2023屆中考數(shù)學模擬考試試題(附答案)

2023年中考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1．﹣的相反數(shù)是（）

A．3B．﹣3C．D．﹣

2．如圖是由幾個小立方塊所搭成的兒何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立

方塊的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖為（）

A．B．C．D．

3．如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點分別放在直尺的兩條平行對邊上，若

∠α＝135°，則∠β等于（）

A．45°B．60°C．75°D．85°

4．正比例函數(shù)y＝﹣kx的y值隨x值的增大而減小，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過（）

A．第一、二象限B．第一、三象限

C．第二、三象限D(zhuǎn)．第二、四象限

5．下列運算正確的是（）

A．a(chǎn)2+a2＝a4B．（﹣b2）3＝﹣b6

C．3a?3a2＝3a3D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

6．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，若CD＝1，

則AC的長度等于（）

第1頁（共28頁）

A．B．+1C．2D．+2

7．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x經(jīng)過點A，作AB⊥x軸于點B，將△ABO

繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD．若點B的坐標為（2，0），則點C的坐標為（）

A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）

8．如圖，矩形ABCD中，AD＝4，對角線AC與BD交于點O，OE⊥AC交BC于點E，CE

＝3，則矩形ABCD的面積為（）

A．B．C．12D．32

9．如圖，過⊙O外一點A引圓的兩條切線，切點分別為D，C，BD為⊙O的直徑，連接

BC，DC．若AD＝CD，BD＝4，則AC的長度為（）

A．2B．2C．2D．4

10．二次函數(shù)y＝x2+mx﹣n的對稱軸為x＝2．若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1

第2頁（共28頁）

＜x＜6的范圍內(nèi)有實數(shù)解，則n的取值范圍是（）

A．﹣4≤n＜5B．n≥﹣4C．﹣4≤n＜12D．5＜n＜12

二、填空題（木大題共4個小題，每小題3分，共12分）

11．分解因式：a2﹣2a+1＝．

12．正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為．

13．如圖，在平面直角坐標系中菱形ABCD的頂點A、B在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）

的圖象上，點A、B橫坐標分別為1，4，對角線BD∥x軸．若菱形ABCD的面積為10，

則k的值為．

14．如圖，已知∠BAC＝45°，線段DE的兩個端點在角的兩邊AB，AC上運動，且DE＝2．以

線段DE為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形DEF，則AF的最大值為．

三、解答題（本大題共11小題，計78分.解答應寫出過程）

15．（5分）計算：+4cos260°﹣|﹣1|

16．（5分）解分式方程：+3＝．

17．（5分）尺規(guī)作圖：已知⊙O，求作：⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．（要求：不寫作法，保

留作圖痕跡）．

18．（5分）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點，連接BE，

CF，且BE∥CF．求證：DE＝DF．

第3頁（共28頁）

19．（7分）某學校為了解學生的課外閱讀情況，王老師隨機抽查部分學生，并對其暑假期

間的課外閱讀量進行統(tǒng)計分析，繪制成如圖所示但不完整的統(tǒng)計圖，已知抽查的學生在

暑假期間閱讀量（閱讀本數(shù)為正整數(shù)）為2本的人數(shù)占抽查總?cè)藬?shù)的20%，根據(jù)所給出

信息，解答下列問題：

（1）求被抽查學生人數(shù)并直接寫出被抽查學生課外閱讀量的中位數(shù)；

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）若規(guī)定：假期閱讀4本及4本以上課外書者為“優(yōu)秀閱讀者”，據(jù)此估計該校2500

名學生中，在這次暑假期間“優(yōu)秀閱讀者”約有多少人？

20．（7分）某學校有一棟教學樓AB，小明（身高忽略不計）在教學樓一側(cè)的斜坡底端C處

測得教學樓頂端A的仰角為60°，他沿著斜坡向上行走到達斜坡頂端E處，又測得教學

樓頂端A的仰角為45°．已知斜坡的坡角（∠ECD）為30°，坡面長度CE＝6m，求樓

房AB的高度．（≈1.4，≈1.7結(jié)果保留整數(shù)）

第4頁（共28頁）

21．（7分）《鄭州市城市生活垃圾分類管理辦法》于2019年12月起施行．某社區(qū)要投放A，

B兩種垃圾桶，負責人小李調(diào)查發(fā)現(xiàn)：

購買數(shù)量購買數(shù)量少于100個購買數(shù)量不少于100個

種類

A原價銷售以原價的7.5折銷售

B原價銷售以原價的8折銷售

若購買A種垃圾桶80個，B種垃圾桶120個，則共需付款6880元；若購買A種垃圾桶

100個，B種垃圾桶100個，則共需付款6150元．

（1）求A，B兩種垃圾桶的單價各為多少元？

（2）若需要購買A，B兩種垃圾桶共200個，且B種垃圾桶不多于A種垃圾桶數(shù)量的，

如何購買使花費最少，最少費用為多少元？請說明理由．

22．（7分）小紅和小丁玩紙牌優(yōu)戲，如圖是同一副撲克中的4張牌的正面，將它們正面朝

下洗勻后放在桌面上．

（1）小紅從4張牌中抽取一張，這張牌的數(shù)字為偶數(shù)的概率是；

（2）小紅先從中抽出一張，小丁從剩余的3張牌中也抽出一張，比較兩人抽取的牌面上

的數(shù)字，數(shù)字大者獲勝，請用樹秋圖或列表法求出的小紅獲勝的概率．

23．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂

足為點D，AD交⊙O于點E，連接CE，CB．

第5頁（共28頁）

（1）求證：CE＝CB；

（2）若AC＝，CE＝2，求CD的長．

24．（10分）設拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于兩個不同的點A（﹣1，0）、B（m，0），與

y軸交于點C．且∠ACB＝90°．

（1）求拋物線的解析式

（2）已知過點A的直線y＝x+1交拋物線于另一點E，且點D（1，﹣3）在拋物線上問：

在x軸上是否存在點P，使以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似？若存在，請求

出所有符合要求的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

25．（12分）問題探究：

（1）如圖1，∠AOB＝45°，在∠AOB內(nèi)部有一點P，分別作點P關(guān)于邊OA、OB的對

稱點P1，P2順次連接O，P1，P2，則△OP1P2的形狀是三角形．

（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝2+，求：

△ABC的面積．

問題解決：

（3）如圖3，在四邊形ABCD內(nèi)有一點P，點P到頂點B的距離為10，∠ABC＝60°，

點M、N分別是AB、BC邊上的動點，順次連接P、M、N，使△PMN在周長最小的情況

下，面積最大，問：是否存在這種情況？若存在，請求出△PMN的面積的最大值；若不

存在，請說明理由．

第6頁（共28頁）

第7頁（共28頁）

2023年中考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1．﹣的相反數(shù)是（）

A．3B．﹣3C．D．﹣

【分析】一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣”號．

【解答】解：﹣的相反數(shù)是，

故選：C．

2．如圖是由幾個小立方塊所搭成的兒何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立

方塊的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖為（）

A．B．C．D．

【分析】由已知條件可知，左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為2，3，2．據(jù)此可作

出判斷．

【解答】解：從左面看可得到從左到右分別是3，2個正方形．

故選：A．

3．如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點分別放在直尺的兩條平行對邊上，若

∠α＝135°，則∠β等于（）

A．45°B．60°C．75°D．85°

【分析】直接利用平行線的性質(zhì)以及三角形的性質(zhì)進而得出答案．

第8頁（共28頁）

【解答】解：由題意可得：∵∠α＝135°，

∴∠1＝45°，

∴∠β＝180°﹣45°﹣60°＝75°．

故選：C．

4．正比例函數(shù)y＝﹣kx的y值隨x值的增大而減小，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過（）

A．第一、二象限B．第一、三象限

C．第二、三象限D(zhuǎn)．第二、四象限

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．

【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝﹣kx的y值隨x值的增大而減小，

∴﹣k＜0，

∴此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限．

故選：D．

5．下列運算正確的是（）

A．a(chǎn)2+a2＝a4B．（﹣b2）3＝﹣b6

C．3a?3a2＝3a3D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

【分析】直接利用積的乘方運算法則以及整式的混合運算法則分別判斷得出答案．

【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此選項錯誤；

B、（﹣b2）3＝﹣b6，正確；

C、3a?3a2＝9a3，故此選項錯誤；

D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此選項錯誤；

故選：B．

6．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，若CD＝1，

則AC的長度等于（）

第9頁（共28頁）

A．B．+1C．2D．+2

【分析】過D作DE⊥AB于E，依據(jù)△BDE是等腰直角三角形，即可得到BD的長，進

而得到BC的長，可得答案．

【解答】解：如圖所示，過D作DE⊥AB于E，

∵AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠BAC，

∴DE＝CD＝1，∠B＝45°，

∴∠BDE＝∠B＝45°，

∴BE＝DE＝1，

∴Rt△BDE中，BD＝＝，

∴BC＝+1，

∴AC＝+1，

故選：B．

7．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x經(jīng)過點A，作AB⊥x軸于點B，將△ABO

繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD．若點B的坐標為（2，0），則點C的坐標為（）

A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）

第10頁（共28頁）

【分析】作CH⊥x軸于H，如圖，先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征確定A（2，2），

再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC＝BA＝2，∠ABC＝60°，則∠CBH＝30°，然后在Rt△CBH

中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出CH＝BC＝，BH＝CH＝3，

所以OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，于是可寫出C點坐標．

【解答】解：作CH⊥x軸于H，如圖，

∵點B的坐標為（2，0），AB⊥x軸于點B，

∴A點橫坐標為2，

當x＝2時，y＝x＝2，

∴A（2，2），

∵△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，

∴BC＝BA＝2，∠ABC＝60°，

∴∠CBH＝30°，

在Rt△CBH中，CH＝BC＝，

BH＝CH＝3，

OH＝BH﹣OB＝3﹣2＝1，

∴C（﹣1，）．

故選：A．

8．如圖，矩形ABCD中，AD＝4，對角線AC與BD交于點O，OE⊥AC交BC于點E，CE

＝3，則矩形ABCD的面積為（）

A．B．C．12D．32

第11頁（共28頁）

【分析】由矩形的性質(zhì)得出OA＝OC，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE＝3，求出

BE＝1，由勾股定理求出AB，即可得出答案．

【解答】解：連接AE，如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OC，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，

∵OE⊥AC，

∴AE＝CE＝3，

∴BE＝BC﹣CE＝1，

∴AB＝＝＝2，

∴矩形ABCD的面積＝AB×BC＝2×4＝8；

故選：B．

9．如圖，過⊙O外一點A引圓的兩條切線，切點分別為D，C，BD為⊙O的直徑，連接

BC，DC．若AD＝CD，BD＝4，則AC的長度為（）

A．2B．2C．2D．4

【分析】利用切線長定理得到AD＝AC，則可判斷△ADC為等邊三角形，所以∠ADC＝

60°，再利用切線的性質(zhì)得到AD⊥DB，所以∠CDB＝30°，接著根據(jù)圓周角定理得到

∠BCD＝90°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出CD即可．

【解答】解：∵AD、AC為⊙O的兩條切線，切點分別為D，C，

∴AD＝AC，

而AD＝CD，

∴AD＝CD＝AC，

第12頁（共28頁）

∴△ADC為等邊三角形，

∴∠ADC＝60°，

∵AD為切線，

∴AD⊥DB，

∴∠CDB＝90°﹣60°＝30°，

∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BCD＝90°，

在Rt△BCD中，BC＝BD＝×4＝2，

∴CD＝BC＝2，

∴AC＝2．

故選：C．

10．二次函數(shù)y＝x2+mx﹣n的對稱軸為x＝2．若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1

＜x＜6的范圍內(nèi)有實數(shù)解，則n的取值范圍是（）

A．﹣4≤n＜5B．n≥﹣4C．﹣4≤n＜12D．5＜n＜12

【分析】根據(jù)對稱軸求出m的值，從而得到x＝﹣1、6時的函數(shù)y＝x2﹣4x值，再根據(jù)

一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范圍內(nèi)有解相當于y＝x2+mx與y＝n在x的范

圍內(nèi)有交點解答．

【解答】解：∵拋物線的對稱軸x＝﹣＝2，

∴m＝﹣4，

則方程x2+mx﹣n＝0，即x2﹣4x﹣n＝0的解相當于y＝x2﹣4x與直線y＝n的交點的橫坐

標，

∵方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范圍內(nèi)有實數(shù)解，

∴當x＝﹣1時，y＝1+4＝5，

當x＝6時，y＝36﹣24＝12，

又∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，

∴當﹣4≤n＜12時，在﹣1＜x＜6的范圍內(nèi)有解．

∴n的取值范圍是﹣4≤n＜12，

故選：C．

二、填空題（木大題共4個小題，每小題3分，共12分）

第13頁（共28頁）

11．分解因式：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．

【分析】觀察原式發(fā)現(xiàn)，此三項符合差的完全平方公式a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，即可把

原式化為積的形式．

【解答】解：a2﹣2a+1＝a2﹣2×1×a+12＝（a﹣1）2．

故答案為：（a﹣1）2．

12．正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為2：．

【分析】從內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心向三角形的邊長引垂線，構(gòu)建直角三角形，解

三角形i可．

【解答】解：設正六邊形的半徑是r，

則外接圓的半徑r，

內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，因而是r，

因而正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為2：．

故答案為：2：．

13．如圖，在平面直角坐標系中菱形ABCD的頂點A、B在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）

的圖象上，點A、B橫坐標分別為1，4，對角線BD∥x軸．若菱形ABCD的面積為10，

則k的值為．

【分析】連接AC交BD于E，如圖，利用菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，AE＝CE，DE＝BE，

設A（1，k），B（4，），則BE＝3，AE＝k﹣＝k，根據(jù)菱形的面積公式得到4×

×3×k＝10，然后解關(guān)于k的方程即可．

【解答】解：如圖，連接AC交BD于E，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，AE＝CE，DE＝BE，

第14頁（共28頁）

∵BD∥x軸，

設A（1，k），B（4，），

∴BE＝3，AE＝k﹣＝k，

∵菱形ABCD的面積為10，

∴4S△ABE＝10，

即4××3×k＝10，解得k＝．

故答案為．

14．如圖，已知∠BAC＝45°，線段DE的兩個端點在角的兩邊AB，AC上運動，且DE＝2．以

線段DE為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形DEF，則AF的最大值為+1+．

【分析】當AF⊥DE時，AF的值最大，設AF交DE于H，在AH上取一點M，使得AM

＝DM，連接DM．分別求出MH、AM、FH即可解決問題．

【解答】解：如圖，當AF⊥DE時，AF的值最大，設AF交DE于H，在AH上取一點

M，使得AM＝DM，連接DM．

∵FD＝FE＝DE＝2，AF⊥DE，

∴DH＝HE，AD＝AE，∠DAH＝∠DAE＝22.5°，

∵AM＝DM，

第15頁（共28頁）

∴∠MAD＝∠MDA＝22.5°，

∴∠DMH＝∠MDH＝45°，

∴DH＝HM＝1，

∴DM＝AM＝，

∵FH＝＝，

∴AF＝AM+MH+FH＝+1+．

∴AF的最大值為+1+，

故答案為：+1+．

三、解答題（本大題共11小題，計78分.解答應寫出過程）

15．（5分）計算：+4cos260°﹣|﹣1|

【分析】原式利用二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，以及絕對值的代數(shù)意義計算即

可求出值．

【解答】解：原式＝2+4×（）2﹣（﹣1）

＝2+4×﹣+1

＝2+1﹣+1

＝+2．

16．（5分）解分式方程：+3＝．

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：2+3x﹣6＝x﹣1，

解得：x＝1.5，

經(jīng)檢驗x＝1.5是分式方程的解．

17．（5分）尺規(guī)作圖：已知⊙O，求作：⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．（要求：不寫作法，保

留作圖痕跡）．

【分析】根據(jù)垂徑定理即可作⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．

第16頁（共28頁）

【解答】解：如圖

正方形ABCD即為所求作的圖形．

18．（5分）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點，連接BE，

CF，且BE∥CF．求證：DE＝DF．

【分析】由AD是△ABC的中線就可以得出BD＝CD，再由平行線的性質(zhì)就可以得出△

CDF△BDE就可以得出DE＝DF．

【解答】證明：∵AD是△ABC的中線，

∴BD＝CD．

∵BE∥CF，

∴∠FCD＝∠EBD，∠DFC＝∠DEB．

在△CDE和△BDF中

，

∴△CDF≌△BDE（AAS），

∴DE＝DF．

19．（7分）某學校為了解學生的課外閱讀情況，王老師隨機抽查部分學生，并對其暑假期

間的課外閱讀量進行統(tǒng)計分析，繪制成如圖所示但不完整的統(tǒng)計圖，已知抽查的學生在

暑假期間閱讀量（閱讀本數(shù)為正整數(shù)）為2本的人數(shù)占抽查總?cè)藬?shù)的20%，根據(jù)所給出

信息，解答下列問題：

（1）求被抽查學生人數(shù)并直接寫出被抽查學生課外閱讀量的中位數(shù)；

第17頁（共28頁）

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）若規(guī)定：假期閱讀4本及4本以上課外書者為“優(yōu)秀閱讀者”，據(jù)此估計該校2500

名學生中，在這次暑假期間“優(yōu)秀閱讀者”約有多少人？

【分析】（1）根據(jù)讀兩本的人數(shù)除以讀兩本人數(shù)所占的百分比，可得抽測人數(shù)，根據(jù)中

位數(shù)的定義，可得答案；

（2）根據(jù)有理數(shù)的減法，可得讀4本的人數(shù)，可得答案；

（3）根據(jù)樣本估計總體，可得答案．

【解答】解：（1）10÷20%＝50，∴被調(diào)查的人數(shù)為50，被抽查學生課外閱讀量的中位

數(shù)3；

（2）50﹣4﹣10﹣15﹣6＝15，

補充如圖；

（4）2500×1050（人），

答：估計該校2500名學生中，在這次暑假期間“優(yōu)秀閱讀者”約有1050人．

20．（7分）某學校有一棟教學樓AB，小明（身高忽略不計）在教學樓一側(cè)的斜坡底端C處

測得教學樓頂端A的仰角為60°，他沿著斜坡向上行走到達斜坡頂端E處，又測得教學

第18頁（共28頁）

樓頂端A的仰角為45°．已知斜坡的坡角（∠ECD）為30°，坡面長度CE＝6m，求樓

房AB的高度．（≈1.4，≈1.7結(jié)果保留整數(shù)）

【分析】過E作EF⊥AB于F，得到四邊形BDEF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EF＝DB，

BF＝DE，解直角三角形即可得到結(jié)論．

【解答】解：過E作EF⊥AB于F，

則四邊形BDEF是矩形，

∴EF＝DB，BF＝DE，

在Rt△CDE中，∵∠EDC＝90°，CE＝6m，∠DCE＝30°，

∴DE＝3m，CD＝3m，

設BC＝xm，

∵∠AEF＝45°，

∴EF＝AF＝BD＝（3+x）m，

∴AB＝AF+BF＝（3+3+x）m，

在Rt△ABC中，tan60°＝＝＝，

解得：x＝6+3，

∴AB≈19m．

答：樓房AB的高度大約為19米．

第19頁（共28頁）

21．（7分）《鄭州市城市生活垃圾分類管理辦法》于2019年12月起施行．某社區(qū)要投放A，

B兩種垃圾桶，負責人小李調(diào)查發(fā)現(xiàn)：

購買數(shù)量購買數(shù)量少于100個購買數(shù)量不少于100個

種類

A原價銷售以原價的7.5折銷售

B原價銷售以原價的8折銷售

若購買A種垃圾桶80個，B種垃圾桶120個，則共需付款6880元；若購買A種垃圾桶

100個，B種垃圾桶100個，則共需付款6150元．

（1）求A，B兩種垃圾桶的單價各為多少元？

（2）若需要購買A，B兩種垃圾桶共200個，且B種垃圾桶不多于A種垃圾桶數(shù)量的，

如何購買使花費最少，最少費用為多少元？請說明理由．

【分析】（1）設A種垃圾桶的單價為x元，B種垃圾桶的單價為y元，根據(jù)“購買A種

垃圾桶80個，B種垃圾桶120個，則共需付款6880元；若購買A種垃圾桶100個，B

種垃圾桶100個，則共需付款6150元”列出方程組并解答；

（2）設購買A種垃圾桶為a個，則購買B種垃圾桶為（200﹣a）個，根據(jù)“B種垃圾桶

不多于A種垃圾桶數(shù)量的”列出不等式并求得a的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)

解答即可．

【解答】解：（1）設A種垃圾桶的單價為x元，B種垃圾桶的單價為y元，根據(jù)題意得

，

解得，

答：A種垃圾桶的單價為50元，B種垃圾桶的單價為30元；

第20頁（共28頁）

（2）設購買A種垃圾桶為a個，則購買B種垃圾桶為（200﹣a）個，根據(jù)題意得

，

解得a≥150；

設購買A，B兩種垃圾桶的總費用為W元，則

W＝0.75×50a+30（200﹣a）＝7.5a+6000，

∵k＝7.5＞0，

∴W隨x的增大而增大，

∴當a＝150時，花費最少，最少費用為：7.5×150+6000＝7125（元）．

答：購買A種垃圾桶150個，B種垃圾桶50個花費最少，最少費用為7125元．

22．（7分）小紅和小丁玩紙牌優(yōu)戲，如圖是同一副撲克中的4張牌的正面，將它們正面朝

下洗勻后放在桌面上．

（1）小紅從4張牌中抽取一張，這張牌的數(shù)字為偶數(shù)的概率是；

（2）小紅先從中抽出一張，小丁從剩余的3張牌中也抽出一張，比較兩人抽取的牌面上

的數(shù)字，數(shù)字大者獲勝，請用樹秋圖或列表法求出的小紅獲勝的概率．

【分析】（1）根據(jù)概率公式計算即可．

（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小紅獲勝的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率

公式求解

【解答】解：（1）4張牌中有3張是偶數(shù)這張牌的數(shù)字為偶數(shù)的概率是．

故答案為．

（2）解：畫樹狀圖為：

第21頁（共28頁）

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小紅獲勝的結(jié)果數(shù)為6，

所以小紅獲勝的概率＝＝．

23．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂

足為點D，AD交⊙O于點E，連接CE，CB．

（1）求證：CE＝CB；

（2）若AC＝，CE＝2，求CD的長．

【分析】（1）連接OC、OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰

三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠OAC，根據(jù)圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理

證明結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理求出AB，證明△DAC∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，

代入計算得到答案．

【解答】（1）證明：連接OC、OE，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠DAC＝∠OCA，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OAC，

由圓周角定理得，∠BOC＝2∠OAC，∠EOC＝2∠DAC，

∴∠BOC＝∠EOC，

∴CE＝CB；

（2）解：由（1）可知，BC＝CE＝2，

∵AB是⊙O的直徑，

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∴∠ACB＝90°，

∴AB＝＝＝3，

∵∠DAC＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△DAC∽△CAB，

∴＝，即＝，

解得，DC＝．

24．（10分）設拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于兩個不同的點A（﹣1，0）、B（m，0），與

y軸交于點C．且∠ACB＝90°．

（1）求拋物線的解析式

（2）已知過點A的直線y＝x+1交拋物線于另一點E，且點D（1，﹣3）在拋物線上問：

在x軸上是否存在點P，使以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似？若存在，請求

出所有符合要求的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式可知OC＝2，由于∠ACB＝90°，可根據(jù)射影定理求

出OB的長，即可得出B點的坐標，也就得出了m的值．然后根據(jù)A，B，C三點的坐標，

用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式．

（2）本題要分情況進行討論，如果過E作x軸的垂線，不難得出∠DBx＝135°，而∠

ABE是個鈍角但小于135°，因此P點只能在B點左側(cè)．可分兩種情況進行討論：①∠

DPB＝∠ABE，即△DBP∽△EAB，可得出BP：AP＝BD：AE，可據(jù)此來求出P點的坐

標．②∠PDB＝∠ABE，即△DBP∽△BAE，方法同①，只不過對應的成比例線段不一

第23頁（共28頁）

樣．綜上所述可求出符合條件的P點的值．

【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，

∴△AOC∽△COB，

∴OA?OB＝OC2

∴OB＝＝＝4，

∴m＝4，

∴B（4，0），

將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；

（2）解得，，，

∴E（6，7），

過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0），

∴AH＝EH＝7，

∴∠EAH＝45°，

過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0），

∴BF＝DF＝3

∴∠DBF＝45°，

∴∠EAH＝∠DBF＝45°，

∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°

則點P只能在點B的左側(cè)，有以下兩種情況：

①若△DBP1∽△BAE，則