2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓與銳角三角函數(shù)綜合相關(guān)證明

2024年九年級中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：

圓與銳角三角函數(shù)綜合相關(guān)證明

1.如圖，AB為。的直徑，C是圓上一點(diǎn)，。是BC的中點(diǎn)，弦DEJ.AB,垂足為點(diǎn)

F.

P

⑴求證：BC=DE；

（2*是弧外石上一點(diǎn)，AC=6,BF=2,求半徑r的長；

⑶在（2）的條件下，當(dāng)CP是/ACB的平分線時，求CP的長.

2.如圖.正方形A5CD頂點(diǎn)A,8在上.BC與。交于點(diǎn)E,8經(jīng)過一。上一點(diǎn)

P,且必平分NAEC.

一，~、D

⑴求證：8是.。的切線；

⑵若S正方Ws=琵，求CE的長.

3.如圖1,四邊形ABC。內(nèi)接于：。，對角線AC與50交于點(diǎn)及AC>9,點(diǎn)/在AC

上，ZADF+ZABC=90°.

⑴求NCD尸的度數(shù).

(2)如圖2,作DG_L4S于點(diǎn)G,￡>G與AC交于點(diǎn)H,8G=CD,E為8。中點(diǎn)，求證：

CF=2DE.

⑶在(2)的條件下，BD=2.

①若3DG的面積是面積的3倍，求AC的長.

②如圖3,當(dāng)圓心。在高DG上時，求O的半徑.

4.如圖，AB是。的直徑，C為A3下方半圓上一動點(diǎn)，0?！?。交8(7于點(diǎn)。.

⑴求證：BD=CD；

(2)己知。半徑為r,設(shè)8。=羽AC=y,求x與y的關(guān)系式；

(3)點(diǎn)P為A3上方圓外一點(diǎn)，且/R4B=2/APO,連結(jié)PA、PB、PO,出交上半圓于

點(diǎn)、E,已知當(dāng)工二君時y=9,PB=A/61,求sinNPAB的值.

5.如圖，48是。的直徑，C,D是O上的兩點(diǎn)，且BC=OC,BD交AC于點(diǎn)、E,

點(diǎn)/在AC的延長線上，BE=BF.

⑴求證：3戶是的切線;

試卷第2頁，共6頁

3

⑵若EF=6,cosZABC=-,

①求防的長；

②求。的半徑.

6.如圖，邊長為舊的等邊,A6C是，。的內(nèi)接三角形，。是BC上一點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)以

C不重合），AD,3C相交于點(diǎn)E.

備用圖

⑴ZADB=°,O的半徑為

⑵當(dāng)49=4時（點(diǎn)。在AD的下方）.

①求的長；

②點(diǎn)、F、G分別在射線。C、線段AD上，F(xiàn)DavCDE.若AF=叵,求。G的長.

2

7.如圖，A8是。的直徑，點(diǎn)C是BZ）的中點(diǎn)，CEJ.AB于點(diǎn)、E,BD交CE于點(diǎn)F.

C

⑵若BE=OE=3,求AZ）的長度.

8.如圖，在Rt^MC中，ZC=90°,以。3為半徑的9。與AB相交于點(diǎn)E,與AC相

切于點(diǎn)D

3

(2)已知cosNA8C=y,AB=6,求一。的半徑幾

9.如圖，A3是。的直徑，AD是;。的弦，。是A3延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)5作班，CD

交CD于E,交1。于尸，NEBC=2NDAC.

3

⑵若cos/ABF=y,。的半徑為5,求8C的長.

10.如圖，為?。的直徑，點(diǎn)C為AB上方上一點(diǎn)，點(diǎn)。為C4延長線上一點(diǎn),

連接CB,DB,CELBD交O于點(diǎn)E,垂足為H,AE交8。于點(diǎn)足

r

⑵若CD=AB,AE=8.

①若CH=6,求的長；

②若點(diǎn)A是線段8的中點(diǎn)，求此圓的半徑.

11.如圖，AB是;O的直徑，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，NPAC=ZADC,且8=百，AO與

2c交于點(diǎn)E.

⑵若tan/C4O=；,求DE的長；

⑶延長CD,AB交于點(diǎn)R若OB=BF,求：。的半徑.

12.如圖，在ABC中，ZBCA=90°,以8C為直徑的O交AB于點(diǎn)P,點(diǎn)。是線段AC

試卷第4頁，共6頁

的中點(diǎn)，連接0P并延長交CB的延長線于點(diǎn)D

(1)求證：直線PQ是。的切線;

⑵若AP=6,tanA=—,

①求。的半徑的長；

②求PD的長.

13.如圖，已知，ABC中，AB=BC,以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)，?！芭c＜。相

切，交BC于點(diǎn)E,連接OE,CD=2y/3,ZACB=3Q°.

(1)判斷DE與3c的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若以AB,0E的長為方程尤2+法+C=0兩個實數(shù)根，求6的值；(若一元二次方程

bc

依2+桁+0=0的兩個根為X],須，則玉+%=一一，再％=一?)

aa

(3)求圖中以線段8,8C和80所圍成圖形的面積.

14.如圖，。是Rt^ABC的外接圓，點(diǎn)。是弧48的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作的平行線交

⑵當(dāng)8=2時，求SBCE的值;

(3)設(shè)3C=AZAC.

①求巖的值；(用含〃的代數(shù)式表示)

BD

②若3CE=8AC,DE=6,求AB的長.

15.如圖1,ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,延長BC到點(diǎn)￡),使&)=胡.點(diǎn)

尸是8C邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心、PO長為半徑作P,交AC于點(diǎn)E,設(shè)尸C=x.

HD

普用陶I*用阻2

⑴如圖2,點(diǎn)Q是射線54上的一點(diǎn)，PQ=PB,當(dāng)點(diǎn)。在尸上時，尤=

(2)尤為何值時，P與A3相切？

(3)若P與ABC的三邊有兩個公共點(diǎn)，直接寫出x的范圍.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.(1)解：???。是8C的中點(diǎn),

??CD-BD,

：DEIAB且A3為「。的直徑,

??BE=BD，

比=法，

:.BC=DE；

(2)解：連接0O,

.CD=BD,

：./CAB=/DOB,

?；AB為。的直徑,

???ZACB=90°f

,:DEJ.AB,

：.ZDFO=9Q0,

AACB^-OFD,

.ACOF

??法—訪‘

設(shè)。。的半徑為r,

則？=3,

2rr

解得r=5,經(jīng)檢驗，r=5是方程的根,

：.Q的半徑為5；

(3)解：如圖，過點(diǎn)8作3G_LCP交CP于點(diǎn)G,

答案第1頁，共24頁

???ZBGC=ZBGP=90°,

???。的半徑為5,AB為。的直徑,

AAB=10,ZACB=90°,

???BC=YIAB2-AC2=8,

AtanZCAB^^^,

AC63

??,CP是/ACS的平分線，

JZACP=ZBCP=45°

：.NCBG=45。

JCG=BG=BCcos45°=472,

?；ZBPC=/CAB,

4

..tan/BPC=—,

3

.BG4

??=-t

GP3

?*-GP=30，

CP=4A/2+3A/2=7A/2.

2.(1)證明：連結(jié)。P,則。尸=0E,

OPE?AEP,

*EP平分/AEC,

.1CEP?AEP,

.1OPE?CEP,

.OP//BC,

?四邊形ABC。是正方形,

.?OPD?C90?,

,OP是。的半徑，且CD_LOP,

答案第2頁，共24頁

???cr)是。的切線.

(2)解：連接AP,

V?B90?,

???AE是O的直徑，

：.lAPE90?,OEOA,

VBC//AD,OP//BC,

：.BC//OP//AD,

.PCOEi

..==1,

PDOA

丁S正方形=CD2=16,且CD>0,

:.AD=CD=4,

PC=PD=-CD=2,

2

???ZC=ZD=90°,?CPE?DAP90??APD,

CF

—=tan?CPEtan?DAP

PC

???CE=-PC=l

2f

。的內(nèi)接四邊形,

ZADC+ZABC=180°,

???Z.CDF+ZADF+ZABC=180°,

ZADF-^ZABC=90°,

JZCDF=90°；

(2)證明：?.?DG_LAB,

JZBGD=90°,

???NCD尸=90。，

答案第3頁，共24頁

:./BGD=/CDF,

又?：ZABD=ZACD,BG=CD,

??..BDG絲CFD(AS0,

：.CF=BD,

???點(diǎn)七是BO的中點(diǎn)，

:.BD=2DE,

：.CF=2DE；

(3)①由(2)知：BDGaCFD,CF=BD=2,/BDG=/CFD,

uBDG-J".DEH,

?V="

??JCFD~-JDEG，

:.EH=-CF=~,

33

ZDEH=/FED,

:.JJEHsFED,

:.DE7=EHEF,

A1=-EF,

3

:.EF=-

2f

:.CE=CF-EF=-,

2

ZABD=ZACD,ZAEB=NCED,

ABEsCED,

:.BEDE=CEAE,

.\lxl=—AE,

2

AE=2,

AC=CE+AE=--

2

②如圖，

答案第4頁，共24頁

作。于W,作直徑CV,連接。V,

:.DOLAB,

BG=AG,

AD=BD=2,

由①知：ABEs.CED,

BEAEAB

,CE~DE~CD"

/.AB=2BC,BC=CD,

...—I=-A-E=z,

CE1

:.CE=-,AE=2,

2

設(shè)EW=x,貝|AW=2—x,

DW2=DE2-EW2=AD2-AW?,

.■.12-X2=22-（2-X）2,

x——1,

4

EW=-,DW=^~,

44

113

/.CW=EW+CE=-+-=-,

424

CD=y/cW2+DW2=+乎=,,

sinV=sinZACD,

.CDDW

,cv9

答案第5頁，共24頁

V6V15

.三二丁，

-CV2

“晅

5

???)0的半徑為：3叵.

5

9

\OD//ACf

：.ZBAC=ZBOD,ZOCA=ZCODf

9：OA=OC,

：.ZBAC=ZOCA,

:?/BOD=/COD,

；?BD=CD?

(2)解：如圖：連接OC、BC、BD,BC與OD交于點(diǎn)。

9

\OD//ACf

:..BOQs^BAC,

,OB=OQ=BQ

**AB-AC-

?.*AB=2OB,

：.OQ=^AC=^y,BQ=CQ,

答案第6頁，共24頁

?：OD=r,

QD=OD—OQ=r——y,

是半徑，BQ=CQ,

：.ODLBC,

在RtACOQ和RtABDQ中，

由勾股定理得CQ2=OC2-OQ2,BQ2=BD2-QD2,

BQ=CQ,

：.OC2-OQ2=BD2-QD2,即產(chǎn)—=x2-|r-lyj,整理得/+0—2/=0.

(3)解：如圖：連接OE,BE,

-1(不合題意，舍去),

=0,得5+9—2/=0,解得廣

r=5,

OA=OE,

：./PAB=ZAEO=2ZAPO,

,/NAEO是△POE的外角，

ZAEO=ZAPO+ZPOE,

：.ZAPO=ZPOE,

：.OE=PE=5,

：A3是直徑，

ZAEB=NBEP=90°,

在RtaBPE中，

VPE=5,尸8=病，

BE=yjPB2-PE2=6，

答案第7頁，共24頁

在RtZWE中，

*.*BE=6,AB=2r=10,

??.si必皿=股二.

AB5

5.(1)證明：?;BC=DC,

???BC=DC，

：.ZA=ZCBD,

?；BE=BF,

：.ZBEC=ZF.

???AB為O的直徑，

JZACB=90°,

：.ZBEC+ZCBE=90°,

AZF+ZA=90°.

：.ZABF=90°,

：.OBLBF,

〈OB是圓的半徑，

：?BF是O的切線；

(2)解：①由(1)得：BE=BF,

???AB為。的直徑，

BC工EF,

：.CF=CE=-EF=3,

2

?.?ZABC+ZCBF=90°,ZCBF+ZF=90°,

???ZF=ZABC,

在Rt5CF中，

CF

,：cosZF=——,

BF

3

BF=CF—=5；

5

②在Rt3c廠中，BC=y/BF2-CF2=4，

在RtzXABC中，

答案第8頁，共24頁

VcosZABC=—=-,

AB5

?-AB=T

。的半徑為學(xué)

6.(1)解：?.?邊長為屈的等邊A5C是：。的內(nèi)接三角形,

ZACB=ZABC=NBAC=60°,AC=BC=AB=y/l3,

???。是8c上一點(diǎn)(點(diǎn)。與點(diǎn)8、C不重合),

ZAD3=ZACB=60°,

連接CO并延長交AB于點(diǎn)X,連接A。、BO,

?.?OB=OA,AC=BC,

：.CH±AB,AH=BH=-AB=—,

22

ZAOB=2ZACB=120°,

J/BOH=-ZAOB=60°,

2

?BH_??.二八o_G

??=sin/ZBOH=sin60=—,

OB2

：.OB=BHJI=^+2=叵,

2223

即二，。的半徑為叵，

3

故答案為：60,叵

3

(2)①作垂足為H.

貝UDH=AD-cos600=2,AH=AD-sin60°=2百.

:.BH=yjAB2-AH2=b

:.BD=DH+BH=3；

答案第9頁，共24頁

②作4,DC,垂足為/.兩種情況如圖,

AC=AC^

ZADC=ZABC=60°f

/.AI=AD-sin60°=2石，DI=AD-cos60。=2,

3731

:.DF、=2+—=—或0K=2——=—.

2222

:KDG-CDE,

/DF、G,=/DCE=Z￡>AB.

?.,NFQGi=ZADB,

:.DF】G】sDAB,

DGX_DFX

…DB一扇.

7Z?!

當(dāng)。月=彳時，0G_5,解得。G=k；

2-=i8

113

同理可求DF2=彳時，DG,解得DG2=-.

2I-=48

213

綜上所述，OG的長是4或，

8°

7.(1)證明：4?是CO的直徑，

:.ZACB=90°,

又CE1AB,

答案第10頁，共24頁

/BCE+ZECA=ABAC+ZECA=90,

■.ZBCE=ZBAC,

點(diǎn)。是50的中點(diǎn)，

:.ZDBC=ZBAC,

:.ZDBC=ZCDBf

:.ZBCE=ZDBCf

CF=BF

(2)解：連接0。，OC,

BE=0E=3,

OB=BE+OE=3+3=6,

OB=OC,

cosZCOE=—=-=

OC62

:"COE=60。,

點(diǎn)。是BO的中點(diǎn)，

/.ZDOC=ZCOE=60,

ZAOD=180-ZDOC-ZCOE=60,

,,,,60°TTx6小

AD的長度=180。=2萬，

8.(1)證明：連接如圖所示：

??,AC切-O于點(diǎn)

：.OD±ACf

;ZC=90°,

答案第11頁，共24頁

???OD//BC,

：./ODB=/CBD,

■:OB=OD,

???/ODB=/OBD,

：?/OBD=/CBD,即RD平分/ABC；

(2)解：在RtaABC中，ZC=90°,

3

VcosZABC=~,AB=6,

.BC_BC_3

-_-

*ABr5

1Q

解得：BC=—

丁OD//BC9

:.Z\AODs公ABC,

r6-r

9.(1)證明：如圖，連接OD,則49=00,

???ZADO=ZDAO,

?：NEBC=2NDAC,NDOB=2NDAC,

:?NEBC=NDOB,

：.OD//BE,

答案第12頁，共24頁

:./ODC=/BEC,

丁BE上CD,

：.ZODC=ZBEC=90°,

即OD_LCD,

?「OD是半徑，

???8是。的切線；

3

(2)解：?：NEBC=NDOB=ZABF,cosZABF=-,

3

JcosZDOC=-,

?.?的半徑為5,即QB=QD=5,

ocOP_5_25

"cosZDOC-J-T,

5

BC=OC-OB=—.

3

10.(1)證明：VAB^Jo的直徑，

JNACB=90。，

AZD+Z￡>BC=90°,

CELBD,

；?ZDBC+NBCE=90。,

：.ZD=/BCE,

■:ZBAE=NBCE,

ZBAE=ZD；

(2)解：①連接BE,

TAB為O的直徑,

ZAEB=90°,

答案第13頁，共24頁

CE上BD,

：.ZCHD=90°=ZAEB,

又?：NBAE=ND,AB=CD,

：.ABE^.DCH(AAS),

：.AE=DH=8,BE=CH,

■:ZBCE=/D,NBHC=ZDHC,

J.CHDsBHC,

.CHBH

??OH―說，

：.CH2=BH?DH,

CH?=8BH,

,:CH=6,

9

BH=~；

2

②???CD=A5,點(diǎn)A是線段CD的中點(diǎn)，點(diǎn)。是A5的中點(diǎn),

???AO=AC=BO,

?AC1

???sin7A^C-=--=-一,

AB2

???ZABC=30°,

ZABC=ZAEC=30°f

,:CELBF,

：.ZBFE=60°,

：.ZEBF=30°,

/.￡F=1BF=4,BE=43EF=473,

二AB=>jAE2+BE2=V64+48=4不，

圓的半徑為2，".

11.(1)證明：為直徑，點(diǎn)C在圓上，

ZACS=90°,

ZP+ZPAC=90°,

又NPAC=ZADC,

答案第14頁，共24頁

;AC=AC,

：.ZADC=ZABC,

：.ZP+ZABC=90°,

：.ZPAB=90°,即「4,AB,又點(diǎn)A在「。上

???E4是。的切線；

（2）連接3。，：點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

ZCAD=ZBAD,

：.CD=BD=>/5,

：A3為直徑，點(diǎn)。在圓上，

ZADB=90°,

1^ZCAD=ZCBD,

：.tanZCBD=tanZCAD=

3

在中，---——,

BD3

??DE——；

3

(3)連接OO,

■:ZDOB=2ADAB=ACAB,

又丁ZDFO=ZCFA,

：?DOFs&CAF,

答案第15頁，共24頁

XVOB=BF=OA,

.DFFO_2

*FC--E4-3

.DFOF2

而CD=非9

*CD-AO-T

*.DF=275,

?:CD=BD,

：.ZDCB=ZDBC,

：.ZBDF=2ZDCB,

又BD=BD，

:?/DCB=/DAB,

：.Z.DOB=2ZDAB=2ZDCB,

:.NBDF=NDOB,

又「/DFB=/DFO,

：.FDBsFOD,

OPDF

,DB~^Ff

OP245

,而OD=OB=BF,

/.OD=M.

12.(1)解：連接ORCP

D

BC是。的直徑，

:.ZBPC=90°,則/APC=90°,

又?.。是AC的中點(diǎn)，

-PQ=CQ.

：.ZQCP=NQPC,

答案第16頁，共24頁

N3c4=90。，

NOC尸+NQCP=90。，

?：OC=OP,

：./OCP=/OPC,

：.ZOPC+ZQPC=90°,即ZOPQ=90°,

???直線尸。是O的切線；

(2)解：①在RtZ\APC中，

*.*AP=6,tanA=—,

2

CP=AP?tanA=6x—=3,

2

AC=VAP2+PC2=762+32=3A/5，

在RtZVIBC中，

???BC=AC.tanA=375x-=^,

22

???DO的半徑長為逕；

4

②在RtaABC中，

AB=yjAC2+BC2=J(3y/5)2+(―)2=—，

V22

連接OQ,

:。是AC的中點(diǎn)，。是8C的中點(diǎn)，

OQ//AB,OQ=^AB=^-,BP=AB-PA=^--6=^,

?：OP=OC,QP=QC,

；.OQ垂直平分PC,

ZCPQ+ZPQO=90°,

'：ZCPQ+ZAPQ=90°,

答案第17頁，共24頁

ZAPQ=Z.PQO=/BPD,

???/D=/D,

；,_DOQsDBP,

DPBPDPBP

----=----,BDP-----------=----

DQOQDP+PQOQ

；PQ=；AC=孚，

3

Dp一2

-

15-

4

解得：PD=y/5.

13.(1)解：DEIBC,理由如下，如圖，連接OQ,

?：AB=BC,

：.ZA=ZC.

9

：OA=ODf

：.ZA=ZADO,

：.ZADO=AC,

:.OD//BC.

,:DE是O的切線,

：.OD1DE,

：.DE.LBC；

(2)解：連接BO.

答案第18頁，共24頁

:AB為。的直徑，

，ZADB=90°.

在Rt88中，ZACB=30°,

BC=2.BD,BC2-BD2=CD2,

(2BD)2-B￡)2=(273)2,

BD=2,

：.AB=BC=4,

在RtVDCE中，ZACB=30°,DE=-CD=^3,

2

在Rt^DOE中，OE=Jo/??+DE?=百+(⑹2:用,

,/AB,OE的長為方程/+"+0=0兩個實數(shù)根,

.\Z2=-(AB+OE)=-(4+V7)=-4-A/7；

(3)解：連接,作Z)F_LO3于R

,?AB=BC,

：.ZA=ZACB=30°,

ZDOB=2ZA=60°,

：.DF=sin60°OD=—x2=y/3,

2

答案第19頁，共24頁

SBOD=gOB.DF=；x2x^3=5/3,

?:SBCD=*CD=EX26=26,S3=嘿言=9，

z乙JoU3

???線段8、5c和8。所圍成圖形的面積為SBOD+SBCO—S扇物3=3百—

14.(1)證明：連接A。，

ED//AB,

.\ZADE=ZBAD,

.??點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，

/.AD=BD9

:.ZABD=ZBAD,

ZACB=90°,

AB是直徑，

,\ZADB=90°,

:.ZBAD=ZABD=45°,

ED//AB,

:.ZADE=ZBAD=45°,

.?.NADE=NABD,

AC=AC

：.ZADC=ZABC,

.\ZADE^-ZADC=ZABD-^ZABCf

:./EDC=NCBD；

⑵解：AD=BD，

:.ZECD=ZCBD

答案第20頁，共24頁

=-ZACB=45°,

2

/EDC=/CBD,

CDEsjCBD,

.CDCE

'~CB~~CD'

s.CD1=BCCE,

CD=2,

:.BCCE=4,

\'°qBCE

=-BCCE

2

=2;

(3)①解：過。點(diǎn)作PGLAE交于G點(diǎn),

BC±AEf

:.DG//BC,

:./CED=/CAB,

BC=nACf

tanZC4B=n,

tanNCED=〃，

設(shè)GE=〃，則GD=〃〃，

ZACD=45°,

CG=GD=na，

/.CD=yflna，CE=a+na,

CD2=BCCE,

：.2幾