2022年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2022年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.設(shè)全集。=及，集合/={0,1,2},B={x[x^2},則/n（Cu8）=（）

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{2}D.{x\x<2}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（2+z）z=3-i,則|z尸（）

A.1-iB.1+zC.V2D.2

71

3.將函數(shù)/（x）=sinx的圖象向右平移5個(gè)單位，可以得到（）

A.>=sinx的圖象B.y=cosx的圖象

C.y=-sinx的圖象D.y=-cosx的圖象

4.如圖，圓錐的軸為PO,其底面直徑和高均為2,過(guò)尸。的中點(diǎn)Oi作平行底面的截面，以該截面為底面

挖去一個(gè)圓柱，此圓柱的下底面在圓錐的底面上，則圓錐與所得圓柱的體積之比為（）

A.2：1B.5：3C.3：1D.8：3

5.尸為拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)〃（加，4）在。上，直線板交。的準(zhǔn)線于點(diǎn)N,則|呼=（）

510

A.-B.—C.5D.12

43

6.已知實(shí)數(shù)x,歹滿足7+4產(chǎn)=5,則x+29的最大值是（）

A.V10B.V5C.6D.3

7.已知函數(shù)/(久)=^^,若/⑵)>/(1-x),則x的取值范圍是()

Jl+%2

11

A.(—8,i)B.(—1,

11

C.(2/+8)D.(—00/—1)U(2/+8)

第1頁(yè)（共22頁(yè)）

8.已知OVaV0V2n,函數(shù)/（x）=5sin（x—看），若/（a）=f（P）=1,則cos（0-a）=（）

232333

A.—B.一煞C.-D.

252555

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知（％-5）n的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）

A.〃=9B.n—U

C.常數(shù)項(xiàng)是672D.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是-1

10.小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具，他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時(shí)間（單

位：分鐘），得到下列兩個(gè)頻率分布直方圖：基于以上統(tǒng)計(jì)信息，則（）

A.騎車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是22分鐘

B.騎車時(shí)間的眾數(shù)的估計(jì)值是21分鐘

C.坐公交車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是20分鐘

D.坐公交車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值小于騎車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值

11.雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖尸1,尸2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)尸2發(fā)出的光線機(jī)交雙曲線

右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線"的反向延長(zhǎng)線過(guò)左焦點(diǎn)F,若雙曲線C的方程為可言=1,

下列結(jié)論正確的是（）

A.若％_1_”,貝1尸尸1卜甲尸2尸16

B.當(dāng)〃過(guò)。（7,5）時(shí)，光由尸2fp一。所經(jīng)過(guò)的路程為13

C.射線〃所在直線的斜率為無(wú)，則陽(yáng)6[0,

D.若7（1,0）,直線PT與C相切，則|尸產(chǎn)2]=12

第2頁(yè)（共22頁(yè)）

12.如圖，正方體488-41囪。。1中，頂點(diǎn)/在平面a內(nèi)，其余頂點(diǎn)在a的同側(cè)，頂點(diǎn)出，B,C至?。輆

的距離分別為泥，1,2,則

A.平面a

B.平面平面a

C.直線/囪與a所成角比直線44i與a所成角大

D.正方體的棱長(zhǎng)為2衣

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

->TTT->一

13.設(shè)向量a=(L0),b=(0,-1),若2a+3b與xa—6b共線，則實(shí)數(shù)x=.

14.若圓C：x1+y2+Dx+2y=0的圓心在直線x-2y+l=0上，則C的半徑為.

15.已知數(shù)列｛斯｝滿足ai=a5=0，|斯+1-劭|=2,則｛斯｝前5項(xiàng)和的最大值為.

16.若函數(shù)/(x)=j^lnx,g(x)=xelx,則/(x)的最小值為；若a,6>0,且/(a)=g(6),

則a-2b的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知等比數(shù)列｛斯｝滿足的+。2=20,03-ai=60,nGN*.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

hh

(2)記6〃=k>g2即，Cn=+kn?求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和

第3頁(yè)(共22頁(yè))

18.(12分)△NBC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=2,acosC+^-asinC=b.

(1)求/；

(2)若點(diǎn)。在8c邊上，4D平分NB4C,且4。=孝，求A42C的周長(zhǎng).

第4頁(yè)(共22頁(yè))

19.(12分)如圖，△/BC是邊長(zhǎng)為4百的等邊三角形，E,尸分別為NC的中點(diǎn)，G是△NBC的中心,

以斯為折痕把△/斯折起，使點(diǎn)Z到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且尸G,平面N2C.

(1)證明：尸8LZC；

(2)求平面尸￡尸與平面尸2尸所成二面角的正弦值.

第5頁(yè)(共22頁(yè))

20.(12分)目前，全國(guó)多數(shù)省份已經(jīng)開(kāi)始了新高考改革.改革后，考生的高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外

語(yǔ)3門全國(guó)統(tǒng)一考試科目成績(jī)和3門選擇性科目成績(jī)組成.

注：甲、乙兩名同學(xué)對(duì)選擇性科目的選擇是隨機(jī)的.

(1)/省規(guī)定：選擇性考試科目學(xué)生可以從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中任選3

門參加選擇性考試.求甲同學(xué)在選擇物理科目的條件下，選擇化學(xué)科目的概率；

(2)3省規(guī)定：3門選擇性科目由學(xué)生首先從物理科目和歷史科目中任選1門，再?gòu)乃枷胝巍⒌乩?、?/p>

學(xué)、生物4門科目中任選2門.

①求乙同學(xué)同時(shí)選擇物理科目和化學(xué)科目的概率；

②為調(diào)查學(xué)生的選科情況，從某校高二年級(jí)抽取了10名同學(xué)，其中有6名首選物理，4名首選歷史.現(xiàn)從

這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查.將其中首選歷史的人數(shù)記作X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

第6頁(yè)(共22頁(yè))

21.(12分)已知橢圓E：L+2=1的右焦點(diǎn)為凡橢圓「：—2=A(A>1).

22+J

(1)求「的離心率；

(2)如圖：直線/：x=w.y-1交橢圓「于/,。兩點(diǎn)，交橢圓E于8,C兩點(diǎn)，

①求證：\AB\=\CD\-,

②若入=5,求尸面積的最大值.

第7頁(yè)(共22頁(yè))

22.(12分)已知函數(shù)/(%)=三*,g(x)=bsiwc,曲線＞=/(x)和〉=g(x)在原點(diǎn)處有相同的切線/.

(1)求b的值以及/的方程；

(2)判斷函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)在(0,+°°)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

第8頁(yè)(共22頁(yè))

2022年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.設(shè)全集U=R,集合/={0,1,2},B={x\x^2],貝(CuB)=()

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{2}D.{x\x<2}

解:因?yàn)槿?尺，集合/={0,1,2},B=[x\x^2},

則4C(CuB)={0,1,2}A{x|x<2}={0,1}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(2+z)z=3-i,則|z尸()

A.1-iB.1+zC.V2D.2

解：(2+z)z=3-i,

|2+z]*|z|=|3-i\,

即有?閭=VTo,

故同=V2,

故選：C.

7T

3.將函數(shù)/（x）=sinx的圖象向右平移5個(gè)單位，可以得到（）

A.y=sinx的圖象B.y=cosx的圖象

C.y=-sinx的圖象D.>=-cosx的圖象

7TTT

解：將函數(shù)/（X）=sinx的圖象向右平移5個(gè)單位，可以得到〉=sin（》一］）=-cos的圖象,

故選：D,

4.如圖，圓錐的軸為PO,其底面直徑和高均為2,過(guò)尸。的中點(diǎn)。作平行底面的截面，以該截面為底面

挖去一個(gè)圓柱，此圓柱的下底面在圓錐的底面上，則圓錐與所得圓柱的體積之比為（）

B.5：3C.3：1D.8：3

解：圓錐的體積為匕=^71XI2X2=冬，圓柱的體積為彩=兀X（i）2X1=

55乙一

第9頁(yè)（共22頁(yè)）

所以U:%=竽；8：3,

故選：D.

5.尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M（〃?，4）在C上，直線九田交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)N,則|網(wǎng)=（）

510

A.-B.—C.5D.12

43

解：尸為拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)（1,0）,點(diǎn)、M（m,4）在C上，不妨取M（4,4）,可知旅的方程

Q

^

為：尸g（X-1）,準(zhǔn)線方程為：x=-1,所以N（-D

所以沖=J（1+1）2+,）2=當(dāng)

故選：B.

6.已知實(shí)數(shù)無(wú)，丁滿足7+4/=5,則尤+2y的最大值是（）

A.V10B.V5C.6D.3

2

解：因?yàn)?+旬2=5,所以（x+2y）2=5+4孫=5+2x?2.y〈5+2x（坐#）2=5+色件-,

解得（x+2y）2^10,所以-VTU<%+2y<V1U,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)x+2y的最大值為VIU,

故選：A.

7.已知函數(shù)/(%)=〒—，若/⑵)>/(1-x),則x的取值范圍是()

Jl+%2

11

A.(—8,3)B.(―L3)

11、

C.(W,+8)D.(-8,-1)U弓,+8)

解：根據(jù)題意，函數(shù)其定義域?yàn)镽,

Jl+%2

有/（-無(wú)）=—^^=_y（x）,則/（x）為奇函數(shù),

1+x2

/(O)=0,

1

在區(qū)間（0,+8）上，/（X）=-^=

5

設(shè)貝幼=卷，

易得函數(shù)f=5在（0,+8）為減函數(shù)，>=房^在（0,+°°）上為減函數(shù)，則函數(shù)/（x）在（0,+8）

上為增函數(shù),

又由在區(qū)間（0,+8）上，/（X）>0,且/G）為奇函數(shù),

則f（x）在R上為增函數(shù)，

第10頁(yè)（共22頁(yè)）

11

若/(2x)>f(1-x),必有2r>l-x,解可得即x的取值范圍為(g,+°°)；

故選：C.

8.已知0VaVB〈2ir,函數(shù)/(x)=5sin(x—Q,若/(a)—f(P)=1,則cos(0-a)=()

232333

A.—B.一煞C.-D.-H

252555

解：V0<a<P<2n,函數(shù)/(x)=5sin(x—Q,f(a)—f(P)=1,

.".5sin(a—5)=5sin(0—￡)=1,

/.sin(a—5)=sin(B—5)=]

6廠65

?，?a—看為銳角，0—看為鈍角，

cos(a—看)=Jl—sin2{a—cos(0—Q=——sin2(/?—

則cos(p-a)=cos[(0—Q-(。-看)]—cos(a—cos(0—Q+sin(a—sin(0一看)=一簽+

1_23

25="25?

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知。-檢尸的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則()

A.n—9

B.〃=11

C.常數(shù)項(xiàng)是672

D.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是-1

解：展開(kāi)式的第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為q,

則鬣，所以〃=9,故4正確，8錯(cuò)誤，

所以二項(xiàng)式為(X-4)9,令無(wú)=1,則展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為(1-2)9=-1,故。正確，

二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=G>9-r■(—芻r=C§(—2)"9-3r,

令9-3r=0,解得r=3,所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C/x(―2>=-672,故C錯(cuò)誤，

故選：AD.

10.小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具，他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時(shí)間(單

第11頁(yè)(共22頁(yè))

位：分鐘），得到下列兩個(gè)頻率分布直方圖：基于以上統(tǒng)計(jì)信息，則（）

A頻率/組距

0.10()

0.075

0.050

0.025

o121416820222426赤

坐公交車時(shí)間為了

A.騎車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是22分鐘

B.騎車時(shí)間的眾數(shù)的估計(jì)值是21分鐘

C.坐公交車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是20分鐘

D.坐公交車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值小于騎車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值

解：對(duì)于N,騎車時(shí)間在［18,20）的頻率為0.1X2=02,

騎車時(shí)間在［20,22）的頻率為0.2X2=04,

.?.騎車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是20+喙詈x2=21.5分鐘，故/錯(cuò)誤;

U.4,

20+22

對(duì)于2,騎車時(shí)間的眾數(shù)的估計(jì)值是一^―=21分鐘，故8正確;

對(duì)于C,坐公交車時(shí)間在［12,20）的頻率為（0.025+0.050+0.075+0.1）X2=0.5,

坐公交車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是20分鐘，故C正確;

對(duì)于。，坐公交車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值為:

%!=13X0.025X2+15X0.050X2+17X0.075X2+19X0.1X2+21X0.1X2+23X0.075X2+25X0.05X

2+27X0.025X2=20,

騎車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值為：

^=19X0.1X2+21X0.2X2+23X0.15X2+25X0.05X2=21.6,

.??坐公交車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值小于騎車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值，故。正確.

故選：BCD.

11.雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖尸1,尸2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)尸2發(fā)出的光線機(jī)交雙曲線

22

XV

右支于點(diǎn)P,經(jīng)雙曲線反射后，反射光線〃的反向延長(zhǎng)線過(guò)左焦點(diǎn)尸1.若雙曲線。的方程為大-?=

916

1,下列結(jié)論正確的是（）

第12頁(yè)（共22頁(yè)）

A.若加_L〃，則尸尸中干尸2|=16

B.當(dāng)〃過(guò)。(7,5)時(shí)，光由尸2一0一0所經(jīng)過(guò)的路程為13

C.射線〃所在直線的斜率為無(wú)，則|k|e[O,

D.若7(1,0),直線PT與C相切，則尸尸2|=12

解：對(duì)于N：若優(yōu)，〃，則/乃P92=90°,

因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以|尸田-時(shí)目=6,

2

由勾股定理得：|&P『+|F2Pl2=尸1尸2『二者聯(lián)立解得：IP&I?IPF2I=嗎口一(I"PHF2P|)

吟理=32,故/錯(cuò)誤；

對(duì)于8：光由F2-P-Q所經(jīng)過(guò)的路程為：

\FiP\+\PQ\=\FiP\-2。+|尸。|=防尸|+|尸0|-2a=\FiQ\-2a=(7+5)2-+(5-0)2-6=7,

故2錯(cuò)誤；

22

X-yA

對(duì)于C：雙曲線:■一77=1的方程為y=±q％,

916J

設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為/,B,如圖示：

當(dāng)機(jī)與F；%同向共線時(shí)，〃的方向?yàn)镕%，此時(shí)％=0,最小，

因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以”所在直線的斜率為陽(yáng)V?

即|k|e[0,》故C正確；

對(duì)于。：設(shè)直線尸7的方程為了=左G-1),(后＞0),

y=k(x—1)

x2y2_,消去y可得：(16-9/)/+18出?9廬-144=0,

,y-16=1

其中A=(18/)2-4(16-9/)(-9必-144)=0,即1152必=2304,

第13頁(yè)(共22頁(yè))

解得k=夜代入（16-9/）X2+18^X-91c-144=0,

W-2X2+36X-162=0,解得：x=9,

92y2

由尸在雙曲線右支上，即一一一=1,

916

解得：y=8金（y=-8魚(yú)舍去），

所以P（9,8V2）,所以|F2Pl=J（9—5）2+（8或—0）2=12,

故。正確.

故選：CD.

12.如圖，正方體4BCD-/bBiCLDi中，頂點(diǎn)/在平面a內(nèi)，其余頂點(diǎn)在a的同側(cè)，頂點(diǎn)出，B,。至!]a

A.8C〃平面a

B.平面平面a

第14頁(yè)（共22頁(yè)）

C.直線與a所成角比直線441與a所成角大

D.正方體的棱長(zhǎng)為2a

對(duì)于/,???5C到平面a的距離分別為1,2,不相等，

.??3C不可能與平面a平行，故/錯(cuò)誤

對(duì)于8,設(shè)/CC&D=O,由題意得。是NC的中點(diǎn)，

平面ABCDDa=A,。到a的距離為2,

到a的距離為1,8到a的距離為1,.?.8O〃a,即D5〃a,

設(shè)平面48coCa=/,則2D〃/,

是正方形，：.AC±BD,

ABCD,BDu平面/BCD,J.AAiLBD,

\'AAiHAC=A,J.BDV^-^AiAC,.,八平面由/C,

：/ua,.?.平面小/CLL平面a,故3正確;

對(duì)于C,設(shè)為到平面a的距離為"，

1

..?直線481與a所成角為0,：.sin0=a1,

設(shè)直線44i與a所成角為y,；.siny=^~=乎，

A/i]Cl

76?

V—<\/6,sinp<siny,/.P<y,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，：平面Ni/CJ_平面a,平面Ni/CC平面a=N,

：.C,出在平面a的射影￡,尸與/共線，

由題意CE=2,ArF=V6,AC=42a,AAi±AC,如圖，

由/EG4+/G4￡=NG4E+/Z1/R得NECA="4F,

cos^ECA=奈，sin^41XF=

46

由cos2/EC4+sin2//i/尸=1,得=+==1,解得a=2&（舍去負(fù)值），故。正確.

2G2a2

故選：BD.

第15頁(yè)（共22頁(yè)）

Cl

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)向量1=(1,0),b=(0,-1),若22+35與二一67共線，則實(shí)數(shù)x=-4

解：根據(jù)題意，向量a=(1,0),b=(0,—1),

則2a+3b=(2,-3),xa—6b=(x,6),

若2a+3b與xa—6b共線，則有(-3)x=2X6=12,解可得x=-4,

故答案為：-4.

14.若圓C：x2+y2+Dx+2y=0的圓心在直線x-2y+l=0上，則C的半徑為

解：由圓的方程得：圓心C坐標(biāo)為(―9，-1),

代入直線尤-2尹1=0中，

得：(―9)-2X(-1)+1=0,解得。=6,

則半徑r=^V62+22=V10

故答案為：V10.

15.已知數(shù)列｛%滿足ai=a5=0,|*1-*=2,則丁籍前5項(xiàng)和的最大值為8.

解：已知數(shù)列｛如｝滿足。1=。5=0,|研L斯|=2,則｛如｝前5項(xiàng)分別為0,-2,0,-2,0；

或0,-2,-4,-2,0；或0,2,0,2,0；或0,2,4,2,0；

故當(dāng)｛劭｝前5項(xiàng)分別為0,2,4,2,0時(shí)，

前5項(xiàng)的和最大，為0+2+4+2+0=8,

故答案為：8.

16.若函數(shù)/(x)=Wlnx,g(x)=x^,則/(x)的最小值為；若Q,b>0,且/(a)=g(6),

則a-2b的最小值為2-21n2.

解：f(x)=x(2/HX+1),x>0,

第16頁(yè)(共22頁(yè))

11

當(dāng)OVxVe-2時(shí)，/(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)-2時(shí)，/(%)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

111

故當(dāng)x=e-2時(shí)，函數(shù)取得最小值/(e-2)=-A,

由于a,b>0,且/(a)=g(b),

所以a2lna=bezb>0,

所以加a>0,即a>l,b>0,

由Jlna=b圖得歷4?a也=加2"

令g(x)—xe^x,x>0,

貝!Jg'(x)=(2x+l)^>0,

所以g(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞增，

故由a>l,人>。得b=bm,

所以Q-2b=a-2lna,

令h(Q)—a-2lna,a>\,

則/(?)=1—1=7，

易得，當(dāng)a>2時(shí)，h'(a)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)l<a<2時(shí)，h'(a)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

故當(dāng)a=2時(shí)，h(a)取得最小值〃(2)=2-2加2,

1

故答案為：_”，2-2歷2.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知等比數(shù)列｛斯｝滿足r+。2=20,的-。1=60,"6N*.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

hh

(2)記b〃=log2即，Cn=+RN，求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和S〃.

Dn〃九+1

解：(1)設(shè)數(shù)列｛劭｝的公比為外

因?yàn)椤?+。2=20,。3-Q1=60，

所以ai+aiq=20,ai/~ai=60,

兩式作商得，q-1=3,所以q=4,ai=4,

故｛“〃｝的通項(xiàng)公式為即=4?4〃-=22".

2,!

(2)bn=log2?w=log22=In,

所以由=贊+削++—-^=2+

bn匕幾+i2n2(n+l)nn+1nn+1

i1111Ii

故IZS?=2+(1—5)+2+(———)+…+2+(——------)—2n+(177)—In7r+l.

223nn+1n+1n+1

第17頁(yè)(共22頁(yè))

18.(12分)△NBC的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=2,acosC+^-asinC=b.

(1)求4

(2)若點(diǎn)。在8C邊上，4D平分NB4C,且4。=孝，求△/BC的周長(zhǎng).

解:(1)由acosC+孚asinC=b.得sirL4cosc+孚sirL4sinC=sin8=sin(A+C),

silk4cosc+第siih4sinC=sirUcosC+cos^sinC,

V3

—siMsinC=cos/sinC,

3

/.taiL4=V3,OV/VTC,?\A=*

jrCDb

(2),?ZD平分/R4C,：?NCAD=/BAD=2一

6BDc

在△/CD中，由余弦定理有CD2=AC2+AD2-24CMDCOS-=b2+J-2bx冬X卓=b2+1-練,

在ABCD中，由余弦定理有BD2=AB2+AD2-lAB-ADcos^-=c2+j-2cX噂x*=c2+j-紙,

6>3/yO

rr）2b2+-——b卜2n/z

第="I方=葭'化簡(jiǎn)可得比-可岸cZA(b+c)=

93

7T

在A/BC中，由余弦定理有BD2=AC2+AB2-2AC-ABcos-,

3

.,.4=Z>2+C2-bc=(6+c)2-36c,；.(6+c)2-3x-^=(.b+c)=4,解得6+c=

3y/6

AABC的周長(zhǎng)2+泥.

19.（12分）如圖，△/BC是邊長(zhǎng)為4舊的等邊三角形，E,尸分別為NC的中點(diǎn)，G是△48C的中心,

以斯為折痕把△/斯折起，使點(diǎn)/到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且尸G,平面NBC.

（1）證明：PBLAC-,

（2）求平面PEF與平面尸所成二面角的正弦值.

解：（1）證明：連接8巴：△NBC是邊長(zhǎng)為4日的等邊三角形,

第18頁(yè)（共22頁(yè)）

E,尸分別為NC的中點(diǎn)，G是△NBC的中心，

J.BFLAC,GEBF,

：尸6，平面/8。，NCu平面/8C,：.AC±PG,

；PGCBF=G,：.AC±nBPF,

平面8P尸，：.PB±AC；

（2）依題意尸尸=2次，GF=2,在RtZXP尸G中，PG=2五,

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，/咕所在直線為x軸，PC所在直線為y軸,

過(guò)尸作平面42C的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

x/B

則N(0,-2V3,0),C(0,2V3,0),B(6,0,0),E(3,-V3,0),P(2,0,2位),

FP=(2,0,2a),FE=(3,-V3,0),

由（1）知，品'=（0,4V3,0）是平面P8b的一個(gè)法向量,

設(shè)平面PE》的法向量為￡=（x,y,z）,

則￡用=2久+2岳=0,令x=o,得￡=（a,迷，.1）,

n-FE=3x—V3y=0

7TL

.一二一、AC-nV6

..cos<AC,=-....=石，

\AC\-\n\

sin<4C,律>=Jl—（夠尸=學(xué).

一V3

平面PEF與平面尸8尸所成二面角的正弦值為三.

20.（12分）目前，全國(guó)多數(shù)省份已經(jīng)開(kāi)始了新高考改革.改革后，考生的高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外

語(yǔ)3門全國(guó)統(tǒng)一考試科目成績(jī)和3門選擇性科目成績(jī)組成.

注：甲、乙兩名同學(xué)對(duì)選擇性科目的選擇是隨機(jī)的.

第19頁(yè)（共22頁(yè)）

（1）/省規(guī)定：選擇性考試科目學(xué)生可以從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中任

選3門參加選擇性考試.求甲同學(xué)在選擇物理科目的條件下，選擇化學(xué)科目的概率；

（2）8省規(guī)定：3門選擇性科目由學(xué)生首先從物理科目和歷史科目中任選1門，再?gòu)乃枷胝?、地理?/p>

化學(xué)、生物4門科目中任選2門.

①求乙同學(xué)同時(shí)選擇物理科目和化學(xué)科目的概率；

②為調(diào)查學(xué)生的選科情況，從某校高二年級(jí)抽取了10名同學(xué)，其中有6名首選物理，4名首選歷史.現(xiàn)

從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查.將其中首選歷史的人數(shù)記作X,求隨機(jī)變量X的分布列

和數(shù)學(xué)期望.

解：（1）“選擇物理“記作事件/，“選擇化學(xué)”為事件8,則

P⑷P（"B）與J

則PW需=|.

（2）對(duì)于①，“選擇物理“記作事件C,“選擇化學(xué)“記作事件

則p（c）=.=lp（o）=4=1-

C2

事件C與事件D相互獨(dú)立，則P（CC）=P（C）P（D）=~

對(duì)于②，隨機(jī)變量X可以取0,1,2,3,

p（x=0）=普=5，P（x=1）=1

C10C10

P（X=2）=等p（x=3）=3=L

隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

P1131

621030

1I316

E(X)=°X&+1X2+2X為+3x與=寧

21.（12分）已知橢圓E：土+丁=1的右焦點(diǎn)為R橢圓「：—+/=A（A>1）.

22

（1）求「的離心率；

（2）如圖：直線/：*=叼-1交橢圓r于/,。兩點(diǎn)，交橢圓E于aC兩點(diǎn)，

①求證：\AB\=\CD\-,

②若人=5,求4/8尸面積的最大值.