圓與二次函數(shù)結(jié)合型壓軸題（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)

圜與二次函數(shù)結(jié)合型度軸題專題

知識剖析

通用的解題思路：

一、點(diǎn)在圓上的使用技巧,①沒告訴半短，利用圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑可以表示出半徑的長度;②告

訴半徑,18上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑這個(gè)等找關(guān)系可以求出一個(gè)參數(shù)。

二、判斷直線與圓的位置關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)流程:第一步，利用圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑表示出半徑r,第二

步，表示出圓心到直線的距離原第三步，比較半徑r和距離d的大小:若半徑r＞距離d,則直線與圓相交，若

半徑r=距離原則直線與圓相切,若半徑r＜距離d,則直線與圓相離。

三、記直線I被圓。檢得的弦長為爵目的常用方法

弦長公式:48=2擰二？

經(jīng)典例題

:題目Q（長沙中考）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aR0）的對稱軸為y軸,且經(jīng)過（0,0）和

（瓶，上）兩點(diǎn),點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心的。P總經(jīng)過定點(diǎn)4（0,2）.

16

⑴求a,b,c的值；

（2）求證:在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，。P始終與力軸相交；

（3）設(shè)。P與/軸相交于河（的,0）,N（g，0）（如V電）兩點(diǎn)，當(dāng)ZVLMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐

【解答】解：（1）;拋物線y—ax2-\-bx+c（a,b,c是常數(shù)，aW。）的對稱軸為g軸，且經(jīng)過（0,0）和（、0,工1）

16

兩點(diǎn)，,拋物線的一般式為：y=ax2,-77=a（Va）2,解得：a=±二,*.*圖象開口向上，I.a=二，，拋物線

1644

解析式為：y—:小，故a=：,b=c=0;

⑵設(shè)_P（/,y）,。P的半徑廠=J了+（g—2）2,又g=十/2,則r=a?2+（^j;2—2）2,

化簡得：T=/上—+4＞.,.點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，。P始終與力軸相交；

V164???

⑶設(shè)PQ,彳冷，.../一才=4,...團(tuán)=7VH=2,.?.MG—2,0),N(t+2,0),40,2),

AAMN為等腰三角形，二4W=4V,AM=MN,AN=MN,(t-2)2+(2-0)2=(t+2)2+(2-O)2,

：.t=O,(t-2)2+(2-0)2=42,：.t=2±2V3,(t+2)2+(2-0)2=42,At=-2+2-73,

①當(dāng)力=0時(shí)，P的縱坐標(biāo)為0,

②當(dāng)t=2±2盜時(shí)，?(2±2盜)2=4±2,，P的縱坐標(biāo)為4±2,，

③當(dāng)力=一2±2通時(shí)，以=半2±2何4±2服，p的縱坐標(biāo)為4±2遍，

題目0（岳麓區(qū)校級月考）如圖，已知直線/：9=-1和拋物線L：y=ax2+bx+c（a20），拋物線L的頂點(diǎn)為

原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A,直線y=kc+1與夕軸交于點(diǎn)F,與拋物線入交于點(diǎn)B（g,陰），C（x2,沙2）,且g

<x2-

（1）求拋物線乙的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線L上一動點(diǎn).

①以點(diǎn)P為圓心，PF為半徑作。P,試判斷。P與直線Z的位置關(guān)系,并說明理由;

②若點(diǎn)Q（2,3）,當(dāng)|PQ—PF\的值最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）求證:無論A;為何值，直線Z總是與以BC為直徑的圓相切.

【解答】解：⑴拋物線的表達(dá)式為：g=aa：2,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式得：?解得：a=:,

故拋物線的表達(dá)式為："=!/…①;

⑵①點(diǎn)F(0,1),設(shè)：點(diǎn)P{m,-^-m2),則PF=,病+(十病—=-^-m2+l,

?M

而點(diǎn)P到直線I的距離為：jm2+l，則。P與直線/的位置關(guān)系為相切；

②當(dāng)點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí),\PQ一最大，將點(diǎn)FQ的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+b并解得：

直線FQ的函數(shù)表達(dá)式為：？/=2+1…②，聯(lián)立①②并解得：c=2土2皿，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2+22，3+22）或（2—2也，3—22）；

（3）將拋物線的表達(dá)式與直線g=far+1聯(lián)立并整理得：力2—4心力—4=0,則力i+g=4k,力避2=—4,

2

則依+紡=k（力1+/2）+2=4fc+2,則x2—x1=J（g+/a）?—4/巡2=4,

設(shè)直線8。的傾斜角為a,則tana=k,則cosa=J，貝UBC=^>=4（興+1）,則-i-BC=2fc2+2,

Vfc2+1Vfc2+12

設(shè)BC的中點(diǎn)為何（2%,21+1）,則點(diǎn)聞到直線Z的距離為：2*+2,故直線/總是與以為直徑的圓相切.

「題目區(qū)在平面直角坐標(biāo)系①。夕中，已知二次函數(shù)y=1/+?TO：；+八的圖象經(jīng)過點(diǎn)力（2,0）和點(diǎn)B（l,—1■）,

直線I經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)且與y軸垂直，垂足為Q.

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線上有一動點(diǎn)P從點(diǎn)B處出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動，其縱坐標(biāo)見隨時(shí)間t（t>0）的變化規(guī)律為更

=—：+2九現(xiàn)以線段OP為直徑作③C.

①當(dāng)點(diǎn)P在起始位置點(diǎn)B處時(shí),試判斷直線I與6c的位置關(guān)系，并說明理由；在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，直線

，與。。是否始終保持這種位置關(guān)系？請說明你的理由.

②若在點(diǎn)P開始運(yùn)動的同時(shí)，直線，也向上平行移動,且垂足Q的縱坐標(biāo)於隨時(shí)間t的變化規(guī)律為y2=-l

+33則當(dāng)t在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線，與O。相交？此時(shí),若直線I被O。所截得的弦長為a,試求a2的

最大值.

【解答】解：⑴將點(diǎn)42,0）和點(diǎn)B（1,—1~）分別代入y=+ri中，得：

1

--X4+2m+n=0r_Q

,4、，解得：恒―，??.拋物線的解析式：沙=：/—1；

--+m+n=一-—1九—一1

44

⑵①將_P點(diǎn)縱坐標(biāo)代入⑴的解析式，得：《力2—1=—+2力，x—〃8方+1,P{y/8t+1,—+2力）,

圓心。（,—+1），］.點(diǎn)、C到直線2的距離：—+1—（―1）=力+；

2ooo

而Op2=8力+1+（—+2力y,得OP=2力+；,半徑OC—t-\~?；???直線，與。。始終保持相切.

448

②I、由①可知，若直線/與。。相切，則：2力—!"=力+=

??.當(dāng)ov￡v~!■時(shí)，直線Z與。C相交;

II、???0VtV；時(shí)，圓心。到直線/的距離為d=|2右一哥，又半徑為丁=力+3

4oo???

a2=4c=4[(t+-1-|2]=-12t2+15t,，1='■時(shí)，a的平方取得最大值為品

題目④(長沙中考)如圖半徑分別為的兩圓。Oi和相交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P(4,1),

兩圓同時(shí)與兩坐標(biāo)軸相切，。Q與c軸，沙軸分別切于點(diǎn)河，點(diǎn)N,。。2與，軸，沙軸分別切于點(diǎn)兒點(diǎn)H.

(1)求兩圓的圓心Oi，Q所在直線的解析式；

(2)求兩圓的圓心Q,。2之間的距離由

(3)令四邊形POiQO2的面積為S,四邊形RMOQ2的面積為S2.

試探究:是否存在一條經(jīng)過P,Q兩點(diǎn)、開口向下,且在，軸上截得的線段長為止二時(shí)的拋物線?若存在，

V2d

請求出此拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.

【解答】解：(1)由題意可知。2(九，九)，設(shè)過點(diǎn)。2的直線解析式為y=+則有：

(mk+b7。＜n),解得】]，.?.所求直線的解析式為：沙=0.

[nk+b=n[b=Q

(2)由相交兩圓的性質(zhì)，可知P、Q點(diǎn)關(guān)于對稱.,/F(4,1),直線002解析式為y=x,

???。(1,4).如解答圖1,連接QQ.???Q(1,4),OI(M,M),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到：

OiQ=-J(m—l)2+(m-4)2=V2m2—10m+17，又QQ為小圓半徑，即QC\=m,V2m2-10m+17=

m9

22

化簡得：m—10m+17=0①如解答圖1,連接O2Q,同理可得：n—10n+17=0②

由①,②式可知，m、n是一^元二次方程/—10N+17=0③的兩個(gè)根，解③得：/=5土2\/2,

22

*/0<m<n,m=5—2V2,n=5+2A/2.*.*O^m,m),O2(^,n),d=010^—V(m—n)+(m—n)

=8.

⑶假設(shè)存在這樣的拋物線，其解析式為g=a/+b/+c,因?yàn)殚_口向下，所以QVO.如解答圖2,連接PQ.

由相交兩圓性質(zhì)可知，PQ±。。2????P(4,1),Q(1,4),??.PQ=V(4-l)2+(l-4)2=372,

又。1。2=8,Si=-^-FQ?OIO2—x3A/2x8=12V2;又S?=-^-(O2R+OXM)*MR--^-(n+m)(n—m)

=20V2;Js[S2]=|12=1,即拋物線在立軸上截得的線段長為1.?.?拋物線過點(diǎn)P(4,1),Q

J2dA/2X8

2

(1,4),，0‘a(chǎn)+4b+°1,解得(5。+拋物線解析式為：y=ax—(5a+l)x+5+4Q,

Ia+b+c=41C=5+4Q

2

令g=0,則有：ax—(5a+l)力+5+4Q=0,設(shè)兩根為xlf62,則有：力i+g=5a+1,g62=5+4a,

aa

在X軸上截得的線段長為1,即|力1一名21=1,工(的―旬三1,工(力1+多2)2—46巡2=1,

即(?±L)2-4(且也)=1,化簡得：8Q2—I0a+i=o,解得Q二a±盧，可見Q的兩個(gè)根均大于0,這與

aa8

拋物線開口向下(即a<0)矛盾，.?.不存在這樣的拋物線.

(1)求P,Q的坐標(biāo)并寫出的面積；

⑵如圖2,已知M(m,m),N(n,n)，其中(0VmVn),若分別以7W,N為圓心的圓均與①軸相切，切點(diǎn)分

別為A,B,并且點(diǎn)P既在O河上又在?N上.

①求直線的解析式；

②求出線段MN的長度d；

⑶在⑵的前提上,記四邊形PMQN的面積為&，四邊形AMNB的面積為S2,已知拋物線y=ax2+bx+

c滿足兩個(gè)條件：①經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)Q,②該拋物線截c軸得到的線段長度為匕聞,請求出拋物線二次項(xiàng)系

a

數(shù)a的值.

\y=-x+^<_1ro

12

【解答】解：⑴由題意得：3.解這個(gè)方程組得：,.

[y=—底=3〔紡=1

???P在Q的右側(cè)，.-.p(3,1),Q(l,3).設(shè)直線PQ交加軸于點(diǎn)。，如圖，則<7(4,0).

.?.00=4.過點(diǎn)。作QE，于E,過點(diǎn)P作PF，OC于F,則QE=3,PF=1.?M

SAOPQ=SAOQC-S&OPC=/xOCxQE—xPF=6-2=4.

（2）0VM（m,m）,N（n,力，.?.直線MN的解析式為：y=工.

②；以M,N為圓心的圓均與，軸相切，切點(diǎn)分別為A,B,??.K4_L4B,NB_LAB.

過點(diǎn)P作PE_LMA于E,PF_LNB與,過點(diǎn)“作MG工NB于G,如圖，

則/7WG=45°.：.MN=V2MG.?：M(m,m),7V(n,n),F(3,1),

/.MA=m,NB=n,PE=3—m,PM—y/(3—m)2+(m—l)2,ME=m—1,PF—n—3,NF=n—l.

???點(diǎn)P既在。河上又在。N上，.?.PM=MA,PN=NB.：.PM2=AM2,PN2=NB2.

/.(3—m)2+(m—1)2=m2,(n—3)2+(n—1)2=n2.整理得：m2—8m+10=0,n2—8n+10=0.

m,n(0VmV71)是方程X2—8X+10=0的兩個(gè)根.m+n=8,mn—10.(n—m)2—(m+n)2

—4mn=24.n—m=2V6.*.*7V/G=AB—n—m,/.MG=2V6.MN—V2MG=4A/3,d—4V3.

Ja+b+c=3b=-1—4a

⑶拋物線y=ax2-\-bx+c滿足經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)Q,

、9Q+3b+c=1c=3Q+4

S產(chǎn)yFQxMN=yx2V2x4A/3=476,

|S1—S21

Sz=-1-(M24+MB)?AB=-^-(m+n)x(n—m)=]x8x2V6=8A/6,/.

d

2

設(shè)拋物線y—aa?+bx+c與力軸的交點(diǎn)為(g,0),(x2,0),/.\xr—x2\—V2.:.(a?i—x2)=2.

2

(力i+g)2—4力r12=2.*.*比1,劣2是方程ax+bx+C=0的兩個(gè)根，工0+力2=—~6r/2=￡■.

aa

：.V-4x—=2./.(-X-4a)2-4x3a+4：

整理得：2Q2—8Q+1=0.解得：a=4±，iZ.

：.拋物線二次項(xiàng)系數(shù)a的值為：4+V14或4一V14.

題目回已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c（a豐O）經(jīng)過X軸上的兩點(diǎn)人⑶，0）、3（灰，0）和9軸上的點(diǎn)。

（0,—1）,0P的圓心P在沙軸上,且經(jīng)過B、。兩點(diǎn)，若6=島,48=2存

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)D在拋物線上，且C,。兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，問直線BD是否經(jīng)過圓心P,并說明理由；

（3）設(shè)直線BD交OP于另一點(diǎn)E,求經(jīng)過E點(diǎn)的OP的切線的解析式.

【解答】解：（1），.?軸上的點(diǎn)C（0,―/.c=―又b=V3a,AB=2A/3,4"—1~=0,E—/2

|二2，5\解得：a=三,b=2￡；.??拋物線的解析式是：y=（4分）

OOOOZi

⑵。（一。一日），直線為：片畢立一看連接BP,設(shè)。P的半徑為凡

毋一五）2,五=1,P（O,-y）,點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足直線BD的解析式y(tǒng)=*r--y

直線B。經(jīng)過圓心P.

⑶過點(diǎn)E作班_L9軸于F,得△QPB篤/\FPE,E（一日,一1）,設(shè)經(jīng)過E點(diǎn)0P的切線七交g軸于點(diǎn)Q.

則ZPEQ=90°,EF±PQ,：.PE2^PF?PQ,：.PQ=2,Q（0,一2.5）,.?.切線L為：？/=一遍3；—2.5.

題目R（青竹湖）定義:如果一條直線與一條曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且曲線位于直線的同旁,稱之為直線與

曲線相切，這條直線叫做曲線的切線，直線與曲線的唯一交點(diǎn)叫做切點(diǎn).

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)4。，一3）為圓心，5為半徑作圓A,交力軸的負(fù)半軸

于點(diǎn)B,求過點(diǎn)5的圓A的切線的解析式；

（2）若拋物線g=aa?（aA0）與直線y=for+b（k20）相切于點(diǎn)（2,2）,求直線的解析式；

（3）若函數(shù)"=：*/+（n—k—l）ic+m+fc—2的圖象與直線夕=—c相切，且當(dāng)一1WnW2時(shí)，m的最小值

為七求k的值.

【解答】解：(1)如圖1,連接記過點(diǎn)B的。力切線交沙軸于點(diǎn)E,.?.AB=5,AABE=9Q°,

?：A(O,-3),AAOB=90°,：.OA^3,：.OB=VAB2-OA2=V52-32=4,二B(-4,0),

?：ZOAB=ZBAE,ZAOB=/ABE=90°,/\OAB?^BAE,：.於=普,：.AE="產(chǎn)=學(xué),

ABJD^X.CZJT.J

.?.OE=AB—O4=^-3=￥，.?.E(0,苧)，設(shè)直線BE解析式為：？/=A;c+苧，.?.-4%+￥=0,解

ooooo???

得：%=今，過點(diǎn)B的。4的切線的解析式為y=-^-x+,

OOO

方法二：設(shè)直線BE的解析式為y=A;(a;+4),/.E(Q,4k),：.AB=5,AE=4k+3,BE=y/^+(4fc)2,

由勾股定理可得，...25+16+16%2=i6A：2+9+24A;,.?.%=〈，.?.過點(diǎn)B的04的切線的

解析式為"=今力+;

OO

(2)V拋物線y=a/經(jīng)過點(diǎn)(2,2),4a=2,解得：a=,/.拋物線解析式：y=］2、

直線y—kx+b經(jīng)過點(diǎn)(2,2),?，.2k+b=2,可得：b=2—2k,：,直線解析式為：y=kx+2—2k,

直線與拋物線相切，

?,?關(guān)于力的方程］/=k力+2—2左有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程整理得：/—2fcr+4k—4=0,

，△=(―2fc)2—4(4fc—4)=0,解得：K=k2=2,直線解析式為y=2x—2,

(3)V函數(shù)g=(n—fc—l)x+m+k—2的圖象與直線g=—/相切，

六關(guān)于力的方程十/+(n—fc—1)T+m+k—2=—x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

方程整理得：［■/2+(n—k)力+m+fc-2=0,

:.△=(n—fc)2—4x+fc-2)=0,整理得：m=(九—fc)2—fc+2,

可看作m關(guān)于?i的二次函數(shù)，對應(yīng)拋物線開口向上，對稱軸為直線k,

???當(dāng)一14九〈2時(shí)，山的最小值為上

①如圖2,當(dāng)kV—l時(shí)，在一1《九《2時(shí)小隨九的增大而增大，

/.n=—1時(shí)，m取得最小值k,二.(―1—k丫—k+2=k,方程無解，

②如圖3,當(dāng)一時(shí)=k時(shí)，nz取得最小值k,k+2=k,解得：k=l,

③如圖4,當(dāng)k>2時(shí)，在一14九42時(shí)?n隨n的增大而減小，71=2時(shí)，m取得最小值k,

(2—fc)2—k+2=k,解得：ki~3+V3,e=3—■(舍去)，綜上所述，k的值為1或3+-\/3.

題目回(麓山國際)如圖，經(jīng)過定點(diǎn)A的直線沙=%(/—2)+l(fc<0)交拋物線g=—/+4/于_B,。兩點(diǎn)(點(diǎn)

。在點(diǎn)B的右側(cè))，。為拋物線的頂點(diǎn).???

⑴直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵如圖(1),若△A。。的面積是△入灰?面積的兩倍，求％的值;

【解答】解：(1)：A為直線?/=M2—2)+1上的定點(diǎn)，的坐標(biāo)與%無關(guān)，.?.2—2=0,

，c=2,此時(shí)y=1,.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1);

(2)；y=—z2+4a；=-3—2)2+4,.?.頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,4),二?點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,1),

.?.AD_Lc軸.如圖(1),分別過點(diǎn)8,。作直線AD的垂線，垂足分別為W,N,設(shè)。的橫坐標(biāo)分別為

；A4。。的面積是△ABD面積的兩倍，.?.CN=2BA/,曲一2=2(2—g),2xx+x2—6.

聯(lián)立["="+4"，得〉+依一4加一2^+1=0,①解得二=——，肥+12,g=4一k+,興+12,

[y=kx—2k+l22

2xi-臚+12+4—%+產(chǎn)+12=6,化簡得：V^+12=-3k，解得k=—乎.

2

另解:接上解，由①得Xi+x2=4—k,又由2g+力2=6,得Xr=2+k.：.(2+fc)+(fc—4)(2+fc)—2fc+1=

0,

解得k=±.*.*fc<C0,/.k；

(3)如圖(2),設(shè)。E與直線。=力交于點(diǎn)G,H,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(Q,-a2+4a).?.?石是的中點(diǎn)，

工將線段沿47方向平移與石。重合，工磔一/4=%—力目，VE~yA~VC~VE

???3=5(以+力。)，VE=5⑨人+沙。).

.-.￡?(l+y,-a-+^Q+1).分別過點(diǎn)E,4作2軸，沙軸的平行線交于點(diǎn)F,在次ZVIEF中，由勾股定理

得:EA2=(1+2)+(~a2+^a+1-1丫=管-]J+(_a2+；a+l-1)\?M

過點(diǎn)E作PE_LGH,垂足為P,連接EH,：.GH=2PH,EP2=(-a'+^a+1t)2,

叉；AE=EH,：.G』4PH2=4(EH2—EPD=4(￡；A2-￡；P2)

=4[償—.+(-a?+；a+l_I)?—「/+}+1—)2]

22

=4[亨—a+1+(一吊+丁+1-1了—(~a+4a+1)+1-(一/+丁+1戶(^^+北+i)-t]

=4[(-^—t)a，+(4t—5)a+1+1—t2].GH的長為定值，

==

——10f且4t——50,,,t——.

I題目回（長郡）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M■的坐標(biāo)是（5,4）,與v軸相切于點(diǎn)。，與多軸相交于4、

B兩點(diǎn).

（1）分別求力、B、。三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1,設(shè)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為夕=—5>+%,它的頂點(diǎn)為H,求證:直線及4與。河相

切；

（3）如圖2,過點(diǎn)初作直線FG〃沙軸，與圓分別交于F、G兩點(diǎn)，點(diǎn)P為弧FB上任意一點(diǎn)（不與B、F重

合），連接F尸、AP,FN±BP的延長線于點(diǎn)N.請問AP瑟°是否為定值，若為定值,請求出這個(gè)值，若

不為定值,請說明理由.

圖1圖2

【解答】解：⑴如圖1,連接CM、連接7WE交2軸于點(diǎn)。，則軸,

圖1

?；OM與沙軸相切于點(diǎn)。，點(diǎn)河的坐標(biāo)是（5,4）,.?.（W_L夕軸，即。（0,4）,。河的半徑為5,

二AW=5,DM=4,/.AD^DB^y/AM2-DM2=V52-42=3,二OA=5-3=2,34（2,0）,B（8,0）;

（2）證明：將A（2,0）代入y=）（工一5）2+（中，可得\二號，.?.七（5,-卜）,：.DE=^,

ME=DE+MD=?+4=^，則AE2=32+(-^y=^~,M^+AE2=52+^-=,ME'2=

44v47161616

=警，.?.AM2+AE2=7WE2,...3,AE,又???〃>!為半徑，.?.直線瓦4與。Al相切；

16

⑶為定值，理由如下：

連接AF.BF,作FQ_LAP于點(diǎn)Q,

圖2

/EPN為圓內(nèi)接四邊形ABFF的外角，二NFPN=NFAB,又；MF_LAB,；.AF^BF,：.NFAB=

Z.FBA=AFPA,NFPN=2FPA,?：FQ1AP,FN_LPN,：.FQ=FN,又；FP=FP,

：.RtAFPQ空RtAFPN(HL),：.