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安徽省合肥瑤海區(qū)四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年畢業(yè)升學(xué)考試模擬卷數(shù)學(xué)卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.某種品牌手機(jī)經(jīng)過二、三月份再次降價(jià),每部售價(jià)由1000元降到810元,則平均每月降價(jià)的百分率為()A.20% B.11% C.10% D.9.5%2.三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6,第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣6x+8=0的一個(gè)根,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是()A.9 B.11 C.13 D.11或133.對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,關(guān)于x的方程的根的情況為A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B.沒有實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D.無(wú)法確定4.已知拋物線y=x2+(2a+1)x+a2﹣a,則拋物線的頂點(diǎn)不可能在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.下列說(shuō)法正確的是()A.“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的時(shí)間都在降雨B.“拋一枚硬幣正面朝上的概率為50%”表示每拋2次就有一次正面朝上C.“彩票中獎(jiǎng)的概率為1%”表示買100張彩票肯定會(huì)中獎(jiǎng)D.“拋一枚正方體骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)為2的概率為”表示隨著拋擲次數(shù)的增加,“拋出朝上的點(diǎn)數(shù)為2”這一事件發(fā)生的概率穩(wěn)定在附近6.如圖,菱形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,AC=8cm,BD=6cm,則菱形的高為()A.cm B.cm C.cm D.cm7.九年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀,一部分學(xué)生騎自行車先走,過了20min后,其余學(xué)生乘汽車出發(fā),結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍,求騎車學(xué)生的速度.設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h,則所列方程正確的是()A. B.C. D.8.如圖,直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分別以AC、BC為直徑作半圓,則圖中陰影部分的面積為()A.2π﹣ B.π+ C.π+2 D.2π﹣29.如圖,在△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,則△ABC的面積是()A. B.12 C.14 D.2110.下列運(yùn)算正確的是()A.2+a=3 B.=C. D.=11.為了大力宣傳節(jié)約用電,某小區(qū)隨機(jī)抽查了10戶家庭的月用電量情況,統(tǒng)計(jì)如下表,關(guān)于這10戶家庭的月用電量說(shuō)法正確的是()月用電量(度)2530405060戶數(shù)12421A.極差是3 B.眾數(shù)是4 C.中位數(shù)40 D.平均數(shù)是20.512.如圖,在正方形ABCD中,AB=9,點(diǎn)E在CD邊上,且DE=2CE,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PE+PD的最小值是()A. B. C.9 D.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13.若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個(gè)根,則6m2﹣9m+2016的值為_____.14.已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在直線y=kx+b上,且直線經(jīng)過第一、三、四象限,當(dāng)x1<x2時(shí),y1與y2的大小關(guān)系為______________.15.一元二次方程x2﹣4=0的解是._________16.方程3x2﹣5x+2=0的一個(gè)根是a,則6a2﹣10a+2=_____.17.在函數(shù)中,自變量x的取值范圍是_________.18.一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個(gè)黑球、4個(gè)白球和若干個(gè)紅球.每次搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球,記下顏色后再放回袋中,通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后,發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.4,由此可估計(jì)袋中約有紅球_____個(gè).三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.19.(6分)為了提高學(xué)生書寫漢字的能力,增強(qiáng)保護(hù)漢子的意識(shí),某校舉辦了首屆“漢字聽寫大賽”,學(xué)生經(jīng)選拔后進(jìn)入決賽,測(cè)試同時(shí)聽寫100個(gè)漢字,每正確聽寫出一個(gè)漢字得1分,本次決賽,學(xué)生成績(jī)?yōu)椋ǚ郑?,且,將其按分?jǐn)?shù)段分為五組,繪制出以下不完整表格:組別
成績(jī)(分)
頻數(shù)(人數(shù))
頻率
一
2
0.04
二
10
0.2
三
14
b
四
a
0.32
五
8
0.16
請(qǐng)根據(jù)表格提供的信息,解答以下問題:本次決賽共有名學(xué)生參加;直接寫出表中a=,b=;請(qǐng)補(bǔ)全下面相應(yīng)的頻數(shù)分布直方圖;若決賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀,則本次大賽的優(yōu)秀率為.20.(6分)如圖1,已知∠DAC=90°,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合),連結(jié)CP,將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,連結(jié)QB并延長(zhǎng)交直線AD于點(diǎn)E.(1)如圖1,猜想∠QEP=°;(2)如圖2,3,若當(dāng)∠DAC是銳角或鈍角時(shí),其它條件不變,猜想∠QEP的度數(shù),選取一種情況加以證明;(3)如圖3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=4,求BQ的長(zhǎng).21.(6分)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),AD與過點(diǎn)C的切線垂直,垂足為點(diǎn)D,直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,弦CE平分∠ACB,交AB點(diǎn)F,連接BE.(1)求證:AC平分∠DAB;(2)求證:PC=PF;(3)若tan∠ABC=,AB=14,求線段PC的長(zhǎng).22.(8分)某市正在舉行文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng),一商店抓住商機(jī),決定購(gòu)進(jìn)甲,乙兩種藝術(shù)節(jié)紀(jì)念品.若購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品4件,乙種紀(jì)念品3件,需要550元,若購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品5件,乙種紀(jì)念品6件,需要800元.(1)求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種紀(jì)念品每件各需多少元?(2)若該商店決定購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品共80件,其中甲種紀(jì)念品的數(shù)量不少于60件.考慮到資金周轉(zhuǎn),用于購(gòu)買這80件紀(jì)念品的資金不能超過7100元,那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案7(3)若銷售每件甲種紀(jì)含晶可獲利潤(rùn)20元,每件乙種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元.在(2)中的各種進(jìn)貨方案中,若全部銷售完,哪一種方案獲利最大?最大利利潤(rùn)多少元?23.(8分)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,過點(diǎn)C作BC的垂線交⊙O于D,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且∠DEC=∠BAC.求證:DE是⊙O的切線;若AC∥DE,當(dāng)AB=8,CE=2時(shí),求⊙O直徑的長(zhǎng).24.(10分)如圖,一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右直爬2個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)B,點(diǎn)A表示﹣,設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m.求m的值;求|m﹣1|+(m+6)0的值.25.(10分)如圖所示,在?ABCD中,E是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),BE與AD交于點(diǎn)F,DE=CD.(1)求證:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面積為2,求?ABCD的面積.26.(12分)如圖,某校數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量大樓AB的高度,他們?cè)邳c(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為32°,再往大樓AB方向前進(jìn)至點(diǎn)D處測(cè)得樓頂B的仰角為48°,CD=96m,其中點(diǎn)A、D、C在同一直線上.求AD的長(zhǎng)和大樓AB的高度(結(jié)果精確到2m)參考數(shù)據(jù):sin48°≈2.74,cos48°≈2.67,tan48°≈2.22,≈2.7327.(12分)先化簡(jiǎn),再求值:,再?gòu)牡姆秶鷥?nèi)選取一個(gè)你最喜歡的值代入,求值.
參考答案一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1、C【解析】
設(shè)二,三月份平均每月降價(jià)的百分率為,則二月份為,三月份為,然后再依據(jù)第三個(gè)月售價(jià)為1,列出方程求解即可.【詳解】解:設(shè)二,三月份平均每月降價(jià)的百分率為.根據(jù)題意,得=1.解得,(不合題意,舍去).答:二,三月份平均每月降價(jià)的百分率為10%【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用,關(guān)于降價(jià)百分比的問題:若原數(shù)是a,每次降價(jià)的百分率為a,則第一次降價(jià)后為a(1-x);第二次降價(jià)后后為a(1-x)2,即:原數(shù)x(1-降價(jià)的百分率)2=后兩次數(shù).2、C【解析】試題分析:先求出方程x2-6x+8=0的解,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可.解方程x2-6x+8=0得x=2或x=4當(dāng)x=2時(shí),三邊長(zhǎng)為2、3、6,而2+3<6,此時(shí)無(wú)法構(gòu)成三角形當(dāng)x=4時(shí),三邊長(zhǎng)為4、3、6,此時(shí)可以構(gòu)成三角形,周長(zhǎng)=4+3+6=13故選C.考點(diǎn):解一元二次方程,三角形的三邊關(guān)系點(diǎn)評(píng):解題的關(guān)鍵是熟記三角形的三邊關(guān)系:任兩邊之和大于第三邊,任兩邊之差小于第三邊.3、C【解析】判斷一元二次方程的根的情況,只要看根的判別式的值的符號(hào)即可:∵a=1,b=,c=,∴.∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選C.4、D【解析】
求得頂點(diǎn)坐標(biāo),得出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的關(guān)系式,即可求得.【詳解】拋物線y=x2+(2a+1)x+a2﹣a的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:x=﹣=﹣a﹣,縱坐標(biāo)為:y==﹣2a﹣,∴拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的關(guān)系式為:y=2x+,∴拋物線的頂點(diǎn)經(jīng)過一二三象限,不經(jīng)過第四象限,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),得到頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.5、D【解析】
根據(jù)概率是指某件事發(fā)生的可能性為多少,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,穩(wěn)定在某一個(gè)固定數(shù)附近,可得答案.【詳解】解:A.“明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性較大,故A不符合題意;B.“拋一枚硬幣正面朝上的概率為”表示每次拋正面朝上的概率都是,故B不符合題意;C.“彩票中獎(jiǎng)的概率為1%”表示買100張彩票有可能中獎(jiǎng).故C不符合題意;D.“拋一枚正方體骰子,朝上的點(diǎn)數(shù)為2的概率為”表示隨著拋擲次數(shù)的增加,“拋出朝上的點(diǎn)數(shù)為2”這一事件發(fā)生的概率穩(wěn)定在附近,故D符合題意;故選D【點(diǎn)睛】本題考查了概率的意義,正確理解概率的含義是解決本題的關(guān)鍵.6、B【解析】試題解析:∵菱形ABCD的對(duì)角線根據(jù)勾股定理,設(shè)菱形的高為h,則菱形的面積即解得即菱形的高為cm.故選B.7、C【解析】試題分析:設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h,則汽車的速度為2xkm/h,由題意得,.故選C.考點(diǎn):由實(shí)際問題抽象出分式方程.8、D【解析】分析:觀察圖形可知,陰影部分的面積=S半圓ACD+S半圓BCD-S△ABC,然后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式計(jì)算即可.詳解:連接CD.∵∠C=90°,AC=2,AB=4,∴BC==2.∴陰影部分的面積=S半圓ACD+S半圓BCD-S△ABC==.故選:D.點(diǎn)睛:本題考查了勾股定理,圓的面積公式,三角形的面積公式及割補(bǔ)法求圖形的面積,根據(jù)圖形判斷出陰影部分的面積=S半圓ACD+S半圓BCD-S△ABC是解答本題的關(guān)鍵.9、A【解析】
根據(jù)已知作出三角形的高線AD,進(jìn)而得出AD,BD,CD,的長(zhǎng),即可得出三角形的面積.【詳解】解:過點(diǎn)A作AD⊥BC,∵△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,
∴cosB==,
∴∠B=45°,
∵sinC===,
∴AD=3,
∴CD==4,
∴BD=3,
則△ABC的面積是:×AD×BC=×3×(3+4)=.
故選:A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的知識(shí),作出AD⊥BC,進(jìn)而得出相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解決問題的關(guān)鍵.10、D【解析】
根據(jù)整式的混合運(yùn)算計(jì)算得到結(jié)果,即可作出判斷.【詳解】A、2與a不是同類項(xiàng),不能合并,不符合題意;B、=,不符合題意;C、原式=,不符合題意;D、=,符合題意,故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.11、C【解析】
極差、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義和計(jì)算公式分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析,即可得出答案.【詳解】解:A、這組數(shù)據(jù)的極差是:60-25=35,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、40出現(xiàn)的次數(shù)最多,出現(xiàn)了4次,則眾數(shù)是40,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、把這些數(shù)從小到大排列,最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是(40+40)÷2=40,則中位數(shù)是40,故本選項(xiàng)正確;
D、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(25+30×2+40×4+50×2+60)÷10=40.5,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的知識(shí),解答本題的關(guān)鍵是掌握各知識(shí)點(diǎn)的概念.12、A【解析】解:如圖,連接BE,設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P′,∵四邊形ABCD是正方形,∴點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱,∴P′D=P′B,∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最?。碢在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí),PD+PE最小,為BE的長(zhǎng)度.∵直角△CBE中,∠BCE=90°,BC=9,CE=CD=3,∴BE==.故選A.點(diǎn)睛:此題考查了軸對(duì)稱﹣﹣?zhàn)疃搪肪€問題,正方形的性質(zhì),要靈活運(yùn)用對(duì)稱性解決此類問題.找出P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13、2.【解析】
把x=m代入方程,求出2m2﹣3m=2,再變形后代入,即可求出答案.【詳解】解:∵m是方程2x2﹣3x﹣2=0的一個(gè)根,∴代入得:2m2﹣3m﹣2=0,∴2m2﹣3m=2,∴6m2﹣9m+2026=3(2m2﹣3m)+2026=3×2+2026=2,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值和一元二次方程的解,解此題的關(guān)鍵是能求出2m2﹣3m=2.14、y1<y1【解析】
直接利用一次函數(shù)的性質(zhì)分析得出答案.【詳解】解:∵直線經(jīng)過第一、三、四象限,∴y隨x的增大而增大,∵x1<x1,∴y1與y1的大小關(guān)系為:y1<y1.故答案為:y1<y1.【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,正確掌握一次函數(shù)增減性是解題關(guān)鍵.15、x=±1【解析】移項(xiàng)得x1=4,∴x=±1.故答案是:x=±1.16、-1【解析】
根據(jù)一元二次方程的解的定義,將x=a代入方程3x1-5x+1=0,列出關(guān)于a的一元二次方程,通過變形求得3a1-5a的值后,將其整體代入所求的代數(shù)式并求值即可.【詳解】解:∵方程3x1-5x+1=0的一個(gè)根是a,∴3a1-5a+1=0,∴3a1-5a=-1,∴6a1-10a+1=1(3a1-5a)+1=-1×1+1=-1.故答案是:-1.【點(diǎn)睛】此題主要考查了方程解的定義.此類題型的特點(diǎn)是,利用方程解的定義找到相等關(guān)系,再把所求的代數(shù)式化簡(jiǎn)后整理出所找到的相等關(guān)系的形式,再把此相等關(guān)系整體代入所求代數(shù)式,即可求出代數(shù)式的值.17、x≤1且x≠﹣1【解析】試題分析:根據(jù)二次根式有意義,分式有意義得:1﹣x≥0且x+1≠0,解得:x≤1且x≠﹣1.故答案為x≤1且x≠﹣1.考點(diǎn):函數(shù)自變量的取值范圍;分式有意義的條件;二次根式有意義的條件.18、8【解析】試題分析:設(shè)紅球有x個(gè),根據(jù)概率公式可得,解得:x=8.考點(diǎn):概率.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.19、(1)50;(2)a=16,b=0.28;(3)答案見解析;(4)48%.【解析】試題分析:(1)根據(jù)第一組別的人數(shù)和百分比得出樣本容量;(2)根據(jù)樣本容量以及頻數(shù)、頻率之間的關(guān)系得出a和b的值,(3)根據(jù)a的值將圖形補(bǔ)全;(4)根據(jù)圖示可得:優(yōu)秀的人為第四和第五組的人,將兩組的頻數(shù)相加乘以100%得出答案.試題解析:(1)2÷0.04=50(2)50×0.32=1614÷50=0.28(3)(4)(0.32+0.16)×100%=48%考點(diǎn):頻數(shù)分布直方圖20、(1)∠QEP=60°;(2)∠QEP=60°,證明詳見解析;(3)【解析】
(1)如圖1,先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出∠PCA=∠QCB,進(jìn)而可利用SAS證明△CQB≌△CPA,進(jìn)而得∠CQB=∠CPA,再在△PEM和△CQM中利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠QEP=∠QCP,從而完成猜想;(2)以∠DAC是銳角為例,如圖2,仿(1)的證明思路利用SAS證明△ACP≌△BCQ,可得∠APC=∠Q,進(jìn)一步即可證得結(jié)論;(3)仿(2)可證明△ACP≌△BCQ,于是AP=BQ,再求出AP的長(zhǎng)即可,作CH⊥AD于H,如圖3,易證∠APC=30°,△ACH為等腰直角三角形,由AC=4可求得CH、PH的長(zhǎng),于是AP可得,問題即得解決.【詳解】解:(1)∠QEP=60°;證明:連接PQ,如圖1,由題意得:PC=CQ,且∠PCQ=60°,∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,∴∠PCA=∠QCB,則在△CPA和△CQB中,,∴△CQB≌△CPA(SAS),∴∠CQB=∠CPA,又因?yàn)椤鱌EM和△CQM中,∠EMP=∠CMQ,∴∠QEP=∠QCP=60°.故答案為60;(2)∠QEP=60°.以∠DAC是銳角為例.證明:如圖2,∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC,∠ACB=60°,∵線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,∴CP=CQ,∠PCQ=60°,∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ,即∠ACP=∠BCQ,在△ACP和△BCQ中,,∴△ACP≌△BCQ(SAS),∴∠APC=∠Q,∵∠1=∠2,∴∠QEP=∠PCQ=60°;
(3)連結(jié)CQ,作CH⊥AD于H,如圖3,與(2)一樣可證明△ACP≌△BCQ,∴AP=BQ,∵∠DAC=135°,∠ACP=15°,∴∠APC=30°,∠CAH=45°,∴△ACH為等腰直角三角形,∴AH=CH=AC=×4=,在Rt△PHC中,PH=CH=,∴PA=PH?AH=-,∴BQ=?.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和有關(guān)計(jì)算、30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),涉及的知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng),靈活應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)、熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.21、(1)(2)證明見解析;(3)1.【解析】
(1)由PD切⊙O于點(diǎn)C,AD與過點(diǎn)C的切線垂直,易證得OC∥AD,繼而證得AC平分∠DAB;
(2)由條件可得∠CAO=∠PCB,結(jié)合條件可得∠PCF=∠PFC,即可證得PC=PF;
(3)易證△PAC∽△PCB,由相似三角形的性質(zhì)可得到,又因?yàn)閠an∠ABC=,所以可得=,進(jìn)而可得到=,設(shè)PC=4k,PB=3k,則在Rt△POC中,利用勾股定理可得PC2+OC2=OP2,進(jìn)而可建立關(guān)于k的方程,解方程求出k的值即可求出PC的長(zhǎng).【詳解】(1)證明:∵PD切⊙O于點(diǎn)C,∴OC⊥PD,又∵AD⊥PD,∴OC∥AD,∴∠ACO=∠DAC.∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB;(2)證明:∵AD⊥PD,∴∠DAC+∠ACD=90°.又∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°.∴∠PCB+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠PCB.又∵∠DAC=∠CAO,∴∠CAO=∠PCB.∵CE平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCF,∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF,∴∠PFC=∠PCF,∴PC=PF;(3)解:∵∠PAC=∠PCB,∠P=∠P,∴△PAC∽△PCB,∴.又∵tan∠ABC=,∴,∴,設(shè)PC=4k,PB=3k,則在Rt△POC中,PO=3k+7,OC=7,∵PC2+OC2=OP2,∴(4k)2+72=(3k+7)2,∴k=6(k=0不合題意,舍去).∴PC=4k=4×6=1.【點(diǎn)睛】此題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目,用到的知識(shí)點(diǎn)有:切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì).22、(1)購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品每件需100元,購(gòu)進(jìn)乙種紀(jì)念品每件需50元.(2)有三種進(jìn)貨方案.方案一:甲種紀(jì)念品60件,乙種紀(jì)念品20件;方案二:甲種紀(jì)念品61件,乙種紀(jì)念品19件;方案三:甲種紀(jì)念品1件,乙種紀(jì)念品18件.(3)若全部銷售完,方案一獲利最大,最大利潤(rùn)是1800元.【解析】分析:(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品每件價(jià)格為x元,乙種紀(jì)念幣每件價(jià)格為y元,根據(jù)題意得出關(guān)于x和y的二元一次方程組,解方程組即可得出結(jié)論;(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品a件,根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次不等式,解不等式得出a的取值范圍,即可得出結(jié)論;(3)找出總利潤(rùn)關(guān)于購(gòu)買甲種紀(jì)念品a件的函數(shù)關(guān)系式,由函數(shù)的增減性確定總利潤(rùn)取最值時(shí)a的值,從而得出結(jié)論.詳解:(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品每件需x元,購(gòu)進(jìn)乙種紀(jì)念品每件需y元.由題意得:,解得:答:購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品每件需100元,購(gòu)進(jìn)乙種紀(jì)念品每件需50元.(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種紀(jì)念品a(a≥60)件,則購(gòu)進(jìn)乙種紀(jì)念品(80﹣a)件.由題意得:100a+50(80﹣a)≤7100解得a≤1又a≥60所以a可取60、61、1.即有三種進(jìn)貨方案.方案一:甲種紀(jì)念品60件,乙種紀(jì)念品20件;方案二:甲種紀(jì)念品61件,乙種紀(jì)念品19件;方案三:甲種紀(jì)念品1件,乙種紀(jì)念品18件.(3)設(shè)利潤(rùn)為W,則W=20a+30(80﹣a)=﹣10a+2400所以W是a的一次函數(shù),﹣10<0,W隨a的增大而減小.所以當(dāng)a最小時(shí),W最大.此時(shí)W=﹣10×60+2400=1800答:若全部銷售完,方案一獲利最大,最大利潤(rùn)是1800元.點(diǎn)睛:本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用,一次函數(shù)的應(yīng)用,找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵,注意第二問應(yīng)求整數(shù)解,要求學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.23、(1)見解析;(2)⊙O直徑的長(zhǎng)是4.【解析】
(1)先判斷出BD是圓O的直徑,再判斷出BD⊥DE,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出AC⊥BD,進(jìn)而求出BC=AB=8,進(jìn)而判斷出△BDC∽△BED,求出BD,即可得出結(jié)論.【詳解】證明:(1)連接BD,交AC于F,∵DC⊥BE,∴∠BCD=∠DCE=90°,∴BD是⊙O的直徑,∴∠DEC+∠CDE=90°,∵∠DEC=∠BAC,∴∠BAC+∠CDE=90°,∵弧BC=弧BC,∴∠BAC=∠BDC,∴∠BDC+∠CDE=90°,∴BD⊥DE,∴DE是⊙O切線;解:(2)∵AC∥DE,BD⊥DE,∴BD⊥AC.∵BD是⊙O直徑,∴AF=CF,∴AB=BC=8,∵BD⊥DE,DC⊥BE,∴∠BCD=∠BDE=90°,∠DBC=∠EBD,∴△BDC∽△
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