歷年考研初等數(shù)學(xué)真題

歷年考研初等數(shù)學(xué)真題匯總一、整數(shù)與運(yùn)算1.求證：若a和b為整數(shù)，且a2+b2=2ab，則a=b=0。解析：根據(jù)等式a2+b2=2ab，可得(a-b)2=0。由平方的非負(fù)性質(zhì)可知，(a-b)2=0當(dāng)且僅當(dāng)a-b=0，即a=b。因此，當(dāng)a=b時(shí)，等式成立。二、數(shù)列與數(shù)列運(yùn)算1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-3n+2，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。解析：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以通過數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解。首先，將an=n2-3n+2代入求和公式Sn=a1+a2+...+an，得到：Sn=(12-3×1+2)+(22-3×2+2)+...+(n2-3n+2)=(1-3+2)+(4-6+2)+...+(n2-3n+2)=(-2)+0+...+(n2-3n+2)=-2+0+...+n2-3(1+2+...+n)+2n=-2+0+...+n2-3*(n(n+1)/2)+2n=-2+0+...+n2-3n(n+1)/2+2n化簡以上求和公式，得到Sn=n2-3n/2。三、概率與統(tǒng)計(jì)1.設(shè)某個(gè)班級有40名學(xué)生，其中有24名男生和16名女生?，F(xiàn)從該班級隨機(jī)抽取5名學(xué)生，問至少抽到1名男生的概率是多少？解析：設(shè)A為“至少抽到1名男生”，則A的對立事件為B，即“沒有抽到男生”。根據(jù)求解概率的規(guī)則，P(A)=1-P(B)。計(jì)算P(B)的概率：P(B)=C60/C40=(16*15*14*13*12)/(40*39*38*37*36)因此，P(A)=1-P(B)。四、平面幾何1.已知正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)P在AB邊上，且AP=a/3，連接CP交BD的延長線于點(diǎn)Q，則BP:QD=？解析：首先，根據(jù)正方形性質(zhì)可知，AC、BD為正方形ABCD的對角線，且垂直相交于點(diǎn)O。由于CP與BD為兩條平行線，根據(jù)平行線分線段比例定理可得BP:QD=CP:CD。設(shè)正方形的邊長a，則有CP=AP+AC=a/3+a=4a/3。又因?yàn)镃D=a√2，所以BP:QD=CP:CD=4a/3:a√2=4:3√2。簡化比例，得BP:QD=2:√6。五、立體幾何1.已知正方體ABCDEFGH邊長為a，連接AC與EH，并取中點(diǎn)M和N，證明AM⊥EN。解析：首先，由于正方體的對角線相互垂直，可知AC⊥EH。另外，由于M為AC的中點(diǎn)，N為EH的中點(diǎn)，可以得到MN∥AC且MN=1/2AC。假設(shè)AM和EN不垂直，則可以得到兩個(gè)結(jié)果：1.AM>EN，此時(shí)M在N的上方。2.AM<EN，此時(shí)M在N的下方。對于第一種情況，由正方體的對稱性可知，點(diǎn)EFGH在點(diǎn)ABCD上方，而AM∥EH，與實(shí)際情況矛盾。對于第二種情況，同樣由正方體的對稱性可知，點(diǎn)ABCD在點(diǎn)EFGH上方，而EN∥AC，也與實(shí)際情況矛盾。因此，根據(jù)反證法可知AM⊥EN。綜上所述，歷年考研初等數(shù)學(xué)真題