2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練-三角形 (二)

備考2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題19三角形

一、選擇題

1.活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，如已知AABC

中，NA=30。，AC=3,NA所對的邊為國，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的

△ABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（）

A.2A/3B.2V3-3C.28或D.28或一3

2.數(shù)學(xué)課上老師布置了“測量錐形瓶內(nèi)部底面的內(nèi)徑”的探究任務(wù)，善思小組想到了以下方案：如圖,

用螺絲釘將兩根小棒AD,BC的中點O固定，只要測得C,D之間的距離，就可知道內(nèi)徑AB的

長度.此方案依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實是（）

A.邊角邊B.三角形中位線定理

C.邊邊邊D.全等三角形的對應(yīng)角相等

3.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實踐探究活動.如圖，當張角為NBAF時，頂部邊

緣B處離桌面的高度BC為7cm,此時底部邊緣A處與C處間的距離AC為24cm,小組成員調(diào)整張

角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當張角為ZD4尸時（D是B的對應(yīng)點），頂部邊緣D處到桌面的距離DE

為20cm，則底部邊緣A處與E之間的距離4￡為（）

A.15cmB.18cmC.21cmD.24cm

4.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”,如圖，四邊形ABCD是一個箏形,其中AD=CD,AB=CB,

在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論：

①4C1B。；（2）X0=C0=^AC;③AABD名ACBD,

其中正確的結(jié)論有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.某興趣小組開展綜合實踐活動：在RtAZBC中，ZC=90°,CD=<2,。為AC上一點，動點P

以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿CTBT4勻速運動，到達點A時停止，以DP

為邊作正方形DPEF,設(shè)點P的運動時間為ts,正方形DPEF的面積為S,當點P由點C運動到點4

時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象，若存在3個時刻以，上，名（「1<

Ml圖2

A.3B.等C.4D.5

二'填空題

6.【動手實踐】小明學(xué)習了課本“實驗與探究”后做了如下探索：他按圖1方法把邊長為5厘米和3厘

米的兩個正方形切割成5塊，按圖2方式拼成的一個大正方形，則大正方形的邊長是________厘米.

7.活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如已知AZBC

中，乙4=30°,AC=3,乙4所對的邊為滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△力BC

是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為

8.在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形ABC（乙4=90。）硬紙片剪切成如

圖所示的四塊（其中D,E,F分別為4B,AC,BC的中點，G,H分別為DE,BF的中點），小明將

這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值

為,最大值為.

9.如圖，乙MEN=9。。,矩形ABCQ的頂點B,C分別是ZMEN兩邊上的動點，已知BC=6,CD=3,

請完成下列探究：

（1）若點F是BC的中點，那么EF=

（2）點D,點E兩點之間距離的最大值是

10.某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線Z同旁有兩個定點A、B,在直線，上存在點P,使得P4+PB的值最小.解法：如圖1,作點

4關(guān)于直線1的對稱點4連接4B,則4B與直線［的交點即為P,且P4+PB的最小值為4B.

請利用上述模型解決下列問題：

(1)幾何應(yīng)用：如圖2,△力BC中，zC=90°,AC=BC=2,E是AB的中點，P是BC邊上的

一動點，則PA+PE的最小值為；

(2)幾何拓展：如圖3,△ZBC中，AC=2,44=30°,若在AB上取一點M,則2cM+4M的

值最小值是.

三'實踐探究題

11.問題情境：在數(shù)學(xué)探究活動中，老師給出了如圖的圖形及下面三個等式：①AB=AC；②DB=DC；

③/BAD=NCAD.若以其中兩個等式作為已知條件，能否得到余下一個等式成立?解決方案：探究

△ABD與4ACD全等.

問題解決：

(1)當選擇①②作為已知條件時，4ABD與4ACD全等嗎?(填“全等”或“不全等”)，

理由是_________________________________

(2)當任意選擇兩個等式作為已知條件時，請用列表或畫樹狀圖的方法求△ABD/4ACD的概率.

12.【問題呈現(xiàn)】

已知，△CAB和△CCE都是直角三角形，乙4cB=ZDCE=90。，CB=mCA,CE=mCD,連接4。,

BE,探究AD,BE的位置關(guān)系.

（1）如圖1,當血=1時，直接寫出AD,BE的位置關(guān)系：

（2）如圖2,當小。1時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

（3）【拓展應(yīng)用】

當:m=AB=4小,QE=4時，將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)，使4,D,E三點恰好在同一直線上,

求BE的長.

13.［知識鏈接］，“化歸思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習中常用的一種探究新知、解決問題的基本的數(shù)學(xué)思想方法，

通過“轉(zhuǎn)化、化歸”通?？梢詫崿F(xiàn)化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，從而使問題得以解決.在探究平行四

邊形的性質(zhì)時，學(xué)習小組利用這種思想方法，發(fā)現(xiàn)并證明了如下有趣結(jié)論，平行四邊形兩條對角線的

平方和等于四邊的平方和.請你根據(jù)學(xué)習小組的思路，完成下列問題：

圖①圖②圖③

（1）［問題發(fā)現(xiàn)］:如圖1,學(xué)習小組首先通過對特殊平行四邊形—矩形（長方形）的研究發(fā)現(xiàn)在

矩形48CD中令4s=a,8C=6,則可求得/G+BD?：；（用°、6的式子表示）

（2）［問題探究］:如圖2,學(xué)習小組通過添加輔助線，嘗試將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形，繼續(xù)對一般

平行四邊形/BCD進行研究，如圖：分別過點/、。作5c邊的垂線，請你按照這種思路證明ZC+

BD2=2（AB2+5G）；

（3）［問題拓展］:如圖3,在△ABC中，40是8c邊上的中線，已知：4D=3,BC=8,（AB—AC）

2=10,請你添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形進行轉(zhuǎn)化，求的值.

14.某數(shù)學(xué)課外活動小組在學(xué)習了勾股定理之后，針對圖①中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多

邊形，它們的面積Si,S2,S3之間的關(guān)系問題”進行了以下探究：

(1)如圖②，在RtaABC中,BC為斜邊，分別以AB,AC,BC為斜邊向外側(cè)作RtAABD,RtAACE,

RtABCF,若N1=N2=N3,則面積Si,S2,S3之間的關(guān)系式為

(2)如圖③，在RL^ABC中，BC為斜邊，分別以AB,AC,BC為邊向外側(cè)作任意AABD,

△ACE,ABCF,滿足N1=N2=N3,ZD=ZE=ZF,則(1)中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請

證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由.

15.閱讀材料：若zu?—2zn+2n2—8n+16=0,求m、n的值.

解：".,m2-2mn+2n2—8n+16=0,(m2—2mn+n2)+(n2—8n+16)-0.

(m—n)2+(n-4)2=0,.,.m—n=0,n-4=0,.,.n=4,m=4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知/+4xy+5y2+6y+9=0,求x—y的值.

(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a?—4a+2b2—46+6=0,求邊c的值.

16.［實踐與探究］

將AABC(AB>AC)沿AD折疊，使點C剛好落在AB邊上的點E處，展開如圖，

(1)［操作觀察］圖①中，AB=8,AC=6.

①BE=.

②若4ACD的面積是9,則4ABD的面積是.

(2)［理解應(yīng)用］如圖②，若NC=2NB,試說明：AB=AC+CD.

(3)［拓展延伸］如圖③，若/BAC=60。，點G為AC的中點，且AG=5.點P是AD上的一個動點,

連結(jié)PG、PC,直接寫出(PG+PC)2的最小值.

17.數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題.

如圖，已知△ABC中，AB=AC=m,BC=n,Z.BAC=a(0°<a<180°),點P為平面內(nèi)不與點A、

C重合的任意一點，將線段CP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)a,得線段PD,E、F分別是CB、CD的中點，設(shè)

直線AP與直線EF相交所成的較小角為口，探究然的值和。的度數(shù)與m、n、a的關(guān)系，請你參與學(xué)習

小組的探究過程，并完成以下任務(wù):

(1)填空：

【問題發(fā)現(xiàn)】

求出了囂

小明研究了a=60。時，如圖1,6=▲

小紅研究了a=90。時，如圖2,求出了鈞=▲,§=▲

【類比探究】

他們又共同研究了a=120。時，如圖3,也求出了胃;

【歸納總結(jié)】

最后他們終于共同探究得出規(guī)律：皆=▲(用含m、n的式子表示)；6=▲(用含a的

式子表不:).

(2)求出a=120。時第的值和0的度數(shù).

r/I

18.如圖

問題探究:

(1)如圖①，已知線段AB=2,在AB的兩側(cè)分別作等邊△ABC和RtAABD,且/ADB=90。，

CM、DM分別為兩個三角形的中線，連接CD,則CD的最大值為；

(2)如圖②，已知AABC,分別以AB為直角邊在4ABC外側(cè)作RtAABP,以AC為斜邊在4ABC

外側(cè)作Rt^ACQ,且NABP=NAQC=90。，NPAB=NCAQ=30。，連接PC、BQ,請求出雅的值;

(3)如圖③，已知邊長為a的正方形ABCD,點E是邊CB延長線上一動點，連接AE、ED,請

問是否存在然的最小值？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由.

ED

19.問題探究

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在等邊△ABC中，點B,C在直線MN上，E為BC邊上的一點，連接AE,并把線段

AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EF,連接CF,則線段CF與BE的數(shù)量關(guān)系是,線段

CF與直線MN所夾銳角的度數(shù)是.

(2)【類比探究】

如圖②，在正方形ABCD中，點B,C在直線MN上，E為直線MN上的任意一點，連接AE,

并把線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EF,連接CF,試探究線段BE與CF的數(shù)量關(guān)系及線段

CF與直線MN所夾銳角的度數(shù)，并說明理由.

20.探究問題：

如圖①，在正方形"BCD中，點E,尸分別為DC,8c邊上的點，且滿足NE4F=45。，連接ER

求證DE+BF=EF.

感悟解題方法，并完成下列填空:

將^ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG,此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得:

AB=AD,BG=DE,Zl=Z2,AABG=ZD=90%

???^ABG+^ABF=90°+90°=180°,

因此，點G,B,尸在同一條直線上.

???Z.EAF=45°

???N2+N3=ABAD-乙EMF=90°-45°-45°.

,:zl=z2,

??.Z1+Z3=45°.

^^GAF=zA.

又4G=AE,AF^AF

△GA,F=▲.

???____A_=EF,故+=

（2）方法遷移

如圖②，將RtAABC沿斜邊翻折得到△ADC,點E,尸分別為。C,8c邊上的點，且

Z.EAF^^DAB.試猜想DE,BF,斯之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

（3）問題拓展：

如圖③，在四邊形4BCD中，AB=AD,E,F分別為DC,5c上的點，滿足為4F=W?4B,

試猜想當ZB與ZD滿足什么關(guān)系時，可使得CE+BF=ET,請直接寫出你的猜想（不必說明理由）.

21.【問題情境】

在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30。的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩

塊三角板分別記作AACB和△A'D'C,^ADB=^ADC=90°,ZB=ZC=3O。，設(shè)ZB=2.

【操作探究】

如圖1,先將AADB和△力DC的邊4。、4。'重合，再將AZDC繞著點A按順那句"方向旋

轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0。WaW360。)，旋轉(zhuǎn)過程中△4DB保持不動，連接BC.

4(H)

(1)當a=60。時，BC=；當BC=2四時，a=°；

(2)當a=90。時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；

(3)如圖2,取BC的中點F,將AZDC繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點F的運動路徑長為.

22.【問題提出】如圖1,在RM2BC中，乙4cB=90。，點E,F分別為邊AC,BC的中點，將△EFC

繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a((T<a<360。)，連接4E,BF,試探究4E,BF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位

置關(guān)系？

圖1圖2圖3

(1)【特例探究】若AC=BC,將^EFC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，直線BF與AE,AC分

別交于點M,N.按以下思路完成填空(第一個空填推理依據(jù)，第二個空填數(shù)量關(guān)系，第三個空填位置

關(guān)系)：

-AC=BC,^E,F分別為邊ZC,BC的中點，

??.CE=CF.

,:Z.ACB=Z-ECF,

???Z.ACE=Z.BCF.

：.》ACE絲4BCF().

???AEABF,^LCAE=乙CBF.

又???/LANM=(BNC,

???(AMN=乙BCN=90°.

AEABM.

(2)【猜想證明】若BC=nAC(n>1),AEFC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，直線AE與BF,

BC分別交于點M,N,猜想4E與BF之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并就圖3所示的情況加以證明；

(3)【拓展運用】若4c=4,BC=6,將小EFC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a(0。<cr<360°),直線AE與

BF相交于點M,當以點C,E,M,F為頂點的四邊形是矩形時，請直接寫出BM的長.

23.綜合與實踐

【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師給出了這樣一個問題：

如圖1,在AZBC中，AB=AC,ABAC=a,射線AD平分乙BAC,將射線AD繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)

a,得到射線Z,在射線I上取點E,使得AE=AB,連接BE分別交AD,AC于點M,N,連接CE.

問：“BE,ZAMN之間的數(shù)量關(guān)系是什么？線段DM,CN之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

【特例探究】“勤奮”小組的同學(xué)們先將問題特殊化，探究過程如下:

甲同學(xué)：當a=60°時，如圖2,通過探究可以發(fā)現(xiàn)，&AMN,AACE,AECN都是等腰三角形；

乙同學(xué)：可以證明AABMWA4EN,得到BM=EN；

丙同學(xué)：過點4做4F1MN,垂足為F,如圖3,則FM=FN；

丁同學(xué)：可以證明ABOMAECN?AAMN,則器=需，瑞=犒，…

(1)根據(jù)以上探究過程，得出結(jié)論：

①ZCBE,ZM4N之間的數(shù)量關(guān)系是;

②線段DM,CN之間的數(shù)量關(guān)系是.

(2)【類比探究】

“智慧”小組的同學(xué)們在“勤奮”小組的基礎(chǔ)上，進一步探究一般情形，當NB4C=a時，如圖1,⑴中

的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖1的情形進行證明；如果不成立，請說明理由。

(3)【遷移應(yīng)用】

“創(chuàng)新”小組的同學(xué)們改變了條件，當a=90°時，如圖4,若射線AD是ZB4C的三等分角線，AB=

2V3+2,其他條件不變，請直接寫出MN的長.

AA

N4I

DCBC

圖4備用圖

24.【探究與證明】成語“以不變應(yīng)萬變”中蘊含著某種數(shù)學(xué)原理.

【動手操作】如圖1，4c是正方形4BCD的對角線，點E是4c上的一個動點，過點E和5作等

腰直角AEFG,其中ZFEG=9O。，EF>AB,EG與射線DC交于點P.

請完成：

(1)試判斷圖1中的NBEC和NPEC的數(shù)量關(guān)系；

(2)當點尸在線段DC上時，求證：EP=BE.

(3)【類比操作】如圖2,當點P在線段DC的延長線上時.EP=BE是否還成立?請判斷并證明你

的結(jié)論.

25.動手操作：某數(shù)學(xué)課外活動小組利用圖形的旋轉(zhuǎn)探究圖形變換中蘊含的數(shù)學(xué)奧秘.

BDCB

如圖1,是等腰直角三角形，4c=BC=4,N/C5=90。，將邊48繞點3順時針旋轉(zhuǎn)90。

得到線段48，連接4C,過點?作交C3延長線于點D.

(1)在圖1中：△45C的面積為；

(2)如圖2,若△ZC3為任意直角三角形，NACB=90。.將邊N3繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線

段48,連接?C,過點4作，DLCS交C5延長線于點D.猜想三條線段/C、CD、/7)的數(shù)量關(guān)

系，并證明.

(3)如圖3,在△/C3中，AB=AC=5,BC=6,將邊4B繞點3順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段?8,

連接?C.

若點。是△ZC3的邊5c的高線上的一動點，連接4。、D8,則4D+D5的最小值是

26.綜合與探究

【問題情境】

數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起探索旋轉(zhuǎn)的奧秘.老師出示了一個問題：如圖1,在AABC中，

AB=AC,ZBAC=90°,點D是邊BC上一點(0<BO<±BC),連接AD,將AABD繞著點A按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，得到4ACE.

(1)【操作探究】試判斷4ADE的形狀，并說明理由；

(2)【深入探究】希望小組受此啟發(fā)，如圖2,在線段CD上取一點F,使得NDAF=45。，連接

EF,發(fā)現(xiàn)EF和DF有一定的關(guān)系，猜想兩者的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)智慧小組在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)CF,FD,DB三條線段也有一定的數(shù)量關(guān)系，請你

直接寫出當CF=3,BD=2時DF的長.

27.如圖①，小紅在學(xué)習了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進行了探究,在等腰直角三角形ABC

中，C4=CB,ZC=90°,過點B作射線BD14B,垂足為B,點P在CB上.

如圖②，若點P在線段CB上，畫出射線PA,并將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。與BD交于點E,

根據(jù)題意在圖中畫出圖形,圖中NPBE的度數(shù)為度;

(2)【問題探究】

根據(jù)(1)所畫圖形，探究線段P4與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)【拓展延伸】

如圖③，若點P在射線CB上移動，將射線P4繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。與BD交于點E,探究線段

BA,BP,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

28.【問題提出】如圖1,在RtAZBC中，乙4cB=90。，點E,F分別為邊AC,BC的中點，將△EFC

繞點C順時針旋轉(zhuǎn)毆0。<a<360。)，連接AE,BF,試探究AE,BF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位

置關(guān)系？

(1)【特例探究】若2C=BC,將△￡1/(繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，直線BF與AE,AC

分別交于點M,N.按以下思路完成填空(第一個空填推理依據(jù)，第二個空填數(shù)量關(guān)系，第三個空填

位置關(guān)系)：

'JAC=BC,E,F分別為AC,BC的中點，

：.CE=CF,

'：/-ACB=乙ECF,

."ACE=乙BCF,

/.△4CE三△BCF()

.,.AEBF,/-CAE=乙CBF,又,：乙ANM=乙BNC,

:.乙AMN=乙BCN=90°,

AAEBM.

(2)【猜想證明】若BC=nAC(n>1),AEFC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，直線AE與BF,

BC分別交于點M,N,猜想AE與BF之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并就圖3所示的情況加以證明；

(3)【拓展運用】若4C=4,BC=6,將△EFC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a((T<a<360。)，直線AE,

BF相交于點M,當以點C,E,M,F為頂點的四邊形是矩形時，請直接寫出BM的長.

29.胡老師的數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題.

如圖，已知AABC中，AB=AC=x,BC=y,ABAC=cr(0°<a<180°)，點P為平面內(nèi)不

與點A、C重合的任意一點，連接CP，將線段CP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)a，得線段PD，連接CD、AP

點E、F分別為BC、CD的中點，設(shè)直線AP與直線EF相交所成的較小角為0,探究器的值

和。的度數(shù)與X、y、a的關(guān)系.

圖1圖2圖3

請您參與學(xué)習小組的探究過程，并完成以下任務(wù):

（1）填空:

【問題發(fā)現(xiàn)】

求出了器的值和B的度數(shù)分別為EF

小明研究了a=60。時，如圖1,AP=

EF

小紅研究了。時，如圖求出了籍的值和B的度數(shù)分別為

a=902,AP=

【類比探究】

他們又共同研究了a=120。時,如圖3,也求出了篇的值和B的度數(shù);

【歸納總結(jié)】

EF

最后他們終于共同探究得出規(guī)律:（用含x、y的式子表示）；0=

AP

（用含a的式子表示）

（2）求出a=120。時等的值和8的度數(shù)（注：要求寫出具體解題過程，否則得零分）.

30.數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45。角的三角尺放在正方形4BCD中,

使45。角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉(zhuǎn)三角尺時，45。角的兩邊CM,CN始終與正

方形的邊ZD,4B所在直線分別相交于點M,N,連接MN,可得ACMN.

Cl）【探究一】

如圖②，把△CDM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△CBH,同時得到點H在直線AB上.求證:NCNM=

乙CNH；

(2)【探究二】

在圖②中，連接BD,分別交CM,CN于點、E,F.求證：ACEFFCNM；

(3)【探究三】

把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點E,F.連接

4C交BD于點0,求需的值.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】V34

7.【答案】28或

8.【答案】8；8+2V2

9.【答案】(1)3

(2)3+3V2

io.【答案】(1)V10

(2)2V3

n.【答案】(1)全等；三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

(2)解：畫樹狀圖如下：

開始

②③①③①②

由樹狀圖知：共有6種等可能情況，符合條件有①②，①③，②①，③①共4種,

二求4ABD會ZXACD的概率為?=4

o3

12.【答案】(1)BELAD

(2)解：成立.

理由如下：乙4cB=90。，

：./.DCA+/.ACE=/.ACE+乙ECB=90°.

A^DCA=乙ECB.

..D￡_AC__1_

*CE~BC~m

ADCAECB.

，乙DAC=幺CBE.

VZGXB+^ABG=乙DAC+乙CAB+乙ABG=乙CBE+乙CAB+乙ABG=乙CAB+ZCBX=9O°,

：./.AGB=90°.

：.BE1AD；

(3)解：分兩種情況：①當點E在線段AD上時，連接BE,如圖所示.

D

設(shè)4E=x,則4D=4E+DE=K+4,

根據(jù)(2)可矢口，△DCAECB,

?BEBCw

'-AD=AC=m=y/3,

BE=取AD=V3(x+4)=V3x+4V3,

根據(jù)(2)可知，BELAD,

：.AAEB=90°,

根據(jù)勾股定理，得AE2+BE2=AB2,即久2+(V3x+4V3)2=(4A/7)2,

解得x=2或%=一8(舍去).

，此時BE=y/3x+4V3=6V3;

②當點D在線段AE上時，連接BE,如圖所示：

設(shè)4D=y,則4E=AD+DE=y+4.

根據(jù)(2)可矢口，XDCAFECB,

.BEBC

??而=*=小

:.BE=WAD=V3y.

根據(jù)(2)可知，BEVAD,

J.^LAEB=90°,

根據(jù)勾股定理，得4E2+BE2=aB2,即(y+4)2+(V5y)2=(477)2,

解得y=4或y=—6(舍去)，

二止匕時BE=V3y=4V3.

綜上所述，BE=6舊或4>/3.

13.【答案】(1)2aH2b2

(2)解：證明：如圖②，作AELBC于E,DFLBC于F,

?；四邊形ABCD是平行四邊形，

.'.AB//DC,且AB=DC,

/.ZABE=ZDCF,

在4ABE和4DCF中，

'/.ABE=乙DCF

4AEB=乙DFC=90°,

.AB=DC

.二△ABE絲ADCF(AAS),

，AE=DF,BE=CF,

在Rt^ACE中，由勾股定理，可得

AC2=AE2+CE2=AE2+(BC-BE)2...?,

在Rt/XBDF中，由勾股定理，可得

BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=DF2+(BC+BE)

由①②，可得

AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+2BC2+2BE2,

在Rt^ABE中，由勾股定理，可得

AB2=AE2+BE2,

AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2=2AB2+2BC2；

(3)解：解：如圖3,延長AD至點E,使AD=DE,

：AD是BC邊上的中線,

；.BD=CD,

又：AD=DE,

四邊形ABEC是平行四邊形，

由(2)可得AE?+BC2=2AB2+2AC2,=2(AB-AC)2+4AB?AC,

VAE=2AD=6,

/.AE2=4AD2=36,

VBC=8,(AB-AC)2=10,

/.36+64=2xl0+4AB?AC,

.,.AB?AC=20.

14.【答案】⑴Si+S2=S3

(2)解：成立，理由如下，

VZl=Z2=Z3,/-D=Z.E=乙F,

???△ABD^△BCF?△CAE,

22

.S1_ABS2_AC

’3=必，腌=必’

S1+S2AB2+AC2

BC2'

■■ABAC=90°,

AB2+AC2=BC2,

.S1+S2_AB2+AC2_BC2_

"S3=_BC2-'

Si+S2=S3.

???成立.

15.【答案】⑴解;Vx2+4xy+5y2+6y+9=0,

(x2+4xy+4.2)+(y2+6y+9)=0,

(%+2y)2+(y+3)2=0,

.*.%+2y=0,y+3=0,

?\x=6,y=—3,

/.x—y=6—(—3)=9.

(2)解：Va2-4a+2h2-4/)+6=0,

(a2—4a+4)+(2b2—4b+2)=0.

???(ci-2)2+2(b—I)2=0,

/.a—2=0,b—1=0,

a=2,b=1,

V2-I<c<2+1,

1<c<3,

Ye為正整數(shù)，

c—2.

16.【答案】(1)2；12

(2)證明：由折疊可知，4AED絲4ACD,所以AC=AE,DE=CD,NAED=NC。

VZC=2ZB,

.\ZAED=2ZB,

又：ZAED=ZB+ZBDE,

ZB=ZBDE,

/.BE=DE,貝l」CD=DE

Z.AB=AE+BE=AC+CD

(3)75

17.【答案】(1)解：澗題發(fā)現(xiàn)］如圖1,連接AE,PF,延長EF、AP交于點Q,

當a=60。時，AABC和APDC都是等邊三角形，

.\ZPCD=ZACB=60°,PC=CD,AC=CB,

???F、E分別是CD、BC的中點，

.CF_1CE_1

?屈=2'AC"2'

.CF_CE

?屈=宿

又：NACP=NECF,

/.△ACP^AECF,

.尊=4,ZCEF=ZCAP,

.,.ZQ=/?=ZACB=60°,

當a=90。時，4ABC和APDC都是等腰直角三角形,

如圖2,連接AE,PF,延長EF、AP交于點Q,

.?.NPCD=NACB=45。，PC=^CD,AC=2^CB,

?；F、E分別是CD、BC的中點，

.CE_J_CF_J_

??泰-萬PC~^2J

.CF_CE

"PC-XC,

又?.?NACP=NECF,

.?.△ACPsAECF,

.懵=a=冬NCEF=NCAP,

???NQ=S=NACB=45。，

［歸納總結(jié)］

由止匕可歸納出空=空=乏=旦，g=ZACB=18QJ-a；

APACm2mj2

(2)解：當a=120。，連接AE,PF,延長EF、AP交于點Q,

???AE_LBC,ZCAE=60°

???疝6。。啜=字,

同理可得：器=字,

.CE_CF

??衣—UF

.CE_CA

"CF-CP'

又?：NECF=NACP,

.?.△PCAsAFCE,

.?.第=弟=字，ZCEF=ZCAP,

/ir/IC/

???NQ=S=NACB=30。.

18.【答案】(1)V3+1

(2)解：如圖：

\,^.ABP=^AQC=90°,乙PAB=^CAQ30°,

△APBACQ,

.AP__AB_

"'AC~AQ

嚼造

VzPXB=^CAQ=30°,

：.^PAC=^BAQ,

：.△APC?△4BQ,

.BQ_AB

^~PC~~AP

AB_43

\"ABP=90°,Z.PAB=30°,cosZ-PAB而=丁

?BQ_AB

??可=麗=T

(3)解：存在黑的最小值，理由如下：

以/。為直徑作圓O,在圓上找一點F,使得ND4F=NE2B,連接BF

：.Z.AFD=^ABE=90°,

△ABEAFD,

?A.E_AB_AD

,?而=獷^AB=AF9

\9^DAF+匕BAD=乙EAB+^BAD,^Z-EAD=乙BAF,

△AEDABF,

.AE_AD_DE

9'AB=AF=^F

.AE_AB

,?現(xiàn)=麗’

9：AB=a,

?AE_a

^DE=BF

.?.當BF取得最大值時，售取得最小值，此時B、0、F三點共線,

ED

1

vxo=0D=OF=^a,

-BF=BO+OF=y/AB2+AO2+OF=孚a+ga=

.AE___a__a_2_

:-'DE~~BF~"+I-T5+i—2

-2~

.?錯的最小值為與1.

19.【答案】（1）CF=BE；60°

(2)解：所夾銳角的度數(shù)為45。.

理由：在BA上取一點K,使得BK=BE.

V：四邊形ABCD是正方形,

AZABC=90°,AB=BC,

?;BK=BE,

??..AK=EC,NBKE=NBEK=45。

???NAKE=135。

NAEN=ZAEF+ZFEC=ZABC+ZEAK,

NAEF=NABC=90。，

JNEAB=NFEN,

???△EAK之AFEC(SAS),

???EK=CF,NAKE=NFCE=135。，

???NFCN=1800-135o=45。.

又,.,EK>BE,ACF>BE.

20.【答案】(1)FAE\LEAF\GF

???將沿斜邊翻折得至lU/DC,點E,F分別為DC,BC邊上的點，^EAF=^DAB,

???zl+z2=z_3+z_5,z2+z3=zl+z5,

???z4=zl,

z.2+z.3=z.4+z.5,

?，?Z-GAF=Z-FAE,

???在△AGB和中，

Z4=zl

AB=AD,

JLABG=匕ADE

??.△ZGB三△Z￡D(ZSZ),

??.AG-AE,BG—DE,

???在△4GF和中，

AG=AE

^LGAF=/,EAF,

.AF=AF

：^AGF=LAEF(SAS},

???GF=EF,

DE+BF=EF；

(3)當NB與乙D滿足乙B+乙D=180。時，可使得+=

21.【答案】(1)2；30或210

(2)解：當a=90。時，如圖所示：

'：AB=AC=2,

：-AD=AD'=^AB=1,

:?BD=CD=V22—l2=V3,

9：^DAD=a=90°,

XVzXDB=^ADC=90°,

???四邊形4DED'是矩形，

AD=AD'，

???四邊形4DED'是正方形，

：.AD=DE=DE=1,

:?BE=BD—DE=?—1,

-"-EF=BExtan^ABD=(遮—1)x字=1-孚,

ADAG=ADAD'-ACAD'=90°-60°=30°,

DG=ADxtanzZMG=1x字=字，

:*S四邊形AGEF~^ABD-S&BEF—^ADG

1xlxV3-|x(l

2

V32芯一V31V3

23十人豆=1一丁

即兩塊三角板重疊部分圖形的面積為1-孚.

(3)2兀

22.【答案】(1)邊角邊；=；1

(2)解：BF=nAE,AE1BF.

vCE=^AC,CF=*BC,BC=nAC,

??.CF=nCE,

BCCFn

AC-CE-l-n，

???乙ACB=乙ECF=90°,

???Z-BCF=Z.ACE,

???△BCFs^ACE,

BFBC

：'AE=AC=n，

.?.BF=nAE,

???△BCFs^ACE,

???Z-CBF=Z.CAE,

???乙BNM=乙ANC,

???乙BMN=乙ACN=90°,

即AE1BF；

(3)3舊+2或3b一2

23.【答案】(1)乙MAN=2乙CBE；CN=2DM

(2)(1)中的兩個結(jié)論仍然成立，證明如下：

???射線AD平分乙B2C,將射線AD繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)a,得到射線Z,

a

V乙BAD=Z.CAD=2，/.DAE=a

a

???Z-CAE=Z-DAE—Z-CAD=q.

a

???/.BAD=/.CAD=Z-DAE=于

,:AB—AE,

???2LABM=乙AEN.

??.△ABM=AAEN(ASA)

BM=EN,AM=AN.

???AB-AC—AE,

AMAN

又,；AMAN=乙CAE=p

MANCAE.

：.乙AMN=^ACE.

■：乙ANM=乙ENC,乙AMN=4ANM,

???4AMN=4ANM=乙NCE=乙ENC.

.MECN?AAMN.

EN_CN

'''AN=MN

過點4作AFIMN,垂足為F,如解圖1所示，則FM=FN,AMAF=/.NAF.

■：Z-BMD=Z.AMF,乙BDM=Z.AFM=90°,

.?.ABDMAFM.

BM_DM

AM=TM乙MBD=Z.MAF.

：.乙MAN=24AMF=2"BE.

AM=AN,BM=EN,MN=2FM,

DM_CN_CN

即CN=2DM.

~FM='MN=2FM'

(3)2+孥或4a-2而

24.【答案】(1)解：ZBEC+ZPEC=90°

(2)解：證明：如圖，過點E作EM1BC于M,EN1C。于N,則NEMC=NENC=ZMCN=90。,

四邊形EMCN是矩形，

???乙MEN=90°,又乙FEG=90。，

乙BEM+Z.MEC=乙PEN+乙MEC=90°,乙BEM=乙PEN

???四邊形ABC。是正方形，

??.2C平分NBCD(又EM1BC于M,EN1CD),:.EM=EN

又,：乙BME=APNE=9Q°,'.hBEMPENNASA),:.BE=EP；

(3)解：當點P在線段DC的延長線上時，EP=BE還成立.

理由：過點E作EMJ.BC于M,ENJ.C。于N,則四邊形EMCN是矩形,

.\ZMEN=90°,

,?ZFEG=ZBEM+ZMEP=ZPEN+ZMEP=90°,

ZBEM=ZPEN,

二?四邊形ABCD是正方形，

.'.AC平分/BCD,

'：EM1BC,EN1CD,

，EM=EN,ZBME=ZPNE=90°,

.,.△BEM^APEN(ASA),

.,.BE=EP.

25.【答案】(1)8

(2)解：CD=AC+A'D，證明如下：

?.?邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段4B,

：.BA=AB,AABA=90°.

：.^CBA+^DBA=90°.

??,乙4cB=90。,

?"G4B+“BZ=90。.

：.^DBA=乙CAB.

*：AD1CB,

：.^BDA=90°.

：.2LBDA=^ACB=90°.

：.^BDA=^ACBQAASy

：.AD=BC,BD=AC.

ACD=BD+BC=AC+AD.

(3)V109

26.【答案】(1)解：ZkADE為等腰直角三角形，理由如下:

由旋轉(zhuǎn)得NDAE=NBAC,AD=AE,

VZBAC=90°,

AZDAE=90o,

???△ADE為等腰直角三角形

(2)解：EF=DF,理由如下：

VZDAE=90°,ZDAF=45°,

JZEAF=ZDAE-ZDAF=45°.

AZEAF=ZDAF,

又?.?AF=AF,AD=AE,

AAAFE^AAFD(SAS),

???EF=DF；

(3)解：DF=V13

(2)解：PA=PE；理由如下:

連接AE,如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，乙4PE=90。，

90°,

???Z、P、B、E四點共圓，

：.A.AEP=乙ABP=45°,

?"瓦4P=90。-45。=45。，

：.￡.AE