD的體積為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C．2eq\r(2)D.eq\r(2)7.某同學(xué)在實(shí)踐課上制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4eq\r(3)的正方體的六個面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，若其中一個截面圓的周長為4π，則該球的表面積為________．8.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，EF，AF把這個正方形折成一個四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G.若四面體A－EFG外接球的表面積為eq\f(π,4)，則正方形ABCD的邊長為________．9.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．相傳這個圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)．(1)求圓柱的體積與球的體積之比；(2)求圓柱的表面積與球的表面積之比．10．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB>1，點(diǎn)E在棱AB上移動，小螞蟻從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到點(diǎn)C1，所爬的最短路程為2eq\r(2).(1)求AB的長度；(2)求該長方體外接球的表面積．參考答案1.D2.C3.B[設(shè)球的半徑為r，則圓錐的高為3r，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為R，則圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)球心為點(diǎn)O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝r，AO＝AH－OH＝2r，sin∠OAM＝eq\f(OM,AO)＝eq\f(1,2)，∴∠OAM＝30°，∴R＝AH·tan∠OAM＝eq\r(3)r，則AB＝2R＝2eq\r(3)r，則圓錐的側(cè)面積為S1＝πR·2R＝π×eq\r(3)r×2eq\r(3)r＝6πr2，球O的表面積為S2＝4πr2，因此，圓錐的側(cè)面積與球的表面積的比值為eq\f(S1,S2)＝eq\f(6πr2,4πr2)＝eq\f(3,2).]4.B[設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，圓柱的外接球的半徑為R，則R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2.因?yàn)閳A錐的母線與底面所成角為60°，所以母線長l＝2r.所以圓錐的側(cè)面積為πl(wèi)r＝2πr2，所以4πR2＝4πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2))＝4×2πr2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2＝2r2，所以h2＝4r2，所以eq\f(h,r)＝2.]5.A[設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則2πr＝eq\f(2π,3)×3，解得r＝1，h＝eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則eq\f(R,2\r(2)－R)＝eq\f(1,3)，∴R＝eq\f(\r(2),2)，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2)π,3).]6.AB[因?yàn)檎睦忮FP－ABCD的底面積為3，所以底面邊長為eq\r(3)，因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e為8π，所以球的半徑r＝eq\r(2).連接AC，BD交于點(diǎn)O(圖略).①當(dāng)球心在線段PO上時，計算得PO＝r＋eq\r(r2－OA2)＝eq\r(2)＋eq\r(\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，所以正四棱錐P－ABCD的體積為eq\f(1,3)×3×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)；②當(dāng)球心在線段PO的延長線上時，計算得PO＝r－eq\r(r2－OA2)＝eq\r(2)－eq\r(\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，所以正四棱錐P－ABCD的體積為eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).]7.64π8.eq\f(\r(6),6)解析由題意，折疊后的四面體A－EFG如圖所示，設(shè)正方形邊長為a，四面體A－EFG外接球的半徑為r，則AG＝a，EG＝FG＝eq\f(a,2)，易知在折疊后的四面體A－EFG中，GA，GE，GF兩兩垂直，所以四面體A－EFG的外接球半徑r＝eq\f(\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2),2)＝eq\f(\r(6),4)a，聯(lián)立4πr2＝eq\f(π,4)，解得a＝eq\f(\r(6),6).9.解(1)設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，球的半徑為R，由已知得h＝2R，r＝R，∴V圓柱＝πr2h＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，∴eq\f(V圓柱,V球)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(2)∵S圓柱＝S側(cè)＋2S圓＝2πrh＋2πr2＝6πr2，S球＝4πr2，∴eq\f(S圓柱,S球)＝eq\f(6πr2,4πr2)＝eq\f(3,2).10.解(1)設(shè)AB＝x，點(diǎn)A到點(diǎn)C1的最短路程有兩種可能，如圖甲的最短路程為AC1＝eq\r(x2＋4).如圖乙的最短路程為AC1＝eq\r(x＋12＋1)＝eq\r(x2＋2x＋2)，∵x>1，∴x2＋2x＋2>x2＋2＋2＝