人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元測(cè)試卷第18章平行四邊形

第18章平行四邊形（培優(yōu)篇）

一、單選題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）

1.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DHDAB于H,則DH等于（

C.5D.4

55

2.在口ABC/中，BC=2AB,COLAB于點(diǎn)。，點(diǎn)E為A/的中點(diǎn)，若440￡=50。，貝（J/3

的度數(shù)是（)

A.50°B.60°C.70°D.80°

3.如圖，在口ABC。中，ZABC./BCD的平分線5￡、C尸分別與4。相交于點(diǎn)及F,BE

與CF相交于點(diǎn)G,若，AB=6,BC=W,C/=4,貝I」BE的長為（）

A.4x/2B.8C.8拒D.10

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，過點(diǎn)A作AG_LBC于G，作A"CD于,且NGA”=45。,

AG=2,AH=3,則平行四邊形的面積是（）

A.6石B.1272C.6D.12

5.如圖，直線PQ是矩形ABCD的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)E在AB邊上，將DADE沿DE折疊,

點(diǎn)A恰好落在CE與PQ的交點(diǎn)F處，若SADEC=4褥，則AD的長為（）

C.4/D.2后

6.如圖，已知“BC中，UACB=90°,AC=BC=2,將直角邊/C繞/點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至工。,

連接6。，E為2。的中點(diǎn)，連接C瓦則CE的最大值為（）.

CB

A.75B.V2+1C.&+1D.6+1

22

7.矩形NBC。與ECPG如圖放置，點(diǎn)B,C,尸共線，點(diǎn)C,E,。共線，連接NG,取/G

的中點(diǎn)H,連接若AB=CF=4,BC=CE=2,貝!］即=()

A.y/2B.2C.百D.石

8.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊,恰好得到菱形AECF,若AB=3,則菱形AECF

的面積為()

9.如圖，點(diǎn)0(0,0),A(0,1)是正方形OAAjB的兩個(gè)頂點(diǎn)，以O(shè)A1對(duì)角線為邊作正

方形OA1A2B],再以正方形的對(duì)角線OA?作正方形OA2A3B2，…，依此規(guī)律，則點(diǎn)Az。"

的坐標(biāo)是()

A.(0,21008)B.(21008,21008)C.(21009,0)D.(21009,—21009)

10.如圖，正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E、F分別在AB,AD上,若CE=3",且□ECF=45。,

則CF長為（）

A.2MB.375C.D.

33

11.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)。為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，沿BE折疊，點(diǎn)C

恰好與點(diǎn)O重合,點(diǎn)G為BD上的一動(dòng)點(diǎn)，則EG+CG的最小值m與BC的數(shù)量關(guān)系是（）

A.>/3m=>j5BCB.m=72BCC.>/3m=77BCD.2m=s/7BC

12.如圖，在正方形ABCD和正方形。斯G中，點(diǎn)G在CD上，DE=2,將正方形。EFG繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得到正方形DE尸G。此時(shí)點(diǎn)G，在ZC上，連接C9,則CE'+CG=（）

A.y/2+y/6B.^3+1C.石+石D.y/3+46

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

13.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AB=0B,點(diǎn)E、點(diǎn)F分

別是0A、0D的中點(diǎn)，連接EF,DCEFM50,EM^BC于點(diǎn)M,EM交BD于點(diǎn)N,FN=>/io,

則線段BC的長為.

14.如圖，在用中，ZACB^90°,斜邊過點(diǎn)C作以48為邊作

菱形A8EF，若NF=30。，則放AABC的面積為.

15.在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，AC是平行四邊形

ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在AC上，AD=AE=BE,ZD=102°,貝UNBAC的大小是.

16.如圖，在四邊形ABCD中，ADDBC,AD=4,BC=12,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).點(diǎn)P、Q分

別是邊AD、BC上的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后再返

回點(diǎn)A,同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終

點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為秒時(shí)，以點(diǎn)A、P,Q,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形.

AD

B

EQ

17.如圖，□MAN=90。，點(diǎn)C在邊AM上，AC=4,點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC,AA-BC

與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn)，連接DE并延長交AB

所在直線于點(diǎn)F,連接A，E.當(dāng)AA，EF為直角三角形時(shí)，AB的長為.

18.如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AMBN,連接AC交BN

于點(diǎn)E,連接DE交AM于點(diǎn)F,連接CF,若正方形的邊長為6,則線段CF的最小值是.

三、解答題(本大題共6小題，共60分)

19.(8分)如圖，在口ABCD中，分別以邊BC,CD作等腰DBCF,DCDE,使BC=BF,

CD=DE,DCBF=DCDE,連接AF,AE.

(1)求證：DABFDDEDA；

(2)延長AB與CF相交于G,若AFDAE,求證BF1BC.

20.(8分)如圖1,在48CD中，口。=45。，E為8c上一點(diǎn)，連接NC,AE,

(1)若AB=2&,AE=4,求BE的長；

(2)如圖2,過C作CMU4。于M,F為AE上一點(diǎn),CA=CF,Si.UACF=UBAE,求證:

AF+AB=QAM.

21.（10分）在口4BC中，點(diǎn)。、E分別在邊/C、8c上（不與點(diǎn)4B、C重合），點(diǎn)尸是

直線上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)48重合）.設(shè)口產(chǎn)￡%=力DPEB=y,JDPE=m,HC=n.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，且”=90。時(shí)

口若PDQBC,PEDAC,則加=；

口若加=50。，求x+y的值.

22.（10分）如圖，矩形A8C。中，點(diǎn)E在邊CO上，將ABCE沿3E折疊，點(diǎn)C落在A。邊

上的點(diǎn)尸處，過點(diǎn)尸作PG/CD交BE于點(diǎn)G,連接CG.

（1）求證：四邊形CEFG是菱形；

（2）若AB=6,AO=10,求四邊形CEFG的面積.

23.（12分）（1）如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，DEAF=45O,求

證：EF=BE+FD;

（2）如圖2,四邊形ABCD中，口：6人口￥90。，AB=AD,□B+DD=180°,點(diǎn)E、F分別在邊

BC、CD上，則當(dāng)DEAF與DBAD滿足什么關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+FD,說明理由.

(3)如圖3,四邊形ABCD中，EIBADT^O。,AB=AD,AC平分DBCD,AEE1BC于E,AFEICD

交CD延長線于F,若BC=8,CD=3,則CE=.（不需證明）

24.（12分）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,在正方形A8CD中，點(diǎn)、E,尸分別是BC,CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且NE4尸=45。，求證：

EP=DF+8E.小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AAOG,使A8與A。重合

時(shí)能夠證明，請(qǐng)你給出證明過程.

（2）【類比引申】

□如圖2,在正方形ABCD中，如果點(diǎn)E,尸分別是,DC延長線上的動(dòng)點(diǎn),且ZEAF=45。，

則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)寫出E7LBE,。尸之間的數(shù)量關(guān)系（不

要求證明）

□如圖3,如果點(diǎn)E,歹分別是BC,CD延長線上的動(dòng)點(diǎn)，S.ZEAF=45°,則EF,BE>DF

之間的數(shù)量關(guān)系是（不要求證明）

（3）【聯(lián)想拓展】如圖1,若正方形ABCD的邊長為6,AE=30求A尸的長.

參考答案

1.A

【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)求出AO=4,OB=3,□AOB=90°,根據(jù)勾股定理求出AB,再根據(jù)

菱形的面積公式求出即可.

【詳解】

□四邊形ABCD是菱形，

口AO=OC,BO=OD,ACQBD,

□AC=8,DB=6,

口AO=4,0B=3,口AOB=90。，

由勾股定理得：AB=,32+42=5,

IS菱形BC5]XACXBD=ABxDE,

lx8x6=5xJDH,

2

24

□DH=y,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理和菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)菱形的性質(zhì)得出S菱形ABCD

=1><ACxBD=ABxDH是解此題的關(guān)鍵.

2

2.D

【分析】連結(jié)CE,并延長CE,交氏4的延長線于點(diǎn)N,根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)

可證明所以NE=CE,NA=CF,再由已知條件于。，NADE=

50°,即可求出的度數(shù).

【詳解】

解：連結(jié)CE,并延長CE,交由的延長線于點(diǎn)N,

N

???四邊形ABCF是平行四邊形,

：.AB//CF,AB=CF,

：.ZNAE=ZF,

丁點(diǎn)E是的4尸中點(diǎn),

:.AE=FE,

在△兒4￡和4。莊1中，

"/NAE=/F

<AE=FE,

ZAEN=ZFEC

：.ANAE^/\CFE(ASA)f

：.NE=CE,NA=CF,

\9AB=CF,

：.NA=AB,即BN=24B,

,;BC=2AB,

:?BC=BN,ZN=ZNCBf

?：CDL4B于D,即NNZ)C=90°且NE=CE,

：.DE=LNC=NE,

2

:?/N=/NDE=5C=ZNCB,

：.ZB=SO°.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是正確作

出輔助線，構(gòu)造全等三角形，在利用等腰三角形的性質(zhì)解答.

3.C

【分析】根據(jù)平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行可得□4508=180。，再根據(jù)角平分線的性

質(zhì)可得口砂。+□/。5=90。，可得BEUCF；過/作□/C,交BC于M,交BE于O,證

明口45￡是等腰三角形，進(jìn)而得到50=50,再利用勾股定理計(jì)算出￡。的長，進(jìn)而可得答

案.

【詳解】

解：□四邊形45CQ是平行四邊形，

UABUCD,

□nABC+UBCD=\^°,

UUABC.QBCD的平分線BE、CF分別與相交于點(diǎn)后F,

□□EBC+□尸C5=JDABC+i-\JDCB=90°,

22

DEBDFC,

□□尸G5=900.

過4作⑷/□產(chǎn)C,交BC于M,交BE于O,如圖所示：

UAMUFC,

□\JAOB=UFGB=90°,

□BE平分口/BC,

\J\JABE=nEBC,

HADDBC,

\J\JAEB=UCBE,

\J\JABE=DAEB,

口AB=AE=6,

口4ODBE,

UBO=EO,

在口4。8和：WO8中，

ZAEO=AMBO

<EO=BO,

NAOE=/MOB

UUAOEUDMOB(ASA),

UAO^MO,

HAFUCM,AMDFC,

□四邊形4MC戶是平行四邊形，

\JAM=FC=4,

口40=2,

□E0=y]AE2-AO2=/62-22=4s/2，

□BE=8正.

故選：C.

【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判

定和性質(zhì)以及勾股定理；證明49=MO,8O=EO是解決問題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】設(shè)NB=x,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得ND=/B=x,ZBAD=180°-x,AB=CD,

再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得x=45。，然后根據(jù)等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理可得A2=2近，從而可得CD=2石，最后利用平行四邊形的面積公式即

可得.

【詳解】

設(shè)N3=x,

四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ZD=ZB=x,/BAD=180°-ZB=l80°-x,AB=CD,

?/AG1BC,AH1CD,

:.ZBAG=900-ZB=90°-x,ADAH=90°-ZD=90°-xf

又???ABAG+ZGAH+ZDAH=ABAD=180°-x,ZGAH=45°,

/.90°-x+45°+90°-x=180°-%,

解得％=45。,

即4=45。，

.?.RSABG是等腰直角三角形，

BG=AG=2,AB=4AG?；BG2=2五，

:.CD=,

???平行四邊形ABCD的面積是4".。=3*2>/1=6點(diǎn)，

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.D

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得□ADE=DEDF=DCDF=30。，再根據(jù)三角形面

積公式可求AD的長.

【詳解】

解：□四邊形ABCD是矩形，

□□A=90°,

□直線PQ是矩形ABCD的一條對(duì)稱軸，

JJDGF=90°,CDJPQ,DG=1AD,

2

由折疊得□EFD=：1A=9O。，DF=AD,口EDF=dADE,

□□CFD=90。，

□EF=CF,

□□EDF=DCDF,

□DADE=nEDF=□CDF=30°,

[EF=3DF,

3

□EC=—AD,

3

IS^EC—4出，

□ADx到AD+2=4",

3

解得AD=26.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形

狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.解決本題的關(guān)鍵是求出

□ADE=OEDF=DCDF=30°.

6.B

【分析】取48的中點(diǎn)連接CM,EM,當(dāng)CE=CA什W時(shí)，CE的值最大，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)得到NC=/C=2,由三角形的中位線的性質(zhì)得到根據(jù)勾股定理得到

AB=2g,即可得到結(jié)論.

【詳解】

取的中點(diǎn)連接CM,EM,.?.當(dāng)CE=CAaEM時(shí)，CE的值最大.

?；將直角邊/C繞/點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DAC'=AC=2.

JE^jBC的中點(diǎn)，口放=工/。=1.

2

□□/C3=90。，/C=8C=2,MB=28,UCM=^AB=j2,QCE=CM+EM=+1

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.A

【分析】延長GE交AB于點(diǎn)R,連接AE,設(shè)AG交DE于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作ENOAG于N,

先計(jì)算出RG=6,DARG=90°,AR=2,根據(jù)勾股定理求出AG=2碗，得至UHG=而，利

用S=-EGAR=-AGEN,求出硒=口但，即可利用勾股定理求出NG、EH.

AEG225

【詳解】

如圖，延長GE交AB于點(diǎn)R,連接AE,設(shè)AG交DE于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作ENDAG于N,

□矩形N8C。與ECFG如圖放置，點(diǎn)8,C,尸共線，點(diǎn)C,E,。共線，

□RG=BF=BC+CF=2+4=6,□ARG=90°,AR=AR-CE=4-2=2,

AG=xlAR2+RG2=J2z+62=2>/10，

□H是AG中點(diǎn)，

□HG=M，

_S=-EGAR=-AGEN,

JEG22

□4x2=2V10EAf,

一硒子

在RtDENG中，NGZEGZ-ENZ

5

口NH=NG-HG=^~

5

EH=>JNH2+EN2=>/2

故選：A.

B

【點(diǎn)撥】此題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，三角形面積法求線段長度，熟

記矩形的性質(zhì)及熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】根據(jù)菱形AECF,^DF^nECO,再利用□ECO―ECB,可通過折疊的性質(zhì)，結(jié)

合直角三角形勾股定理求得BC的長，則利用菱形的面積公式即可求解.

【詳解】

解：口四邊形AECF是菱形，AB=3,

□假設(shè)BE=x,貝1|AE=3-x,CE=3-x,

□四邊形AECF是菱形，

□□FCO=DECO,

□□ECO=DECB,

□OECO=DECB=QFCO=30°,

2BE=CE,

□CE=2x,

□2x=3-x,

解得：x=l,

□CE=2,利用勾股定理得出：

BC2+BE2=EC2,

BC=,《EC2-BE2=5/22-12=6，

XDAE=AB-BE=3-1=2,

則菱形的面積是：AEBC=26.

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查折疊問題以及勾股定理.解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于

軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等.

9.B

【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和平面直角坐標(biāo)系特點(diǎn)，觀察點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律即可解答.

【詳解】

解：觀察,發(fā)現(xiàn)：4（0,1）、

4（1,1）4（2,0）4（2,—2）4（0,-4）4（-4,-4）4（-8,0）4（-8,8）4（0,16）4（16,16）…，

\2A^i+l（2w,24n）（?為自然數(shù)）；

□2017=252x8+1,

□420/7（2252*4,2252*4）,即點(diǎn)^^^＞（21008,21008）.

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形性質(zhì)和平面直角坐標(biāo)系特點(diǎn)，屬于規(guī)律型題目，熟練掌握正方形

的性質(zhì)、找準(zhǔn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

10.A

【分析】如圖，延長FD到G,使DG=BE,連接CG、EF,ffiDGCFDDECF,得到GF=EF,

再利用勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】

解：如圖，延長FD到G,使DG=BE,連接CG、EF

口四邊形ABCD為正方形，在4BCE與ADCG中，DCB=CD,nCBE=OCDG,BE=DG,

□OBCEnnDCG（SAS）

□CG=CE,□DCG=DBCE

□□GCF=45°

在AGCF與AECF中

□GC=EC,□GCF=DECF,CF=CF

□□GCFDQECF(SAS)

□GF=EF

□CE=3、?,CB=6

[BE=yjcE2-CB2=7(375)2-62=3

□AE=3,設(shè)AF=x,貝ijDF=6-x,GF=3+(6-x)=9-x

□EF=y]AE2+x2=19+x2

□(9一X)2=9+X2

□x=4,即AF=4

□GF=5

□DF=2

[CF=Jc￡>2+￡>.2=正+22=2、庇

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.勾股定理；3.正方形的性質(zhì)，作出輔

助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

11.C

【分析】AOBC是等邊三角形，延長E。交48于K,連接CK交于G,連接GE,由題

意E、K關(guān)于8。對(duì)稱，推出GE+GC=GK+GC,當(dāng)K、G、C共線時(shí)，GE+GC的值最

小，最小值為KC的長.

【詳解】

如圖，由題意ZBOE=ZBCE=90。，OB=BC=OC,

AOBC是等邊三角形，

延長EO交AB于K,連接CK交20于G,連接GE,

由題意E、K關(guān)于80對(duì)稱，

GE+GC=GK+GC,

:.當(dāng)K、G、C共線時(shí)，GE+GC的值最小，最小值為KC的長,

設(shè)BC—a,CK=m,

在RfABOK中，VZKBO=3Q°,OB=a,

BK=OB+cos30°=a,

3

在及ACBK中，BC2+BK2=CK2,

(243Y

。2+I---3--aJ=mi,

3m2=7a2,

'Jim='j^a-

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱-最短問題，翻折變換，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添

加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型

12.A

【詳解】

試題解析：作G7DCD于/,G7?OBC于R,ETfQ&C交8C的延長線于連接應(yīng)三則四

邊形RC/G，是正方形.

□□Z)GP=UGR=90°,□□DG'A□夫G'F',在口67八和□G'RF中，口6'￡>=G'F,GDG'I=URG'F',

G'I=G'R,WG'IDQQG'RF,WG'ID=HG'RF'=90°,□點(diǎn)尸在線段3c上，在氏口￡/〃中，

0E'F'=2,口￡發(fā)"=30°,UE'H=^-E'F'=1,F'H=J3,易證DAG尸□□HF?,URF'=E'H,

2

RG'RC=F'H,QCH=RF'=E'H,UCE=6,nRG'=HF'=^,□CG'=&RG'=>/?,UCE'+CG'=

壺76.

故選A.

13.4五

【分析】設(shè)EF=x,根據(jù)三角形的中位線定理表示AD=2x,ADDEF,可得□CAD="EF=45。，

證明AEMC是等腰直角三角形，則E1CEM=45。，證明△ENFETOMNB,則EN=MN=Lx,

2

BN=FN=VW,最后利用勾股定理計(jì)算x的值，可得BC的長.

【詳解】

設(shè)EF=x,

□點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是OA、OD的中點(diǎn)，

□EF>AOAD的中位線，

□AD=2x,ADDEF,

□□CAD=nCEF=45°,

□四邊形ABCD是平行四邊形,

□ADDBC,AD=BC=2x,

□□ACB=QCAD=45°,

□EMDBC,

□□EMC=90°,

□□EMC是等腰直角三角形，

□□CEM=45°,

連接BE,

□AB=OB,AE=OE

□BEDAO

□□BEM=45°,

□BM=EM=MC=x,

□BM=FE,

易得2kENF口口MNB,

□EN=MN=：x,BN=FN=>/w,

R3BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2,

□()2=X2+(-X)2,

2’

x=2后或-2后(舍)，

□BC=2x=4折.

故答案為46.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理；解決問題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，利用方程思想解決問題.

14.L

2

【分析】如下圖，先利用直角三角形中30。角的性質(zhì)求出HE的長度，然后利用平行線間的

距離處處相等，可得CG的長度，即可求出直角三角形ABC面積.

【詳解】

如圖，分別過點(diǎn)E、C作EH、CG垂直AB,垂足為點(diǎn)H、G,

□根據(jù)題意四邊形ABEF為菱形，

□AB=BE=72，

又□□ABE=30°

□在RTdBHE中，EH=也，

2

根據(jù)題意，ABOCF,

根據(jù)平行線間的距離處處相等，

□HE=CG=—,

2

□蟲45。的面積為、&正」.

222

【點(diǎn)撥】本題的輔助線是解答本題的關(guān)鍵，通過輔助線，利用直角三角形中的30。角所對(duì)直

角邊是斜邊一半的性質(zhì)，求出HE,再利用平行線間的距離處處相等這一知識(shí)點(diǎn)得到HE=CG,

最終求出直角三角形面積.

15.26°.

【分析】設(shè)DBACnx,然后結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)和已知條件用x表示出DEBA、DBEC、

□BCE,HBEC、口DCA、ODCB,最后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，列方程求出x即

可.

【詳解】

解：設(shè)DBACux

□平行四邊形A8CD的對(duì)角線

□DC//AB,AD=BC,AD//BC

□ODCA=DBAC=x

□AE=BE

□□EBA=QBAC=x

□□BEC=2x

QAD^AE=BE

□BE=BC

□□BCE=DBEC=2x

□□DCB=OBCE+DDCA=3x

1AD//BC,ND=102°

□□D+DDCB=180°,即102°+3x=180°,解得x=26°.

故答案為26°.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用平行四邊形結(jié)

合已知條件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本題的關(guān)鍵.

16.2或上14.

3

【分析】分別從當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和B之間與當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和C之間去分析，根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)，可得方程，繼而可求得答案.

【詳解】

解：:E是BC的中點(diǎn)，

/.BE=CE=-BC=—x12=6,

22

□當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和C之間，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則AP=t,DP=AD-AP=4-t,CQ=2t,EQ=CE-CQ=6-2t

t=6-2t,

解得:t=2;

□當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和B之間,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則AP=t,DP=AD-AP=4-t,CQ=2t,

EQ=CQ-CE=2t-6,

t=2t-6,

解得t=6(舍)，

□P點(diǎn)當(dāng)D后再返回點(diǎn)A時(shí)候，Q運(yùn)動(dòng)到E和B之間,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,

貝l」AP=4-(t-4)=8-t,EQ=2t-6,

cc,14

8-t=2t-6，t=—,

3

14

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2、§秒時(shí)似點(diǎn)P,Q,E,A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

故答案為：2或?qū)?4.

【點(diǎn)撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及解一元一次方程.

17.4石或4

【詳解】

分析：當(dāng)AA，EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：

□當(dāng)□A，EF=90°時(shí)，如圖1,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和平行線可得：A'C=A'E=4,根據(jù)直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)得：BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的長；

□^□A'FE=9O°0t-如圖2,證明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

詳解：當(dāng)aAEF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況:

□當(dāng)口ATT^gO。時(shí)，如圖1,

□□ABC與2kABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱,

□AfC=AC=4,□ACB=DA,CB,

□點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn)，

□D、E是^ABC的中位線，

□DEDAB,

□□CDE=DMAN=90°,

□□CDEnDAEF,

口ACDAR

□□ACB=nA!EC,

□□ACBRAFC,

□A，C=A舊=4,

R3ACB中，DE是斜邊BC的中點(diǎn)，

□BC=2A,E=8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2,

□AB=j8242=4。;

□^□A'FE=90°Bf,如圖2,

□□ADF=DA=DDFB=90°,

□□ABF=90°,

□□A，BC與9BC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，

□□ABC=OCBA'=45°,

□□ABC是等腰直角三角形，

□AB=AC=4；.

綜上所述，AB的長為4后或4；

故答案為4/或4.

點(diǎn)睛：本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、

直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類討論的思想解決問題.

18.375-3

【分析】先判斷出RtaADMDR3BCN（HL）,得出/DAM=/CBN,進(jìn)而判斷出ADCE」

ABCE（SAS）,得出/CDE=/CBE,即可判斷出NAFD=90，根據(jù)直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半可得0F=；AD=3,利用勾股定理列式求出0C,然后根據(jù)三角形的三

邊關(guān)系可知當(dāng)0、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的長度最小.

【詳解】

如圖,

在正方形ABCD中，AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,NDCE=/BCE,

在RUADM和Rt^BCN中，

{A^=BfeN,

RtiADMRLBCN（HL）,

.-.ZDAM=ZCBN,

在ADCE和ABCE中，

BC=CD

-ZDCE=ZBCE,

CE=CE

.'.ADCEABCE（SAS）,

.-.ZCDE=ZCBE,

r.NDAM=NCDE,

ZADF+ZCDE=ZADC=90,

ZDAM+ZADF=90,

.-.ZAFD=180-90=90,

取AD的中點(diǎn)O,連接OF、OC,

貝IJOF=DO」AD=3,

2

在RSODC中，OC=jDO2+DC2=3"，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OF+CF>OC,

.?.當(dāng)O、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的長度最小，

最小值=OC-OF=3"-3,

故答案為3所-3.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，確定出CF最小

時(shí)點(diǎn)F的位置是解題關(guān)鍵.

19.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【詳解】

分析：(1)證明AB=DE,FB=AD,□ABF=：3ADE即可解決問題；

(2)只要證明FBDAD即可解決問題.

詳(1)證明：□四邊形ABCD是平行四邊形，

□AB=CD,AD=BC,DABC=OADC,

□BC=BF,CD=DE,

□BF=AD,AB=DE,

□□ADE+DADC+DEDC=360°,□ABF+CABC+nCBF=360°,□EDC=QCBF,

□□ADE=DABF,

在［ZABF與DEDA中，

□AB=DE,DABF=OADE,BF=AD

□□ABFOnEDA.

(2)證明：延長FB交AD于H.

a

□AEQAF,

□□EAF=90°,

□□ABFOOEDA,

□□EAD=DAFB,

□□EAD+DFAH=90°,

□□FAH+DAFB=90°,

□□AHF=90°,即FB口AD,

□ADDBC,

□FBDBC.

點(diǎn)睛：本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型.

20.(1)2/-2；(2)見解析

【分析】(1)如圖(1),過4作4〃口5。于〃，解直角三角形即可得到結(jié)論；

(2)如圖(2),在/河上截取在&CF內(nèi)以力耳為底邊作等腰直角三角形/方尸,

連接。尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)函數(shù)三角形的內(nèi)角和得到口。/心口刃C,求得口/。。=□尸尸。=

3600-90°

竺產(chǎn)-=135。=山1NC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到于是得到結(jié)論.

2

【詳解】

解：(1)如圖(1),過4作4HOBC于H,

在/BCD中，口。=口5=45。，AB=2莖,

□AH=BH=2點(diǎn),

□ZE=4,

□EH=JAE2—AH2=2,

QBE=BH-EH=2y/3-2；

(2)如圖(2),在41/上截取初V=MC,在&CF內(nèi)以4方為底邊作等腰直角三角形

連接CP

□□^FC+Q7^C+n^CF=180°,nB+nFAC+nBAF+nCAN=lSO°,

□\JAFC=nB+nCAN=45°+nCAN,

□\JFAC=UFAP+nPAC=45°+nR4C,UUFAC=UAFC,

U^CAN=UPAC,

3600-90°

□nAPC=UFPC=----------=\350=DANC,

2

^QAPCnUANC(AAS)f

DAP=AN,

DAM=AN+MN,

□V2AM=無AN+拒MN=AF+CD=AF+AB,

即AF+AB=S[2AM.

【點(diǎn)撥】考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)，正確的作出輔助線解題的關(guān)鍵.

21.(1)口90。，0140°；(2)詳見解析

【分析】(1)□證明四邊形DPEC為平行四邊形可得結(jié)論；□根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。，列

等式求出x+y的值；

(2)根據(jù)P、D、E位置的不同，分五種情況：Qy-x=m+n,如圖2,點(diǎn)尸在8/的延長線上

時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理列等式，化簡后得出結(jié)論；口/產(chǎn)?-〃，如圖3,點(diǎn)P在

BA的延長線上時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理列等式，化簡后得出結(jié)論；Qx+y=m+n,

如圖4,點(diǎn)尸在線段A4上時(shí)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360。列等式，化簡后得出結(jié)論;“少=加+〃,

如圖5,同理得出結(jié)論；□y-x=w7-〃，如圖6,同理得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)口如圖1,

^PDDBC,PEGAC,

□四邊形DPEC為平行四邊形,

EHDPEWC,

^BDPE=m,0C=H=9O°,

回加=90。；

UmADP=x,\JPEB=y,

[?]DCDP=180o-x,\JCEP=\S0°-y,

□□C+□CDP+UDPE+□CEP=360°,00=90°,□DPE=50°,

□90°+180o-x+50o+180o-y=360°,

□x+y=140°；

(2)分五種情況：

Uy-x=m+n,如圖2,

□UDFP=n+UFEC,UFEC=180°-y,

\J\JDFP=n+\SO°-y,

□x+加+口￡>"=180°,

□x+m+n+180°-y=180°,

\Jy-x=m+n；

Ux-y=m-n,如圖3,

同理得：m+180°-X=H+180°-y,

□x-y=m-n；

Dx+y=m+n,如圖4,

圖4

理由是：

由四邊形內(nèi)角和為360。得：180°-龍+加+180°-尹”=360°,

Qx+y=m+n；

□x-y=m+n,如圖5,

圖5

理由是：

同理得：180。=加+〃+尹180。-刀,

□x-y=m+n；

□y-x=m-n,如圖6,

圖6

理由是：

同理得："+180°-產(chǎn)加+180°-y,

□y-x=m-n.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形綜合及平行四邊形的判定，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行四

邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.(1)詳見解析；(2)彳

【分析】(1)根據(jù)題意可得因此可得/G=EC,又尸G||CE,則可得四邊

形CEFG是平行四邊形，再根據(jù)CE=FE,可得四邊形CEFG是菱形.

(2)設(shè)所=x，則CE=x,OE=6-x,再根據(jù)勾股定理可得x的值,進(jìn)而計(jì)算出四邊形CEFG

的面積.

【詳解】

(1)證明：由題意可得，

:.^BCE=^BFE,

□ABEC=/BEF,FE=CE,

□FG||CE,

□ZFGE=ZCEB,

口NFGE=NFEG,

□FG=FE,

\JFG=EC,

□四邊形CEFG是平行四邊形，

又□比二在，

□四邊形CEFG是菱形；

(2)□矩形A5CQ中，AB=6,AD=1Q,BC=BF,

□ZBAF=90。,A。=BC=BF=10,

□A尸=8,

□DF=2,

設(shè)EF-x,則CE=x,DE=6-x,

\ZFDE=90°,

J22+（6-X）2=X2,

解得，x，

JCE=—,

3

1四邊形CEFG的面積是：CE-DF=—*2=—.

33

【點(diǎn)撥】本題主要考查菱形的判定，關(guān)鍵在于首先證明其是平行四邊形，再證明兩條臨邊相

等即可.

23.（1）詳見解析；（2）□BAD=2nEAF,理由詳見解析；（3）5.5.

【分析】（1）將口48后繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)使得N2與40重合，然后證明口/八7口口/用，再利用全

等三角形對(duì)應(yīng)的邊相等的性質(zhì)不難證明；

（2）首先延長C5至使即/=￡＞尸，連接4W,構(gòu)造□NBA/口口/。尸，再證明□"￡■口口吊4￡,

最后將相等的邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化整理即可證明.

【詳解】

解（1）把口485繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至口406,如圖1所示：

BEC

圖1

貝!ICUDGCIMBE,

UAG=AE,DDAG=nBAE,DG=BE,

又□口E4F=45°,BPnDAF+UBAE=UEAF=A5°,

V\\^GAF=UFAE,

AG=AE

在口64斤和口￡4￡中，＜ZGAF=ZFAE,

AF=AF

DDAFGUDAFE(SAS).

口GF=EF.

又UDG=BE,

UGF=BE+DF,

\2BE+DF=EF.

(2)UBAD=2DEAF.理由如下：

如圖2所示