2023屆甘肅省高考模擬數(shù)學(xué)試卷（三）（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省2023屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）（理）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知全集，集合，，那么集合等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，，∴．故選A．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因為z＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以實部小于0，虛部大于0，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)點位于第二象限，故選:B.3.若向量，滿足且，則（）A.4 B.3 C.2 D.0〖答案〗D〖解析〗向量滿足且，，，，故〖答案〗為0.4.已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，解得.5.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為（）A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1〖答案〗D〖解析〗設(shè)、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.6.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的P是（）A.8 B.5 C.3 D.2〖答案〗C〖解析〗k=1，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不滿足條件k＜4，則退出執(zhí)行循環(huán)體，此時p=37.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，因為，所以排除選項；當(dāng)時，有一零點，設(shè)為，當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)．故選：D.8.北京某大學(xué)為第十八屆四中全會招募了名志愿者（編號分別是，，…，號），現(xiàn)從中任意選取人按編號大小分成兩組分配到江西廳、廣電廳工作，其中三個編號較小的人在一組，三個編號較大的在另一組，那么確保號、號與號同時入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗要“確保6號、15號與24號入選并分配到同一廳”，則另外三人的編號或都小于6或都大于24，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得選出的情況有種，然后將選出的兩組進行全排列對應(yīng)江西廳、廣電廳，故確保號、號與號同時入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是.故選：C.9.某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為()A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗由三視圖知，原幾何體是一個四棱錐，如圖：四棱錐的底面是一個直角梯形，兩底邊分別為，高為，四棱錐的一個側(cè)面是一個邊長為的等邊三角形，且這個側(cè)面與四棱錐的底面垂直，所以四棱錐的高為，所以四棱錐的體積為，故選A.10.如圖，在菱形中，，，E為對角線BD的中點，將沿BD折起到的位置，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗過球心作平面，則為等邊三角形的中心，∵四邊形是菱形，，∴與都是邊長相同的等邊三角形，∵，∴，∵，∴，∴，，中，，由勾股定理得，∴球的半徑，∴三棱錐外接球的表面積為.故選：A．11.如圖，已知橢圓和雙曲線在軸上具有相同的焦點，，設(shè)雙曲線與橢圓的上半部分交于A，兩點，線段與雙曲線交于點.若，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，設(shè)，則，，，，為則雙曲線的實半軸），根據(jù)雙曲線定義可得，，在△中，滿足，，則，則橢圓的離心率是．故選：C．12.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗定義域為，，為定義在上的偶函數(shù)；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，由得：，即，，解得：，不等式的解集為.故選：A.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.變量，滿足約束條件，則的取值范圍是____________.〖答案〗〖解析〗畫出可行域如圖，即三角形及其內(nèi)部且，因為，表示點與點連線的斜率，由圖可知：點與連線斜率最大為點與連線斜率最小為，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.已知的三個頂點為,,,求的外接圓方程__________________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的外接圓方程為,則,解得所以的外接圓方程為故〖答案〗為：15.已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，，且f(x)在區(qū)間上遞減，則ω＝________.〖答案〗2〖解析〗因為f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得，因為f(x)在區(qū)間上遞減，所以?，從而有，又因為周期,所以1≤ω≤，因為所以為f(x)＝2sin(ωx＋)的一個對稱中心的橫坐標，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z，又1≤ω≤，所以ω＝2.故〖答案〗為：2.16.在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且B為銳角，若＝，sinB＝，S△ABC＝，則b的值為________．〖答案〗〖解析〗由＝，可得＝，故a＝c，①由S△ABC＝acsinB＝且sinB＝得ac＝5，②聯(lián)立①，②得a＝5，且c＝2.由sinB＝且B為銳角知cosB＝，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：，且是，的等差中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，求使成立的正整數(shù)的最小值．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為．依題意，有，代入，可得，，解之得或又數(shù)列單調(diào)遞增，所以，，數(shù)列的通項公式為．（2），，①，②②－①，得．即，即．易知：當(dāng)時，，當(dāng)時，，使成立的正整數(shù)的最小值為．18.如圖,在三棱臺中,平面平面,.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.（1）證明：延長，，相交于一點，如圖所示．因為平面平面，平面平面，且，所以平面，平面，因此．又因為，，，所以為等邊三角形，且為的中點，則．所以平面．（2）解：方法一：過點作于Q，連結(jié)．因為平面，所以，，則平面，所以．所以是二面角的平面角．在中，，，得．在中，，，得．所以二面角的平面角的余弦值為．方法二：如圖，延長相交于一點，則為等邊三角形．取的中點，則，又平面平面，所以，平面．以點為原點，分別以射線，的方向為，的正方向，建立空間直角坐標系．由題意得，，，，，．因此，，，．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．由，得，??；由，得?。?，．所以，二面角的平面角的余弦值為．19.某公司對項目A進行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：項目A投資金額x（單位：百萬元）12345所獲利潤y（單位：百萬元）0.30.30.50.91（1）請用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）該公司計劃用7百萬元對A、B兩個項目進行投資．若公司對項目B投資百萬元所獲得的利潤y近似滿足：，求A、B兩個項目投資金額分別為多少時，獲得的總利潤最大？附．①對于一組數(shù)據(jù)、、……、，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：．②線性相關(guān)系數(shù)．一般地，相關(guān)系數(shù)r的絕對值在0.95以上（含0.95）認為線性相關(guān)性較強；否則，線性相關(guān)性較弱．參考數(shù)據(jù)：對項目A投資的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中．解：（1）對項目A投資的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行計算得：，，，于是得，，所以回歸直線方程為：，線性相關(guān)系數(shù)這說明投資金額x與所獲利潤y之間的線性相關(guān)關(guān)系較強，用線性回歸方程對該組數(shù)據(jù)進行擬合合理；（2）設(shè)對B項目投資百萬元，則對A項目投資百萬元，所獲總利潤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以對A、B項目分別投資4.5百萬元，2.5百萬元時，獲得總利潤最大．20.已知橢圓：()經(jīng)過點，一個焦點為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線()與軸交于點，與橢圓交于、兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．解：（1）由題意得，，解得、，∴橢圓的方程是；（2）把代入得，恒成立，設(shè)、，則有，，，∴線段的中點坐標為，∴線段的垂直平分線方程為，于是，線段的垂直平分線與軸的交點，又點，∴，又，于是，，∵，∴，∴的取值范圍為．21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，；（3）確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時，恒有．（1）解：得.得，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是（2）證明：令,則有當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，即當(dāng)時，（3）解：由（2）知，當(dāng)時，不存在滿足題意．當(dāng)時，對于，有則從而不存在滿足題意．當(dāng)時，令，由得，．解得當(dāng)時，，故在內(nèi)單調(diào)遞增．從而當(dāng)，即綜上，k的取值范圍是.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.已知直線l在直角坐標系xOy中的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為傾斜角)，曲線C的極坐標方程為ρ＝4cosθ(其中坐標原點O為極點，x軸非負半軸為極軸，取相同單位長度)．（1）寫出曲線C的直角坐標方程；（2）若曲線C與直線l相交于不同的兩點M，N，設(shè)P(4,2)，求|PM|＋|PN|的取值范圍．解：（1）∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝4x.（2）直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，代入x2＋y2＝4x，得t2＋4(sinα＋cosα)t＋4＝0，∴∴sinα·cosα>0，又0≤α<π，∴α∈，且t1<0，t2<0.∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4(sinα＋cosα)＝4sin，由α∈，得α＋∈，∴<sin≤1，故|PM|＋|PN|的取值范圍是(4,4]．[選修4-5：不等式]23.已知函數(shù)（1）解不等式；（2）對任意，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）f(x)=|x+2|-2|x-1|≥-2.當(dāng)x≤-2時,x-4≥-2,即x≥2,故x∈?;當(dāng)-2<x<1時,3x≥-2,即x≥-,故-x<1;當(dāng)x≥1時,-x+4≥-2,即x≤6,故1≤x≤6;綜上,不等式f(x)≥-2的解集為（2）f(x)=函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.令y=x-a,當(dāng)直線y=x-a過點(1,3)時,-a=2.故當(dāng)-a≥2,即a≤-2時,即往上平移直線y=x-a,都有f(x)≤x-a.往下平移直線y=x-a時,聯(lián)立解得x=2+,當(dāng)a≥2+,即a≥4時,對任意x∈[a,+∞),-x+4≤x-a.綜上可知,a的取值范圍為a≤-2或a≥4.甘肅省2023屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）（理）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知全集，集合，，那么集合等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，，∴．故選A．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因為z＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以實部小于0，虛部大于0，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)點位于第二象限，故選:B.3.若向量，滿足且，則（）A.4 B.3 C.2 D.0〖答案〗D〖解析〗向量滿足且，，，，故〖答案〗為0.4.已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，解得.5.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為（）A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1〖答案〗D〖解析〗設(shè)、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.6.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的P是（）A.8 B.5 C.3 D.2〖答案〗C〖解析〗k=1，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，滿足條件k＜4，則執(zhí)行循環(huán)體，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不滿足條件k＜4，則退出執(zhí)行循環(huán)體，此時p=37.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，因為，所以排除選項；當(dāng)時，有一零點，設(shè)為，當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)．故選：D.8.北京某大學(xué)為第十八屆四中全會招募了名志愿者（編號分別是，，…，號），現(xiàn)從中任意選取人按編號大小分成兩組分配到江西廳、廣電廳工作，其中三個編號較小的人在一組，三個編號較大的在另一組，那么確保號、號與號同時入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗要“確保6號、15號與24號入選并分配到同一廳”，則另外三人的編號或都小于6或都大于24，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得選出的情況有種，然后將選出的兩組進行全排列對應(yīng)江西廳、廣電廳，故確保號、號與號同時入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是.故選：C.9.某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為()A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗由三視圖知，原幾何體是一個四棱錐，如圖：四棱錐的底面是一個直角梯形，兩底邊分別為，高為，四棱錐的一個側(cè)面是一個邊長為的等邊三角形，且這個側(cè)面與四棱錐的底面垂直，所以四棱錐的高為，所以四棱錐的體積為，故選A.10.如圖，在菱形中，，，E為對角線BD的中點，將沿BD折起到的位置，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗過球心作平面，則為等邊三角形的中心，∵四邊形是菱形，，∴與都是邊長相同的等邊三角形，∵，∴，∵，∴，∴，，中，，由勾股定理得，∴球的半徑，∴三棱錐外接球的表面積為.故選：A．11.如圖，已知橢圓和雙曲線在軸上具有相同的焦點，，設(shè)雙曲線與橢圓的上半部分交于A，兩點，線段與雙曲線交于點.若，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，設(shè)，則，，，，為則雙曲線的實半軸），根據(jù)雙曲線定義可得，，在△中，滿足，，則，則橢圓的離心率是．故選：C．12.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗定義域為，，為定義在上的偶函數(shù)；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，由得：，即，，解得：，不等式的解集為.故選：A.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.變量，滿足約束條件，則的取值范圍是____________.〖答案〗〖解析〗畫出可行域如圖，即三角形及其內(nèi)部且，因為，表示點與點連線的斜率，由圖可知：點與連線斜率最大為點與連線斜率最小為，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.已知的三個頂點為,,,求的外接圓方程__________________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的外接圓方程為,則,解得所以的外接圓方程為故〖答案〗為：15.已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，，且f(x)在區(qū)間上遞減，則ω＝________.〖答案〗2〖解析〗因為f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得，因為f(x)在區(qū)間上遞減，所以?，從而有，又因為周期,所以1≤ω≤，因為所以為f(x)＝2sin(ωx＋)的一個對稱中心的橫坐標，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z，又1≤ω≤，所以ω＝2.故〖答案〗為：2.16.在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且B為銳角，若＝，sinB＝，S△ABC＝，則b的值為________．〖答案〗〖解析〗由＝，可得＝，故a＝c，①由S△ABC＝acsinB＝且sinB＝得ac＝5，②聯(lián)立①，②得a＝5，且c＝2.由sinB＝且B為銳角知cosB＝，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：，且是，的等差中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，求使成立的正整數(shù)的最小值．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為．依題意，有，代入，可得，，解之得或又數(shù)列單調(diào)遞增，所以，，數(shù)列的通項公式為．（2），，①，②②－①，得．即，即．易知：當(dāng)時，，當(dāng)時，，使成立的正整數(shù)的最小值為．18.如圖,在三棱臺中,平面平面,.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.（1）證明：延長，，相交于一點，如圖所示．因為平面平面，平面平面，且，所以平面，平面，因此．又因為，，，所以為等邊三角形，且為的中點，則．所以平面．（2）解：方法一：過點作于Q，連結(jié)．因為平面，所以，，則平面，所以．所以是二面角的平面角．在中，，，得．在中，，，得．所以二面角的平面角的余弦值為．方法二：如圖，延長相交于一點，則為等邊三角形．取的中點，則，又平面平面，所以，平面．以點為原點，分別以射線，的方向為，的正方向，建立空間直角坐標系．由題意得，，，，，．因此，，，．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．由，得，??；由，得?。冢?，二面角的平面角的余弦值為．19.某公司對項目A進行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：項目A投資金額x（單位：百萬元）12345所獲利潤y（單位：百萬元）0.30.30.50.91（1）請用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）該公司計劃用7百萬元對A、B兩個項目進行投資．若公司對項目B投資百萬元所獲得的利潤y近似滿足：，求A、B兩個項目投資金額分別為多少時，獲得的總利潤最大？附．①對于一組數(shù)據(jù)、、……、，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：．②線性相關(guān)系數(shù)．一般地，相關(guān)系數(shù)r的絕對值在0.95以上（含0.95）認為線性相關(guān)性較強；否則，線性相關(guān)性較弱．參考數(shù)據(jù)：對項目A投資的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中．解：（1）對項目A投資的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行計算得：，，，于是得，，所以回歸直線方程為：，線性相關(guān)系數(shù)這說明投資金額x與所獲利潤y之間的線性相關(guān)關(guān)系較強，用線性回歸方程對該組數(shù)據(jù)進行擬合合理；（2）設(shè)對B項目投資百萬元，則對A項目投資百萬元，所獲總利潤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以對A、B項目分別投資4.5百萬元，2.5百萬元時，獲得總利潤最大．20.已知橢圓：()經(jīng)過點，一個焦點為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線()與軸交于點，與橢圓交于、兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．解：（1）由題意得，，解得、，∴橢圓的方程是；（2）把代入得，恒成立，設(shè)、，則有，，，∴線段的中點坐標為，∴線段的垂直平分線方程為，于是，線段的垂直平分線與軸的交點，又點，∴，又，于是，，∵，∴，∴的取值范圍為．21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，；（3）確定實數(shù)的所有可能取值，