2024年中考數(shù)學(xué)列方程解決問題重難題型分類練（九大考點(diǎn)）

列方程斛決問題重難題型分類練r九大考點(diǎn))

數(shù)字類

i.列方程解應(yīng)用題：

一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，假如把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)后，那么所得的

兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大36,求原來的兩位數(shù).

2.一個兩位數(shù)，個位數(shù)比十位數(shù)字大4,而且這個兩位數(shù)比它的數(shù)字之和的3倍大2,則這個兩位

數(shù)是.

3.有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5,假如把這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的位置對換，那么

所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143.求這個兩位數(shù).

(超級經(jīng)典題型)方程與數(shù)軸的融合

4.如圖，線段48=28厘米，點(diǎn)。和點(diǎn)C在線段上，且AC：BC=5：2,DC：AB=1：4.點(diǎn)尸

從點(diǎn)A動身以4厘米/秒的速度沿射線AD向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C所在位置后馬上依據(jù)原路

原速返回，到達(dá)點(diǎn)D所在位置后停止運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)B動身以1厘米/秒的速度沿著射線BC的

方向運(yùn)動，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)。所在的位置后停止運(yùn)動.點(diǎn)尸和點(diǎn)。同時動身，點(diǎn)。運(yùn)動的時間為/

秒.

(1)求線段AD的長度；

(2)當(dāng)點(diǎn)C恰好為尸。的中點(diǎn)時，求f的值；

(3)當(dāng)尸。=7厘米時，求f的值.

.3D0@5

.3D0@5

備用圖

5.已知AB=8,點(diǎn)P從點(diǎn)A動身，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運(yùn)動，M為線段AP的中

點(diǎn).設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為f秒.

(1)若點(diǎn)P在線段AB上，貝h=秒時，

(2)若點(diǎn)P在AB的延長線上(如圖)，設(shè)線段8尸的中點(diǎn)為N.

①線段MN的長度是否保持不變？請說明理由；

②是否存在f的值，使M、N、B三點(diǎn)中的某個點(diǎn)是其余兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？若存在，求出全部

滿足條件的f的值；若不存在，請說明理由.

AMBNPAB

(備用圖)

6.如圖所示，點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上的三個點(diǎn)，且A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù),AB=12,AC=%B.

(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是；

(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B動身沿著數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運(yùn)動，則經(jīng)過秒時，點(diǎn)C

恰好是8尸的中點(diǎn)；

(3)若點(diǎn)。從點(diǎn)A動身沿著數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運(yùn)動，線段QB的中點(diǎn)為M.當(dāng)MC

=2。8時，則點(diǎn)。運(yùn)動了多少秒？請說明理由.

-ACB>

三.行程類之一般相遇、追及

7.M、N兩地相距600A甲、乙兩車分別從M、N兩地動身，沿一條大路勻速相向而行，甲與乙

的速度分別為lOOh”//!和20加加，甲從M地動身，到達(dá)N地馬上調(diào)頭返回M地，并在M地停留

等待乙車抵達(dá)，乙從N地動身前往M地，和甲車會合.

(1)求兩車其次次相遇的時間；

(2)求甲車動身多長時間，兩車相距20歷".

8.甲、乙兩地相距72hw,一輛工程車和一輛灑水車上午6時同時從甲地動身，分另U以5?/隊(duì)V2加/人

的速度勻速駛往乙地.工程車到達(dá)乙地后停留了2/6沿原路以原速返回，中午12時到達(dá)甲地，

此時灑水車也恰好到達(dá)乙地.

(1)VI=,V2=；

(2)求動身多長時間后，兩車相遇？

(3)求動身多長時間后，兩車相距30初1?

四.行程類之車過隧道大橋

9.一列勻速前進(jìn)的火車，通過列車隧道.

（1）假如通過一個長300米的隧道從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道，共用15秒的時間（如

圖1）,又知其間在隧道頂部的一盞固定的燈發(fā)出的一束光垂直照射火車2.5秒，求這列火車的長

度；

（2）假如火車以相同的速度通過了另一個隧道CD,從火車車尾全部進(jìn)入隧道到火車車頭剛好到

達(dá)隧道出口（如圖2）,其間共用20秒時間，求這個隧道的長.

卜：：1______________________________E：;1

AB

圖1

I..IL一I

CD

圖2

10.一列動車以300km/h的速度過第一、其次個隧道，已知其次個隧道的長度比第一個隧道長度的

2倍還多1.5加，若該列動車過其次個隧道比第一個隧道多用了93秒，則其次個隧道的長度

是.

五.行程類之順?biāo)嫠?/p>

11.某人乘船由A地順流而下到達(dá)8地，然后又逆流而上到C地，共用了3小時.已知船在靜水中

速度為每小時8千米，水流速度是每小時2千米.已知A、B、C三地在一條直線上，若AC兩地

距離是2千米，則兩地距離多少千米？（C在A、B之間）

12.一只汽艇從A碼頭順流航行到8碼頭用2小時，從B碼頭返回到A碼頭，用了2.5小時，假如

水流速度是3千米/時，求：

（1）汽艇在靜水中的速度；

（2）A、B兩地之間的距離.

六.工程類

13.為慶祝建國七十周年，南崗區(qū)預(yù)備對某道路工程進(jìn)行改造，若請甲工程隊(duì)單獨(dú)做此工程需4個

月完成，若請乙工程隊(duì)單獨(dú)做此工程需6個月完成，若甲、乙兩隊(duì)合作2個月后，甲工程隊(duì)到期

撤離，則乙工程隊(duì)再單獨(dú)需幾個月能完成？

14.由于地鐵施工，需要拆除我校圖書館，七班級同學(xué)主動擔(dān)當(dāng)圖書館整理圖書的任務(wù)，假如由一

個人單獨(dú)做要用30小時完成，現(xiàn)先支配一部分人用1小時整理，隨后又增加6人和他們一起又

做了2小時，恰好完成整理工作，假設(shè)每個人的工作效率相同，那么先按排整理的人員有多少？

七.方案設(shè)計(jì)類

15.為了更好地落實(shí)“雙減”政策，豐富同學(xué)課后托管服務(wù)內(nèi)容，某校打算購買一批足球運(yùn)動裝備.經(jīng)

市場調(diào)查發(fā)覺：甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的足球隊(duì)服和足球，已知每套隊(duì)服比每

個足球多50元，兩套隊(duì)服與三個足球的費(fèi)用相等.

（1）求每套隊(duì)服和每個足球的價格各是多少？

（2）甲商場優(yōu)待方案是：每購買十套隊(duì)服，送一個足球；乙商場優(yōu)待方案是：若購買隊(duì)服超過80

套，則購買足球打八折.若該校購買100套隊(duì)服和a個足球（其中10且為整數(shù)），請通過計(jì)

算說明，學(xué)校接受哪種優(yōu)待方案更省錢？

①請用含a的式子表示：

甲商城所花的費(fèi)用，乙商城所花的費(fèi)用;

②當(dāng)購買的足球數(shù)a為何值時在兩家商場購買所花的費(fèi)用一樣？

16.為舉辦校內(nèi)文化節(jié)，甲、乙兩班預(yù)備給合唱同學(xué)購買演出服裝（一人一套），兩班共92人（其

中甲班比乙班人多，且甲班不足90人），下面是供貨商給出的演出服裝的價格表：

購買服裝的套數(shù)1套至45套46套至90套91套以上

每套服裝的價格60元50元40元

假如兩班單獨(dú)給每位同學(xué)購買一套服裝，那么一共應(yīng)付5020元.

（1）甲、乙兩班聯(lián)合起來給每位同學(xué)購買一套服裝，比單獨(dú)購買可以節(jié)省多少錢？

（2）甲、乙兩班各有多少名同學(xué)？

（3）假如甲班有10名同學(xué)被調(diào)去參與書畫競賽不能參與演出，請你為兩班設(shè)計(jì)一種最省錢的購

買服裝方案.

17.水資源透支現(xiàn)象令人擔(dān)憂，節(jié)省用水迫在眉睫.針對居民用水鋪張現(xiàn)象，重慶市政府和環(huán)保組

織進(jìn)行了調(diào)查，并制定出相應(yīng)的措施.

（1）據(jù)環(huán)保組織調(diào)查統(tǒng)計(jì)，全市至少有6義105個水龍頭、2X1（/個抽水馬桶漏水.若一萬個漏

水的水龍頭一個月能漏掉a立方米水；一萬個漏水的馬桶一個月漏掉b立方米水，則全市一個月

僅這兩項(xiàng)所造成的水流失量是多少？

（2）針對居民用水鋪張現(xiàn)象，市政府將制定居民用水標(biāo)準(zhǔn)：規(guī)定每個三口之家每月的標(biāo)準(zhǔn)用水

量，超過標(biāo)準(zhǔn)部分加價收費(fèi).若不超標(biāo)部分的水價為每立方米3.5元；超標(biāo)部分為每立方米4.2

元.某家庭某月用水12立方米，交水費(fèi)44.8元，請你通過列方程求出我市規(guī)定的三口之家每月

的標(biāo)準(zhǔn)用水量為多少立方米.

（3）在近期由市物價局進(jìn)行的水價聽證會上，有一代表提出一新的水價收費(fèi)設(shè)想：每天8：00至

22：00為用水高峰期，水價可定為每立方米4元；22：00至次日8：00為用水低谷期，水價可定

為每立方米3.2元.若某三口之家依據(jù)此方案需支付的水費(fèi)與（2）問所交水費(fèi)相同，又知該家庭

用水高峰期的用水量比低谷期少20%.請計(jì)算哪種方案下的用水量較少？少多少？

18.列一元一次方程解應(yīng)用題.

有一批共享單車需要修理，修理后連續(xù)投放騎用，現(xiàn)有甲、乙兩人做修理，甲每天修理16輛，乙

每天修理的車輛比甲多8輛，甲單獨(dú)修理完成這批共享單車比乙單獨(dú)修理完多用20天，公司每

天付甲80元修理費(fèi)，付乙120元修理費(fèi).

（1）問需要修理的這批共享單車共有多少輛？

（2）在修理過程中，公司要派一名人員進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，公司負(fù)擔(dān)他每天10元補(bǔ)助費(fèi)，現(xiàn)有三種

修理方案：①由甲單獨(dú)修理；②由乙單獨(dú)修理；③甲、乙合作同時修理，你認(rèn)為哪種方案最省錢，

為什么？

八.日常生活中的方程一水電類

19.列方程解應(yīng)用題：

為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，某市將要接受價格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)水目的，設(shè)計(jì)了如下的調(diào)控方案.

價目表

每月用水量單價

不超出10噸的部分2.5元/噸

超出10噸的部分3元/噸

（1）甲戶居民五月份用水12噸，則水費(fèi)為元.

（2）乙戶居民八月份繳納水費(fèi)40元，則該戶居民八月份用水多少噸？（列方程解答）

20.近日，無錫市進(jìn)展改革委印發(fā)《關(guān)于優(yōu)化調(diào)整居民階梯氣價政策有關(guān)事項(xiàng)的通知》，從2024年

1月1日起，增加一、二檔用氣量，“一戶多人口”政策同步調(diào)整.

氣量分檔年用氣量（立方米）價格（元/

調(diào)整前調(diào)整后立方米）

第一檔年用氣量W300年用氣量W4002.73

其次檔300＜年用氣量W600400＜年用氣量W10003.28

第三檔年用氣量＞600年用氣量＞10003.82

人口超過4人的家庭，每增加1人，一、二檔上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二檔

上限增加60立方米、120立方米）.

（1）若小明家有5口人，年用氣量1000立方米.則調(diào)整前氣費(fèi)為元，調(diào)整后氣費(fèi)為

元；

（2）小紅家有4口人，若調(diào)整后比調(diào)整前氣費(fèi)節(jié)省109元，則小紅家年用氣量為多少立方米？

九.（易錯題型）利潤，購物類

21.某超市第一次用3800元購進(jìn)了甲、乙兩種商品，其中甲種商品40件，乙種商品160件.已知

乙種商品每件進(jìn)價比甲種商品每件進(jìn)價貴5元.甲種商品售價為20元/件，乙種商品售價為25元

/件.

（1）甲、乙兩種商品每件進(jìn)價各多少元？

（2）該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部銷售完，可獲得多少利潤？

（3）該超市其次次又購進(jìn)同樣數(shù)量的甲、乙兩種商品.其中甲種商品每件的進(jìn)價不變，乙種商品

進(jìn)價每件少3元；甲種商品按原售價提價。％銷售，乙種商品按原售價降價“％銷售，假如其次次

兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多160元，那么。的值是多少？

22.甲、乙兩家超市新年期間推出優(yōu)待活動，推出如表購物優(yōu)待方案:

甲超市乙超市

消費(fèi)金額（元）優(yōu)待活動消費(fèi)金額（元）優(yōu)待活動

0~100（包含100）無優(yōu)待0—200（包含200）無優(yōu)待

100~350（包含350）一律享受九折優(yōu)待大于200超過200元的部共享

大于350一律享受八折優(yōu)待受八折優(yōu)待

（1）小王需要購買價格為240元的商品，去哪家店更劃算？

（2）小李帶了252元去購物、為了買到最多的商品，應(yīng)選擇哪家超市？最多能買到原價為多少元

的商品？

（3）小劉在甲超市購物、兩次購物分別付了80元和288元，假如小劉把這兩次購物改為一次性

購物，付款多少元？

23.某商店用3700元購進(jìn)A、8兩種玻璃保溫杯共80個，這兩種玻璃保溫杯的進(jìn)價、標(biāo)價如下表所

zK：

價格'類型A型B型

進(jìn)價(元/個)3565

標(biāo)價(元/個)50100

(1)這兩種玻璃保溫杯各購進(jìn)多少個?

(2)已知A型玻璃保溫杯按標(biāo)價的8折出售，B型玻璃保溫杯按標(biāo)價的7.5折出售.在運(yùn)輸過程

中有2個A型和1個2型玻璃保溫杯不慎損壞，不能銷售，請問在其它玻璃保溫杯全部售出的狀

況下，該商店共獲利多少元？

24.初一(1)班和初一(2)班的同學(xué)為了籌備班級元旦活動到超市上購買橙子，超市有促銷活動,

假如一次性所購橙子數(shù)量超過30千克，可以有肯定程度的優(yōu)待，價格如下：

原價優(yōu)待價

每千克價格3元2.5元

1班的同學(xué)先購買一次，發(fā)覺數(shù)量不夠，去超市再次購買，其次次購買數(shù)量多于第一次，兩次共

計(jì)購買48千克，2班的同學(xué)一次性購買橙子48千克.

(1)若1班的同學(xué)第一次購買16千克，其次次購買32千克，則2班比1班少付多少元？

(2)若1班兩次共付費(fèi)126元，則1班第一次、其次次分別購買橙子多少千克？

數(shù)字類

1.列方程解應(yīng)用題：

一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，假如把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對調(diào)后，那么所得的

兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大36,求原來的兩位數(shù).

試題分析：設(shè)原來十位上的數(shù)字為x,則個位數(shù)字為2x.利用新數(shù)=原數(shù)+36,列方程求解即可.

答案詳解：解：設(shè)原來十位上的數(shù)字為無，

依題意得：10X2x+x=10x+2x+36,

解得x=4,

則2x=8.

答：原來的兩位數(shù)是48.

2.一個兩位數(shù)，個位數(shù)比十位數(shù)字大4,而且這個兩位數(shù)比它的數(shù)字之和的3倍大2,則這個兩位

數(shù)是26.

試題分析：設(shè)十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為x+4,依據(jù)數(shù)字問題的數(shù)量關(guān)系建立方程組求出其解即

可.

答案詳解：解：設(shè)十位數(shù)為x,個位數(shù)字為x+4,依據(jù)題意得：

10x+x+4=3(x+x+4)+2；

解得：x=2,

則這個兩位數(shù)是26；

所以答案是：26.

3.有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5,假如把這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的位置對換，那么

所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143.求這個兩位數(shù).

試題分析：設(shè)這個兩位數(shù)的十位為無，個位為(尤+5),依據(jù)這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的位置對換所

得的新數(shù)與原數(shù)的和是143,即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

答案詳解：解:設(shè)這個兩位數(shù)的十位為x,個位為(x+5),

依據(jù)題意得：10x+(x+5)+10(x+5)+x=143,

解得：x=4,

.,.x+5=9.

答：這個兩位數(shù)是49.

(超級經(jīng)典題型)方程與數(shù)軸的融合

4.如圖，線段AB=28厘米，點(diǎn)。和點(diǎn)C在線段AB上，且AC：BC=5：2,DC：AB=1：4.點(diǎn)尸

從點(diǎn)A動身以4厘米/秒的速度沿射線AD向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C所在位置后馬上依據(jù)原路

原速返回，到達(dá)點(diǎn)D所在位置后停止運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)B動身以1厘米/秒的速度沿著射線BC的

方向運(yùn)動，點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)。所在的位置后停止運(yùn)動.點(diǎn)尸和點(diǎn)。同時動身，點(diǎn)。運(yùn)動的時間為f

秒.

(1)求線段的長度；

(2)當(dāng)點(diǎn)C恰好為尸。的中點(diǎn)時，求f的值；

(3)當(dāng)尸。=7厘米時，求f的值.

」(P)D0

.4(P)D0@5

備用圖

試題分析：(1)依據(jù)線段間的比例可得和0c的長，再依據(jù)線段的和差可得答案；

(2)分三種狀況：當(dāng)0W/W5時，PC=20-46CQ=8-f；當(dāng)5〈號?時，PC=4f-20,CQ=

27

8-Z,當(dāng)一V/W15時，PC=DC=7,CQ=8-b再分別列出方程即可；

4

⑶①當(dāng)0W/W5時，4f+?=28-7；②當(dāng)5c名爭寸，8+4L207=7；③當(dāng)日V05時，7

=15-九

答案詳解：解：(1)VAB=28cm,AC：BC=5：2,

，AC=28x1=20cm,5c=28-20=8cm.

VDC：AB=1：4,

1

/.￡)C=28X-7=7cm,

q

：.AD=AC-DC=20-7=13CM；

(2)①當(dāng)0W/W5時，PC=20-4r,CQ=S-t,

20-4%=8-t.

解得r=4；

②當(dāng)5c&與時，PC=4t-20,CQ=8-t,

4z-20=8-t,

解得Z=5.6；

_27

③當(dāng)一＜fW15時，PC=DC=1,CQ=8-t,

4

.*.7=8-t,

解得f=l(舍去).

綜上，當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時，f的值是4或5.6；

(3)①當(dāng)0WfW5時，

4M7=28-7,

解得f=4.2；

②當(dāng)5＜長弓時，

8+4/-20-Z—7,

解得t=學(xué)

27

③當(dāng)一V/W15時，

4

7=15-t,

解得f=8.

19

綜上，當(dāng)尸。=7厘米時，f的值是4.2或々■或8.

5.已知AB=8,點(diǎn)尸從點(diǎn)A動身，以每秒2個單位長度的速度沿射線運(yùn)動，M為線段AP的中

點(diǎn).設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為/秒.

(1)若點(diǎn)尸在線段AB上，則t=2秒時,PB=2AM.

(2)若點(diǎn)尸在AB的延長線上(如圖)，設(shè)線段的中點(diǎn)為N.

①線段的長度是否保持不變？請說明理由；

②是否存在f的值，使M、N、8三點(diǎn)中的某個點(diǎn)是其余兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？若存在，求出全部

滿足條件的f的值；若不存在，請說明理由.

AMBNPB

（備用圖）

試題分析：（1）依據(jù)PB=2AM列方程求解即可；

（2）①用含有f的代數(shù)式表示MN即可推斷長度是否為定值；

②由題知存在點(diǎn)B是中點(diǎn)狀況列方程求出f值即可.

答案詳解：解：⑴由題知，PB=AB-AP=8-2t,AM^^AP=1x2t=t,

?:PB=2AM,

??8-2/=2t,

解得t=2,

所以答案是：2；

（2）①M(fèi)N長度不變，理由如下：

由題知，MN=IX2r-1⑵-8）=4,

故MN的長度保持不變；

②存在，

①點(diǎn)8是MN中點(diǎn)時，

1

即BN=加N,

11

（2/-8）=亍x4,

22

解得t=6,

②點(diǎn)M是BN的中點(diǎn)時，

即BN=2BM,

1

⑵-8）=2（L8）,

2

解得t=12,

的值為6或12時，M、N、8三點(diǎn)中的某個點(diǎn)是其余兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn).

6.如圖所示，點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上的三個點(diǎn)，且A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，AB12,AC=

（1）點(diǎn)A表示的數(shù)是-6；

（2）若點(diǎn)尸從點(diǎn)8動身沿著數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運(yùn)動，則經(jīng)過8秒時，點(diǎn)C恰

好是8尸的中點(diǎn)；

（3）若點(diǎn)Q從點(diǎn)A動身沿著數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運(yùn)動，線段QB的中點(diǎn)為M.當(dāng)MC

=2QB時，則點(diǎn)。運(yùn)動了多少秒？請說明理由.

ACB

試題分析：（1）依據(jù)AB=12,且A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，直接得出即可;

（2）設(shè)經(jīng)過f秒點(diǎn)C是BP的中點(diǎn)，依據(jù)題意列方程求解即可；

（3）設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動了x秒時MC=2QB,分狀況列方程求解即可.

答案詳解：解：（1）'：AB=U,且A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，

.?.點(diǎn)A表示的數(shù)是-6,

所以答案是：-6；

（2）-：AB=12,AC=

/.AC=4,BC=8,

設(shè)經(jīng)過r秒點(diǎn)C是BP的中點(diǎn)，

依據(jù)題意列方程得2f=8+8,

解得f=8,

所以答案是：8；

（3）設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動了無秒時MC=2QB,

①當(dāng)Q點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時，即CQ=|BQ,

依據(jù)題意列方程得L4=|（12-力

解得t=若;

1

②當(dāng)Q點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時，即BC+^BQ=2.BQ,

依據(jù)題意列方程得8+4（L12）=2（f-12）,

解得t=~

4452

綜上，當(dāng)。運(yùn)動了w秒或三■秒時MC=2QB.

三.行程類之一般相遇'追及

7.M,N兩地相距6006，甲、乙兩車分別從M、N兩地動身，沿一條大路勻速相向而行，甲與乙

的速度分別為100初1〃7和20切1/〃，甲從M地動身，到達(dá)N地馬上調(diào)頭返回M地，并在M地停留

等待乙車抵達(dá)，乙從N地動身前往M地，和甲車會合.

(1)求兩車其次次相遇的時間；

(2)求甲車動身多長時間，兩車相距20歷小

試題分析：(1)設(shè)經(jīng)過x小時兩車其次次相遇，依據(jù)“甲車行駛路程減去乙車行駛路程=600”列

方程求解；

(2)設(shè)甲車動身/小時與乙車相距20bw,分第一次相遇前、后，其次次相遇前、后及甲車到達(dá)

/地停留等待乙車抵達(dá)時五種狀況，列方程求解.

答案詳解：解：(1)設(shè)經(jīng)過x小時兩車其次次相遇，由題意可得：

100%-20x=600,

解得：x=7.5,

答：兩車經(jīng)過7.5小時其次次相遇；

(2)設(shè)甲車動身t小時與乙車相距20Am,

①兩車第一次相遇前，

100f+20f=600-20,

解得：U名

②兩車第一次相遇后且甲車還未到達(dá)N地，

100什20/=600+20,

解得：U將；

③甲車到達(dá)N地返回M地至兩車其次次相遇前，

100Z-20^=600-20,

解得：U等

④甲車到達(dá)N地返回M地至兩車其次次相遇后，

100?-20^=600+20,

解得：t=~

⑤甲車達(dá)到N地等待乙車抵達(dá)時，

201=600-20,

解得:/=29,

29312931

綜上，甲車動身一時或一時或一時或一時或29時，兩車相距20萬加

6644

8.甲、乙兩地相距72A7",一輛工程車和一輛灑水車上午6時同時從甲地動身，分別以vikm/h、v2km/h

的速度勻速駛往乙地.工程車到達(dá)乙地后停留了2/?,沿原路以原速返回，中午12時到達(dá)甲地，

此時灑水車也恰好到達(dá)乙地.

(1)ri=36km/h,vi=12km/h；

(2)求動身多長時間后，兩車相遇？

(3)求動身多長時間后，兩車相距305I?

試題分析：(1)分別用兩車行駛路程除以行駛時間即可得到兩車的速度；

(2)設(shè)動身尤小時后兩車相遇，可得36(x-2)+12尤=72X2,即可解得答案；

(3)設(shè)動身t小時后兩車相距30加7,分三種狀況：①在工程車還未到達(dá)乙地，即當(dāng)0<f<2時，

36L12f=30,②在工程車在乙地停留，即當(dāng)2W/W4時，⑵+30=72,③在工程車返回甲地的途

中，即當(dāng)4</W6時，未相遇時：36(?-2)+⑵+30=72X2,相遇后：36(L2)+⑵-30=72

X2,即可分別解得答案.

、77V?77

答案詳解：解：(1)由題意得：vi=―z—7=36(kmlh),V2=〒5—^=12Qkmlh),

所以答案是：36kmih,\1kmlh-,

(2)設(shè)動身x小時后兩車相遇，

依據(jù)題意得：36(x-2)+12x=72X2,

解得x=p

9

答：動身￡小時后兩車相遇；

(3)設(shè)動身f小時后兩車相距30M",

①在工程車還未到達(dá)乙地，即當(dāng)0<f<2時，36Z-12r=30,解得t=1；

②在工程車在乙地停留，即當(dāng)2W/W4時，12什30=72,解得f=5

③在工程車返回甲地的途中，即當(dāng)4<忘6時，未相遇時：36(L2)+⑵+30=72X2,解得u等

O

(不合題意，舍去)，

相遇后：36(/-2)+⑵-30=72X2,解得仁集

一5741

答：動身一、一、一小時，兩車相距306.

428

四.行程類之車過隧道大橋

9.一列勻速前進(jìn)的火車，通過列車隧道.

（1）假如通過一個長300米的隧道從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道，共用15秒的時間（如

圖1）,又知其間在隧道頂部的一盞固定的燈發(fā)出的一束光垂直照射火車2.5秒，求這列火車的長

度；

（2）假如火車以相同的速度通過了另一個隧道CD,從火車車尾全部進(jìn)入隧道到火車車頭剛好到

達(dá)隧道出口（如圖2）,其間共用20秒時間，求這個隧道的長.

E1______________________-1

AB

圖1

L1L.I

CD

圖2

試題分析：（1）等量關(guān)系為：（隧道長度+火車長度）+15=火車長度+2.5；

（2）等量關(guān)系為：隧道的長度CO=火車的長度+行駛的路程.

答案詳解：解：（1）解：設(shè)這列火車的長度是尤米.

由題意得：（300+x）+15=x+2.5,

解得：x=60.

答：這列火車的長度是60米.

（2）依據(jù)題意知，一X2O+6O=54O（米）.

2.5

所以，CD的長為540米.

10.一列動車以3QQkm/h的速度過第一、其次個隧道，已知其次個隧道的長度比第一個隧道長度的

2倍還多1.5初2,若該列動車過其次個隧道比第一個隧道多用了93秒，則其次個隧道的長度是

14km.

試題分析：依據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，留意單位要統(tǒng)一.

答案詳解：解：設(shè)第一個隧道長度是xh",

X2%+1.5

一X3600X3600—93,

300300

解得，x—6.25,

???2x+1.5=14,

所以答案是：14切:.

五.行程類之順?biāo)嫠?/p>

11.某人乘船由A地順流而下到達(dá)B地，然后又逆流而上到C地，共用了3小時.已知船在靜水中

速度為每小時8千米，水流速度是每小時2千米.已知4、3、C三地在一條直線上，若AC兩地

距離是2千米，則兩地距離多少千米？（C在A、8之間）

試題分析：依據(jù)路程、速度、時間之間的關(guān)系列出方程即可解答.

答案詳解：解：設(shè)A3兩地距離為x千米，則兩地距離為（尤-2）千米.

依據(jù)題意，得

xx-2

------+-------=3

8+28-2

解得x=苧.

25

答:A3兩地距離為一千米.

2

12.一只汽艇從A碼頭順流航行到B碼頭用2小時，從B碼頭返回到A碼頭，用了2.5小時，假如

水流速度是3千米/時，求：

（1）汽艇在靜水中的速度；

（2）A、B兩地之間的距離.

試題分析：（1）可設(shè)汽艇在靜水中的平均速度是x千米/小時，依據(jù)等量關(guān)系：甲碼頭到乙碼頭的

路程是肯定的，列出方程求解即可；

（2）依據(jù)速度、時間、路程間的關(guān)系解答.

答案詳解：解：（D設(shè)汽艇在靜水中的速度為由題意，得

2（x+3）=2.5（x-3）

-0.5x=-13.5

尤=27.

答：汽艇在靜水中的平均速度是27千米/小時；

（2）由題意，得2（x+3）=2（27+3）=60（千米）

答：A、2兩地之間的距離是60千米.

六.工程類

13.為慶祝建國七十周年，南崗區(qū)預(yù)備對某道路工程進(jìn)行改造，若請甲工程隊(duì)單獨(dú)做此工程需4個

月完成，若請乙工程隊(duì)單獨(dú)做此工程需6個月完成，若甲、乙兩隊(duì)合作2個月后，甲工程隊(duì)到期

撤離，則乙工程隊(duì)再單獨(dú)需幾個月能完成？

試題分析：由題意甲工程隊(duì)單獨(dú)做此工程需4個月完成，則知道甲每個月完成上乙工程隊(duì)單獨(dú)

4

1_11

做此工程需6個月完成當(dāng)兩隊(duì)合作2個月時，共完成(2x]+2x1)，設(shè)乙工程隊(duì)再單獨(dú)做此

工程需x個月能完成，則依據(jù)等量關(guān)系甲完成的+乙完成的=整個工程，列出方程式即可.

答案詳解：解：設(shè)乙工程隊(duì)再單獨(dú)需x個月能完成，

111

由題意,得2x4+2xj1.

解得x=l.

答：乙工程隊(duì)再單獨(dú)需1個月能完成.

14.由于地鐵施工，需要拆除我校圖書館，七班級同學(xué)主動擔(dān)當(dāng)圖書館整理圖書的任務(wù)，假如由一

個人單獨(dú)做要用30小時完成，現(xiàn)先支配一部分人用1小時整理，隨后又增加6人和他們一起又

做了2小時，恰好完成整理工作，假設(shè)每個人的工作效率相同，那么先按排整理的人員有多少？

試題分析：設(shè)先支配整理的人員有x人，依據(jù)工作效率X工作時間義工作人數(shù)=工作總量結(jié)合題

意，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

答案詳解：解：設(shè)先支配整理的人員有x人，

11

依據(jù)題意得：—r+3Qx2(x+6)=1,

解得：x=6.

答：先支配整理的人員有6人.

七.方案設(shè)計(jì)類

15.為了更好地落實(shí)“雙減”政策，豐富同學(xué)課后托管服務(wù)內(nèi)容，某校打算購買一批足球運(yùn)動裝備.經(jīng)

市場調(diào)查發(fā)覺：甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的足球隊(duì)服和足球，已知每套隊(duì)服比每

個足球多50元，兩套隊(duì)服與三個足球的費(fèi)用相等.

(1)求每套隊(duì)服和每個足球的價格各是多少？

(2)甲商場優(yōu)待方案是：每購買十套隊(duì)服，送一個足球；乙商場優(yōu)待方案是：若購買隊(duì)服超過80

套，則購買足球打八折.若該校購買100套隊(duì)服和。個足球(其中10且為整數(shù))，請通過計(jì)

算說明，學(xué)校接受哪種優(yōu)待方案更省錢？

①請用含a的式子表示：

甲商城所花的費(fèi)用100。+14000,乙商城所花的費(fèi)用80a+15000；

②當(dāng)購買的足球數(shù)a為何值時在兩家商場購買所花的費(fèi)用一樣？

試題分析：（1）設(shè)每個足球的定價是x元，則每套隊(duì)服是（x+50）元，依據(jù)兩套隊(duì)服與三個足球

的費(fèi)用相等列出方程，解方程即可；

（2）①依據(jù)題意列式子即可；

②依據(jù)甲、乙兩商場的優(yōu)待方案即可求解；

答案詳解：解：（1）設(shè)每個足球的定價是x元，則每套隊(duì)服是（龍+50）元，依據(jù)題意得

2（x+50）=3%,

解得x=100,

尤+50=150.

答：每套隊(duì)服150元，每個足球100元；

（2）①甲商場購買所花的費(fèi)用為：150X100+100一帶）=100a+14000（元），

乙商場購買所花的費(fèi)用為：150X100+0.8義100?。=80。+15000（:元）；

所以答案是：100a+14000；80a+15000；

②兩家商場購買所花的費(fèi)用一樣時，100“+14000=80a+15000,

解得a=50,

答：購買的足球數(shù)。為50時在兩家商場購買所花的費(fèi)用一樣.

16.為舉辦校內(nèi)文化節(jié)，甲、乙兩班預(yù)備給合唱同學(xué)購買演出服裝（一人一套），兩班共92人（其

中甲班比乙班人多，且甲班不足90人），下面是供貨商給出的演出服裝的價格表：

購買服裝的套數(shù)1套至45套46套至90套91套以上

每套服裝的價格60元50元40元

假如兩班單獨(dú)給每位同學(xué)購買一套服裝，那么一共應(yīng)付5020元.

（1）甲、乙兩班聯(lián)合起來給每位同學(xué)購買一套服裝，比單獨(dú)購買可以節(jié)省多少錢？

（2）甲、乙兩班各有多少名同學(xué)？

（3）假如甲班有10名同學(xué)被調(diào)去參與書畫競賽不能參與演出，請你為兩班設(shè)計(jì)一種最省錢的購

買服裝方案.

試題分析：(1)若甲、乙兩班聯(lián)合起來購買服裝，則每套是40元，計(jì)算出總價，即可求得比各自

購買服裝共可以節(jié)省多少錢；

(2)設(shè)甲班有x名同學(xué)預(yù)備參與演出.依據(jù)題意，明顯各自購買時，甲班每套服裝是50元，乙

班每套服裝是60元.依據(jù)等量關(guān)系：①共92人；②兩校分別單獨(dú)購買服裝，一共應(yīng)付5020元，

列方程即可求解.

(3)甲班需服裝40套，乙班需服裝42套，方案一：甲乙合買82套服裝費(fèi)用：82X50=4100元，

方案二：甲乙共買92套服裝費(fèi)用：92X40=3680元，即可得答案.

答案詳解：解：(1)由題意得：5020-92X40=1340(元).

即兩班聯(lián)合起來購買服裝比各自購買服裝共可以節(jié)省1340元.

(2)設(shè)甲班有尤名同學(xué)預(yù)備參與演出(依題意46Vx<90),則乙班有同學(xué)(92-%)人.

依題意得：50x+60(92-x)=5020,

解得:x=50.

于是：92-x=42(人).

答：甲班有50人，乙班有42人；

(3)?.?甲班有10名同學(xué)被調(diào)去參與書畫競賽不能參與演出，

甲班需服裝40套，乙班需服裝42套，

方案一：甲乙合買82套服裝費(fèi)用：82X50=4100元，

方案二：甲乙共買92套服裝費(fèi)用：92X40=3680元，

V4100>3680,

...甲乙兩班共買92套服裝最省錢.

17.水資源透支現(xiàn)象令人擔(dān)憂，節(jié)省用水迫在眉睫.針對居民用水鋪張現(xiàn)象，重慶市政府和環(huán)保組

織進(jìn)行了調(diào)查，并制定出相應(yīng)的措施.

(1)據(jù)環(huán)保組織調(diào)查統(tǒng)計(jì)，全市至少有6X1()5個水龍頭、2X1(/個抽水馬桶漏水.若一萬個漏

水的水龍頭一個月能漏掉。立方米水；一萬個漏水的馬桶一個月漏掉。立方米水，則全市一個月

僅這兩項(xiàng)所造成的水流失量是多少？

(2)針對居民用水鋪張現(xiàn)象，市政府將制定居民用水標(biāo)準(zhǔn)：規(guī)定每個三口之家每月的標(biāo)準(zhǔn)用水

量，超過標(biāo)準(zhǔn)部分加價收費(fèi).若不超標(biāo)部分的水價為每立方米3.5元；超標(biāo)部分為每立方米4.2

元.某家庭某月用水12立方米，交水費(fèi)44.8元，請你通過列方程求出我市規(guī)定的三口之家每月

的標(biāo)準(zhǔn)用水量為多少立方米.

（3）在近期由市物價局進(jìn)行的水價聽證會上，有一代表提出一新的水價收費(fèi)設(shè)想：每天8：00至

22：00為用水高峰期，水價可定為每立方米4元；22：00至次日8：00為用水低谷期，水價可定

為每立方米3.2元.若某三口之家依據(jù)此方案需支付的水費(fèi)與（2）問所交水費(fèi)相同，又知該家庭

用水高峰期的用水量比低谷期少20%.請計(jì)算哪種方案下的用水量較少？少多少？

試題分析：（1）依據(jù)題意“水龍頭漏水量+馬桶漏水量”可直接計(jì)算出全市一個月僅這兩項(xiàng)所造成

的水流失量；

（2）先依據(jù)水費(fèi)判定他家的用水量超過標(biāo)準(zhǔn)用水量，再依據(jù)超過的計(jì)算方法列方程求解即可；

（3）設(shè)用水低谷期的用水量為y立方米，則用水高峰期的用水量為（1-20%）y立方米，利用水

費(fèi)44.8作為相等關(guān)系列方程可求得水低谷期的用水量，再求得總的用水量，用作差法即可比較.

答案詳解：解：（1）:?瞽，P+徐目"=60a+2b

.,.全市一個月僅這兩項(xiàng)所造成的水流失量是（60a+26）立方米.

44.8

(2),/——>3,5,

12

，該家庭該月用水量超過標(biāo)準(zhǔn)用水量,

設(shè)我市規(guī)定的三口之家的每月標(biāo)準(zhǔn)用水量為x立方米,

由題意得：3.5x+4.2(12-x)=44.8,

解得：尤=8,

答：我市規(guī)定的三口之家的每月標(biāo)準(zhǔn)用水量為8立方米.

（3）設(shè)用水低谷期的用水量為y立方米，則用水高峰期的用水量為（1-20%）y立方米,

由題意得：3.2/+4X（1-20%）y=44.8,

解得：y=7,

：.y+（1-20%）y=7+5.6=12.6,

V12.6-12=0.6（立方米）.

問題（2）中的方案下的用水量較少，少0.6立方米.

18.列一元一次方程解應(yīng)用題.

有一批共享單車需要修理，修理后連續(xù)投放騎用，現(xiàn)有甲、乙兩人做修理，甲每天修理16輛，乙

每天修理的車輛比甲多8輛，甲單獨(dú)修理完成這批共享單車比乙單獨(dú)修理完多用20天，公司每

天付甲80元修理費(fèi)，付乙120元修理費(fèi).

（1）問需要修理的這批共享單車共有多少輛？

（2）在修理過程中，公司要派一名人員進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，公司負(fù)擔(dān)他每天10元補(bǔ)助費(fèi)，現(xiàn)有三種

修理方案：①由甲單獨(dú)修理；②由乙單獨(dú)修理；③甲、乙合作同時修理，你認(rèn)為哪種方案最省錢，

為什么？

試題分析：（1）通過理解題意可知本題的等量關(guān)系，即甲乙單獨(dú)修完共享單車的數(shù)量相同，列方

程求解即可；

（2）分別計(jì)算，通過比較選擇最省錢的方案.

答案詳解：解：（1）設(shè)乙單獨(dú)做需要x天完成，則甲單獨(dú)做需要（x+20）天,由題意可得：

16（尤+20）=24%,

解得：x=40,

總數(shù)：24X40=960（輛），

答：乙單獨(dú)做需要40天完成，甲單獨(dú)做需要60天，一共有960輛共享單車；

（2）方案一：甲單獨(dú)完成：60X80+60X10=5400（元），

方案二：乙單獨(dú)完成：40X120+40X10=5200（元），

方案三：甲、乙合作完成：960+（16+24）=24（天），

則一共需要：24X（120+80）+24X10=5040（元），

所以選擇方案三合算.

八.日常生活中的方程一水電類

19.列方程解應(yīng)用題：

為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，某市將要接受價格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)水目的，設(shè)計(jì)了如下的調(diào)控方案.

價目表

每月用水量單價

不超出10噸的部分2.5元/噸

超出10噸的部分3元/噸

（1）甲戶居民五月份用水12噸，則水費(fèi)為31元.

（2）乙戶居民八月份繳納水費(fèi)40元，則該戶居民八月份用水多少噸？（列方程解答）

試題分析：(1)甲戶居民五月份用水12噸，則有10噸水每噸按2.5元收費(fèi)，而另外2噸則按每

噸3元收費(fèi)，列式并計(jì)算出相應(yīng)的錢數(shù)即可；

(2)設(shè)該戶居民八月份用水x噸，再依據(jù)10噸水的水費(fèi)與超過10噸部分的水費(fèi)的和為40元列

方程求出x的值即可.

答案詳解：解：(1)甲戶居民五月份用水12噸，

則2.5X10+3X(12-10)=31(元)，

甲戶居民五月份的水費(fèi)為31元，

所以答案是：31.

(2)設(shè)該戶居民八月份用水無噸，

依據(jù)題意得2.5X10+3(%-10)=40,

解得x=15,

答：該戶居民八月份用水15噸.

20.近日，無錫市進(jìn)展改革委印發(fā)《關(guān)于優(yōu)化調(diào)整居民階梯氣價政策有關(guān)事項(xiàng)的通知》，從2024年

1月1日起，增加一、二檔用氣量，“一戶多人口”政策同步調(diào)整.

氣量分檔年用氣量(立方米)