17 微專題：平面向量“極化恒等式”的推導(dǎo)與應(yīng)用 講義-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊

【學(xué)生版】微專題：平面向量“極化恒等式”的推導(dǎo)與應(yīng)用極化恒等式是高等數(shù)學(xué)《泛函分析》中的知識內(nèi)容；把極化恒等式降維至二維平面，則可以非常巧妙地建立向量和幾何長度（數(shù)量）之間的關(guān)聯(lián)，從而實(shí)現(xiàn)向量與幾何、向量和代數(shù)的精妙結(jié)合。而且，由于極化恒等式本身所具有的作為代數(shù)與幾何橋梁的特點(diǎn)，在近幾年全國各地高考命題中迅速成為創(chuàng)新問題的熱點(diǎn)，也隨之出現(xiàn)了不少非常巧妙的向量試題；極化恒等式及其拓展1、極化恒等式：；（1）等式推導(dǎo)：【證明】（2）幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的eq\f(1,4)；2、平行四邊形模式：如圖，平行四邊形，是對角線交點(diǎn)；則；【證明】ABCM3、三角形模式：如圖，在中，設(shè)為的中點(diǎn)，ABCM則；（1）推導(dǎo)過程：（2）三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決；（3）記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差；【典例】例1、如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上兩個三等分點(diǎn)，，，則的值是；【解析1】【解析2】【解析3】【說明】本題考查了利用由極化恒等式求平面向量數(shù)量積的值；關(guān)鍵是：理解極化恒等式的圖形特征；例2、（1）已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個動點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是________.（2）在面積S＝2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________.【說明】本題考查了借助極化恒等式求平面向量數(shù)量積最值或范圍：關(guān)鍵是：通過轉(zhuǎn)化后；借助向量的代數(shù)與幾何表示，數(shù)形結(jié)合地求最值；例3、（1）在△ABC中，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4，則BC邊上的中線AM的長是________；（2）設(shè)點(diǎn)P為正三角形△ABC的邊BC上的一個動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，sin∠PAC的值為【歸納】極化恒等式的作用和使用范圍1、極化恒等式的作用：建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化。2、極化恒等式的適用范圍：（1）共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題可直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題。極化恒等式使用方法在確定求數(shù)量積的兩個向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的情況下，極化恒等式的一般步驟如下：第一步：取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；第二步：利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差；第三步：利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積，如需進(jìn)一步求數(shù)量積范圍，可以用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)?！炯磿r練習(xí)】1、如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，則eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(3,4)B.－eq\f(8,9)C.－eq\f(1,4)D.－eq\f(4,9)2、在△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝eq\f(1,4)AB，且對于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則()A.∠ABC＝90°B.∠BAC＝90°C.AB＝AC D.AC＝BC3、在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.4、已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))的值為________.5、已知P是邊長為4的正三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為6、在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB為鈍角，M，N是邊AB上的兩個動點(diǎn)，且MN＝1，若的最小值為，求cos∠ACB的值；【學(xué)生版】微專題：平面向量“極化恒等式”的推導(dǎo)與應(yīng)用極化恒等式是高等數(shù)學(xué)《泛函分析》中的知識內(nèi)容；把極化恒等式降維至二維平面，則可以非常巧妙地建立向量和幾何長度（數(shù)量）之間的關(guān)聯(lián)，從而實(shí)現(xiàn)向量與幾何、向量和代數(shù)的精妙結(jié)合。而且，由于極化恒等式本身所具有的作為代數(shù)與幾何橋梁的特點(diǎn)，在近幾年全國各地高考命題中迅速成為創(chuàng)新問題的熱點(diǎn)，也隨之出現(xiàn)了不少非常巧妙的向量試題；極化恒等式及其拓展1、極化恒等式：；（1）等式推導(dǎo)：【證明】借助平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型；設(shè)，則由向量的數(shù)量積運(yùn)算，得（1）（2）如果將上面（1）（2）兩式相減，即可能得：；（2）幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的eq\f(1,4)；2、平行四邊形模式：如圖，平行四邊形，是對角線交點(diǎn)；則；【證明】借助平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型；設(shè)，則由向量的數(shù)量積運(yùn)算，得（1）（2）ABCM如果將上面（1）（2）兩式相減，得，即ABCM3、三角形模式：如圖，在中，設(shè)為的中點(diǎn)，則；（1）推導(dǎo)過程：因?yàn)?，?又因?yàn)?，即所以，?）三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決；（3）記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差；【典例】例1、如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上兩個三等分點(diǎn)，，，則的值是；【提示】注意：題設(shè)“在中，是的中點(diǎn)”與極化恒等式的關(guān)聯(lián)；【答案】；【解析1】設(shè)，由極化恒等式得，解之得可得，，因此；【解析2】由極化恒等式：，解得，故；【解析3】分點(diǎn)恒等式（拆分，基向量），；，；由又因?yàn)?，其中，化簡得；【說明】本題考查了利用由極化恒等式求平面向量數(shù)量積的值；關(guān)鍵是：理解極化恒等式的圖形特征；例2、（1）已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個動點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是________.（2）在面積S＝2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________.【提示】注意：借助“極化恒等式”的圖形特征進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化；【答案】（1）[－2，6]；（2）2eq\r(3)；【解析】（1）取AB的中點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq\r(3)；又由極化恒等式得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝PD2－eq\f(1,4)AB2＝PD2－3，因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時，PDmax＝3，當(dāng)P在CO的延長線與圓O的交點(diǎn)處時，PDmin＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－2，6]；（2）取BC的中點(diǎn)為D，連接PD，則由極化恒等式得eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(\o(BC,\s\up6(→))2,4)＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\f(h2,4)＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2(其中h為A點(diǎn)向BC邊作的高)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(PD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))時取等號.由上可知eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\f(h2,4)＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥2eq\r(\f(h2,4)·\f(3,4)\o(BC,\s\up6(→))2)≥eq\r(3)S＝2eq\r(3)；答案2eq\r(3)；【說明】本題考查了借助極化恒等式求平面向量數(shù)量積最值或范圍：關(guān)鍵是：通過轉(zhuǎn)化后；借助向量的代數(shù)與幾何表示，數(shù)形結(jié)合地求最值；例3、（1）在△ABC中，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4，則BC邊上的中線AM的長是________；（2）設(shè)點(diǎn)P為正三角形△ABC的邊BC上的一個動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，sin∠PAC的值為【提示】注意：用好極化恒等式解答向量中的長度與角度；【答案】（1）eq\f(5,2)；（2）；【解析】（1）由極化恒等式：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(2eq\o(AM,\s\up6(→)))2－eq\o(BC,\s\up6(→))2]，eq\o(AM,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(4eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2)＝eq\f(25,4)，即|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)，所以BC邊上的中線AM的長為eq\f(5,2)；答案：eq\f(5,2)；（2）取邊的中點(diǎn)為，連接線段，設(shè)正三角形的邊長為；由極化恒等式可得：；則當(dāng)取最小值時，也取最小值，又；此時，點(diǎn)在上靠近的四等點(diǎn)；在中，余弦定理可得，由正弦定理可得：；【說明】本題考查了自覺利用極化恒等式直接或整合解三角形等知識求其他的長度與角度等幾何量；【歸納】極化恒等式的作用和使用范圍1、極化恒等式的作用：建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化。2、極化恒等式的適用范圍：（1）共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題可直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問題。極化恒等式使用方法在確定求數(shù)量積的兩個向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的情況下，極化恒等式的一般步驟如下：第一步：取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；第二步：利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差；第三步：利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積，如需進(jìn)一步求數(shù)量積范圍，可以用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)?！炯磿r練習(xí)】1、如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，則eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(3,4)B.－eq\f(8,9)C.－eq\f(1,4)D.－eq\f(4,9)【答案】B：【解析】方法1：∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，圓O的半徑為1，∴|eq\o(FO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)，∴eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＝eq\o(FO,\s\up6(→))2＋eq\o(FO,\s\up6(→))·(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＋eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋0－1＝－eq\f(8,9).方法2：OF＝eq\f(1,3)，由極化恒等式得eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝OF2－eq\f(1,4)DE2＝eq\f(1,9)－1＝－eq\f(8,9).2、在△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝eq\f(1,4)AB，且對于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則()A.∠ABC＝90°B.∠BAC＝90°C.AB＝AC D.AC＝BC【答案】C；（2013·浙江卷）；【解析】取BC邊中點(diǎn)D，由極化恒等式得eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2，eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))＝eq\o(P0D,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2，由eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，得eq\o(PD,\s\up6(→))2≥eq\o(P0D,\s\up6(→))2，即|eq\o(PD,\s\up6(→))|≥|eq\o(P0D,\s\up6(→))|，D到AB的最短距離為P0D，∴eq\o(DP0,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，設(shè)AB的中點(diǎn)為P′，又P0B＝eq\f(1,4)AB，∴DP∥CP，∴CP⊥AB，故AB＝AC.3、在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝____