2024年3月湖北省武漢市高三一模考試數(shù)學(xué)試卷及答案

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(省外8)

數(shù)學(xué)

(滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘)

2024.3

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.己知集合人=㈠|2*2+*—1<0},B={y|y=/g(x2+l)},貝|ACB=()

A.(-1,0]B.[0,1)C.(-1,0]D.[0,1)

2.若復(fù)數(shù)z滿足2z+3z=5—2i,則|z|=()

A.小B.2C.小D.乖

3.己知abWl,logam—2,/ogbm=3,則/ogabm=()

A.TB.TC.TD.7

OJOJ

4.將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同

的裝法種數(shù)為()

A.7B.8C.9D.10

5.設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,過拋物線上點(diǎn)P作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為Q,若/PQF

=30°,則PQ=()

42近3^

zi.33?4、2

6.法布里貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時(shí)，用光波依次透過n層薄膜，記光

波的初始功率為Po,記Pk為光波經(jīng)過第k層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第k層薄膜時(shí)光波的

透過率Tk=B=玄，其中k=l,2,3…n,為使得言》2024,則n的最大值為()

A.31B.32C.63D.64

7.如圖，在函數(shù)f(x)=s譏?x+(p)的部分圖象中，若fl=AB，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為()

2fR小T

A.2,2

C.小~y[2D.2-小

8.在三棱錐PABC中，AB=2w，PC=1,PA+PB=4,CA—CB=2,且PC_LAB,

則二面角PABC的余弦值的最小值為()

A亞31迎

zi.3R42u.5

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量〃=(cos仇sin3),b=(—3,4),則()

1

4-3

A.右a〃兒則tan<9=-gB.右a_L"則sin夕=5

C.la一加的最大值為6D.若/(a—/>)=0,貝電一方|=2加

10.將兩個(gè)各棱長(zhǎng)均為1的正三棱錐DABC和EABC的底面重合，得到如圖所示的六面

體，則()

A.該幾何體的表面積為羋

B.該幾何體的體積為半

C.過該多面體任意三個(gè)頂點(diǎn)的截面中存在兩個(gè)平面互相垂直

D.直線AD〃平面BCE

1—I—Y

11.已知函數(shù)加)=a(e*+l)lnq二彳)一-+1恰有三個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其由小到大分別為的,檢，

%3，貝!1()

A.實(shí)數(shù)4的取值范圍是(0,E)B.XI+X2+X3=0

C.函數(shù)g(x)=/(x)+/一%)可能有四個(gè)零點(diǎn)D.；?=ex3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在△ABC中，其內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若8=竽，b=6,/+，

=2^2ac,則AABC的面積為.

13.設(shè)橢圓卷+f=1的左、右焦點(diǎn)為Q，B，過點(diǎn)后的直線與該橢圓交于A，8兩點(diǎn)，

若線段的中垂線過點(diǎn)Fi，則BJ=.

14.“布朗運(yùn)動(dòng)”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，

容器由三個(gè)倉(cāng)組成，某粒子作布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉(cāng)的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰

倉(cāng)或者容器外，一旦粒子到達(dá)容器外就會(huì)被外部捕獲裝置所捕獲，此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束.已知該粒

子初始位置在1號(hào)倉(cāng)，則試驗(yàn)結(jié)束時(shí)該粒子是從1號(hào)倉(cāng)到達(dá)容器外的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛如｝對(duì)任意正整數(shù)w滿足2+2+-+^^=1—4.

。2。3anan+i2an+i

2

(1)若｛為｝為等差數(shù)列，求處；

2

(2)若ai=-7,求｛。〃｝的前“項(xiàng)和S”.

16.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐98c。中，底面ABC。是平行四邊形，PA=PB,DA=DB=y[2,AB

=2,PD=L點(diǎn)、E,尸分別為43和尸2的中點(diǎn).

(1)求證：CFLPE；

(2)若PE=1,求直線CF與平面尸2。所成角的正弦值.

17.(本小題滿分15分)

隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個(gè)行業(yè)，促進(jìn)了社會(huì)的快速發(fā)展.其中利

用人工智能生成的虛擬角色因?yàn)閾碛懈偷娜斯こ杀荆鸩饺〈鷤鹘y(tǒng)的真人直播帶貨.某

公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角

色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計(jì).

2023年82023年92023年102023年112023年122024年1

月月月月月月

月份編號(hào)X123456

銷售金額

15.425.435.485.4155.4195.4

y/萬(wàn)元

若y與尤的相關(guān)關(guān)系力以用線性回歸，慎型表示，回答如下問題：

(1)試求變量y與x的樣本相關(guān)系數(shù)《結(jié)果精確到0.01)；

(2)試求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)2024年2月份該公司的銷售金額.

n

A_AIAAS(Xi-x)(%—y)

參考公式和數(shù)據(jù)：經(jīng)驗(yàn)回歸方程上=h7十a(chǎn)?其中"-------:——

X(X/-X)2

z=l

n

T-Xiyi—ivcyA—A—

二-----------,a=y=l)JC>

Z%?—nx1

3

nn

Z（沏一x）（y「y）^iyi-nxy

樣本相關(guān)系數(shù)，一號(hào)-------F-------------------

（汨-x）弋石（y「y）2N條一4一孫②

6/g（?，一歹了

Z種=2463.4,7=20770.

4

18.(本小題滿分17分)

已知雙曲線E：，一*=1的左、右焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)2，其右準(zhǔn)線為1,點(diǎn)F2到直線1的距

|,過點(diǎn)F?的動(dòng)直線交雙曲線E于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，AB=6.

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線AFi與直線1的交點(diǎn)為P,求證：直線PB過定點(diǎn).

19.(本小題滿分17分)

gX-1

已知函數(shù)f(x)=^^.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(D)處的切線方程；

(2)求證：f(x)是其定義域上的增函數(shù)；

⑶若f(x)>ax,其中a>0且a#l,求實(shí)數(shù)a的值.

5

2023?2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（湖北武漢）

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1.B2.C3.D4.A5.A6.C7.B8.A9.ACD10.AC11.BCD

12.313.竿14.瞿

15.解：(1)由題意，-^―+~~H-----F---

。1〃2a2a3anan+i2Q〃+I

〃〃+1。八+22aH+2

兩式相減得-------=4（」一一」一），

。八+1。〃+2乙4八+2

化簡(jiǎn)得斯+2—斯+1=2.

即數(shù)列｛斯｝是從第2項(xiàng)起公差為2的等差數(shù)列.

若數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，則滿足42—41=2.

令〃=1,有=1—Y-,即〃2=工+].

2。2412

所以:=41+2,解得的=-2或〃1=口.

a\zz

由。2=。1+2/0,所以O(shè)分）

（2）?2=~+]=-3.

由（1）,數(shù)列｛斯｝是從第2項(xiàng)起公差為2的等差數(shù)列.

所以〃三2時(shí)，斯=奧+2（九一2）=2n—7.

(n—1)(故+斯)2

止匕時(shí)，="1+（〃2+。3+…+詼）=+

（〃一1）（—3+2〃一7）

2-

33

=*2

整理得Snn—6n-\~~（〃22）.

2

又Si=ai=一]也滿足上式，

一

233

所以Sn=n-6n+—.（13分）

16.（1）證明：如圖，取尸石的中點(diǎn)G,連接。G,FG.

由。A=Q5=也，AB=2,△0A3是等腰直角三角形.

此時(shí)。石=1,又尸。=1,所以PE_LZ）G.

因?yàn)殛?尸5,所以PEL4A

由尸G〃仍，所以PELLFG.

6

此時(shí)，CD"XB/IFG,有C,D,G,尸四點(diǎn)共面，

FGHDG=G,直線PE_L平面C￡)GE

由C尸u平面CDGF,所以CFLPE.Q分)

(2)解：由AB_LPE,ABIDE,5.PECiDE^E,所以直線AB_L平面P￡)E.

由PE=￡>E=PD=1,所以是等邊三角形.

以E為原點(diǎn)，EB,即所在直線分別為x軸、y軸，過點(diǎn)E且與平面A8CD垂直的直線

為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

尸(0,；,坐),D(0,I,0),8(1,0,0),C(2,1,0),尸(；，(，坐),

DP=(0,一；,坐)，法=(1,-1,0),設(shè)平面的法向量”=(x,y,z),

1,^3

n-DP=0,一下+2z=0n)

由，_即《取z=l,得到平面尸8。的一個(gè)法向量”=(5，小,

ji-DB—Q,

1).

又危=(|,1,一坐).設(shè)直線CF與平面尸8。所成角的大小為仇

則sin0=|cos〈"，F(xiàn)C〉尸回Q=干生=￥

|?|.|FC|巾,小7

所以直線CF與平面PBD所成角的正弦值為平

.(15分)

1+2+3+4+5+6

17.解：(1)由已知可得尤3.5，y

6

15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.4

6=854

又石(%,—X)2=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2=17.5,

所以一(%,—%)2—y)2=20\/70，

6

Yxiyi-6xy2463.4—6X85.4X3.5670

則樣本相關(guān)系數(shù)r=i6—16=

勺石(x,—x)音(?-y)2軍X20^75700

^0.96.(8分)

(2)設(shè)y關(guān)于尤的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為八，其中

6

4石孫—6xy2463.4—6X3.5X85.4268

￡(XLX)2(唔27

AA968

a=y~fX=S5A——Y~X3.5=-48.6,

所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為夕=半x-48.6.

7

把x=7代入得=219.4(萬(wàn)元).

所以預(yù)測(cè)2024年2月份該公司的直播銷售金額為219.4萬(wàn)元.(15分)

18.(1)解：設(shè)雙曲線的半焦距為c,則右準(zhǔn)線的方程為1：X穩(wěn).

a2卜2a

由題意，C——=—=2.

x2V2b2?b2

在方程苕=1中，令*=。,解得y=±/,所以.=6.

聯(lián)立解得a2=l,b2=3,

所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2—9=1.(5分)

(2)證明：當(dāng)直線AB與x軸不重合時(shí)，設(shè)其方程為x=my+2.

x2_j,

與雙曲線方程聯(lián)立：13'BP(3m2-l)y2+12my+9=0.

、x=my+2,

[,—12m

、yi-3m2-「

設(shè)A(xi，yi),B(X2，y2)，有＜

了42;/二i.

直線AFi的方程為丫=一七(x+2).

XlI乙

令x=|,得到點(diǎn)P坐標(biāo)g,2(^+2)),

所以直線PB的方程為(X2—g)(y—y?)—(y2(^4-2)X2)J

令y=0,得到直線PB與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：

丫2(X22)xiy2-5x2yi+2y2(myi+2)y2-5(my2+2)yi+2y2

一5yl2xiy2—5yi+4y22(myi+2)丫2—5yi+4y2

y2-2(xi+2)

-4myiy2-10yi+4y2-4myiy2-10(yi+y2)+14y2

2myiy2-5yi+8y22myiy2-5(yi+y2)+13y2

—36m+120m+14(3m2—l)84m+14(3m2—l)14

18m+60m+13(3m2—1)78m+13(3m2—1)13,

14

所以直線PB過點(diǎn)噌，0).

14

當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí)，直線PB也與x軸重合，也過點(diǎn)（行，0）.

14

綜上所述，直線PB過定點(diǎn)（百，0）.（17分）

女(x11)ex+1

19.(1)解：f(x)=-----3-----

f(l)=l,f(l)=e—1.

8

故切線方程為y=x+e—2.(3分)

(2)證明：f(x)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8).

令g(x)=(x—?jiǎng)tg，(x)=xex,令g，(x)=O,得x=0.

當(dāng)xVO時(shí),gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,g(x)>g(O)=O,所以？(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>0時(shí)，或x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)>g(O)=O,所以？(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以f(x)在(一8,0)和(0,+8)上都是增函數(shù).

令(p(x)=eX—l—x,(pr(x)=ex—1,令(p<x)=O,得x=0.

當(dāng)x<0時(shí)，(pr(x)<0,(p(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0,(pr(x)>0,(p(x)單調(diào)遞增.

廿一1

x<0時(shí)，(p(x)>(p(O)=O,ex-l-x>0,所以f(x)=F-<1.