數(shù)學（天津卷03）-2024年高考押題預測卷（全解全析）

第第頁2024年高考押題預測卷03【天津卷】數(shù)學·全解全析一、單項選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設集合2，，，，則（

）A． B．2，C．2，4， D．【答案】B【解析】2，，，2，4，，又，2，，故選B．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，則，即，即，解得得，則不能推出，能推出，則“”是“”的必要不充分條件，故選B.3．函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致形狀是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定義域為R.因為，所以為奇函數(shù)，故排除A、C.當時，有，所以，，所以，故排除B，故選D4．2023年考研成績公布不久，對某?！败浖こ獭睂I(yè)參考的200名考生的成績進行統(tǒng)計，可以得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表值，則下列說法中不正確的是（

）A．這200名學生成績的眾數(shù)為370分B．這200名學生成績的平均分為377分C．這200名學生成績的70%分位數(shù)為386分D．這200名學生成績在中的學生有30人【答案】C【解析】顯然眾數(shù)是370，故A正確；平均分為，故B正確；設70%分位數(shù)為，則，得，故C錯誤；，故D正確.故選：C5．已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】,故，故選B.6．若，求（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以.故選A.7．若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側面以及底面都相切）的半徑為1，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為（

）A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．8：3【答案】A【解析】設圓錐的高為，底面半徑為，則當球面與圓錐的側面以及底面都相切時，軸截面如圖，由可得：，即，圓錐的體積．當且僅當，即時取等號．該圓錐體積的最小值為．內(nèi)切球體積為．該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比．故選：A．8．雙曲線的右焦點為，過作與雙曲線的兩條漸近線平行的直線且與漸近線分別交于、兩點，若四邊形（為坐標原點）存在外接圓，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，不妨設直線的方程為，直線的方程為，由題意可知，，，則四邊形為平行四邊形，則，由于平行四邊形存在外接圓，則，則，所以，，則，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.9．已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，；則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，；則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，函數(shù)有四個不同的零點，即兩函數(shù)與圖象有四個不同的交點如下圖所示由圖可知，是方程的兩根，即的兩根所以是方程的兩根，即的兩個所以故選：D二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．10．已知復數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則.【答案】【解析】由已知條件可得.11．的展開式中的系數(shù)為.【答案】【解析】由通項公式可得，即的系數(shù)為.12．由直線上的任意一個點向圓引切線，則切線長的最小值為.【答案】【解析】圓心坐標，半徑要使切線長最小，則只需要點到圓心的距離最小，此時最小值為圓心到直線的距離，此時，13．設，，若，則的最小值為.【答案】3【解析】由題意，因為，，滿足，所以，，且，則，當且僅當且，即時取得最小值.14．甲、乙、丙三人分別獨立地解一道題，甲做對的概率是，三人都做對的概率是，三人都做錯的概率是，則乙、丙兩人各自做對這道題的概率分別為，甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的概率為．【答案】，或，；【解析】設甲、乙、丙做對這道題分別為事件A、B、C，，由題意，，所以，解得或；設甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的事件為D，，所以甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的概率為.15．青花瓷，常簡稱青花，代表了我國古代勞動人民智慧的結晶，是中國瓷器的主流品種之一.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點在正六邊形的邊上運動，動點在圓上運動且關于圓心對稱.（i）請用表示；（ii）請寫出的取值范圍.【答案】【解析】（i）在圓上運動且關于圓心對稱，為中點，；（ii）；當為正六邊形頂點時，取得最大值；當與正六邊形的邊垂直時，取得最小值；六邊形為正六邊形，為正三角形，；作，則為中點，；，即的取值范圍為.三、解答題：本題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（本小題滿分14分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求a的值：(2)求證：；(3)的值【解】（1）由及余弦定理，得，因為，所以.（2）由及，得，由正弦定理得，因為，所以或.若，則，與題設矛盾，因此.（3）由（Ⅰ）得，因為，所以，所以，所以.另解：因為，所以.17．（本小題滿分15分）已知三棱錐中，平面，，，為上一點且滿足，，分別為，的中點．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的大??；(3)求點到平面的距離．【解】（1）因為平面，，如圖以為原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，則，所以，因為，所以.（2）設平面的法向量，，則，即，取，得，設直線與平面所成角為，則，又，所以，所以直線與平面所成角的大小為.（3）設點到平面的距離為，因為，所以，所以點到平面的距離為.18．（本小題滿分15分）記是等差數(shù)列的前項和，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，（?。┣蟮那绊椀暮?；（ⅱ）求.【解】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題知：，解得，，，所以，；（2）（?。?，，，則；（ⅱ），，則，則，故，故，又，故.19．（本小題滿分15分）已知橢圓過點，焦距是短半軸長的倍，(1)求橢圓的方程；(2)點是橢圓上的三個不同點，線段交軸于點異于坐標原點，且總有的面積與的面積相等，直線分別交軸于點兩點，求的值.【解】（1）設橢圓的半焦距為，由題意知，解得，橢圓的方程；（2）因為的面積與的面積總相等，故為的中點，結合對稱性可知兩點關于軸對稱，由題意直線斜率存在且不為0，并且縱截距不為0，設直線，故，，化簡得，由得，，設，則，則，直線，令得，，所以.20．（本小題滿分16分）設函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設函數(shù)（i）當時，取得極值，求的單調區(qū)間；（ii）若存在兩個極值點，證明：.【