2020年中考數學必考考點函數綜合題含解析

函數的綜合問題

專題知識回顧

1.一次函數與二次函數的綜合。

2.一次函數與反比例函數的綜合。

3.二次函數與反比例函數的綜合。

數的綜合。

專題典型題考法及解析

【例題11(2019黑龍江綏化)一次函數y=-x+6與反比例函數y=-(x>0)的圖象如圖所示.當y>y時,

x

【答案】2<x<4

【解析】令-x+6=?，解得x=2,x=4,.?.根據圖象可得，當y>y時，自變量x的取值范圍是2〈x〈4.

x

_8

【例題2】(2019吉林長春)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=axz-2ax+g(a>0)與y軸交于點A,過

點A作x軸的平行線交拋物線于點M,P為拋物線的頂點，若直線OP交直線AM于點B,且M為線段AB的中

點，則a的值為

1

【答案】2.

【解析】本題主要考查二次函數的綜合運用，首先根據二次函數的解析式可得出點A和點M的坐標，然后

8

將二次函數的解析式配方寫出y=a(x-l)2+g-a的形式，得出點P的坐標，進而得出0P的方程，進而得出點

8

B的坐標，最后根據M為線段AB的中點，可得「廣=4,進而得出答案.

8-3a

8

令x=0,可得y=w，

_8

二點A的坐標為(0,—),

8

...點M的坐標為(2,-).

88

y=ax2-2ax+—=a(x-1)2+—-a,

一8

，拋物線的頂點P的坐標為(1,--a),

8

???直線0P的方程為y=(g-a)x,

88

令y=^，可得x=。.,

30—3ci

88

...點B的坐標為(-——,-).

8-3a3

為線段AB的中點，

8

?i--——=4,解得a=20

8-3。

【例題3】(2019廣西省貴港市)如圖，菱形A8C。的邊在無軸上，點A的坐標為(1,0),點。(4,4)在反

比例函數y=((x>0)的圖象上，直線y=2x+b經過點C,與y軸交于點E,連接AC,AE.

x3

(1)求k,b的值；

(2)求AACE的面積.

【答案】將解析。

【解析】由菱形的性質可知8(6,0),C(9,4),點￡>(4,4)代入反比例函數y=~,求出左；將點C(9,4)代入

X

2

y=-x+b,求出萬；求出直線y=±x-2與x軸和y軸的父點，即可求AAEC的面積;

-33

(1)由已知可得AO=5,

Q菱形ABCD,

B(6,0),C(9,4),

(2點。(4,4)在反比例函數y=5x>0)的圖象上，

X

k=16f

將點C(9,4)代入y=：x+b,

:.b=-2;

(2)E(0,-2),

直線y=*2與x軸交點為(3,0),

:.S=-x2x(2+4)=6

MFC2

專題典型訓練題

1.(2019廣東深圳)已知函數f+bx+c(a^O)的圖象如圖所示,則函數y=ax+b與二的圖象為()

【答案】C

【解析】二次函數的圖象與系數的關系；一次函數的圖象與系數的關系；反比例函數的圖象與系數的關系；

符號判斷。先根據二次函數y=ax?+bx+c(a#0)的圖象確定a,b,c的正負，則判斷一次函數與反比例函

數的圖象所在的象限.

由二次函數的圖象可知，a<0,b>0,c<0.當a<0,b〉0,c〈0時，一次函數丫=0*+)3經過第一、二、四象限；

反比例函數《位于第二四象限，選項C符合.故選C.

3

-x2+2x(x>0)

2.(2019四川省雅安市)已知函數,八、的圖像如圖所示，若直線y=x+m與該圖像恰有三

x(x<0)

個不同的交點，則m的取值范圍為.

1

【答案】0<m<—

4

,-X2+2x(x>0)

【解析】觀察圖像可知，當直線丫=*+1!1經過原點時與函數y={的圖像有兩個不同的交點,

x(x<0)

再向上平移，有三個交點，當向上平移到直線y=x+m與y=-心+2x的圖像有一個交點時，此直線y=x+m

-X2+2x(x>0)

與函數y=的圖像有兩個不同的交點，不符合題意，從而求出m的取值范圍.

x(x<0)

由y=x+m與y=-心+2x得x+機=一*2+2x,整理得X2-x+機=0,當有兩個交點

b2-4ac=(-1)2-4zn>0,解得

4

-X2+2x(x>0)

當直線y=x+m經過原點時與函數y=z小'的圖像有兩個

x(x<0)

11

不同的交點，再向上平移，有三個交點，...m〉。，...m的取值范圍為(Km〈;，故答案為0<m(了.

44

3.(2019湖北仙桃)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形0ABC的頂點坐標分別為0(0,0),A(12,0),

B(8,6),C(0,6).動點P從點0出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊0A向終點A運動；動點Q從點

B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動.設運動的時間為t秒，PQ^y.

(1)直接寫出y關于t的函數解析式及t的取值范圍：；

(2)當PQ=3V^時，求t的值；

(3)連接0B交PQ于點D,若雙曲線y=—(k#0)經過點D,問k的值是否變化？若不變化，請求出k的

值；若變化，請說明理由.

4

【答案】見解析。

【解析】（1）過點P作PELBC于點E,如圖1所示.

當運動時間為t秒時(0WtW4)時，點P的坐標為(3t,0),點Q的坐標為(8-2t,6),

；.PE=6,EQ=|8-2t-3t|=|8-5t|,

；.PQ=PE2+EQ=62+|8-5t|z=25t2-80t+100,

.*.y=25t2-80t+100(0WtW4).

故答案為：y=25t2-80t+100(0WtW4).

(2)當PQ=30時，25t2-80t+100=(3A/5)2,

整理，得：5t2-16t+ll=0,

解得：t=1,t=u.

125

(3)經過點D的雙曲線y=-(kWO)的k值不變.

連接OB,交PQ于點D,過點D作DF_LOA于點F,如圖2所示.

5

?.?0C=6,BC=8,

0B=2+2=10.

VBQ//0P,

ABDQ^AODP,

?_—2—2

??————,

33

0D=6.

???CB〃OA,

/.NDOF=NOBC.

在RtAOBC中，sinZOBC=——=—=cosZOBC=——=8=4,

104105

,?.0F=0D?COSN0BC=6X幺=%,DF=0D?sinN0BC=6x3=

5555

.?.點D的坐標為0,也)，

55

,經過點D的雙曲線y=-(kWO)的k值為圓x忠=位.

5525

4.(2019湖南湘西)如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=一的圖象在第一象限交于點A(3,

2),與y軸的負半軸交于點B,且0B=4.

(1)求函數y=—和y=kx+b的解析式；

(2)結合圖象直接寫出不等式組0＜一＜kx+b的解集.

【答案】見解析。

【解析】⑴把點A(3,2)代入反比例函數丫=一，可得m=3X2=6,

.??反比例函數解析式為y=

V0B=4,

.".B(0,-4),

6

把點A(3,2),B(0,-4)代入一次函數y=kx+b,可得，=2,

解得｛乙

一次函數解析式為y=2x-4；

(2)不等式組0<-Vkx+b的解集為：x>3.

n

5.(2019山東東營)如圖，在平面直角坐標系中，直線尸mx與雙曲線廠一相交于A(-2,a)B兩點，BC

±X軸，垂足為C,AAOC的面積是.

(1)求m、n的值；

(2)求直線AC的解析式.

【解析】根據反比例函數的對稱性可得點A與點B關于原點中心對稱，則B(2,a),由于BC，x軸，所以

1

C(2,0),先利用三角形面積公式得到,X2Xa=2,解得a=2,則可確定A(-2,2),然后把A點坐標

代入y=mxy=mx和y=2中即可求出m,n；根據待定系數法即可得到直線AC的解析式.

(1)?.?直線y=mx與雙曲線丫=口相交于A(-2,a)、B兩點，

x

二點A與點B關于原點中心對稱，

.1.B(2,-a),

：.C(2,0)；

"?'sZAor2,

1

AX2Xa=2,解得a=2,

AA(-2,2),

7

把A(-2,2)代入丫=111*和y=口得-2m=2,2=」二，解得m=-l,n=-4；

x-2

(2)設直線AC的解析式為y=kx+b,

?..直線AC經過A、C,

,f,1

.M解得k=T

l2k+b=0

1

直線AC的解析式為y=-2X+1-

6.（2019湖北咸寧）某工廠用50天時間生產一款新型節(jié)能產品，每天生產的該產品被某網店以每件80元

的價格全部訂購，在生產過程中，由于技術的不斷更新，該產品第x天的生產成本y（元/件）與x（天）

之間的關系如圖所示，第x天該產品的生產量z（件）與x（天）滿足關系式z=-2X+120.

（1）第40天，該廠生產該產品的利潤是元；

（2）設第x天該廠生產該產品的利潤為w元.

①求w與x之間的函數關系式，并指出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少？

②在生產該產品的過程中，當天利潤不低于2400元的共有多少天？

【答案】見解析。

【解析】由圖象可知，第40天時的成本為40元，此時的產量為z=-2X40+120=40,則可求得第40天的

利潤.利用每件利潤X總銷量=總利潤，進而求出二次函數最值即可.

（1）由圖象可知，第40天時的成本為40元，此時的產量為z=-2X40+120=40

則第40天的利潤為：（80-40）X40=1600元

故答案為1600

（2）①設直線AB的解析式為y=kx+b（kWO）,把（0,70）（30,40）代入得

{30=1°=40,解得{=70

=-1

?,?直線AB的解析式為y=-x+70

(I)當0<xW30時

8

w=[80-(-x+70)](-2x+120)

=-2xz+100x+1200

=-2(x-25)2+2450

.?.當x=25時，w=2450

最大值

(II)當30<xW50時，

w=(80-40)X(-2x+120)=-80x+4800

隨x的增大而減小

.?.當x=31時，w=2320

最大值

.r-22+100+1200,(0<<30)

,,-1-80+4800,(30<<50)

第25天的利潤最大，最大利潤為2450元

②(I)當0<xW30時，令-2(x-25)2+2450=2400元

解得x=20,x=30

12

?拋物線w=-2(x-25)z+2450開口向下

由其圖象可知，當20WxW30時，WN2400

此時，當天利潤不低于2400元的天數為：30-20+1=11天

(II)當30VXW50時,

由①可知當天利潤均低于2400元

綜上所述，當天利潤不低于2400元的共有11天.

7.(2019貴州省畢節(jié)市)已知拋物線y=ax?+bx+3經過點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C,

點P為第二象限內拋物線上的動點.

(1)拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標為_______:

(2)如圖1,連接0P交BC于點D,當SABp=l：2時，請求出點D的坐標；

(3)如圖2,點E的坐標為(0,-1),點G為x軸負半軸上的一點，Z0GE=15°,連接PE,若NPEG=2

Z0GE,請求出點P的坐標；

(4)如圖3,是否存在點P,使四邊形B0CP的面積為8?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明

理由.

9

【答案】見解析。

【解析】函數的表達式為：y=a(x-1)(x+3)=a(xz+2x-3),即可求解；

r\r\

S：S=1：2,則BD=*BC=*X37I=2應，即可求解；

△CPDABPD33

Z0GE=15°,ZPEG=2Z0GE=30°,則/0HE=45°,故OH=OE=1,即可求解;

利用S=S+S=8,即可求解.

四邊形BOCPAOBCAPBC

(1)函數的表達式為：y=a(x-1)(x+3)—a(X2+2X-3),

即：-3a=3,解得：a=-1,

故拋物線的表達式為：y=-X2-2x+3…①，

頂點坐標為(T,4)；

(2)VOB=OC,

.,.ZCBO=45°,

VS：S=1：2,

△CPDABPD

r\

???BD=WBC=*X3>/2=2"，

33

yD=BDsinZCBO=2,

則點D(-1,2)；

VZ0GE=15°,NPEG=2N0GE=30°,

Z0HE=45°，

10

???OH=OE=1,

貝ij直線HE的表達式為：y=-x-l???②，

聯立①②并解得：xJ土嚴(舍去正值)，

2

故點P(——-——，丁——)；

22

(4)不存在，理由：

連接BC,過點P作y軸的平行線交BC于點H,

直線BC的表達式為：y=x+3,

設點P(x,-X2-2x+3),點H(x,x+3),

則SwB『S"S.=g><3X3+g(-X2-2X+3-X-3)X3=8,

整理得：3xz+9x+7=0,

解得：△<(),故方程無解，

則不存在滿足條件的點P.

8.(2019貴州黔西南州)已知拋物線y=axz+bx+3經過點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C,點

P為第二象限內拋物線上的動點.

(1)拋物線的解析式為,拋物線的頂點坐標為；

(2)如圖1,連接0P交BC于點D,當Srp：S=1：2時，請求出點D的坐標；

(3)如圖2,點E的坐標為(0,-1),點G為x軸負半軸上的一點，Z0GE=15°,連接PE,若/PEG=2

Z0GE,請求出點P的坐標；

(4)如圖3,是否存在點P,使四邊形B0CP的面積為8?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明

理由.

11

y.y

圖l

【答案】見解析。

【解析】函數的表達式為：y=a(X-1)(x+3)=a(xz+2x-3),即可求解;

S：S=1：2,貝!!BD=2BC=2x3巡=2型，即可求解；

△CPDABPD33

Z0GE=15°,ZPEG=2Z0GE=30°,則N0HE=45°,故OH=OE=1,即可求解;

利用S四邊皿=S△畋+S.=8,即可求解.

(1)函數的表達式為：y=a(x-1)(x+3);=a(x2+2x-3),

即:43a=3,解得：a=-1,

故拋物線的表達式為：y=-X2-2x+3…①，

頂點坐標為(-L4)；

(2)VOB=OC,

?,.NCB0=45°,

','SACPD：SABPD=1：2,

；.BD=2BC=2x3?=20,

33

YD=BDsinZCB0=2,

則點D(-1,2)；

(3)如圖2,設直線PE交x軸于點H,

d\,

J

VZ0GE=15o,ZPEG=2Z0GE=30°,

N0HE=45°，

12

.\OH=OE=1,

則直線HE的表達式為：y=-x-l…②，

聯立①②并解得：x=上日(舍去正值)，

2

故點P(士應，回);

22

(4)不存在，理由：

連接BC,過點P作y軸的平行線交BC于點H,

設點P(x,-X2-2x+3),點H(x,x+3),

貝”則BOCP=S*+SAPBC=；X3X3+J-X2-2X+3-X-3)義3=8,

整理得：3X2+9X+7=0,

解得：△<(),故方程無解，

則不存在滿足條件的點P.

9.(2019湖北十堰)已知拋物線y=a(x-2)z+c經過點A(2,0)和C(0,與,與x軸交于另一點B,

4

頂點為D.

(1)求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；

(2)如圖，點E,F分別在線段AB,BD±(E點不與A,B重合)，且NDEF=/A,則4DEF能否為等腰三

角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；

(3)若點P在拋物線上，且一—=m,試確定滿足條件的點P的個數.

13

【答案】見解析。

【解析】利用待定系數法，轉化為解方程組即可解決問題.

可能.分三種情形①當DE=DF時，②當DE=EF時，③當DF=EF時，分別求解即可.

如圖2中，連接BD,當點P在線段BD的右側時，作DHLAB于H,連接PD,PH,PB.設P[n,—&(n-2)

16

2+3],構建二次函數求出4PBD的面積的最大值，再根據對稱性即可解決問題.

(16+=0

(1)由題意：j+_9,

(4

解得[=一2

I=3

，拋物線的解析式為y=(X-2)2+3,

16

二頂點D坐標(2,3).

VA(-2,0),D(2,3),B(6,0),

AB=8,AD=BD=5,

①當DE=DF時，ZDFE=/DEF=ZABD,

AEF/7AB,此時E與B重合，與條件矛盾，不成立.

②當DE=EF時，

又；ABEF^AAED,

AABEF^AAED,

BE=AD=5

14

③當DF=EF時，NEDF=NDEF=NDAB=ZDBA,

△FDE^ADAB,

=------=u

8

,/AAEF^ABCE

-—-----—--5，

8

.\EB=$AD=犯

88

答：當BE的長為5或鬻,ACFE為等腰三角形.

（3）如圖2中，連接BD,當點P在線段BD的右側時，作DIUAB于H,連接PD,PH,PB.設P[n,-3(n

16

=1x4X1(n-2)2+3]+1X3X(n-2)-LX4X3=-3(n-4)2+3,

2162282

?.?一3<0,

8

，=4時，NBD的面積的最大值為當

=m,

，當點P在BD的右側時，m的最大值=：=&,

510

觀察圖象可知：當0<m〈a時，滿足條件的點P的個數有4個，

10

當m=3時，滿足條件的點P的個數有3個，

10

當ni>3時，滿足條件的點P的個數有2個（此時點P在BD的左側）.

10

10.（2019湖北咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-1x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,拋

2

物線y=-Wbx+c經過A,B兩點且與X軸的負半軸交于點C.

2

15

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當/ABD=2/BAC時，求點D的坐標；

(3)已知E,F分別是直線AB和拋物線上的動點，當B,0,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接

寫出所有符合條件的E點的坐標.

備用圖

【答案】見解析。

【解析】求得A、B兩點坐標，代入拋物線解析式，獲得b、c的值，獲得拋物線的解析式.

通過平行線分割2倍角條件，得到相等的角關系，利用等角的三角函數值相等，得到點坐標.

B、0、E、F四點作平行四邊形，以已知線段0B為邊和對角線分類討論，當0B為邊時，以EF=0B的關

系建立方程求解，當0B為對角線時，0B與EF互相平分，利用直線相交獲得點E坐標.

(1)在=-1+2中，令y=0,得x=4,令x=0,得y=2

2

AA(4,0),B(0,2)

把A(4,0),B(0,2),代入=—L2++，得

2

{—Lx16+4+=0，解得{[g

...拋物線得解析式為=—L23+2

2+2

(2)如圖，過點B作x軸得平行線交拋物線于點E,過點D作BE得垂線，垂足為F

16

BE〃x軸,，NBAC=ZABE

NABD=2ZBAC,NABD=2ZABE

即NDBE+NABE=2NABE

NDBE=NABE

???NDBE=NBAC

設D點的坐標為（x,-12+3+2）,則BF=x,DF=—12+3

2222

tan^DBE=---,tanNBAC=—

/.---=---,即―；2+；=2

4

解得x=0（舍去），X=2

12

當x=2時，-L2+3+2=3

22

???點D的坐標為（2,3）

（3）

當B0為邊時，OB〃EF,OB=EF

設E（m,一1+2）,F（m,一12+3+2）

222

17

EF=|(-i+2)-(-i2+2+2)|=2

222

解得ni]=2,2=2-3=2+2近

過點。作0F〃AB,直線OF=_】交拋物線于點F(2+2近，一1一方)和(2-2近，-1+V2)

2

求得直線EF解析式為=-返+1或=應+1

22

直線EF與AB的交點為E,點E的橫坐標為-2近-2或2迎-2

???E點的坐標為(2,1)或(2-2近,1+北)或(2+2/，1-V2W-2-2V2,3+禽)或(-2+2禽，3-0)

11.(2019湖南湘西)如圖，拋物線y=ax2+bx(a>0)過點E(8,0),矩形ABCD的邊AB在線段0E上(點

A在點B的左側)，點C、D在拋物線上，NBAD的平分線AM交BC于點M,點N是CD的中點，已知0A=2,

且0A：AD=1：3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接M、N、G、F構成四邊形MNGF,求四邊形MNGF周長的最小

值；

(3)在x軸下方且在拋物線上是否存在點P,使AODP中0D邊上的高為說？若存在，求出點P的坐標；

5

若不存在，請說明理由；

(4)矩形ABCD不動，將拋物線向右平移，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點K、L,且直線KL平分

矩形的面積時，求拋物線平移的距離.

18

【答案】見解析。

【解析】由點E在x軸正半軸且點A在線段0E上得到點A在x軸正半軸上，所以A(2,0)；由0A=2,且

0A：AD=1：3得AD=6.由于四邊形ABCD為矩形，故有ADLAB,所以點D在第四象限，橫坐標與A的橫坐

標相同，進而得到點D坐標.由拋物線經過點D、E,用待定系數法即求出其解析式.畫出四邊形MNGF,由

于點F、G分別在x軸、y軸上運動，故可作點M關于x軸的對稱點點M',作點N關于y軸的對稱點點N',

得FM=FM'、GN=GN>.易得當M'、F、G、N'在同一直線上時N'G+GF+FM'=M'N'最小，故四邊形MNGF周長

最小值等于MN+M'N'.根據矩形性質、拋物線線性質等條件求出點蟲M'、N、N'坐標，即求得答案.

因為0D可求，且已知aODP中0D邊上的高，故可求AODP的面積.又因為△ODP的面積常規(guī)求法是過點P

作PE平行y軸交直線0D于點E,把AODP拆分為AOPE與4DPE的和或差來計算，故存在等量關系.設點P

坐標為t,用t表示PE的長即列得方程.求得t的值要討論是否滿足點P在x軸下方的條件.

由KL平分矩形ABCD的面積可得K在線段AB上、L在線段CD上，畫出平移后的拋物線可知，點K由點。平

移得到，點L由點D平移得到，故有K(m,0),L(2+m,0).易證KL平分矩形面積時，KL一定經過矩形

的中心H且被H平分，求出H坐標為(4,-3),由中點坐標公式即求得m的值.

(1)?.?點A在線段0E上，E(8,0),0A=2

AA(2,0)

VOA：AD=1：3

AD=30A=6

?.?四邊形ABCD是矩形

.\AD±AB

.".D(2,-6)

?..拋物線y=ax2hbx經過點D、E

?—得:{：14

19

二拋物線的解析式為y=/2-4x

2

(2)如圖1,作點M關于x軸的對稱點點M',作點N關于y軸的對稱點點N',連接FW、GN、M'N'

一［圖］

Vy=-X2-4x=-(x-4)2-8

22

.??拋物線對稱軸為直線X=4

?.?點c、D在拋物線上，且CD〃x軸，D(2,-6)

.-.yc=yD=-6,即點C、D關于直線x=4對稱

...XC=4+(4D-X)=4+4-2=6,即C(6,-6)

/.AB=CD=4,B(6,0)

：AM平分/BAD,ZBAD=ZABM=90