2024年茂名市高二數(shù)學(xué)3月份聯(lián)考試卷附答案解析 (二)

2024年茂名市高二數(shù)學(xué)3月份聯(lián)考試卷

試卷滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2024.03

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2,選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非

答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的)

1.直線氐+y-l=O的傾斜角為()

A.工B.巳C.二D.舁

6336

2.已知等比數(shù)列｛%｝中，49=4生，等差數(shù)列電｝中，％+%=%，則數(shù)列電｝的前9項(xiàng)和Sg等于

A.9B.18C.36D.72

3.若函數(shù)〃x)=ln(x—a)+/7在％=0處的切線方程為〉=%則滿足的x的取值范圍為()

A.-,eB.\l,e]C.D.[2,1+e]

4.已知圓C：(x-3)2+(>-4)2=9,直線/：(m+3)x-(m+2)y+優(yōu)=0.則直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為

()

A.V10B.2A/2C.76D.2幣

5.如圖，二面角。一/一尸等于135。，A,3是棱/上兩點(diǎn)，BD,AC分別在半平面。，夕內(nèi)，AC±Z,

BDLI,且AB=AC=2,BD=叵，則8=()

A.2A/3B.2A/2C.V14D.4

1

22

6.雙曲線,與=1（。>0,“0）的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)M是雙曲線左支上一點(diǎn)，4A%=90，

直線班交雙曲線的另一支于點(diǎn)N,|MN|=2|A"|,則雙曲線的離心率（）

A.3B.9C.75D.2

7.已知e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)。=6力=后一-ln2,貝|（）

ee

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的表面積為36兀，且34”4應(yīng)，則該

正四棱錐體積的最大值是（）

A.18B.—C.—D.27

43

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.正方體ABCD-A耳￡2的棱長(zhǎng)為2,E,￡G分別為BCCG/K的中點(diǎn)，則（）

A.直線。。與直線"垂直

B.直線4G與平面AER平行

9

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為］

D.點(diǎn)4和點(diǎn)D到平面A跖的距離不相等

10.己知=,則（）

A.“X）的值域?yàn)镽

B.awO時(shí)，恒有極值點(diǎn)

k

C.g（%）=/（%）——（左wO）恒有零點(diǎn)

x

D.對(duì)于xeRJ(x)<(l-e)or恒成立

2

11.如圖，已知直線/與拋物線;/=2「宜0>0）交于48兩點(diǎn)，且。交48于點(diǎn)。，則（）

A.若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,1）,則p=；

B.直線/恒過(guò)定點(diǎn)（p,0）

C.點(diǎn)￡>的軌跡方程為x2+y2-2px=0（xw0）

D.二AO3的面積的最小值為4。2

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知函數(shù)/（x）=,（2xT）,若方程f（x）-左=0有2個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

x-1

13.下圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，圖形的作法是：從一正三角形開(kāi)

始，把每條邊三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一

過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線.

①②③④

若第1個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為1,則第〃個(gè)圖形的周長(zhǎng)為

若第1個(gè)圖中的三角形的面積為1,則第〃個(gè)圖形的面積為.

14.已知”（再,必），N（%,%）是圓C：（x-3y+（y-4）2=4上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若|MV|=2點(diǎn)，則

|西+乂|+值2+%|的取值范圍為.

四、解答題本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一

次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有機(jī)人，按年齡

3

分成5組，其中第一組：［20,25),第二組：［25,30),第三組：［30,35),第四組：［35,40),第

五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求m的值并估計(jì)這根人年齡的第80百分位數(shù)；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國(guó)夢(mèng)''宣傳使者.

(i)若有甲(年齡38),乙(年齡40)兩人己確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的

使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

(ii)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和g,第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差

分別為43和1,據(jù)此估計(jì)這m人中35-45歲所有人的年齡的方差.

n

16.已知數(shù)列｛4,｝滿足：a1=2,an+1-an=2.

(1)求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也,｝的首項(xiàng)為1,其前"項(xiàng)和S“滿足於用-(〃+1)$,=當(dāng)4,證明：若

V〃eN*,致+也++也21.

a?

17.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面皿＞，底面ABCD,側(cè)棱==PAVPD,底

面ABC。為直角梯形，其中BC//AD,ABLAD,AB=BC=1,。為AD的中點(diǎn).

(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值;

(2)求8點(diǎn)到平面PCD的距離；

4

(3)線段尸。上是否存在一點(diǎn)Q,使得二面角Q-AC-。的余弦值為逅？若存在，求出筆的值；若不

3QD

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.已知橢圓C：r+谷=1(°>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥(niǎo)，該橢圓的離心率為不，且橢圓上動(dòng)點(diǎn)加

ab"/

與點(diǎn)片的最大距離為3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，若直線/與x軸、橢圓C順次交于尸,。水(點(diǎn)尸在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè))，且+=

求RQ耳面積的最大值.

19.已知函數(shù)=alnx-2ox+]~(a>0).

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(2)若〃x)有兩個(gè)極值點(diǎn)玉、％(工產(chǎn).)，且不等式〃占)+〃%)<恒成立，求實(shí)數(shù)2的取

值范圍.

1.C

【分析】由斜率直接求解傾斜角即可.

【詳解】設(shè)傾斜角為aa?(U),貝iJtana=-5則a=手

故選：C.

2.B

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得生?%=%，求得%=4,得到&+%=4,再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，即

可求解，得到答案.

【詳解】在等比數(shù)列等“｝中,滿足出外=4%，

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得在?4=d，即6=4%,所以％=列

5

又由4+4二%，所以“+%=4

所以數(shù)列｛4｝的前9項(xiàng)和Sg=9（：；>）=%詈=殍=18,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，著重考查

了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出。力，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?。）=111（尤一。）+6,所以（（無(wú)）=」一，

x-a

f（（y）=—=1（a=—1

依題意可得-a,解得｝，

/（0）=ln（-a）+6=0="

所以/（x）=ln（尤+D,f（x-l）=lnx,

所以O(shè)WlnxWl,所以IWxVe.

故選：B

4.D

【分析】

先求出直線/所過(guò)的定點(diǎn)P（2,3）,數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)CP_￡/時(shí)，直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，由垂徑定理

得到最小值.

【詳解】

直線/：（"2+3卜-（"?+2）、+根=m（%-,+1）+3彳-2'=0.恒過(guò)定點(diǎn)尸（2,3）,

圓C的圓心為C（3,4）,半徑為r=3,且（2-3）?+（3-4）2=2<9,即尸在圓內(nèi)，

當(dāng)CP，/時(shí)，圓心C到直線I的距離最大為d=\CP\=42,

此時(shí)，直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為24r方=2近.

故選：D.

5.C

【分析】

依題意，可得笳=法+斯泥，再由空間向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式，代入求解即可.

6

【詳解】

由二面角的平面角的定義知〈肛AC)=135。，

所以2D?AC]cosAC)=2xcos135°=-2,

由AC_U,BDLI,得AC-8A=0，BDBA=Q，

UUIUUUUULLUUU

又因?yàn)镈C=+BA+AC，

所以

|￡>C|2=(DB+BA+AC)2=DB"++AC+2DB-BA+2DB-AC+IBA-AC

=(V2)2+22+22-2BD-AC=10-2x(-2)=14,

所以怛q=&z,即CD=M.

故選：c.

6.C

【分析】

根據(jù)雙曲線定義和|MN|=2|NF；|得到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，結(jié)合勾股定理得到方程，求出離心率.

【詳解】設(shè)|明|=〃，貝“肱V|=2〃，\MF2\^3n,

由雙曲線定義得岬I=2。，故|岬|=3〃-2a,

由勾股定理得|"打「+|叫「=山與「，即9"+(3〃一2。)2=4H①，

連接N[,貝]岫|一|蹲|=2。，故|g|=2a+〃，

由勾股定理得|上陰『+對(duì)2=防2,即4/+(3〃_2。丫=(2a+〃y②，

由②得力=第，代入①得20。2=4°2,故￡=6

3a

V/

h1aI

II\

故選：c

7.A

7

【分析】首先設(shè)/（》）=?-2，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，比較“力的大小，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)判斷/Wx+1,

e

放縮c>0-ln2,再設(shè)函數(shù)g（x）=?7nx,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得g（2）>0,再比較b,c的大小，即

可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)/（x）=?-?，，'⑺=^^二，

22

當(dāng)04x<?時(shí)，/^%）>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)無(wú)>（時(shí)，/（x）<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

2

a=f（3）,b=f（2）,>2<3時(shí)，/（3）<f（2）,即

設(shè)片e-x-1,yr=ex-l,（--。）時(shí)，/<0,函數(shù)單調(diào)遞減，（0,+力）時(shí)，/>0,函數(shù)單調(diào)遞增，所

以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值，f（O）=O,即+l恒成立，

即eg>72，

令g（x）=]-lnx,gr（x）=---,xe（O,e）時(shí)，g,（x）<0,8（同單調(diào)遞減，％€（6-^0）時(shí)，g<x）>0,g（x）

單調(diào)遞增，x=e時(shí)，函數(shù)取得最小值g（e）=O,即g（2）>0,

得：一>ln2,那么—<>/2—In2,

ee

BPe'/5-1-ln2>^-ln2>72--,即b<c,

e

綜上可知

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)，比較大小，本題的關(guān)鍵是：根據(jù)

ex>x+l,放縮c>收-ln2，從而構(gòu)造函數(shù)g（尤）=]Tnx,比較大小.

8.C

【分析】

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為加，高為心求出九/M的關(guān)系式，即可表示出四棱錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)求得其

最大值，即得答案.

【詳解】.球的表面積為36兀，所以球的半徑R=3,

8

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為小,貝！J尸=2/+?,32=2a2+(3-/z)2,

所以6/1=/2,24=/2—%2,

119(74?72

故正四棱錐的體積為丫=彳5/2=彳乂4。2、%=xZ2-—x-=

33313oJo

當(dāng)3W/K2#時(shí)，Vr>0,當(dāng)2c</44加時(shí)，V'<0,

在［3,2萌］上單調(diào)遞增，在［2",40］上單調(diào)遞減,

當(dāng)/=2前時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為三.

故選：C.

9.BC

【分析】

根據(jù)線線位置關(guān)系判斷A；證明平面a*G;，平面AEF,利用面面平行的性質(zhì)可判斷B；作出平面AEF

截正方體所得的截面，求出截面面積判斷C；設(shè)ADcA〃=。，則。是4。的中點(diǎn)。結(jié)合點(diǎn)到平面的距

離的含義判斷D.

【詳解】D.DGC,而尸為GC的中點(diǎn)，GC與AF不垂直，二。2與反不垂直，A錯(cuò)誤;

取4G中點(diǎn)H，連接AH,GH,BC「HE,由G,瓦尸分別是陰,BC,CG中點(diǎn),

AB

9

得龍，BCtEF,HGCZ平面AEF,EFu平面AE尸，故用平面AEF,

又HEBB,抽,"￡=8耳=",;.4"64是平行四邊形，

AE,aa<z平面AEF,AEU平面AEF,故A”，平面AEF，

而4“八”6=4,4",〃6<=平面4"6,故平面45G平面的，

又AGu平面AG,平面AEF,B正確；

由正方體性質(zhì)，連接歹2,42，由于4B〃GR，AB=G2，

故四邊形ABC，為平行四邊形，則3c|〃AR,而3￡〃或"故E/〃A2，

則截面AEF即為四邊形AEFD、,它是等腰梯形，

正方體冷場(chǎng)為2,故AD、=2叵EF=RD、F=AE=后,

等腰梯形AE肛的高為/7=J(有y_(述411=迪，

22

NIJ

截面面積為S=gx(血+20卜寺=|,C正確；

設(shè)ADcA，=。，則。是AQ的中點(diǎn)，而平面A￡戶(hù)即為平面人￡/2，

40門(mén)平面4￡7已=。，，4，。兩點(diǎn)到平面4所2的距離相等，D不正確.

故選：BC.

10.BCD

【分析】

令上依，則g(r)=r-e'，求導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性即可求得；B選項(xiàng)由A選項(xiàng)即可判斷B選項(xiàng)；C選項(xiàng)由

g(x)=〃尤)-。(％*0),根據(jù)方程有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程的根的問(wèn)題來(lái)判斷；D選項(xiàng)e)ax,

轉(zhuǎn)化為e"2eax,即可判斷D選項(xiàng)；

【詳解】對(duì)于A：令t=ax,貝!|g?)=r—e',g'?)=l—e'jwR,

當(dāng)te(一”,0),g'(。>0,g(r)單調(diào)遞增；

當(dāng)fe(0,+e),g'(r)<0,g(f)單調(diào)遞減.

10

.?.g(r)<g(o)=-l,的值域不為R,故A不正確；

對(duì)于B：由A選項(xiàng)可知，當(dāng)。力0時(shí)，x=0是/(X)的極值點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于C：g(無(wú))=〃尤)(4X0)有零點(diǎn)，即依有根，

當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=-l與函數(shù)y=:圖象恒有交點(diǎn)，

當(dāng)"0時(shí)，由選項(xiàng)A知/(x)1mx=〃0)=—1；

且在(-8,0)上單增，在(0,+8)上單減，

當(dāng)上>。時(shí)，函數(shù)y=g圖象在第三象限與/(x)有交點(diǎn)，

當(dāng)左<。時(shí)，函數(shù)y=g圖象在第四象限與/(x)有交點(diǎn)，

.?"(X)與函數(shù)y圖象恒有交點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于D：若-e)6a,則辦一e公<(l-e)oroe.>eor,

%

(e>ex,令〃力=1一4,/'(x)=e"—e,/'(x)>0,x>l,/,(x)<0,x<l,fM^n=f(T)=0f所以e'Nex,

故當(dāng)％=1時(shí)等號(hào)成立)，

當(dāng)工=’，則e6ueox,故D正確.

a

故選：BCD.

11.ACD

【分析】A選項(xiàng)，求出％“=：,由垂直關(guān)系得到L：y=-2x+5,與拋物線方程聯(lián)立，得到兩根之積，

求出自A?壇B=.=T；B選項(xiàng)，設(shè)&，:尤3型+乙聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之積，由勺AB=T得

至1"二22，得到L：x=my+2p,得到所過(guò)定點(diǎn)M(2,0)；C選項(xiàng)，由得到。點(diǎn)的軌跡；D選

項(xiàng)，由B選項(xiàng)基礎(chǔ)上求出SAO5=2p2J加+4,得到面積的最小值.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，D(2,l),.\k0D=；,

ODLAB,

「?KB=—2,g：y=—2x+5,聯(lián)立y2=2px,消去工,

11

有y2+py_5P=0,記4（%,%）,3（孫％），則為顯=-5p,

%%__4/=i

由a4_LOB,得4M

士赴K21yly2'

2p2p

故A正確;

對(duì)于B：可設(shè)/小工=沖+/，聯(lián)立丁=2/，消去犬，Wy2-2pmy-2pt=0,

則/+%=2pm,%y2=-2pt,由k0A-k0B=——二一1得4/—23=0,

X%

:.t=2p,/.lAB:x=my+2p,

過(guò)定點(diǎn)M（2p,0）,故B不正確；

C選項(xiàng)，VOD±AB,

.:D在以31為直徑的圓：（x-pf+y2=p?上運(yùn)動(dòng)（原點(diǎn)除外），故C正確；

D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知如：x=，孫+2p,過(guò)定點(diǎn)M（2p,0）,

X+丫2=2pm,%%=Tp?,

Sf=g，2p.|%%|=。1（%+必）2-4yly2=2P7m2+4＞4p2,

當(dāng)且僅當(dāng)加=0時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：

（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；

（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)

的最值或范圍.

、3

12.0＜左＜1或左＞4”

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)/（刈的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，再數(shù)形結(jié)合求出左的范圍.

【詳解】函數(shù)/（J=e'（2x-D的定義域?yàn)椋?,1）51"）,求導(dǎo)得尸（無(wú)）="，（2:3）,

x-1（X-1）

33

當(dāng)xvO或x＞—時(shí)，＞0,當(dāng)Ov犬vl或1＜兀＜—時(shí)，/r（x）＜0,

22

33

因此函數(shù)“九）在（-8,0）,（不+8）上單調(diào)遞增，在（0,1）,（1,7）上單調(diào)遞減，

22

12

當(dāng)x=0時(shí)，/（x）取得極大值”。）=1,當(dāng)x=|時(shí)，/⑺取得極小值/（|）=41，

函數(shù)/（元）在（F,0）上恒有/（X）>0,而/（1）=0,

3e3

當(dāng)l<x<7時(shí)，/（x）>2e+—e而函數(shù)y=2e+—；在（1,彳）上遞減，值域?yàn)椋?e,+o））,

2x-1x-12

333

因此函數(shù)/（九）在（1,1）上無(wú)最大值，當(dāng)工〉,時(shí)，/（x）>2ex,顯然/（九）在（于+8）上無(wú)最大值,

函數(shù)/（幻=-（2”-1）的大致圖象如圖,

3

觀察圖象知，當(dāng)。<人<1或%>4”時(shí)，直線，=左與函數(shù)y=/（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),

因此方程/（X）-左=o有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，0<A<1或/>4”，

、3

所以實(shí)數(shù)%的取值范圍是0<%<1或左>4趣

3

故答案為：0v左vl或左>4/

13.I-K0

【分析】結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，觀察圖形可得出三角形的邊長(zhǎng)為氏，邊數(shù)為4滿足g=；4T，

2=4%,求出通項(xiàng)公式，利用（=。也計(jì)算即可；易得到與=%+%*￥M，利用累加法及等比數(shù)

列相關(guān)公式求解即可.

【詳解】記第〃個(gè)圖形為三角形的邊長(zhǎng)為與,邊數(shù)為a，周長(zhǎng)為4,面積為s“,

則《有4條邊，邊長(zhǎng)為4蜴有打=的條邊，邊長(zhǎng)為%=；4；6有a=爐4條邊，邊長(zhǎng)為4=II%;

*，即為=[g]%也=4%，即2=偽,4"一.

當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為1時(shí),

13

nn—\

4

X3X4〃T

即4=1,瓦=3,/.L>n-a,b.

由圖形可知Pn是在匕T每條邊上生成一個(gè)小三角形,

即S,=S“_]+bn_tX與a：,

即S"-S"-1=￡片-S“_2=￡a；-i0-2，，S2~Si=~ai'b\,

利用累加法可得S"-S[=（a：?b,i+by+，

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是以;為公比的等比數(shù)列，數(shù)列｛2｝是以4為公比的等比數(shù)列,

故數(shù)列｛W?2—｝是以2為公比的等比數(shù)列，

當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形面積為1時(shí)，y=1,即走d=1,

此時(shí)02=半,煩=挈/有々=3條邊，

則“飛+/?》?I⑻人工⑺J

UnUn-\十Un-\Un-2十%%14-、，

1----

9

???S"/=|x『01.s,=_|一|x（』,故答案為:

14.[10,18]

【分析】

上+%|+但+%]為川（冷乂）和N（w，%）到直線彳+丫=。距離之和的0倍，是MN的中點(diǎn)P到直線

元+y=。距離的20倍，利用尸點(diǎn)軌跡，求取值范圍.

【詳解】

由題知，圓C的圓心坐標(biāo)C（3,4）,半徑為2,因?yàn)閨"N|=2收，所以C0LQV.

設(shè)P為MN的中點(diǎn)，所以|CP|=0,所以點(diǎn)P的軌跡方程為（x-3y+（y-4）2=2.

點(diǎn)尸的軌跡是以C（3,4）為圓心半徑為近的圓.

設(shè)點(diǎn)M,N,尸到直線光+y=。的距離分別為4,d2,d,

14

所以4=邛，4=匕對(duì)，d—

A/2A/22

所以g+yj+|%2+%|=逝（4+〃2）=2e".

因?yàn)辄c(diǎn)C到直線x+y=O的距離為厘=述，所以還一叵4d4正+貶,

V2222

即孚VdW尊，所以1042及1V18.

所以歸+對(duì)+國(guó)+%|的取值范圍為［10，18］.

故答案為：［10,18］

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：

利用人+乂|+|々+%|的幾何意義，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為為知(人,%)和N(%,為)到直線》+y=o距離之和，再轉(zhuǎn)化

為“v的中點(diǎn)尸到直線無(wú)+>=。距離，由p點(diǎn)軌跡是圓，可求取值范圍.

15.(l)/W=200,第80百分位數(shù)為37.5

3

⑵(i)j；(ii)10

【分析】(1)根據(jù)第一組的人數(shù)及所占比例求出帆=200,利用百分位數(shù)的計(jì)算公式求出第80百分位

數(shù)為37.5；

(2)(i)利用列舉法求解甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

(ii)結(jié)合第四組和第五組的平均數(shù)和方差，利用公式求出這機(jī)人中35~45歲所有人的平均數(shù)和方差.

【詳解】(1)由題意，—=5x0.01,所以〃?=200.

m

設(shè)第80百分位數(shù)為a,

因?yàn)?.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7<0.8,0.01x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9>0.8,

故第80百分位數(shù)位于第四組：［35,40)內(nèi)，

由0.05+0.35+0.3+(a—35)x0.04=0.8,解得：a=37.5,

15

所以第80百分位數(shù)為37.5；

（2）（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為A,B,C,甲，第五組抽取2人，記為。，乙，

對(duì)應(yīng)的樣本空間為：Q=｛（AB）,（AC）,（A,甲）,（A,乙（氏C）,?,甲）,（3,乙），（B,D）,

（C,甲），（C,乙）,（C,。），（甲，乙），（甲，D）,（乙，D）｝，共15個(gè)樣本點(diǎn).

設(shè)事件M="甲、乙兩人至少一人被選上”，

則/=｛（4,甲）,（4,乙）,（8,甲）,（8,乙），（C,甲）,（C,乙），（甲，乙）,（甲，。）,（乙，D）｝,

共有9個(gè)樣本點(diǎn).所以尸（〃）=一太=￡.

（ii）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為羽，弓，方差分別為

則x4=37,無(wú)5=43,s：=g,s；=1,

設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為N,方差為S2.

則轉(zhuǎn)生產(chǎn)=39,

s2=g｛4x[sj+（無(wú)一可1+2x[s；+（耳一可][=10,

因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10,

據(jù)此，可估計(jì)這，"人中年齡在3545歲的所有人的年齡方差約為10.

16.（1）%=2"（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用累加法求解即可；

（2）根據(jù)題中條件可得為等差數(shù)列，繼而可求得s“=當(dāng)4,bn=n,利用錯(cuò)誤相減法求得

7；=4-7言1+2，考場(chǎng)其單調(diào)性即可證明.

【詳解】⑴?！?|-。"=2"，4=2,

2時(shí)，

=q+（%-q）+3-%）++（%一2-%）+（〃〃一q—1）

=2+2!+22++2"2+2"T

2（1-2〃T）

=2+-^--------^=2〃.

1-2

又4=2符合上式，所以%=2〃.

16

⑵由"-S'=-^」，

用---7-41

n+1n291

??.數(shù)列是以公差為首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,

<1n

貝I蕾=5(z")=丁n+1，即anS"=n(n-4+t^).

、“-rt

當(dāng)時(shí)，n(n+\\n(n-\\L

bn=Sn-Sn—ii=?^?=n,

仇=1也符合該式，

2h2nn

則A

2〃T'

123n

記北=吩+喳+展++k'

123n

=------1-------1--------1-H-------r

2°21222'T

由,

123n

=~r-^——?+H------

212223T

作差得％=1+?研1n

+L+工-

2"T2〃

1

1-

2nn+2〃+2

2--------，則雹=4—

1-;2”2〃2〃T

〃+2〃+3n+1_

=------>0,

TT

，數(shù)列｛1｝在〃eN*上單調(diào)遞增，（%/=Z=1，

-Tn>l.

即空+與+Z1.

a

%〃2n

17.（1）逅（2）1（3）存在，且照=；

33QD2

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可推得尸0/平面A5CD.根據(jù)已知得出OC_LAD.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立空間直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)以及向量的坐標(biāo).根據(jù)線面垂直的判定定理得出Q4,平面尸OC,求出

PB,04的坐標(biāo)，即可根據(jù)向量法求出答案；

（2）求出平面尸8的法向量，根據(jù)向量法即可得出距離；

（3）假設(shè)存在，^PQ=APD（0<A<l）,得出。（04』-4）.求出平面G4Q的法向量，根據(jù)二面角結(jié)合向

17

量，列出方程，求解即可得出2的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】（1）在二中，PA=PD,。為AO的中點(diǎn)，

所以「

又因?yàn)槊嫔?￡>_L底面A3GD,平面RWc平面A?CD=AD,POu平面上4￡）,

所以，尸。1平面45co.

在..PAD中，PALPD,PA=PD=y/2,

所以，A￡>==2,OP=^AD=1.

在直角梯形A3CD中，。為AO的中點(diǎn)，

所以。4'AD=1=BC.

2

又OA//BC,

所以四邊形。4BC為平行四邊形，OC//AB.

因?yàn)椋珹B±AD,所以O(shè)C_LAD.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0C所在直線為x軸，0D所在直線為y軸，0P所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，

則。（0,0,0）,P（0,0,l）,4（0,TO）,3（1,—1,0）,C（l,0,0）,D（0,l,0）,

所以廂=(1,T-1).

因?yàn)椤?J_OP,OA±OC,OPr>OC=O,OPu平面POC,OCu平面尸OC,

所以04,平面POC,

所以。4=（0,-1,0）為平面尸OC的法向量.

PBOA_73

因?yàn)閏os(PB,OA)=

網(wǎng)忸一3

所以f3與平面POC所成角的正弦值為且，余弦值為A/6

3V

B

18

(2)由(1)可得沖PC=(1,O,-1),PD=(O,l,-l),

設(shè)平面PCD的法向量為〃=(x,y,z),

u?PC=x-z=0

則

u-PD=y-z=0

取z=l,得”=(1,1,1).

\PB-u\h-i-il73

所以，5點(diǎn)到平面PCD的距離d===：

(3)假設(shè)存在，且設(shè)尸。=/LPZ)(OV2Vl).

因?yàn)镻D=(O,l,-l),

所以O(shè)Q—OP=PQ=(0,4T),C>e=(O,A,l-A),e(O,A,l-A).

設(shè)平面G4Q的法向量為m=(大,wzj,AC=(1,1,0),Ag=(0,2+l,l-A),

則m-AC=：x+y.、=0,、,

TH?AQ—(X+1)M+(1—幾)Z]=0

取Z1=1+X,得加=(1一九4—1,4+1).

因?yàn)镺P_L平面ABC。，所以平面CW的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1}

因?yàn)槎娼恰?AC-。的余弦值為逅,

3

|丸+1|_A/6

.J(l-Z)2+(A-1)2+(2+1)2xl3

整理化簡(jiǎn)，得342-104+3=0,解得或4=3(舍去)，

所以，線段尸。上存在滿足題意的點(diǎn)。，且照=；.

18.⑴土+反=]⑵更

434

【分析】

(1)根據(jù)題意，列出關(guān)于d瓦c的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，設(shè)直線尸。的方程為工=叫+〃(加學(xué)0),聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，再由

三角形的面積公式，代入計(jì)算，結(jié)合基本不等式，即可得到結(jié)果.

19

【詳解】⑴橢圓的離心率為92；,即a=2c.

a

橢圓上動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)耳的最大距離為3,，a+c=3,

22

a=2,c=1,/.b=A/3,.\橢圓。的方程為工+匕=1.

43

（2）設(shè)。（玉,%）,尺（%2，%）,由⑴知，4（-1,。），

ZPFxQ+ZPFxR=7r,:.kQF+kRFt=0,

必?必

=°,化簡(jiǎn)整理，得M=。.

x1+1x2+1

設(shè)直線產(chǎn)。的方程為》=沖+〃（租學(xué)o）,

x-my+n

聯(lián)立—J,2

I43

.'.A=36療/-4(3/n2+4)(3/-12)>0,.\?2<3病+4.

6mn3H2-12

%+%=-3/=3療+4，%=721+"，%+"，

玉%+%+NX+X=2〃/%+(〃+1)(%+%)=0，

3n2-126mn

2m-+5+1)-=0,,加w0,〃二—4,

3m2+43m2+4

直線PQ的方程為了=叼-4（根wO）.

/、-1+43

點(diǎn)4(-1,0)到直線PQ的距離d=I1

VI+m1+m2

2二1

.*.5