第 4 章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 內(nèi)容提要 解讀與例析（3）-2021-2022學年高一上學期數(shù)學滬教版(2020)必修第一冊期末復習

【學生版】《第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》內(nèi)容提要解讀與例析【內(nèi)容提要】第五章內(nèi)容提要（見教材102頁）1、冪函數(shù)的定義域由指數(shù)決定.隨著指數(shù)的不同，冪函數(shù)的定義域是不同的.特別地，當指數(shù)取有理數(shù)時（為正整數(shù)，為整數(shù)），冪函數(shù)的定義域是使得根式有意義的的全體；2、冪函數(shù)有單調(diào)性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；3、指數(shù)函數(shù)（，）的定義域是全體實數(shù)；4、指數(shù)函數(shù)（，）有單調(diào)性；當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；5、對數(shù)函數(shù)的定義域是正數(shù)全體.6、對數(shù)函數(shù)有單調(diào)性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；【例析要點】1.函數(shù)的概念：1、冪函數(shù)的定義域由指數(shù)決定.隨著指數(shù)的不同，冪函數(shù)的定義域是不同的.特別地，當指數(shù)取有理數(shù)時（為正整數(shù)，為整數(shù)），冪函數(shù)的定義域是使得根式有意義的的全體；例1、已知冪函數(shù)，求此冪函數(shù)的解析式，并指出定義域?！咎崾尽俊窘馕觥俊菊f明】2、冪函數(shù)有單調(diào)性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；例2、（1）冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上的單調(diào)性與α有什么關系？（2）23.1和23.2可以看作哪一個函數(shù)的兩個函數(shù)值？二者的大小關系如何？（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一個函數(shù)的兩個函數(shù)值？二者的大小關系如何？【提示】【解析】【說明】比較冪值大小的方法：（1）若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；（2）若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；（3）若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)，使這個數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個底數(shù)相同，指數(shù)與另一個數(shù)的指數(shù)相同，那么這個數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，進而比較大小。3、指數(shù)函數(shù)（，）的定義域是全體實數(shù)；例3、（1）函數(shù)f(x)＝eq\r(4－2x)的定義域是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，＋∞)（2）函數(shù)y＝eq\f(1,2x－1)的值域是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)【提示】【答案】【解析】【說明】4、指數(shù)函數(shù)（，）有單調(diào)性；當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；例4、（1）已知函數(shù)，若函數(shù)在是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_______（2）比較下列各題中兩個值的大小：①1.82.2,1.83；②0.7－0.3,0.7－0.4；③1.90.4,0.92.4；5、對數(shù)函數(shù)的定義域是正數(shù)全體.例5、（1）函數(shù)的定義域為（2）函數(shù)y＝log(5－x)(2x－3)的定義域為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C．(4,5) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))∪(4,5)6、對數(shù)函數(shù)有單調(diào)性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；例6、（1）已知在上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________.（2）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是【教師版】《第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》內(nèi)容提要解讀與例析【內(nèi)容提要】第五章內(nèi)容提要（見教材102頁）1、冪函數(shù)的定義域由指數(shù)決定.隨著指數(shù)的不同，冪函數(shù)的定義域是不同的.特別地，當指數(shù)取有理數(shù)時（為正整數(shù)，為整數(shù)），冪函數(shù)的定義域是使得根式有意義的的全體；2、冪函數(shù)有單調(diào)性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；3、指數(shù)函數(shù)（，）的定義域是全體實數(shù)；4、指數(shù)函數(shù)（，）有單調(diào)性；當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；5、對數(shù)函數(shù)的定義域是正數(shù)全體.6、對數(shù)函數(shù)有單調(diào)性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；【例析要點】1.函數(shù)的概念：1、冪函數(shù)的定義域由指數(shù)決定.隨著指數(shù)的不同，冪函數(shù)的定義域是不同的.特別地，當指數(shù)取有理數(shù)時（為正整數(shù)，為整數(shù)），冪函數(shù)的定義域是使得根式有意義的的全體；例1、已知冪函數(shù)，求此冪函數(shù)的解析式，并指出定義域。【提示】注意：理解冪函數(shù)的定義；【解析】因為，為冪函數(shù)，所以，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.當m＝2時，m2－2m－3＝－3，則y＝x－3，且有x≠0；當m＝－1時，m2－2m－3＝0，則y＝x0，且有x≠0.故所求冪函數(shù)的解析式為，定義域為{x|x≠0}或y＝x0，定義域為{x|x≠0}；【說明】判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1；2、冪函數(shù)有單調(diào)性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；例2、（1）冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上的單調(diào)性與α有什么關系？（2）23.1和23.2可以看作哪一個函數(shù)的兩個函數(shù)值？二者的大小關系如何？（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一個函數(shù)的兩個函數(shù)值？二者的大小關系如何？【提示】注意：理解冪函數(shù)定義域的“交集”；【解析】（1）當α>0時，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當α<0時，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；（2）23.1和23.2可以看作函數(shù)f(x)＝2x的兩個函數(shù)值，因為函數(shù)f(x)＝2x單調(diào)遞增，所以23.1＜23.2；（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作冪函數(shù)f(x)＝x－0.2的兩個函數(shù)值，因為函數(shù)f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以2.3－0.2＜2.2－0.2；【說明】比較冪值大小的方法：（1）若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；（2）若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；（3）若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)，使這個數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個底數(shù)相同，指數(shù)與另一個數(shù)的指數(shù)相同，那么這個數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，進而比較大小。3、指數(shù)函數(shù)（，）的定義域是全體實數(shù)；例3、（1）函數(shù)f(x)＝eq\r(4－2x)的定義域是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，＋∞)（2）函數(shù)y＝eq\f(1,2x－1)的值域是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)【提示】注意：函數(shù)起點是定義域；【答案】（1）A；（2）；【解析】（1）因為，4－2x≥0，所以，2x≤4，所以，x≤2，則f(x)的定義域是(－∞，2]，故選A．（2）因為，2x－1＞－1，且2x－1≠0，所以，eq\f(1,2x－1)＜－1，或eq\f(1,2x－1)＞0，故選B；【說明】對于y＝af(x)這類函數(shù)：（1）定義域是指使f(x)有意義的x的取值范圍；（2）值域問題，應分以下兩步求解：①由定義域求出u＝f(x)的值域；②利用指數(shù)函數(shù)y＝au的單調(diào)性求得此函數(shù)的值域；4、指數(shù)函數(shù)（，）有單調(diào)性；當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；例4、（1）已知函數(shù)，若函數(shù)在是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_______（2）比較下列各題中兩個值的大?。孩?.82.2,1.83；②0.7－0.3,0.7－0.4；③1.90.4,0.92.4；【提示】注意：理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；【答案】（1）；（2）①1.82.2＜1.83；②0.7－0.3＜0.7－0.4；③1.90.4＞0.92.4；【解析】（1）因為函數(shù)在是嚴格增函數(shù)，所以，解得或，因此實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.（2）①因為，1.82.2,1.83可看作函數(shù)y＝1.8x的兩個函數(shù)值，因為，1.8＞1，所以，y＝1.8x在R上為增函數(shù)，則1.82.2＜1.83；②因為，y＝0.7x在R上為減函數(shù)，又因為，－0.3＞－0.4，則0.7－0.3＜0.7－0.4；③因為，1.90.4＞1.90＝1,0.92.4＜0.90＝1，所以，1.90.4＞0.92.4；【說明】比較冪值大小的方法：（1）單調(diào)法：比較同底數(shù)冪大小，構造指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大?。⒁猓好鞔_所給的兩個值是哪個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值；明確指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關系；最后根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)來判斷；（2）中間量法：比較不同底數(shù)冪的大小，常借助于中間值1進行比較，判斷指數(shù)冪和1的大?。?、對數(shù)函數(shù)的定義域是正數(shù)全體.例5、（1）函數(shù)的定義域為（2）函數(shù)y＝log(5－x)(2x－3)的定義域為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C．(4,5) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))∪(4,5)【提示】注意：遇對數(shù)先保證有意義；【答案】（1）[2，＋∞)；（2）D；【解析】(2018·江蘇卷)要使函數(shù)f(x)有意義，則log2x－1≥0，解得x≥2，即函數(shù)f(x)的定義域為[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)；（2）由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3>0，,5－x>0，,5－x≠1，))解得eq\f(3,2)<x<5，且x≠4，故選D；【說明】對于對數(shù)的定義域問題；主要是：底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0；6、對數(shù)函數(shù)有單調(diào)性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在