2023-2024學年安徽省合肥廬陽高級中學高一數學第二學期期末聯考模擬試題含解析

2023-2024學年安徽省合肥廬陽高級中學高一數學第二學期期末聯考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某快遞公司在我市的三個門店，，分別位于一個三角形的三個頂點處，其中門店，與門店都相距，而門店位于門店的北偏東方向上，門店位于門店的北偏西方向上，則門店，間的距離為（）A． B． C． D．2．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，，則B為（）A． B．或 C． D．或3．下列函數中，最小正周期為的是（）A． B． C． D．4．如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F為CE的中點，則A． B．C． D．5．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形6．黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約為0.618，這一比值也可以表示為a＝2cos72°，則＝（）A． B．1 C．2 D．7．中，，則（）A． B． C．或 D．8．若直線與直線關于點對稱，則直線恒過點()A． B． C． D．9．函數的圖象是（）A． B． C． D．10．如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數據，可以估計眾數與中位數分別是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；13二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數列中，，則______________.12．從原點向直線作垂線，垂足為點，則的方程為_______.13．化簡sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.14．若，則函數的值域為________.15．已知，則______．16．某中學初中部共有名老師，高中部共有名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數是指數函數．(1)求的表達式；(2)判斷的奇偶性，并加以證明(3)解不等式：．18．數列an，n∈N*各項均為正數，其前n項和為S（1）求證數列Sn2為等差數列，并求數列（2）設bn=24Sn4-1，求數列bn的前n19．已知兩個定點，動點滿足.設動點的軌跡為曲線，直線.（1）求曲線的軌跡方程；（2）若與曲線交于不同的兩點，且（為坐標原點），求直線的斜率；（3）若，是直線上的動點，過作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點.20．已知數列為等差數列，為前項和，，（1）求的通項公式；（2）設，比較與的大?。唬?）設函數，，求，和數列的前項和.21．已知直線l經過點.（1）若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若，兩點到直線的距離相等，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據題意，作出圖形，結合圖形利用正弦定理，即可求解，得到答案.【詳解】如圖所示，依題意知，，，由正弦定理得：，則.故選C.【點睛】本題主要考查了三角形的實際應用問題，其中解答中根據題意作出圖形，合理使用正弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、C【解析】

根據正弦定理得到，再根據知，得到答案.【詳解】根據正弦定理：，即，根據知，故.故選：.【點睛】本題考查了根據正弦定理求角度，多解是容易發(fā)生的錯誤.3、D【解析】

由函數的最小正周期為，逐個選項運算即可得解.【詳解】解:對于選項A,的最小正周期為,對于選項B,的最小正周期為,對于選項C,的最小正周期為,對于選項D,的最小正周期為,故選D.【點睛】本題考查了三角函數的最小正周期，屬基礎題.4、D【解析】

由平面向量基本定理和向量運算求解即可【詳解】根據題意得：，又，，所以.故選D.【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理的簡單應用，屬于基礎題.5、D【解析】

由正弦定理化簡，得到，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【詳解】由題意知，，結合正弦定理，化簡可得，所以，則，所以，得或，所以三角形是等腰或直角三角形．故選D．【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用．在解三角形問題中經常把邊的問題轉化成角的正弦或余弦函數，利用三角函數的關系來解決問題，屬于基礎題．6、A【解析】

根據已知利用同角三角函數基本關系式，二倍角公式、誘導公式化簡即可求值得解．【詳解】∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，可得：4﹣a2＝4﹣4cos272°＝4sin272°，∴2sin72°，a2cos72°?2sin72°＝2sin144°＝2sin36°，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，二倍角公式、誘導公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．7、A【解析】

根據正弦定理，可得，然后根據大邊對大角，可得結果..【詳解】由，所以由，所以故，所以故選：A【點睛】本題考查正弦定理的應用，屬基礎題.8、C【解析】

利用直線過定點可求所過的定點.【詳解】直線過定點，它關于點的對稱點為，因為關于點對稱，故直線恒過點，故選C.【點睛】一般地，若直線和直線相交，那么動直線必過定點（該定點為的交點）.9、D【解析】

求出分段函數的解析式，由此確定函數圖象.【詳解】由于，根據函數解析式可知，D選項符合.故選：D【點睛】本小題主要考查分段函數圖象的判斷，屬于基礎題.10、D【解析】分析：根據頻率分布直方圖中眾數與中位數的定義和計算方法，即可求解頻率分布直方圖的眾數與中位數的值.詳解：由題意，頻率分布直方圖中最高矩形的底邊的中點的橫坐標為數據的眾數，所以中間一個矩形最該，故數據的眾數為，而中位數是把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標，第一個矩形的面積為，第二個矩形的面積為，故將第二個矩形分成即可，所以中位數是，故選D.點睛：本題主要考查了頻率分布直方圖的中位數與眾數的求解，其中頻率分布直方圖中小矩形的面積等于對應的概率，且各個小矩形的面積之和為1是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、20【解析】

首先根據已知得到：是等差數列，公差，再計算即可.【詳解】因為，所以數列是等差數列，公差..故答案為：【點睛】本題主要考查等差數列的判斷和等差數列項的求法，屬于簡單題.12、.【解析】

先求得直線的斜率,由直線垂直時的斜率關系可求得直線的斜率.再根據點斜式即可求得直線的方程.【詳解】從原點向直線作垂線,垂足為點則直線的斜率由兩條垂直直線的斜率關系可知根據點斜式可得直線的方程為化簡得故答案為:【點睛】本題考查了直線垂直時的斜率關系,點斜式方程的應用,屬于基礎題.13、1【解析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.14、【解析】

令，結合可得，本題轉化為求二次函數在的值域，求解即可.【詳解】，.令，，則，由二次函數的性質可知，當時，；當時，.故所求值域為.【點睛】本題考查了函數的值域，利用換元法是解決本題的一個方法.15、【解析】

由題意得出，然后在分式的分子和分母中同時除以，然后利用常見的數列極限可計算出所求極限值.【詳解】由題意得出.故答案為：.【點睛】本題考查數列極限的計算，熟悉一些常見數列極限是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解析】

由初中部、高中部男女比例的餅圖，初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，分別算出女老師人數，再相加.【詳解】初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，該校女教師的人數為.【點睛】考查統(tǒng)計中讀圖能力，從圖中提取基本信息的基本能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見證明；（3）【解析】

(1)根據指數函數定義得到，檢驗得到答案.(2)，判斷關系得到答案.(3)利用函數的單調性得到答案.【詳解】解：（1）∵函數是指數函數，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函數；（3）不等式：，以2為底單調遞增，即，∴，解集為．【點睛】本題考查了函數的定義，函數的奇偶性，解不等式，意在考查學生的計算能力.18、（1）證明見解析，an【解析】

（1）由題得Sn2-Sn-12=1(n≥2)，即得數列Sn2為首項和公差都是1【詳解】（1）證明：∵2anSn-an整理得，Sn又S1∴數列Sn2為首項和公差都是∴S又Sn>0∴n≥2時，an=S∴數列an的通項公式為a（2）解：∵bn∴Tn=1-1∵n∈N*依題意有23>1故所求最大正整數m的值為3.【點睛】本題主要考查等差數列性質的證明，考查項和公式求通項，考查裂項相消法求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）設點P坐標為（x，y），運用兩點的距離公式，化簡整理，即可得到所求軌跡的方程；（2）由，則點到邊的距離為，由點到線的距離公式得直線的斜率；（3）由題意可知：O，Q，M，N四點共圓且在以OQ為直徑的圓上，設，則圓的圓心為運用直徑式圓的方程，得直線的方程為，結合直線系方程，即可得到所求定點．【詳解】（1）設點的坐標為由可得，，整理可得所以曲線的軌跡方程為.（2）依題意，，且，則點到邊的距離為即點到直線的距離，解得所以直線的斜率為.（3）依題意，，則都在以為直徑的圓上是直線上的動點，設則圓的圓心為，且經過坐標原點即圓的方程為，又因為在曲線上由，可得即直線的方程為由且可得，解得所以直線是過定點.【點睛】本題考查點的軌跡方程的求法，注意運用兩點的距離公式，考查直線和圓相交的弦長公式，考查直線恒過定點的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）；（3），，【解析】

（1）利用基本元的思想，將已知轉化為的形式列方程組，解方程組求得的值，從而求得數列的通項公式.（2）利用裂項求和法求得表達式，判斷出，利用對數函數的性質得到，由此得到.（3）首先求得，當時，根據的表達式，求得的表達式.利用分組求和法求得當時的表達式，并根據的值求得的分段表達式.【詳解】（1）為等差數列，，得，∴（2）∵，∴，又，∴.（3）由分段函數，可以得到：，，當時，，故當時，，又符合上式所以.【點睛】本小題主要考查等差數列基本量的計算，考查裂項求和法、分組求和法，考查運算求解能力，屬于中檔題.21、（2）或（2）或【解析】

（2）討論直線是否過原點，利用截距相等進行求解即可．（2）根據點到直線的距離相等，分直線平行和直線過A，B的中點兩種情況進行求解即可．【詳解】（2）若直線過原點，則設為y＝kx，則k＝2，此時直線方程為y＝2x，當