2024屆河北省部分高中高考一模數(shù)學試卷(含答案)

2024屆河北省部分高中高考一模數(shù)學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.設集合A={—1,0,1,2,3},5={xeN|3—2x>0},則AiB=（）

A.{-1,0,1}B.{0,l}C.{1}D.{2,3}

2.已知復數(shù)z滿足z+彳=2,z—N=Ti,則忖=（）

A.lB.2C.小D.275

3.已知向量a=（2,m）,Z>=（m+l,l）,且a與b方向相反，若c=（2,l）,則a在c方向

上的投影向量的坐標是（）

5.2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做

《大力弘揚憲法精神，建設社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊教授與四名男

生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側(cè)均為兩男1女，

則總的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

6.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家級非物

質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早是外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而

“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動.如圖所示，若將“鞠”的表面視為光滑的球面，

已知某“鞠”的表面上有四個點P,A,B,C,滿足PC=2,PC,平面ABC,

AB±AC,若△回（?的面積為2,則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為（）

A.一JiB.8兀C.12兀D.16兀

3

7.若數(shù)列｛%｝滿足。用=’^（。戶0且4/一1）,則血空里與詠擔的比值為

2a“+3“2023^2022

（）

A.-B.-C.2D.3

32

22

8.已知橢圓C：|y+｝=l（a〉6〉0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,P為C上一點，

滿足尸耳，PK，以C的短軸為直徑作圓。，截直線尸耳的弦長為折，則C的離心率

為（）

A.—B.—C.-D.—

3233

二、多項選擇題

9.下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)2,1,3,425,4,1的第45百分位數(shù)是4

B.若數(shù)據(jù)X],%，當，…，X"的標準差為S，則數(shù)據(jù)2%,2X2,2X3,2x“的標準

差為2s

31

C.隨機變量X服從正態(tài)分布N（l,2）,若P（X>0）="則P（0<X<2）=]

D.隨機變量X服從二項分布5（4,p）,若方差。（X）=（,則P（X=2）=W

10.已知三棱錐S-ABC,則下列論述正確的是（）

A.若點S在平面ABC內(nèi)的射影點為△ABC的外心，則SA=SB=SC

B.若點S在平面ABC內(nèi)的射影點為A,則平面S5C與平面ABC所成角的余弦值為

SAABC

。公SBC

C.若/總C=90。，點S在平面ABC內(nèi)的射影點為的中點H,則S,A,B,C四點

一定在以H為球心的球面上

D.若NB4C=9Qo,S,A,B,C四點在以的中點”為球心的球面上，且S在平面

ABC內(nèi)的射影點的軌跡為線段(不包含3,C兩點)，則點S在球H的球面上的

軌跡為圓

11.投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，已知出現(xiàn)正面向上的概率為p,記A”表示事件“在〃

次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結論正確的是()

A.4與4是互斥事件B.P(4)=p2

c.P(4+J=(1-2p)P(4)+。D.P(怎)"(怎+2)

三、填空題

12.若/(x)=xe'+2靖⑼，則曲線/(%)在x=l處的切線方程為.

13.在(x+2y)(x-y)6的展開式中x2/的系數(shù)為.

14.已知拋物線V=4x的焦點為R過點歹的直線/交拋物線于A,3兩點，的中

點為P,以為直徑的圓與y軸交于MN兩點，當NMPN取最大值時，此時

sinZMPN=.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(%)=￡+or-21nx(aeR)

(1)當a=0時，求函數(shù)/(%)的極值；

(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

16.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=c—2Z?cosA.

(1)求證：A=2B；

(2)若△ABC的面積為15",且2a=36,求。

17.為了研究學生每天整理數(shù)學錯題情況，某課題組在某市中學生中隨機抽取了100

名學生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學成績和平時整理數(shù)學錯題情況，并繪制了下列兩個

統(tǒng)計圖表，圖①為學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖，圖②為學生一個星期內(nèi)

整理數(shù)學錯題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學成績在no分及以上視為優(yōu)秀，將一個星期有

4天及以上整理數(shù)學錯題視為“經(jīng)常整理”，少于4天視為“不經(jīng)常整理”.已知數(shù)學成績

優(yōu)秀的學生中，經(jīng)常整理錯題的學生占70%.

①②

⑴根據(jù)圖①、圖②中的數(shù)據(jù)，畫出2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值1=0.05的獨立性檢

驗，分析數(shù)學成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題是否有關？

（2）用頻率估計概率，在全市中學生中按經(jīng)常整理錯題與不經(jīng)常整理錯題進行分層隨機

抽樣，隨機抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2人進行座談，求這2名同學

中經(jīng)常整理錯題且數(shù)學成績優(yōu)秀的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

附：x2=-~憤其中〃=a+Z?+c+d-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.已知在一個不透明的盒中裝有一個白球和兩個紅球（小球除顏色不同，其余完全

相同），某抽球試驗的規(guī)則如下：試驗者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一

個小球，從第一輪開始，若試驗者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗成功，并停

止試驗.否則再將一個黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后

繼續(xù)進行下一輪試驗.

（1）若規(guī)定試驗者甲至多可進行三輪試驗（若第三輪不成功，也停止試驗），記甲進行

的試驗輪數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望；

（2）若規(guī)定試驗者乙至多可進行〃（zieN*）輪試驗（若第〃輪不成功，也停止試驗），記

乙在第k（keN*,kWn）輪使得試驗成功的概率為Pk,則乙能試驗成功的概率為

n1

證明：P（n）<-.

攵=13

22

19.已知橢圓C：j+4=l（。>0，6>0）的左、右焦點分別為耳、凡，離心率為

ab

經(jīng)過點《且傾斜角為的直線/與橢圓交于A、3兩點（其中點A在x

軸上方），AAB鳥的周長為8.

⑴求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，將平面x0y沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面A月月）

②是否存在。0＜。＜方，使得折疊后△A5K的周長為葭？若存在，求tan。的值；若

不存在，請說明理由.

參考答案

1.答案：B

解析：由集合5={xeN|3-2x>0}={0』，

又因為A={-1,0,123},可得45={0,1}.

故選：B.

2.答案：C

解析：z+Z=2,z—5=Ti,；.2z=2—4i,z=l—2i,

|Z|=712+（-2）2=A/5.

故選：C.

3.答案：B

解析：由題意知向量〃=（2,根），/?=（加+1,1）共線，

故2x1-皿加+1）=0,解得加=1或加=-2,

又因為且。與力方向相反，故加=-2,

所以〃=（2,—2）,而c=（2,1）,

則。在c方向上的投影向量是".￡=9與出.與2=（±2），

即a在c方向上的投影向量的坐標是傳,|],

故選：B.

4.答案：A

解析：由=排除B,C,由/（幻=等|可得

-2（x2+l）sinx-4%cosx,。、

/'（%）=——--------------2----------，當X￡0,一時，-2（尤2+1卜inx-4xcos%v0,即

（x2+l）V2J

/'（幻<0,故/（x）在鼻上單調(diào)遞減，排除D,故選A.

5.答案：B

解析：楊教授站中間，只有1種方法；

四名男生分成兩組放在兩邊方法數(shù)寺抬

兩名女生放在兩邊方法數(shù)A；,

每一邊兩名男生與一名女生再排序，得出總的方法數(shù)為N=*￥A；A；A：A；=432.

A、

故選：B.

6.答案：C

解析：在三棱錐尸—ABC中，因為PC,平面ABC,BC,ABu平面ABC,

則PC1.6C,PC±AB,

而ABLAC,PCAC=C,PC,ACu平面PAC,因此AB,平面PAC,

又上4u平面PAC,于是ABLA4,

取PB中點。，連接。4,0C,從而Q4=OB=OP=OC,

則點。是三棱錐P-ABC的外接球球心，如圖，

P、

設該外接球半徑為凡

222222

則R=^PB=^(PC+BC)=^(4+AC+AB)>^(4+2AC-AB)=l+-2SAABC=3,

當且僅當AB=AC=2時取等號，因此三棱錐P—ABC的外接球表面積4疝??>已兀,

所以制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為12Tl.

故選：C.

7.答案：D

解析：4+1=心由則

2a“+3

在等式式兩邊同取倒數(shù)得，」—=%史=2+』,

^±1±1=3+」=3.[山、

在兩邊同加1得,

4+14\)

又為w—1,貝1]6+1。0,

則有3V=3,則數(shù)列山是公比為3的等比數(shù)列.

4+1a?

則^2023±1與%022+1的比值為3.

°2023“2022

故選：D.

8.答案：A

解析：過。作

由于圓0截直線p耳的弦長為四,所以|。叫=>-j學］=gb,

由于「耳，尸耳，所以OM〃P￡,結合。是耳工的中點,

所以OM=^PF2^\PF2\=b,

^\PF\=2a-b,+\FPf2c=^a-bf+b2,

]\FXF2\=2

解析：對于A中，數(shù)據(jù)從小到大排列為1,1,2,2,3,4,4,5共有8個數(shù)據(jù)，

因為8x45%=3.6,所以數(shù)據(jù)的第45分位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)，即為2,所以A不正確;

對于B中,數(shù)據(jù)無1，支，尤3,…，X”的標準差為S,

由數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得數(shù)據(jù)2M，2々，…，2%的標準差為戶7=2s,所以B正

確；

對于C中，隨機變量X服從正態(tài)分布N(l,2),且P(X>0)=:,

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得P(0<X<2)=2P(X>0)-l=；,所以C正確；

對于D中，隨機變量X服從二項分布5(4,p),且。(X)=；,

313

可得477(1一")二一,解得p=—或p=—,

444

當p=［時，可得P(X=2)=*)2.(T號

當p=1時，可得P(X=2)=C6.(1-》2=條,

4441ZO

綜上可得，P(X=2)=—,所以D正確.

17128

故選：BCD.

10.答案：AB

解析：設△ABC的外心為點。，則Q4=O5=OC,ZSOA=ZSOB=ZSOC=-,

2

所以Rt^SQ4也也RtaSOC,

所以&L=SB=SC,A正確；

過點A作的垂線AT,交BC于點、T,連接ST,

因為SAL平面ABC,BCu平面ABC,所以&LL5C,

又5A,ATu平面1sAT,SAAT=A,所以BC,平面SAT,

又STu平面SAT,所以STL5C,

所以是平面S6C與平面ABC所成角的平面角,

4T—AT-BCq

則cosZATS=〃=^----------=也也，B正確;

STJLST.BCS^SBC

因為NB4c=90。聲是BC的中點，

所以HC=HB=HA,但=不一定成立，C錯誤;

依題知點S的軌跡是以要為半徑的圓，且不包括民C兩點，D錯誤.

2

故選：AB.

11.答案：ACD

解析：對A,因為對立事件是互斥事件，所以A正確；

222

對B,P(A2)=p+(l-p)=2p-2p+l,所以B錯；

對C,由全概率公式可知

人心)=。(4+/4)*4)+可4+/4”面)=(1-P)P(4)+P(I-P(4))

=(l-2p)P(Ati)+p,所以C正確；

對D,由C可知P(4+J—g=(l—20［尸(A)—g),

因為p(4)_g=i—P_g=g_"O,

所以[尸(4)-1是以g-p為首項，1-2p為公比的等比數(shù)列，

所以尸(4)_g=(g_p](l_2p)〃T=；(l_2p)〃，

所以P(4)=；(l―2p)"+g,

所以p(4")=；(l—2p)2"+g,因為0<p<l且pH：,

所以1—2pe(—1,0)(0,1),所以(1—202e(0,l),

所以P(4")=g(l—202"+：=([(1一2力2]"+^是關于〃的遞減數(shù)列,

所以P(4“)>P(怎+2)，D正確.

故選：ACD.

12.答案：y=(2e-2)x-e

解析：因為〃%)="+2v⑼,所以一因)=e，(x+l)+2_f(O),

令x=0,得〃0)=1+2/(0),解得((0)=—1,

所以/(%)=*—2x,則/⑴=e—2,/'(l)=2e—2,

所以曲線/(%)在％=1處的切線方程為y—(e-2)=(2e—2)(無一1),

即y=(2e-2)x-e.

故答案為：y=(2e-2)x-e.

13.答案：24

解析：結合題意可得：

(x+2y)(x—y)6=(x+2y)(C3-C^5y+C^4y2-C：%3y3+C^2/-C^5+CR),

所以爐:/的系數(shù)為一或+2C：=24.

故答案為:24.

14.答案：或

22

解析：如圖，由_/=4x,可知「(1,0),設A&,%),5(%,%),尸(%,為),易知

%o21,且|Ai?|-+9+2=2XQ+2,

因AB的中點為P,故|AP|=g|AB|=x0+l,過點P作/WLMN于點H.

設/PMH=e,8e(0,C),則411。="="=^^=1一――,所以當x。取最小值

2MPAPx0+lx0+l

時，sin。最小，

因為y=sin。在。e(0,會上為增函數(shù)，所以當sin。最小時，，最小，則NMPN最大.

又餐的最小值為1,止匕時sinG=；,8e(0,］),貝所以

ZMPN=71-2x-=—,所以sin/"PN=sin型=3.

6332

故答案為：旦.

2

15.答案：(1)極小值為1,無極大值

(2)a<-3

解析：(l)a=O時，/(%)=x2-21nx,定義域為(0,+co),

〃x)=2x-2=至二，

XX

令/'(x)>0,解得x>l,令/''(犬卜。，解得0<%<1,

故/(X)在X=1處取得極小值，/⑴=1,

???/(X)的極小值為/⑴=1,無極大值.

(2)/(力在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù)，

二在區(qū)間［1,2］上r(x)WO,

22

/.fr(x\—2x+a—V0a<----2x,

xx

2

令g(x)=--2x,只需aVg(尤)M，

JC

顯然g(x)=』-2x在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù),

X

???g(XU=g(2)=l—4=—3,

ci?—3.

16.答案：（1）證明見解析

(2)b=8

T22_2

解析：⑴證明：方法一油余弦定理，得cosA=°c—a

2bc

vzici4b~+—a"c—b

o-c—2/?cosA9—

2bc2b

a2=/+bc,

「a?+—b2+becba

cosB=--------------=---------=------=——

laclacla2b

cos2B=2cos2B-1=2-(-^-］—1=上更bc-b2c-b

{2bJ2b22b2

cosA=cosIB,

又ABG(0,TT),/.A=2B；

方法二:由正弦定理'得SSA=*￥

sinC=2cosAsinB+sinB,

A,B,C為ZVlBC的內(nèi)角，A+B+C^n,

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

/.sinAcosB-cosAsinB=sinB,

即sin(A-B)=sinB,

又A,Be(0,7r),A=2B.

2

(2)方法一:由⑴可知a2=b+bc,

2a-3b,二=b2+be,即c=1^.

因2M

a2+b2-c2I2JUJ9

2ab一A飛

2

CG(0,7i),/.sinC>0,sinC=y/1-

16

.-.SABC=-?Z?sinC=--—=1577,

由22216

b=8.

方法二:由正弦定理，得，一=上,即——-——=上

sinAsinB2sinBcosBsinB

a3

cosB=一,又2a=3bcosB=—,

2b94

sinB=A/1-COS2B=,

4

[3^7

cosA=cos2B=2cos2B-l=—,/.sinA=----,

88

5-77

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

S2Bc=；absinC=；：b*=15用，

Z?=8.

17.答案：(1)表見解析；認為數(shù)學成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題有關聯(lián)

(2)分布列見解析；期望為0.7

解析：(1)由題意可得(Q0025+0.005+0.0175+m+0.01)x20=l,

解得加=0.015.

所以數(shù)學成績優(yōu)秀的有100x(0.015+0.01)x20=50人，

則成績不優(yōu)秀的有100x50%=50人，

經(jīng)常整理錯題的有100x(40%+20%)=60人，則不經(jīng)常整理錯題的有100-60=40人,

所以經(jīng)常整理錯題且成績優(yōu)秀的有50x70%=35人，

則2x2列聯(lián)表如下：

數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀合計

經(jīng)常整理352560

不經(jīng)常整理152540

合計5050100

零假設為“。：數(shù)學成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題無關,

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到可得

2_100x(35x25-15x25)2_25_

/==>3.841—,

50x50x60x406

根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們推斷H。不成立，

即認為數(shù)學成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

(2)由分層隨機抽樣知隨機抽取的5名學生中，

則經(jīng)常整理錯題的有5x(20%+40%)=3人，不經(jīng)常整理錯題的有5-3=2人，

所以X的可能取值為0,1,2,

經(jīng)常整理錯題的3名學生中，恰抽到女人記為事件&化=0,1,2),

則。(4)=與算(左=0,1,2,3).

由(1)知經(jīng)常整理數(shù)學錯題的學生中數(shù)學成績優(yōu)秀的學生占史=工，數(shù)學成績不優(yōu)秀

6012

的學生占竺=▲,

6012

參與座談的2名學生中，經(jīng)常整理錯題且數(shù)學成績優(yōu)秀的恰好抽到加人記為事件

Bm(rn=0,l,2),

2

則可聞4)=1,「(聞4)得，P(聞4)=目=含

7

p(4%)=五,p(4%)=c；

所以尸(x=o)=p(4>p(4&)+尸(A).尸(聞A)+P(4)?尸(聞出)

C?,C；C；5C?25193

=-7X1H---F-X----1---X-------=------，

C；C；12C；144480

P(X=I)=P(A>P(4|A)+P(4)?尸(4%)

C；C；7C,35119

一C；12C；72—240

P(X=2)=P(A)-P(B2|A)=||X^=^,

故X的分布列為

X012

19311949

P

480240480

則數(shù)學期石(X)=Ox當+1X里+2x%=0.7

')480240480

18.答案：（1）分布列見解析，胃

⑵證明見解析

解析：（1）由題意得，X的可能取值為1,2,3,

在第一輪中，試驗者每次抽到白球的概率為L

3

依題意，在第二輪中，盒中有一個白球，兩個紅球和一個黃球，每次摸到白球的概率

為:，唳=2)=/小'5=g

易知P(X=3)=1-[P(X=1)+P(X=2)]=|,

.?.X的分布列為：

.?.X的數(shù)學期望石（X）=lx^+2x工+3x』=及

918618

一”1

（2）證明：當左22時，不難知道兄=1

（4+2『

1-------------------------

（左+1）2」（左+2）2

2x43x5kx（k+2）121

-----------------------------------------------------------——X-----------------------------

3242（4+1>（4+2）23（左+1）（左+2）

212I1

丹—x--------------------------------------------------——I…，

3（左+1）（左+2）3U+1k+2

11211

由（1）可知<=—，又6=—=—

1993U+11+2

21211

P/c=—x-------—左eN*）,

3（左+1）（左+2）3^+1k+2

11-----------------

k=l$2-33-4〃+1〃+2

-1-------2----<一1

33（〃+2）3

1

即P（n）

3

22

19.答案：⑴一+==1

43

（2）?—；②存在；tan6=3國

2814

解析：（1）由橢圓的定義知：\AF^+\AF^=2a,忸耳|+|巡|=2a,

所以的周長L=4a=8,所以a=2,

又橢圓離心率為工，所以￡