2023-2024學(xué)年湖南省高三高考數(shù)學(xué)押題模擬試題(二模)含解析

2023-2024學(xué)年湖南省高三高考數(shù)學(xué)押題模擬試題(二模)

一、單選題

1.設(shè)集合/={%,%,%，%}，若4的所有三元子集的三個(gè)元素之和組成的集合為

5={-1,3,5,8},則集合/=()

A.{-1,3,5,8}B.{-3,0,2,6}C.{4,8,10,13}D.{7,10,12,16}

【正確答案】B

%+%+%=—1

+%+處=3

【分析】不妨設(shè)％<%<%<%，由題意可得<，即可得解.

%+%+為=5

。2+。3+=8

【詳解】不妨設(shè)4<。3<。4，

則/的所有三元子集為{%,。2，。3}，{。1，。2，。4}，{%，。3，。4}，{。2，。3，%}，

Q]+%+%=—1

由題意可得

%+%+。4=8

因此集合/={-3,0,2,6}.

故選：B.

2.已知ABC,若對(duì)任意leR,|旗一比上麻|,貝|ABC一定為()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【正確答案】D

【分析】利用向量的?；?jiǎn)不等式，得出府|和同|的關(guān)系，即可得出45。的形狀.

【詳解】由題意，在中，令NABC=a,過/作4013。于D

BDC

?對(duì)任意leR,|詼一數(shù)

Z.|A4|2-2tBA-BC+t2|fic|2>|^1C|2,

令'=j/。,代入上式，得同：2網(wǎng)2COS%+cos%Wb研，

BP|s3|2sin2a>|及，，也即卜/卜ina>|^4c],

從而有|訪上|畫.

71

：.ZACB=-,

2

???/5C為直角三角形，

故選：D.

3.過雙曲線/=1的左焦點(diǎn)作直線/交雙曲線于4,2兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)2使得|/同=2的直

線/恰有3條，則力=()

A.2B.3C.4D.6

【正確答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可知：滿足題意的直線，其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于x軸

對(duì)稱，即可得到答案.

【詳解】左支內(nèi)最短的焦點(diǎn)弦=*=4,又2a=2,

a

所以與左、右兩支相交的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)22a=2,

因?yàn)閷?shí)數(shù)4使得|/回=4的直線/恰有3條，

根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可知：其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于無軸對(duì)稱.

如圖所示：

所以當(dāng)2=4時(shí)，有3條直線滿足題意.

故選：c

4.設(shè)0,6為正實(shí)數(shù)，^+1<2>/2,("6『=4(a力，則log/=()

A.V2B.IC.1D.-1

【正確答案】D

【分析】首先由(”32=4(“域得出(0+6)2=皿+4崎)3,由：+12也得出嗡詈W8,

代入得出1+。芯2,而4+而22,即二+曲=2,由基本不等式等號(hào)成立條件得出"=1,

ababab

即可得出答案.

【詳解】因?yàn)?"6)2=4(仍丫，

所以(〃+6)2=4ab+(a-b)2=4ab+43bj,

又因?yàn)椤狥—<2V2,

ab

所以空V2行，

ab

所以先善工8,

(ab)

所以4加4(仍)Mg,^—+ab<2,

(ab)2ab

又Lab22」Lab=2,當(dāng)且僅當(dāng)面=1時(shí)，等號(hào)成立，

abVab

所以工+=2,此時(shí)必=1,

ab

所以log/=log」=-1,

a

故選：D.

5.已知8$5。-5由5。<76足3。-853。)，6>G[0,2TU),則。的取值范圍是()

(分析】cos'。-sin5^<7(sin3^-cos3^)轉(zhuǎn)化為sin3^+ysin5^>cos%+ycos5^,利用增函數(shù)

性質(zhì)可得/3=/+夫5是(ro,+ao)上的增函數(shù)，故而Sin6>cos6,進(jìn)而得出答案即可.

［詳解］不等式cos'。-sin56><7(sin%-cos%)等價(jià)于sin36>+1sin50>cos30+|cos56?,

又/(%)=》3+；/是(-00,+8)上的增函數(shù),所以sin6>cose,

故2E+；<e<2E+g(左eZ).

715兀

因?yàn)椤?0,2內(nèi)，所以。的取值范圍是

4*T

故選：B

6.已知0"=」?(附20°W](n=l,2,…，95),則數(shù)列｛%｝中整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為()

A.13B.14C.15D.16

【正確答案】C

廠華〃〃、.g

【分析】整理知得%=仁心3丁200--n2丁400-5n，當(dāng)〃4c8c0r時(shí)i，只要20絲0—子，40[0—5均g為f整數(shù)即13rl

可，但當(dāng)”>80,2401f會(huì)出現(xiàn)小數(shù)，應(yīng)考慮C；。。中因子2的個(gè)數(shù)問題.

【詳解】因?yàn)?/p>

//—\200-n(1V20。-〃_n200-w200-wn_200f400-5”

%=/。?(探)=q00.63.22=6°.33.232=C；00.3—，2—,

要使%(1V〃V95)為整數(shù)，必有竺二，竺了均為整數(shù)，

36

當(dāng)〃=2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80時(shí)，20°—〃和400-5〃均

36

為非負(fù)整數(shù)，所以%為整數(shù)，共有14個(gè).

200!

當(dāng)”=86時(shí)，?=C^-338-2-5在C*中,

86086!114!

200200200200200200200

200!中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為~T++++FT++二197,

同理可計(jì)算得86!中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為82,114!中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為110,

所以C菰中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為197-82-110=5,故。86是整數(shù).

當(dāng)〃=92時(shí)，陽=《〉336.2一°,在C；*=染與中，同樣可求得92!中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為88,

92!10o!

108!中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為105,故C器中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為197-88-105=4,故須不是整數(shù).

因此，整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為14+1=15.

故選：C.

7T

7.在直三棱柱451cl-45。中，ABAC=—,AB=AC=AAX=1,已知G與E分別為4A和

CG的中點(diǎn)，D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).若GDLEF,則線段

DF長(zhǎng)度的取值范圍為

【正確答案】C

【詳解】根據(jù)直三棱柱中三條棱兩兩垂直，本題考慮利用空間坐標(biāo)系解決.建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出廠、。的坐標(biāo)，利用跖求得關(guān)系式，寫出。尸的表達(dá)式，然

后利用二次函數(shù)求最值即可.

解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則40,0,。)，E(0,1,I),

G(1,o,1),尸(x,0,0),D(0,y,0)

由于GD_L￡F,所以x+2y-l=0,

xe(0,l),?=,

DF=J/+V=^5(y-1)2+1

當(dāng)>=(2時(shí)，線段。尸長(zhǎng)度的最小值是不i

當(dāng)y=o時(shí)，線段。尸長(zhǎng)度的最大值是1

而不包括端點(diǎn)，故>=1不能??；

故選C.

8.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)

21

方多2分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為:，乙在每局中獲勝的概率為

且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)4的期望典0為()

241266C.也670

'?ITB.D.

8181243

【正確答案】B

【分析】設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，若該輪結(jié)束比賽停止則某一方連贏兩局，概率為

22

(|)+(1)=|;若比賽繼續(xù)，則甲、乙各得一分，概率為2，且對(duì)下一輪比賽是否停止無

影響.由此可計(jì)算自為2,4的概率，J為6時(shí)，可能被迫中止，只需計(jì)算前兩輪比賽不停止

的概率即可.

【詳解】解：依題意知，孑的所有可能值為2,4,6,

715

設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為(1)2+(§)2=--

若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪

比賽是否停止沒有影響.

從而有尸c=2)=：,=4)=(-)(-)=—,

99981

4為6時(shí)，即前兩輪比賽不分輸贏，繼續(xù)比第三輪

灤=6)=*哈，

ML匕c5420「16266

故E4=2x—+4x—+6x—=.

9818181

故選：B

二、多選題

9.已知采用分層抽樣得到的樣本數(shù)據(jù)由兩部分組成，第一部分樣本數(shù)據(jù)再?=1,2,…,打)的

平均數(shù)為三，方差為V；第二部分樣本數(shù)據(jù)%。=1,2,…的平均數(shù)為了，方差為設(shè)

亍4歹,s；4sj,則以下命題正確的是()

A.設(shè)總樣本的平均數(shù)為7,則元4彳47

B.設(shè)總樣本的平均數(shù)為7,則戈上千歹

C.設(shè)總樣本的方差為一,則

22

D.若加=%元=歹，貝)d二%±51

2

【正確答案】AD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)橛冢ㄊ?，由?'歹放縮可得下V7V歹；

m+nm+n

對(duì)于B選項(xiàng)，舉例說明B不正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，舉例說明C不正確；

22

對(duì)于D選項(xiàng)，若加="萬=7，代入總體方差計(jì)算公式，可得/=%士.

2

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)橛冢耍葬?”-元歹歹+」^歹=歹

m+nm+nm+nm+n

_m_nnt_n__.

z=-------x+-------y>-------%+-------x=x,Wflx<z<y,A正確；

m+nm+nm+nm+n

對(duì)于B選項(xiàng)，取第一部分?jǐn)?shù)據(jù)為L(zhǎng)U14，則亍=1,s；=0,取第二部分?jǐn)?shù)據(jù)為-3,9，則7=3,

52121

sj=36,則=（,xl+,x3）2=^<3=/J7,B不正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，取第一部分?jǐn)?shù)據(jù)為-2,-1,0,1,2,則元=0,s；=2,

取第二部分?jǐn)?shù)據(jù)為1,23,4,5,則>3,s；=2,則一已口號(hào)歹=有。+*3=|,

m5C9、59、17c2/十

s2=-------區(qū)+（牙一刃2]+」一一(2+一)d----(2+—)=——>2=s,C不正

m+nLJm+n1041044，

確;

對(duì)于D選項(xiàng)，若〃7=〃,元=5，貝|

2.2

S1=—^―r^+(x-z)2l+—r^+(y-z)2~|=5j,D正確.

m+n'-Jm+nLy」2

故選：AD.

10.如圖，48cz）-4B'C'D'為正方體.任作平面a與對(duì)角線NC垂直，使得&與正方體的每

個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S,周長(zhǎng)為/.則（）

A.S為定值B.S不為定值C./為定值D./不為定值

【正確答案】BC

【分析】作出輔助線，得到平面a,從而得到截面的周長(zhǎng)為定值，舉出例子得到面積不是定

值.

【詳解】將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與C'-D'B'C后，得到一個(gè)以平行平面與

D'B'C為上、下底面的幾何體匕

在4?上取一點(diǎn)E',作E'T//B，D',E'S//A'B,再作力W7/HD,MR//CD',QSUB'C,

則六邊形即為平面a,

%的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形沙的每一條邊分別與憶的底面上的一條邊

平行,

將修的側(cè)面沿棱/的剪開，展平在一張平面上，得到一個(gè)平行四邊形

而多邊形少的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中E'&）,顯然

故/為定值.

當(dāng)￡位于4的中點(diǎn)時(shí)，多邊形水為正六邊形，而當(dāng)中移至H處時(shí)，水為正三角形,

易知周長(zhǎng)為定值/的正六邊形與正三角形面積分別為巫尸與巫尸，故S不為定值.

2436

B'CD'

E/S.、八、八、/Bi

A'BDAy

故選：BC

b+\

11.已知函數(shù)/(x)=|lg(x+l)|,實(shí)數(shù)a,6（。＜6）滿足〃°）=/|一

b+2

/(10Q+6b+21)=41g2,貝?。?)

A.a+\=b+2B.（Q+。伍+2）=1

2

C.a=——D./?=-1

5

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)題目給出的等式“。）=/[-償），代入函數(shù)解析式得到。、b的關(guān)系，從而

判斷出/(10a+6b+21)的符號(hào)，再把〃10a+66+21)=41g2,轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)字母的式子即

可求解.

【詳解】?."(.)=(簧［，???旭(”+1)卜“霜+1卜/占)9+2)|，

Q+1=Z?+2或僅+2)=1,

又,：a<b,.?.a+lwb+2,(tz+l)(6+2)=1,故A不正確，B正確；

又由/(。)=弛(。+1)|有意義知0<4+1,從而0<4+1<6+1<6+2,

于是0<a+l<l<b+2.

所以(104+66+21)+1=10(4+1)+6他+2)=6e+2)+^^>1.

從而〃100+66+21)=卜［60+2)+禺卜g66+2%.

又〃10a+66+21)=41g2,所以1g6e+2)+號(hào)=41g2,

故6(6+2)+^^=16.

解得6=—或6=-1(舍去).

1o

把6=-；代入(0+1)伍+2)=1解得a=-(.

21

所以。=-《，b=--,故C正確，D不正確.

故選：BC.

12.已知曲線G:%2—2秋+，=0("=12…).從點(diǎn)尸(T0)向曲線Q引斜率為kn(kn>0)的

切線/“，切點(diǎn)為匕(%,州).則下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為乙=二

B.若數(shù)列的前〃項(xiàng)和為北，則北=二1^

［nJ5+1)

C.當(dāng)〃6N*時(shí)，x2-x4-x6...x2n<.—

Vn

2Z

D.當(dāng)〃eN*時(shí)，lnx?-lnK>^~^

x?+y?

【正確答案】ABC

【分析】設(shè)直線/jy=《,（x+l）,方程聯(lián)立由A=0,可得當(dāng)=—二，y=〃4+1,從而可

判斷A,B；由4"2+4〃<4"2+4〃+1,得掃L<F，從而可判斷C；舉例即可判斷D,

2〃+1V?+1

如〃=4.

【詳解】設(shè)直線/“：y=笈”（x+i）,聯(lián)立/一2.+/=0,

得（1+4；）x~+（24;一2〃）x+左；=0,

2幾

則由A=0,即A=（2勺2_24一41V（1+左,2）=o,得左=7^菊（負(fù)值舍去）

所以可得當(dāng)=尸條:七，夕=k（1+x）=迤五I,故A正確;

1+mn+\'"+1

n2（2?+1）

y；_d+1『_2-+1_J_____],

n4nZ?2（H+1）n2（〃+

^1111111n2+2n

所"二i/+于下+…方而了=imr百故B正確;

對(duì)于C,由▼備得）懸

因?yàn)?〃2+4〃<4/+4〃+1,所以2〃（2〃+2）<（2〃+1）2,

所以『2〃（三1,所以（2幾工）〈匯2〃T幣YI,

0w

所以n

2〃+177+1

242n112

二—X—X…義----<—X—X---X

352〃+123

故C正確;

n

Xn_n+1=]

對(duì)于D,

ynn>j2n+lJ2-+1

n+1

因?yàn)椤‥N*,所以2〃+123,所以J2〃+1-VJ，所以?！?「W—，

J2〃+13

2%7

5

^lnx?-lny?-2("，即4

Xn+y

nyn5L+I

yn

神二lnx+±

令g(x)=lnx—-2,x￡0,---,

x+1x+13

14(1)2(6]

則g'(x)=——7----衣>OyVE,0,3I,

X(X+1)x(%+1y

不

所以函數(shù)g（x）在0,^-上單調(diào)遞增,

ln-+-^--2=l-lnV3<0

由g3Ll

3

得In區(qū)-21r<0,

%+1

y4

y4

所以當(dāng)〃=4時(shí)，In%-In匕〈生匚幻，故D錯(cuò)誤.

xn+y?

故選：ABC.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查圓的切線問題和數(shù)列不等式的證明問題，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出切線方

程，方程聯(lián)立由A=o,得出％=二，V=史亙，證明得到初二1<但口，從而可

?+1幾n+i2ny2n+l

比較％-x4-x??…x2?與p-的大小.

5Vn

三、填空題

13.直線x-2〉-1=0與拋物線了2=4尤交于A、B兩點(diǎn)，C為拋物線上的一點(diǎn)，ZXCS=90°.

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【正確答案】（1「2）或（9,一6）

【詳解】設(shè)，（』,％）、8（尤2，%）、C?22）

{x—2y—1=0,

由|r=4x,得了一8廣4=0.

%K一+%=8,

Ix.+=18,

又無?=2必+1,%=2%+1,貝J]1②

[xrx2=1.

因?yàn)?cB=90。,所以,S3；屈=0.故(產(chǎn)一4)(〃_引+(2">0⑵-')=0.

將方程組①、②代入上式并整理得

?-14/2-16/-3=0n"+1)(/+3乂41)=0.

顯然，/一41-1W0.否貝-t2-2x2t-l=0.

于是，點(diǎn)C在直線x-2y-l=0上，即點(diǎn)C與A或3重合.

所以，乙=一1,右=一3.故所求點(diǎn)C(l,-2)或C(9,一6).

故答案為(L-2)或(9,-6)

14.設(shè)/?是定義在R上的函數(shù)，若/(0)=2008，且對(duì)任意xeR,滿足f{x+2)-f(x)<3-2S

f(x+6)-/(x)>63-2\則/(2008)=

【正確答案】22008+2007

由/。+2)-〃尤)(3-2,可得/(x+6)-/(x)<63.2\從而可得/。+2)-/(尤)=3-2'.從而可求

“2008)的值.

【詳解】因?yàn)?(x+2)-故/(X+4)-〃X+2)W3-2"2=12.2',

/(X+6)-/(X+4)<3-2X+4=48-2X,

^/(x+6)-/(x)=/(x+6)-/(x+4)+/(x+4)-/(x+2)+/(x+2)-/(x)

<3-2i+12.2x+48-2i=63-2S而/(x+6)-/(x)>63-2x,

所以/(x+6)-/(x)=63.2\所以/(x+2)-/(x)=3-2\

^/(2008)=/(2008)-/(2006)+/(2006)-/(2004)+L+f

=3.22006+3.22004+L+3x2°+2008

i_產(chǎn)

=3x---------+2008=22008+2007,

1-4

故答案為.22°08+2007

本題考查不等式的性質(zhì)、等比數(shù)列的前〃和，注意利用夾逼的方法把不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)

系，本題屬于較難題.

15.一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為4指的正四面體封閉容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由

運(yùn)動(dòng)，則該小球表面永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是一

【正確答案】72應(yīng)

【詳解】試題分析：如圖甲，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，作平面44G〃平面/3C,與

小球相切于點(diǎn)。，則小球球心o為正四面體的中心，2。_1面480|,垂足。為

圖甲

因PD=4,=4?§?S^BCJOD，

故尸。=4。。=4,從而尸。=尸。一。。=4一=3.

記此時(shí)小球與面尸的切點(diǎn)為6,連接。耳，則

PP,=PO--OP^=V32-12=2V2.

考慮小球與正四面體的一個(gè)面（不妨取為P4B）相切時(shí)的情況，易知小球在面P48上最靠近邊

的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為4斯，如圖乙.記正四面體的棱長(zhǎng)為。，過耳作用尸/

于M.

M,

因/"尸耳=亳，有PM=PP\.cosMPP\=2?.個(gè)=a,故小三角形的邊長(zhǎng)

RE=PA-2PM=a-2&.

小球與面尸A3不能接觸到的部分的面積為

萬

S^PAB_S^EF=—（a2-（a-2V6）2）=3丘。-6下）.

4

又°=4而，所以，^-5股尸=246-675=1班.

由對(duì)稱性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為72G.

（1）三棱錐的體積公式；（2）分情況討論及割補(bǔ)思想的應(yīng)用.

16.如圖，在7x8的長(zhǎng)方形棋盤的每個(gè)小方格中各放一個(gè)棋子.如果兩個(gè)棋子所在的小方格

共邊或共頂點(diǎn)，則稱這兩個(gè)棋子相連.現(xiàn)從這56個(gè)棋子中取出一些，使得棋盤上剩下的棋子

沒有五個(gè)在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連.則最少取出個(gè)棋子才可能滿足

要求.

【分析】通過反證法證明任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，然后構(gòu)造一種

取法，共取走11個(gè)棋子，余下的棋子沒有五子連珠，最后得到答案.

【詳解】如果一個(gè)方格在第i行第/歹U，則記這個(gè)方格為億））.

第一步通過反證法證明若任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，

即五個(gè)棋子在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連.

假設(shè)可取出10個(gè)棋子，使余下的棋子沒有一個(gè)五子連珠.

如圖1,在每一行的前五格中必須各取出一個(gè)棋子，

后三列的前五格中也必須各取出一個(gè)棋子.

這樣10個(gè)被取出的棋子不會(huì)分布在右下角的陰影部分.

同理由對(duì)稱性，也不會(huì)分布在其他角上的陰影部分.第1、2行必在每行取出一個(gè)，

且只能分布在（1,4）、（1,5）、（2,4）、（2,5）這些方格.

同理（6,4）、（6,5）、（7,4）、（7,5）這些方格上至少要取出2個(gè)棋子.

在第1、2、3歹U，每列至少要取出一個(gè)棋子，

分布在（3,1）、（3,2）、（3,3）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（5,1）、（5,2）、（5,3）所在區(qū)域，

同理（3,6）、（3,7）、（3,8）、（4,6）、（4,7）、（4,8）、（5,6）、（5,7）、（5,8）所在區(qū)域內(nèi)至少取出

3個(gè)棋子.

這樣在這些區(qū)域內(nèi)至少已取出了10個(gè)棋子.

因此在中心陰影區(qū)域內(nèi)不能取出棋子.由于①、②、③、④這4個(gè)棋子至多被取出2個(gè)，

從而，從斜的方向看必有五子連珠了.矛盾，故假設(shè)不成立，則若任取10個(gè)棋子，則余下的

棋子必有一個(gè)五子連珠，

第二步構(gòu)造一種取法，共取走11個(gè)棋子，余下的棋子沒有五子連珠.

如圖2,只要取出有標(biāo)號(hào)位置的棋子，則余下的棋子不可能五子連珠.

綜上所述，最少要取走11個(gè)棋子，才可能使得余下的棋子沒有五子連珠.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過反證法證明任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠,

然偶利用圖形分析出取出固定標(biāo)號(hào)的棋子，則無法五子連珠.

四、解答題

17.已知4BC的內(nèi)角aB,C所對(duì)的邊a,b,c成等比數(shù)列.

3

（1）若cosB=:，/3C的面積為2,求/3C的周長(zhǎng);

siib4+cos/tanC

⑵求的取值范圍.

sinB+cos5tanC

【正確答案】（1）在'+0

-1V5+P

2'2

【分析】（1）利用等比中項(xiàng)公式與三角形面積公式求得6=6，再利用余弦定理與完全平方

公式求得a+c,從而得解；

（2）結(jié)合題意，先化簡(jiǎn)所求得求公式q的取值范圍即可，利用三角形兩邊之和大于第三邊

得到關(guān)于q的不等式組，從而得解.

【詳解】（1）因?yàn)?。?,c成等比數(shù)列，則/=因，

又cosB=1,0<S<7i,所以sin5=A/1-COS2B=j,

所以ABC的面積為sinB=ix,=2,故6=貝！Jac=62=5,

3

由余弦定理〃=a?+/—2t7ccos5=a?+/—2x5x—=+，—6,

即。2+=/+6=5+6=]],則（〃+c）=q?+2。。+c?=11+2x5=21,

所以Q+C=V21，故/BC的周長(zhǎng)為。+6+。=陰+石.

（2）設(shè)a,b,c的公比為0，貝!的，C=aq2,

而siib4+cos^tanC_siiL4cosC+cos^sinC_sin（，+C）_sin（兀-8）_sin5_b__

sinB+cos5tanCsinScosC+cos5sinCsin（S+C）sin（兀一4）sin4a'

因此，只需求q的取值范圍即可.

因Q,b,。成等比數(shù)列，最大邊只能是〃或C,因此a,b,。要構(gòu)成三角形的三邊，必需且

只需a+6〉c且6+c>a.

l-y/56+1

-----<q<-----

a+aq>aq1即q2-^-1<05/口22

故有不等式組解得

aq+aq1>ay/s—1-y/5+1

q>-----或q<-------

、22

從而避二L<g<?!,因此所求范圍為"A/5-1V5+T

22\2'27

已知數(shù)列｛七｝滿足：%=2/-3(/eR1K±l),%+]=色----_1/

18.

61n+2t〃—1

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)若/>0,試比較。計(jì)1與。，的大小.

2(f-1)

【正確答案】（1）a?-1,〃eN+且悌±1;(2)"〃+1>°n?

n

2(乙+1)

%+1〃一1

【分析】（1）由已知可得，令求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，即可求

"+1-1%+1「t—1

t"-l-

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

1^口-1)+(，"-)+-)],討論0<?、"1判

（2）通過（1）作差%用「%

斷（〃一1）+（〃7）+…、"1的符號(hào)，即可得結(jié)論.

2(%+1)

2(t"+i-l](a+1)。向+1_2(凡+1)_f]

【詳解】（1）原式可變形得：區(qū)」-----?-則

■n+1a〃+2〃—171+1-1%+2〃-1-…+2

記“一看，則。黑，整理得看-廣1,又一打一

22?

所以｛7｝是首項(xiàng)、公比均為1的等差數(shù)列，則二=〃，故

“bnn

2(f-1)

所以-1,〃eN+且/片±1.

n

2(f

（2）由（1）,作差可得：q

n(n

又加"_(1+/+/2+...+〃,=(/"-l)+(f+(f,

當(dāng)0</<1時(shí)，(〃-1)+(/"—/)+...+(〃一產(chǎn)|)<0且1-1<0；

當(dāng)，>1時(shí)，（〃-1）+（〃一力+...+（〃一產(chǎn)）>0且/-1>0

綜上，當(dāng)/>0且fwl時(shí)，f-1與—（1+/+廠H---1jj同號(hào)，即。用>.

19.類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1,由射線尸工,

PB,PC構(gòu)成的三面角P-NBC,NAPC=a,NBPC=B,ZAPB=y,二面角N-PC-B的

大小為。,則cosy=cosacosp+sinasin￡cos6.

（1）當(dāng)&、/時(shí)，證明以上三面角余弦定理；

（2）如圖2,四棱柱ABCD-4耳GA中，平面AA^Cl平面ABCD,N44c=60°,

NB4c=45°,

①求4/8的余弦值；

②在直線c。上是否存在點(diǎn)尸，使8P〃平面O&G?若存在，求出點(diǎn)尸的位置；若不存在，

說明理由.

【正確答案】（1）證明見解析；（2）①無；②當(dāng)點(diǎn)P在GC的延長(zhǎng)線上，且使CP=GC時(shí),

BPH平面D4G.

【分析】（1）過射線PC上一點(diǎn)H作府，尸C交尸N于M點(diǎn)，作尸C交尸3于N點(diǎn)，

連接，MN,可得乙VffiN是二面角Z-尸C-8的平面角.在△MV/?中和△MVH中分別用

余弦定理，兩式相減變形可證結(jié)論；

（2）①直接利用三面角定理（（1）的結(jié)論）計(jì)算；②連結(jié)4C,延長(zhǎng)GC至尸，使CP=GC,

連結(jié)5P,由線面平行的判定定理證明BPH平面。4。.

【詳解】（1）證明：如圖，過射線PC上一點(diǎn)〃作府，尸C交尸/于M點(diǎn)，

作HNLPC交PB于N點(diǎn)、,連接，MN

A

M

則AMHN是二面角N-尸C-3的平面角.

在△MAP中和△AGVH中分別用余弦定理，得

MN~^MP"+NP--IMP-NP-cosy,

MN2=MH1+NH2-2MH-NH-cos0,

兩式相減得—+貓Z—+2MH-NH-cos0=0,

/.IMP-NP-cos/=2PH2+2MH-NH-cos/

兩邊同除以2A/P*%?,得cosr=cosacos尸+sinasin/3cos6.

(2)①由平面44GC~L平面45cZ),知e=90。，

???由(1)得cos/4/B=cos/44C,cos/G4B,

VcosZ4^C=60°,cosZBAC=45°f

./…D'5E

??cosN&A.B——x=?

224

②在直線CG上存在點(diǎn)p,使BPII平面D&G.

連結(jié)4C,延長(zhǎng)CQ至P,使CP=GC,連結(jié)8尸，

在棱柱48co-4用CQ中，A^/ZAB,AB/JCD,

4月”>C,二四邊形A,BiCD為平行四邊形，

A\DUB\C.

在四邊形2Hpe中，B.B/JCP,

四邊形45PC為平行四邊形，

BfiUBP,

：.AXDIIBP,

又AXDu平面D4cl,BP<z平面D4G，

BPH平面Dg.

...當(dāng)點(diǎn)尸在CC的延長(zhǎng)線上，且使CP=C0時(shí)，8尸〃平面04G.

20.公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫(Oeme%)向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡

(APascM)提請(qǐng)了一個(gè)問題，帕斯卡和費(fèi)馬討論了這個(gè)問題，后來惠更斯

(C/A夕ge〃s)也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的

解答該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏M左局，誰便贏得全部賭注。元.每局甲

贏的概率為。(0＜。＜1),乙贏的概率為1-0,且每局賭錢相互獨(dú)立.在甲贏了機(jī)(加＜Q局，

乙贏了〃("＜Q局時(shí)，賭錢意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如

果出現(xiàn)無人先贏上局則賭錢意外終止的情況，甲、乙便按照賭錢再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全

部賭注的概率之比品：與分配賭注.

2

(1)甲、乙賭錢意外終止，若。=243,左=4,"?=2,〃=l,p=§,則甲應(yīng)分得多少賭注？

(2)記事件A為“賭錢繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)左=4,m=2,〃=1時(shí)賭錢繼續(xù)

4

進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率/(P),并判斷當(dāng)p21時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說

明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05,則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.

【正確答案】(1)216元；(2)"0)=1-(1+30(1-萬，是，理由見解析.

【分析】(1)設(shè)賭錢再進(jìn)行X局甲贏得全部賭注，甲必贏最后一局，最多再進(jìn)行4局，甲、

乙必有人贏得全部賭注，由此利用概率計(jì)算公式即可得解；

(2)設(shè)賭錢再進(jìn)行/局乙贏得全部賭注，同(1)的方法求出乙贏得全部賭注的概率，由對(duì)立事

件可得“P)，再利用導(dǎo)數(shù)求出/5)的最小值作答.

【詳解】(1)設(shè)賭錢再繼續(xù)進(jìn)行X局甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏，由題意知，

最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注，

當(dāng)X=2時(shí)，甲以4:1贏，所以尸(X=2)=[gj=g,

當(dāng)X=3時(shí)，甲以4:2贏，所以尸《=3)=以亭(1一?：=「

當(dāng)X=4時(shí)，甲以4:3贏，所以尸(X=4)=C；[x[-g)x|=^-,

484248

于是得甲贏得全部賭注的概率為4+=+=二

92727279

o

所以，甲應(yīng)分得的賭注為243X§=216元.

(2)設(shè)賭錢繼續(xù)進(jìn)行Y局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏,

當(dāng)丫=3時(shí)，乙以4:2贏，P(7=3)=(l-of,

當(dāng)1=4時(shí),乙以4:3贏,P(Y=4)=C^(l-p)3=3p(l-p)3,

從而得乙贏得全部賭注的概率為尸⑷=(1-of+3p(l-p)3=(1+30(1-p)3,

于是甲贏得全部賭注的概率=1-PQ)=1-(1+3p)(l-pF,

對(duì)f(P)求導(dǎo)得/'(0)=-3(1-^)3-(1+3/2)-3(1-op(-1)=12XI-pf，

44、

因14p<l,即八0)>0,從而有/(p)在《口上單調(diào)遞增，

于是得=/目=券，乙贏的概率產(chǎn)⑷最大值為1-瞿j=為=0.0272<0.05,

15/625625625

所以事件A是小概率事件.

21.作斜率為2的直線/與橢圓C：《+且=1交于A、3兩點(diǎn)(如圖)，且尸(30,后)在直

3364

線/的左上方.

(1)證明：AP48的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上;

(2)若/4尸8=60。，求AP4B的面積.

【正確答案】(1)見解析；(2)口述

49

【詳解】⑴設(shè)4(4必)、5(%2，歹2),直線/：?=++冽.①

將式①代入橢圓C的方程，并化簡(jiǎn)整理得2/+6mx+9m2-36=0.

EHiQ9m2-36y「五卜=力一/

則%1+x2=-3m,再超=-------PB

石一3后，~x2-3y/2

(必—卜2-3^")+(%—>^~)卜-3也)

故kpa+kpB二

1

+f-x2+m-

上式分子=-xx+m-

=~xix2+(加一+%2)—612(加一/2)

=|.勉廣+配2行)(一3加卜6魚(*閔

=3m2-12-3m2+641m-6y［2m+12

=0.

從而，kp/+kPB=。.

又點(diǎn)尸在直線/的左上方，因此，N/P5的角平分線是平行于了軸的直線.

所以，AP4B的內(nèi)切圓的圓心在直線x=3a上.

(2)若乙4尸3=60。，結(jié)合1的結(jié)論知原＞0=6，kPB=-^.

將直線Q：y-亞=6(x-36)，代入橢圓c的方程并消去了得

14/+9瓶(1-36卜+1813-36)=0.

因?yàn)樯鲜絻筛謩e是王、3百，所以，x=3@13一網(wǎng).

114

則|刃=麻可，一班|『之”

同理，回