廣東省2024年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

廣東省重點名校2024年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.命題P：存在實數(shù)尤，對任意實數(shù)了,使得sin（x+x）=-sinx恒成立；Q.Va>0,/（x）=為奇函數(shù)，

0°a-x

則下列命題是真命題的是（）

A.PMB.（可）v（「q）C.P八DD.Jp）八q

2.設(shè)a,〃為非零向量，貝|平+耳='+收”是“a與石共線”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知a=logJ3/=,c=log14,則a,。,c的大小關(guān)系為（）

12U3J13

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

4.如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的e

辦分別為176,320,則輸出的Q為（）

A.16B.18C.20D.15

1

5.設(shè)，為數(shù)單位，z為Z的共輾復(fù)數(shù)，若Z=六一，則z?z=（）

1i1.

AcD.----'

-ToToo100

6.以下四個命題：①兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1；②在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)

A的值判斷擬合效果，A越小，模型的擬合效果越好；③若數(shù)據(jù)…,x的方差為1,則

123n

2x+l,2x+l,2x+1,…，2x+1的方差為④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（龍，V），G）,???,（無，?。渚€

4；

123n11221010

性回歸方程9=派+育，則“（龍，y）滿足線性回歸方程亍=%+/”是“％=）+*27.+*,y=^—

00010010

的充要條件；其中真命題的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

□

7.已知/（x）=1-2COS2（CO^+_.）（0>0）.給出下列判斷：

①若/（x1）=l,/（x）=-1,且|X—X|=□,則3=2；

2\121m

②存在se（0,2）使得〃尤）的圖象向右平移:個單位長度后得到的圖象關(guān)于,軸對稱；

③若/（X）在［。,2口］上恰有7個零點，則3的取值范圍為蕓，百；

2

④若Ax）在一「工口,下口］上單調(diào)遞增，則3的取值范圍為L0,不~\,

L64」13」

其中，判斷正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

8.△A5C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，瓦。，已知。=邛,6=1,5=30,則4為（）

A.60B.120C.60或150D.60或120

9.函數(shù)/（］）=號的圖像大致為（）

m

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

11.已知函數(shù)/(x)=t二，a=/Go.3),Z2=/(0.20.3),c=/(log2),則a,b,c的大小關(guān)系為()

e-v+103

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

12.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般

滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種(含兩種)以上的肉

混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()

A.20B.24C.25D.26

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知(1+2尤)=a+ax+aX2-i--1-axw+axn,貝2aH----10a+1la=.

0121011121011

14,函數(shù)/(x)滿足/G)=/G-4),當(dāng)》《［-2,2)時，2KxWa,若函數(shù),在匕.。)

l-x,a<x<2

上有1515個零點，則實數(shù)。的范圍為.

15.已知關(guān)于x的方程aIsinxl+』=sinx在區(qū)間［0,2兀］上恰有兩個解，則實數(shù)。的取值范圍是______

2

16.已知△ABC得三邊長成公比為,5的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在一次電視節(jié)目的答題游戲中，題型為選擇題，只有“4”和“3”兩種結(jié)果，其中某選手選擇正確的概率為

P，選擇錯誤的概率為q,若選擇正確則加1分，選擇錯誤則減1分，現(xiàn)記“該選手答完“道題后總得分為S

n

(1)當(dāng)P=q=；時，記匕=$3,求匕的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)當(dāng)夕=<7=］時，求S=2且S之0(『=1,2,3,4)的概率.

3381

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=%2+〃x+l,g(x)=lnx—a(Q￡H).

⑴當(dāng)a=1時，求函數(shù)力(x)=/(x)-g(x)的極值；

⑵若存在與函數(shù)Ax),g(x)的圖象都相切的直線，求實數(shù)。的取值范圍.

19.(12分)某公司打算引進一臺設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元，乙設(shè)備每臺9000

元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對于每臺設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000

元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在

50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.

維修次數(shù)23456

甲設(shè)備5103050

乙設(shè)備05151515

(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為X和y,求x和y的分布列；

(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種

設(shè)備？請說明理由.

20.(12分)已知橢圓C:上+21=1(。〉匕〉0)的焦距為2,且過點P(2,0).

(1)求橢圓c的方程；

(2)設(shè)歹為c的左焦點，點M為直線x=-4上任意一點，過點歹作“R的垂線交C于兩點A,B

(i)證明：OM平分線段AB(其中。為坐標(biāo)原點)；

\MF\

(ii)當(dāng)訂封取最小值時，求點M的坐標(biāo)?

IAnI

21.(12分)已知函數(shù)/(%)="：+ln(x+l),aeR.

x+1

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)函數(shù)g(x)=x2+3,若對于X/xe(-l,4w),3xw。力，使得/G紜g(x)成立，求〃的取值范圍.

X1212

22.(10分)已知傾斜角為彳的直線經(jīng)過拋物線C：%2=22y(p〉0)的焦點/，與拋物線C相交于4、B兩點,且

IA51=8.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)尸為拋物線。上任意一點(異于頂點)，過尸做傾斜角互補的兩條直線(、4,交拋物線。于另兩點。、D,

記拋物線C在點P的切線/的傾斜角為a,直線的傾斜角為B,求證：a與B互補.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解題分析】

分別判斷命題P和9的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項.

【題目詳解】

對于命題P,由于sin(x+7T)=—sinx,所以命題P為真命題.對于命題夕，由于。>0,由"4>0解得一。<x<a,

a-x

且/(一"in""/—+'丫=-ln"+x=-/(x),所以f(x)是奇函數(shù)，故夕為真命題.所以。人4為真命題.

a+xya-xJa-x

(—'P)v(f)、p△(f)、(—'P)△q都是假命題.

故選：A

【題目點撥】

本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解題分析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.

【題目詳解】

若|。+4=網(wǎng)+忖，則z與B共線，且方向相同，充分性；

當(dāng)Z與加共線，方向相反時，竹+中忖+忖，故不必要.

故選：A.

【題目點撥】

本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.

3、D

【解題分析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得b最小，利用作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較。和。的大小關(guān)

系，進而得解.

【題目詳解】

(I2^n

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知0<。=_14<1，

U3J

由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知。=1°yz">1，c=logJ4>l,所以。最??；

而由對數(shù)換底公式化簡可得Q_c=loq13-logJ4

Igl3_lgl4

lgT2lgT3

Ig213-lgl21gl4

lg121gl3

由基本不等式可知1g121gl4<；（lgl2+lgl力，代入上式可得

lg213-|Ggl2+lgl^2

lg213Tgi21gl4〉

Igl24gl3Igl21gl3

fl、2

啥13—lgl68

)

Igl2-lgl3

<1W1>

lgl3+lgl68-lgl3-lgl68

I2八2J

lg121gl3

Igl2-lgl3

所以a>c,

綜上可知a>c>b,

故選：D.

【題目點撥】

本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.

4、A

【解題分析】

根據(jù)題意可知最后計算的結(jié)果為％。的最大公約數(shù).

【題目詳解】

輸入的a，占分別為176,320,根據(jù)流程圖可知最后計算的結(jié)果為a,。的最大公約數(shù)，按流程圖計算

320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16，易得176和320的最大公約

數(shù)為16,

故選:A.

【題目點撥】

本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，難度較易.

5、A

【解題分析】

由復(fù)數(shù)的除法求出Z,然后計算.

【題目詳解】

13-z31.

Z~---=---------————I

3+z(3+z)(3-z)1010

/31,31..3..1.1

Z'Z=(--—0(—+——D=z(——"+(——)2=—

10101010101010

故選：A.

【題目點撥】

本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運算，考查共輾復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵.

6、C

【解題分析】

①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進行判斷，

②根據(jù)相關(guān)指數(shù)R2的值的性質(zhì)進行判斷，

③根據(jù)方差關(guān)系進行判斷，

④根據(jù)點天。0滿足回歸直線方程，但點工0，兒不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，而回歸直線必過樣本中心點，

可進行判斷.

【題目詳解】

①若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,故①正確；

②用相關(guān)指數(shù)氏2的值判斷模型的擬合效果,R2越大,模型的擬合效果越好，故②錯誤；

③若統(tǒng)計數(shù)據(jù)呼光,，個…，％的方差為1,則2x+l,2x+1,2%+1,…,2x+1的方差為22=4,故③正確；

123n123n

X+X++X

④因為點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，即％=->--3--",

0000010

y+y+???yx+x+—Fxy+y+???y

y=4-一大二。不一定成立,而回歸直線必過樣本中心點，所以當(dāng)％=-】己不——以，y=4一乙

010010010

時，點1%必滿足線性回歸方程y=bx+a；因此“滿足線性回歸方程亍=菽+>是

x+x+???+xy+v+...y—

“"=」一=]——曜,yQ=4/詁4”必要不充分條件.故④錯誤；所以正確的命題有①③.

故選：C.

【題目點撥】

本題考查兩個隨機變量的相關(guān)性，擬合性檢驗，兩個線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系，以及兩個變量的線性回歸方程,

注意理解每一個量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解題分析】

71

對函數(shù)/(X)化簡可得/(x)=sm(2(0x+N),進而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性及平移變換,

6

對四個命題逐個分析，可選出答案.

【題目詳解】

712兀兀2兀兀

因為/(%)=1—2COS2(CO%+—)=-cos(2co%+一)=sin(2cox+—),所以周期T=——=——.

336233

1711

對于①，因為，所以T=2兀即3=故①錯誤；

12min2COZ

jr..CO71兀、

對于②，函數(shù)/(冗)的圖象向右平移F個單位長度后得到的函數(shù)為y=sin(z2①X-+),其圖象關(guān)于y軸對稱，則

636

3兀兀兀

—F-+L=K+左兀(keZ),解得3=-1-3依左eZ),故對任意整數(shù)左，0(0,2),所以②錯誤；

362

兀7T%兀7L

對于③，令/(x)=sin(23x+)=0,可得23x+=%兀(氏eZ),則％=「一，

662312?

?〉0,所以/⑴在［。,2兀］上第1個零點X>0,且X=：-二匚，所以第7個零點

因為/(0)=sin

61123123

兀兀兀713兀41兀

X=——----------+37——————+————,若存在第8個零點無，貝！J

72312?2312031208

兀兀7f兀717兀47兀

X=----------------+—T=——------+—=--------,

82?12022co1202co120

41兀"47TI4147

所以“7—2…8,即可-2兀(前‘解得方-3<方，故③正確；

兀717122

對于④，因為/(0)=sin且0e解得3V§，又3>0,所以0<3V

66'43

故④正確.

故選：B.

【題目點撥】

本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性，考查學(xué)生的計算

求解能力與推理能力，屬于中檔題.

8、D

【解題分析】

由正弦定理可求得sinA=X_,再由角A的范圍可求得角A.

2

【題目詳解】

由正弦定理可知二=二，所以二巴=一L,解得sinA=Y3,又0<A<180,且a>b,所以4=60?；?/p>

sinAsmBsinAsin302

120--

故選：D.

【題目點撥】

本題主要考查正弦定理，注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解題分析】

根據(jù)/(%)>0排除C,D,利用極限思想進行排除即可.

【題目詳解】

解：函數(shù)的定義域為{xlxwO},/(x)〉。恒成立，排除。，D,

XflPx

當(dāng)X>0時，f(x)=工廠=xex,當(dāng)xf0,f(x)->0,排除B,

故選：A.

【題目點撥】

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.

【題目詳解】

因為log.Jlvlog?&=

1

所以〃<]■,

因為3〉,

所以b=ln3>lne=l,

因為0>—0.99>-1,y=2x為增函數(shù),

所以］<c=2-0.99<1

所以b>c>a,

故選：A.

【題目點撥】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

11、B

【解題分析】

可判斷函數(shù)/G）在H上單調(diào)遞增，且2。3>1>0.2。.3>0>log2,所以c<b<a.

0.3

【題目詳解】

r_12

V/W=----=1------在H上單調(diào)遞增，且2o.3>1>0.2。3>0>log2,

03

A-+1ex+1

所以c<b<a.

故選：B

【題目點撥】

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識，考查了學(xué)生的運算求解

能力.

12、D

【解題分析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為C2+C3+C4+C5,再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).

5555

【題目詳解】

混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為O+C3+C4+C5=20+5+1=26（種），

故選：D.

【題目點撥】

本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、22

【解題分析】

對原方程兩邊求導(dǎo)，然后令x=-1求得表達式的值.

【題目詳解】

對等式(1+2x)11=〃+ax+〃+?..+〃xio+axu兩邊求導(dǎo)，得

0121011

22(1+2x)io=a+2ax+..?+10。、9+llaxio,令x=—1,則〃—2。+…-10。+11〃=22.

121011121011

【題目點撥】

本小題主要考查二項式展開式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.

14、

【解題分析】

由已知，/(X)在［—2,2)上有3個根，分2>aNl,Q<a<l,-l<a<0,—2<a<—1四種情況討論/(x)的單調(diào)

性、最值即可得到答案.

【題目詳解】

由已知，/(％)的周期為4,且至多在［-2,2)上有4個根，而［0,2020)含505個周期，所以/(%)在-2,2)上有3個

根，設(shè)g(x)=2x3+3%2+a,g(x)=6x2+6x,易知g(x)在(TQ)上單調(diào)遞減,在H?,T),(L母)上單調(diào)遞增,

又g(-2)=a-4<0,g⑴=a+5>0.

若2>a?l時，/(X)在(a,2)上無根，/(%)在［-2,例必有3個根，

7(-1)>0［a+l>0

則1C，即彳n)此時ae0；

/(0)<0［a<0

若0<a<l時，/(%)在(凡2)上有1個根，注意到/(0)=。>。，此時/(%)在［-2,a］不可能有2個根，故不滿足；

(\［/(-1)>01

若—1<。<0時，要使/在［—2,0有2個根，只需｛,解得一不《。<0；

If(a)<02

若-2<aW-1時，/(X)在［-2,0上單調(diào)遞增，最多只有1個零點，不滿足題意；

綜上，實數(shù)。的范圍為一；<aWO.

故答案為：一

【題目點撥】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題，涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點，是一道中檔題.

【解題分析】

,1

先換元，々r=smx,將原方程轉(zhuǎn)化為。卜|+］=/,利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像交點，觀察圖像，即可

求出.

【題目詳解】

因為關(guān)于X的方程aIsinXI+；=sinX在區(qū)間［0,2兀］上恰有兩個解，令仁sinx,所以方程沖|+；=f在

1

120<r<l

t——

re（-l,0）U（0,l）上只有一解，即有a=Y

rl_1

-l<r<0

-t

_1

直線y=a與V==2在fe（―1，0）U（°，1）的圖像有一個交點,

T

313,

由圖可知，實數(shù)。的取值范圍是［-不,不），但是當(dāng)。=一弓時，還有一個根f=l,所以此時共有3個根.

31

綜上實數(shù)a的取值范圍是

【題目點撥】

本題主要考查學(xué)生運用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點問題，是常見的轉(zhuǎn)化方式.

16、更

*4

【解題分析】

試題分析：根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長分別設(shè)為為4\6a2a，:二?！?、1%>.所對的角為最大角，設(shè)為夕則根據(jù)

余弦定理得置,圓；向『在，故答案為史.

cos6=-福一=-7-V

考點：余弦定理及等比數(shù)列的定義.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析，0(2)——

21o/

【解題分析】

(1)匕=S3即該選手答完3道題后總得分，可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對，答對2道答錯1道，答對1道答錯2道,3道

題都答錯，進而求解即可；

(2)當(dāng)S=2時,即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯誤的題數(shù)是3題，又S>0(/=1,2,3,4)，則第一題答對，第二題第三

OI

題至少有一道答對，進而求解.

【題目詳解】

71

解：(1)1的取值可能為—3,—133,又因為p=q=；,

故耍=-3)=U，椎=3)=g：q，

P&=T)=C；xJxj=：,尸&=1)=C;義；義

所以1的分布列為：

1-3-113

1331

P

8888

1331

所以E(^)=(-3)x+(-l)x++3x=0

0000

(2)當(dāng)S=2時,即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯誤的題數(shù)是3題，

O

又已知S20。=1,2,3,4),第一題答對，

i

若第二題回答正確,則其余6題可任意答對3題；

若第二題回答錯誤，第三題回答正確，則后5題可任意答對題，

此時的概率為P=(c：+C；)gj.住]=當(dāng)￡等(或蒜).

6538372187

【題目點撥】

本題考查二項分布的分布列及期望，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查分類討論思想.

18、(1)當(dāng)x時，函數(shù)以了)取得極小值為2+ln2,無極大值；(2)[-1,+℃)

【解題分析】

試題分析：（1）〃（x）=/（x）—g（x）=x2+x—hu+2,通過求導(dǎo)分析，得函數(shù)，（X）取得極小值為?+ln2,無極大

4

f(x)-g(x)1x2+辦+1-(liu-aL過求導(dǎo)討論，得到，的

尸(x)=g'{x)=

值；（2）——1------二,所以2x+a=一11

2X-x1XX-x

12212

取值范圍是L1，+8）.

試題解析:

（1）函數(shù)〃G）的定義域為（0,史》）

當(dāng)a=l時，A(x)=/(x)-g(x)=%2+x-lnx+2,

(2x-l)(x+l)

所以M(x)=2x+1-—

xx

所以當(dāng)0＜%＜；時，力'（X）＜0,當(dāng)時，丸'（%）＞。,

所以函數(shù)^（x）在區(qū)間I°，；］單調(diào)遞減，在區(qū)間1單調(diào)遞增,

2

所以當(dāng)x=!時，函數(shù)”（%）取得極小值為?+ln2,無極大值；

24

（2）設(shè)函數(shù)/Q）上點QJ（x））與函數(shù)gG）上點Q,gG））處切線相同,

1122

/(X)-g(X)

則小"gj"______12

X-x

12

+辦+1-(in%-a)

C1X2

所以2x+。=一112_______

xX-x

212

ax-x2=x2+〃x+1-(inx一〃)得.

所以2，代入1121寸.

乙人

22

-J---+1ILX+竺-Q-2=0(*)

4x22x24

22

1。1Q2…\1a12X2+QX-1

設(shè)尸（x）——-——+Inx+——-a-2,貝ij尸'⑴=———+——+_=-----------

4x22x42x32x2X2x3

不妨設(shè)212+QX-1=0(x〉0)則當(dāng)0<x<x時，F(xiàn)<(x)<0,當(dāng)時，F(xiàn)r(x)>0

00000

所以b（X）在區(qū)間（0,%）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（X。,+8）上單調(diào)遞增,

代入a=^_2/2=J__2x可得:F(x)=b(x)=x2+2x--L+lnx-2

XXmin00°%°

00°

設(shè)G(x)=X2+2x--+Inx-2,則G'(x)=2x+2+J-+1>0對x>0恒成立,

XX2X1

所以G(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增，又G(l)=。

所以當(dāng)0<xWl時G(X)WO,即當(dāng)OK%<1時/(,)40,

又當(dāng)x=勿+2時FG)=—i----—+lnea+2+--a-2

462a+42ea+24

因此當(dāng)0<%<1時，函數(shù)尸(X)必有零點；即當(dāng)。<”<1時，必存在5使得(*)成立;

即存在

又由y=1—2x得：y'=_J__2<0

XX2

所以y=1—2%在(0,1)單調(diào)遞減，因此4=1二2A；.=_L—2xe[-L+oo)

XXX0

00

所以實數(shù)。的取值范圍是Ll，+8).

19、(1)X分布列見解析，丫分布列見解析；(2)甲設(shè)備，理由見解析

【解題分析】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000,y的可能取值為9000,10000,11000,12000,計算概率得到分布列;

(2)計算期望，得到E(X)=E(y)=10800,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為自，n,計算分布列，計算

數(shù)學(xué)期望得到答案.

【題目詳解】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000

P(X=10000)=5+10=A,尸(X=11000)=竺=：,P(X=12000)=A=J_

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

p

To510

y的可能取值為9000,10000,11000,12000

51153153153

p(y=9000)=_=—,p(y=loooo)=_=_,p(y=11000),p(y=12000)=_=_

5010501050105010

因此y的分布列為如下

Y9000100001100012000

1333

P

W10W10

331

(2)E(X)=10000x_+11000x_+12000x_=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為n

1的可能取值為2,3,4,5

110_1351

二2)二槌二尸《二八30

P《二尸&=3)=一~>=4)=-=二—，P&=5)=

50105055055010

則1的分布列為

12345

1131

P

W5510

1131

E?=2x_+3x_+4xl+5x_=3.7

105510

日的可能取值為3,4,5,6

P(ri=3)=—=—,P(r|=4)=11=J-,p(r|=5)=—=A,P(r|=6)=—=A

5010501050105010

則n的分布列為

n3456

1333

PToToToTo

E(r|)=3x_1+43x2_+5xJ3_+6x±3=4.8

10101010

由于E(X)=E(y),E&)<E(r)),因此需購買甲設(shè)備

【題目點撥】

本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

Y2V2

20、(1)二+二=1(2)(i)見解析(ii)點"的坐標(biāo)為(—4,0