2024屆河南省遂平中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

2024屆河南省遂平中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，均為銳角，且，，則等于（）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)，，則與向量方向相同的單位向量為（）A． B． C． D．3．以點(diǎn)和為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程是（）A． B．C． D．4．已知是偶函數(shù)，且時(shí).若時(shí)，的最大值為，最小值為，則（）A．2 B．1 C．3 D．5．已知，則=（）A． B． C． D．6．已知函數(shù),則在上的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．7．已知且，則為（）A． B． C． D．8．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步并不難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，欲問每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”.其意思為：“有一個(gè)人走378里路，第1天健步行走，從第2天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程為（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里9．已知tan(α+π5A．1B．-57C．10．化簡（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等差數(shù)列中，，則其前12項(xiàng)之和的值為______12．已知函數(shù)，則的取值范圍是____13．在中，已知，則____________.14．已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____15．在數(shù)列中，，是其前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，恒有、、成等比數(shù)列，則________．16．已知為等差數(shù)列,,前n項(xiàng)和取得最大值時(shí)n的值為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上任一點(diǎn)．求證:平面⊥平面.18．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使不等式f(x)≥2x－3對任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．19．已知函數(shù)f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）.（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間：（2）將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若方程g（x）＝m在區(qū)間[0，]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn=an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．21．16種食品所含的熱量值如下：111123123164430190175236430320250280160150210123（1）求數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)；（2）用這兩種數(shù)字特征中的哪一種來描述這個(gè)數(shù)據(jù)集更合適？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

先利用兩角和的余弦公式求出，通過條件可求得，進(jìn)而可得.【詳解】解：，因?yàn)椋瑒t，故，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正切公式，注意角的范圍的確定，是基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由題得，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，利用列方程即可得解.【詳解】由題可得：，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，則，解得：或（舍去）所以與向量方向相同的單位向量為故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了單位向量的概念及方程思想，還考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于較易題．3、A【解析】

可根據(jù)已知點(diǎn)直接求圓心和半徑.【詳解】點(diǎn)和的中點(diǎn)是圓心，圓心坐標(biāo)是，點(diǎn)和間的距離是直徑，，即，圓的方程是.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題型.4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱性得到原題轉(zhuǎn)化為直接求的最大和最小值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，故得到時(shí)，的最大值和最小值，與時(shí)的最大值和最小值是相同的，故直接求的最大和最小值即可；根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最小值為，，故最大值為，此時(shí)故答案為：B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。對于函數(shù)的奇偶性，主要是體現(xiàn)函數(shù)的對稱性，這樣可以根據(jù)對稱性得到函數(shù)在對稱區(qū)間上的函數(shù)值的關(guān)系，使得問題簡化.5、C【解析】由得：，所以，故選D.6、C【解析】

先令,則可求得的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù),對賦值進(jìn)而限定范圍即可【詳解】由題,令,則,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬于基礎(chǔ)題7、B【解析】由題意得，因?yàn)?，即，所以，又，又，且，所以，故選B．8、C【解析】記每天走的路程里數(shù)為{an}，由題意知{an}是公比的等比數(shù)列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故選C．9、D【解析】∵α-β+π=(α+π∴tan=2+3tan(α-β)=10、A【解析】

減法先變?yōu)榧臃ǎ孟蛄康娜切畏▌t得到答案.【詳解】故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減法，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式直接求解．【詳解】∵等差數(shù)列{an}中，a3+a10＝25，∴其前12項(xiàng)之和S126（a3+a10）＝6×25＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、【解析】

分類討論，去掉絕對值，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)各段上的取值，進(jìn)而得到函數(shù)的取值范圍，得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，此時(shí)函數(shù)的取值當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，最小值，所以函數(shù)的取值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以最大值為，此時(shí)函數(shù)的取值，綜上可知，函數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的值域問題，其中解答中合理分類討論去掉絕對值，利用函數(shù)的單調(diào)性求得各段上的值域是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、84【解析】

根據(jù)余弦定理以及同角公式求得，再根據(jù)面積公式可得答案.【詳解】由余弦定理可得，又，所以，所以.故答案為：84【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點(diǎn)到直線的距離為，可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動軌跡為小圓.【詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的小圓上運(yùn)動，當(dāng)面面時(shí)，四面體的體積達(dá)到最大，.【點(diǎn)睛】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.15、.【解析】

由題意得出，當(dāng)時(shí)，由，代入，化簡得出，利用倒數(shù)法求出的通項(xiàng)公式，從而得出的表達(dá)式，于是可求出的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，由題意可得，即，化簡得，得，兩邊取倒數(shù)得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，，則，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列極限的計(jì)算，同時(shí)也考查了數(shù)列通項(xiàng)的求解，在含的數(shù)列遞推式中，若作差法不能求通項(xiàng)時(shí)，可利用轉(zhuǎn)化為的遞推公式求通項(xiàng)，考查分析問題和解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，屬于中等題.16、20【解析】

先由條件求出，算出，然后利用二次函數(shù)的知識求出即可【詳解】設(shè)的公差為，由題意得即，①即，②由①②聯(lián)立得所以故當(dāng)時(shí)，取得最大值400故答案為：20【點(diǎn)睛】等差數(shù)列的是關(guān)于的二次函數(shù)，但要注意只能取正整數(shù).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解析】

先證直線平面，再證平面⊥平面.【詳解】證明:∵是圓的直徑，是圓上任一點(diǎn)，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角及線面垂直判定定理、面面垂直判定定理的應(yīng)用，考查垂直關(guān)系的簡單證明.18、（1）{x|x≤－1或x＝1}；（2）；（3）．【解析】試題分析：（1）把代入函數(shù)解析式，分段后分段求解方程的解集，取并集后得答案；（2）分段寫出函數(shù)的解析式，由在上單調(diào)遞增，則需第一段二次函數(shù)的對稱軸小于等于，第二段一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)大于0，且第二段函數(shù)的最大值小于等于第一段函數(shù)的最小值，聯(lián)立不等式組后求解的取值范圍；（3）把不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)對一切實(shí)數(shù)恒成立，然后對進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性求得的范圍，取并集后得答案.試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，由，得，解得或；當(dāng)時(shí)，恒成立，∴方程的解集為或．(2)由題意知，若在R上單調(diào)遞增，則解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.(3)設(shè)，則，不等式對任意恒成立，等價(jià)于不等式對任意恒成立．①若，則，即，取，此時(shí)，∴，即對任意的，總能找到，使得，∴不存在，使得恒成立．②若，則，∴的值域?yàn)?，∴恒成立③若，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，其值域?yàn)?，由于，所以恒成立，?dāng)時(shí)，由，知，在處取得最小值，令，得，又，∴，綜上，．19、（1）函數(shù)的最小正周期為π;函數(shù)的減區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z（2）m∈[﹣2，1]【解析】

（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出結(jié)論；（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得的范圍，進(jìn)而可得的范圍.【詳解】（1）函數(shù)f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）sin2x﹣（1+cos2x）＝2sin（2x）﹣1，故函數(shù)的最小正周期為π.令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z.（2）將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)g（x）＝2sin（2x）﹣1＝2sin（2x）﹣1的圖象.在區(qū)間[0，]上，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）∈[﹣2，1].若方程g（x）＝m在區(qū)間[0，]上有解，則m∈[﹣2，1].【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題.20、（1）bn=3n－1；（2）Sn=(n－1)·3n+1【解析】

(1)由a1，a2，a5是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)得，a22=a1·a5?(a1+d)2=a1·(a1+4d)··?a12+2a1d+d2=a12+4a1d?d2=2a1d，又d≠0，所以d=2a1=2，從而an=a1+(n－1)d=2n－1，則b1=a1=1，b2=a2=3，則等比數(shù)列{bn}的公比q=3，從而bn=3n－1(2)由(1)得，cn=an·bn=(2n－1)·3n－1，則Sn=1·1+3·3+5·32+7·33+…+(2n－1)·3n－1①3Sn=1·3+3·32+5·33+…+(2n－3)·3n－1+(2n－1)·3n②①－②得，－2Sn=1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n－1－(2n－1)·3n=1+2×－(2n－1)·3n=－2(n－1)·3n－2··則Sn=(n－1)·3n+1．21、（1）中位數(shù)為：，平均數(shù)為：；（2）用平均數(shù)描述這個(gè)數(shù)據(jù)更合適.【解析】

（1）根據(jù)中位