2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)沖刺卷二（九省聯(lián)考題型）（解析版）

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)沖刺卷二（九省聯(lián)考題

型）

注意事項(xiàng)：

].答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)分別為8,5,7,5,8,6,8,則這

組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）.

A.5,7B.6,7C.8,5D.8,7

【答案】D

【解析】

【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)的概念，即可求解.

【詳解】數(shù)據(jù)由小到大排列為5,5,6,7,8,8,8,

因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8,中位數(shù)為7.

故選：D.

f?

2.已知橢圓C:二+丁=1（m>0）的離心率為則m=（）

m"2

A.B或2B.立C.或也D.1

2232

【答案】C

【解析】

【分析】分類討論橢圓焦點(diǎn)的位置，利用橢圓離心率的定義得到關(guān)于用的方程，解之即可得解.

f1

【詳解】因?yàn)闄E圓C:：+y2=i（〃?>0）,離心率為c一=二，

ma2

當(dāng)其焦點(diǎn)在X上時(shí)，4=療方=1,貝心2=1，

所以；=竺二=!，又加>o,解得m=2叵；

CTm243

當(dāng)其焦點(diǎn)在y上時(shí),1=1萬=療，則。2=/—62=1_蘇,

所以《=匕”=!，又加>0,解得加=也；

a2142

綜上，1n=正或m=B.

32

故選：C.

5

3.在前幾項(xiàng)和為S“的等差數(shù)列｛a,｝中，a6=a5+4>%=19,貝U項(xiàng)=()

A.3B.10C.15D.25

【答案】C

【解析】

【分析】寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前幾項(xiàng)求和公式，利用題中所給的條件即可.

【詳解】設(shè)｛叫的通項(xiàng)公式為4=q+(〃—1)2,其中的是首項(xiàng)，"是公差，

貝I]%=4+41,。6=4+51，S.=+<3；4x4=4a.+6d,

2

由題意q+5d=%+4d+4a]+6d,解得4=—|d,又%=4+6〃=19,

代入得4=-5,d=4,得4=-5+4x4=11,得S$="x5=15?

故選：C

4.已知/，機(jī)是兩條不同的直線，a為平面，mua,下列說法中正確的是()

A.若/Ia=A,且/與e不垂直，貝!1/與加一定不垂直

B.若/與a不平行，貝也與加一定是異面直線

C.若/Ia=A,且Agm,則/與加可能平行

D.若〃/a,貝h與加可能垂直

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合點(diǎn)線面之間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】對(duì)A：在平面a內(nèi)，存在無數(shù)條直線和/垂直，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：當(dāng)/ua時(shí)，/與加不是異面直線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：若/Ia=A,且Aem,/與用為異面直線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：若〃/a,在e內(nèi)存在直線與/垂直，故其可能與用垂直，故D正確.

故選：D.

5.某學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，徑賽類共設(shè)100米、200米、400米、800米、1500米5個(gè)項(xiàng)目，田賽類共設(shè)鉛球、跳高

、跳遠(yuǎn)、三級(jí)跳遠(yuǎn)4個(gè)項(xiàng)目.現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)均選擇一個(gè)徑賽類項(xiàng)目和一個(gè)田賽類項(xiàng)目參賽，則甲、乙的參

賽項(xiàng)目有且只有一個(gè)相同的方法種數(shù)等于（）

A.70B.140C.252D.504

【答案】B

【解析】

【分析】由分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理以及排列組合的計(jì)算即可得解.

【詳解】由題意若甲、乙的相同的參賽項(xiàng)目為徑賽類項(xiàng)目，則有C；=5種選法，

他們?cè)俜謩e從田賽類項(xiàng)目中各選一個(gè)（互不相同）即可，這時(shí)候有A；=4x3=12種選法，

所以此時(shí)滿足題意的選法有C：A：=5x12=60,

由題意若甲、乙的相同的參賽項(xiàng)目為田賽類項(xiàng)目，則有C：=4種選法，

他們?cè)俜謩e從徑賽類項(xiàng)目中各選一個(gè)（互不相同）即可，這時(shí)候有A：=5x4=20種選法，

所以此時(shí)滿足題意的選法有C：A；=4x20=80,

綜上所述，甲、乙的參賽項(xiàng)目有且只有一個(gè)相同的方法種數(shù)等于60+80=140種.

故選：B.

6.在.至。中，若|46+44=1,|。4+件=2,則.腦。面積的最大值為（）

1111

A.-B.一C.一D.-

6543

【答案】D

【解析】

4

【分析】設(shè)瓦尸分別為的中點(diǎn)，結(jié)合三角形相似推出S四邊形人圓，由題意可得

\AE\=-,\CF\=1,確定四邊形ACE尸面積的最大值，即可得答案.

2

【詳解】設(shè)瓦廠分別為3CA3中點(diǎn)，連接所，

E

則EF〃AC,則LBEFsNBCA,故S帕=-SARr,

34

則S四邊形AC。=W'ABC，故SABC=耳S四邊形ACE/

又網(wǎng)+人。卜”04+0@=2,則|AB+Ac|=|2叫=1,向+。q=[2苗=2,

故|AE|=1,|an=l,

當(dāng)AEJ_CF時(shí)，四邊形AC所面積最大，最大值為Lx』xl=L,

224

411

故.ABC的面積的最大值為一x—=—,

343

故選：D

7.函數(shù)/(%)二石sinx(l+cosx)的最大值為()

3r-5/T59

A.-A/3B.-V3C.-D.-

2484

【答案】D

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求最大值，也可以利用萬能公式統(tǒng)一三角函數(shù)名，再利用換元法結(jié)合四元基本不等式求

解即可.

【詳解】法一：不妨設(shè)工￡[0,2可，則尸(%)=6COS%+2A/§1COS2%-石，

整理得到：/'(%)=A/3(2COSX-1)(COSX+1),

當(dāng)xe]o,(L￡,27t1時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)時(shí)，f\x)<0,

故/(%)在，2兀]上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

而/(2兀)=0,/1]]=:，故/(%)的最大值為:.

2tan—1-tan2—

法二：由萬能公式得sinx=------,cosx=-------

tan2—+1tan2—+1

22

2tan—1-tan2—4A/3tan—

代入原式并化簡(jiǎn)得了(x)=Gx-----=(1+-------2_)=--------2_

tan2^+1tan2^+1(tan2+1)2

令tan；=/,因?yàn)轭}設(shè)中欲求最大值，故可設(shè)%>0,

2

故原式轉(zhuǎn)化為

當(dāng)且僅當(dāng)/=走時(shí)取等，顯然最大值為2.

34

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求三角函數(shù)的最大值，解題關(guān)鍵是利用萬能公式統(tǒng)一三角函數(shù)名，然后再用

四元基本不等式求解，本題也可以直接利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算.

8.設(shè)雙曲線E:=一］=1（?！?］〉0）的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，M（0,3b）,若直線/與E的右支交于A,3兩

點(diǎn)，且產(chǎn)為的重心，則直線/斜率的取值范圍為（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)重心性質(zhì)得出A3中點(diǎn)。的坐標(biāo)，根據(jù)直線/與E的右支交于A3兩點(diǎn)可知點(diǎn)￡）在右支內(nèi)

部，

將。的坐標(biāo)代入雙曲線中建立不等式，即可得離心率的范圍，根據(jù)點(diǎn)差法可得直線/的斜率與仇c之間

等式關(guān)系，

由“，"A,8不共線建立不等式，解出離心率具體范圍，根據(jù)離心率的范圍及直線/的斜率與“,4c之間

等式關(guān)系，

即可得斜率的取值范圍，解出即可.

【詳解】設(shè)。為A3的中點(diǎn)，根據(jù)重心性質(zhì)可得MF=2F7），

因?yàn)槭╟,0）,M（0,36）,貝5,一下

因?yàn)橹本€/與E的右支交于A,3兩點(diǎn)，所以點(diǎn)。在雙曲線右支內(nèi)部,

生叫c岳

故有44一解得￡〉少，

F—k〉la3

ab

當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)。在x軸上,

故三點(diǎn)不共線，不符合題意舍，

設(shè)直線/斜率為左的，設(shè)AlApyibBl/,%），

所以石+々=3。，%+%=-3人，

f22

生」=1

2/2

因?yàn)锳3在雙曲線上，所以4,,，

兩式相減可得：4二"-="二%一,

a2b2

即a—々）（％+々）_（/一%）（M+%）

即有蟲=1=辿41成立，

CTb2

he

即有"B=--T，因?yàn)镸，工AB不共線,

即^AB~---2。^MF~----，即片￡3片,即0。y/3，

ac

2

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于難題，關(guān)于圓錐曲線中弦中點(diǎn)和直線斜率

有關(guān)問題的思路有:

(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)人(%,%),5(%2，%)；

(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)建立等式：%1+x2,%+%；

(3)將兩點(diǎn)代入圓錐曲線中，再對(duì)兩式作差，用平方差公式對(duì)等式變形；

y—y

(4)將%+%，%+%及左代入等式中即可得出關(guān)系.

Xj—%2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.在.ABC中，。=26，c=2正，C=45°,則A可能為()

A.30°B.150°C.120°D.60°

【答案】

【解析】

【分析】由正弦定理可得答案.

a

【詳解】由正弦定理一,

sinAsinC

asinC之6呢也,

得sinA

2A/22

又因?yàn)閍>c,所以A>C,

因?yàn)?<A<180，所以A=60或A=120°.

故選：CD.

10.已知4*2是兩個(gè)虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若Z[=馬，則4+Z2與AZ2均為實(shí)數(shù)B.若Zi+Z?與Z]Z2均為實(shí)數(shù)，則馬=馬

C.若z「Z2均為純虛數(shù)，則」為實(shí)數(shù)D.若以為實(shí)數(shù)，則4/2均為純虛數(shù)

“222

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的定義即可求解ABC,舉反例即可求解D.

【詳解】設(shè)Z]=a+6i,z2=c+di^a,b,c,deR,Z?^0,<7^0).z1+z2=a+c+(^b+d^i,

z1z2=ac-bd+(ad+Z?c)i.

22

若4=z,,則。=。，b+d=0,所以4+4=2aeR,ZjZ2=a+b&R,所以A正確；

若4+z?與Z]Z2均為實(shí)數(shù)，則b+d=0,且以Z+〃c=0,又6/0,d/0,所以。=。，所以B正確;

z,cn

若4，Z2均為純虛數(shù)，則a=c=0,所以所以C正確；

z2d

取Z=2+2i,z2=l+i,則三為實(shí)數(shù)，但Z2不是純虛數(shù)，所以D錯(cuò)誤.

Z2一

故選：ABC.

11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x),滿足/(%+y)=/(x)/(y)-/(2-x)/(2-y),且〃0)w0,

/(—2)=0,則()

A./(2)=1B./(%)是偶函數(shù)

2023

C.[/(X)T+[/(2+X)T=1D.=

i=l

【答案】BCD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，賦值法得到/⑵=0；B選項(xiàng)，賦值得到"0)=1,f(x+2)=-f(2-x),

f(x+4)=-f(x),從而得到/(—%)=/(%),B正確；C選項(xiàng)，令丁=一》,則

f(O)=f(x)f(-x)-f(2-x)f(2+x),結(jié)合”0)=1,f(-x)=f(x),f(x+2)=-f(2-x),

得到C正確；D選項(xiàng)，得到/(九)的一個(gè)周期為8,并計(jì)算出

/(2)=0,/(4)=-1,/(6)=/(-2)=0,/(8)=/(0)=1,/(1)++/(8)=0,從而得到

2023

Z/(O=-1.

i=l

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由/(x+y)=/(x)/(y)—/(2—x)/(2—y),

令x=y=l,則/(2)=[/(1)丁_[/(1)丁=0,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng),令x=y=0,則/(0)=[〃0)了一卜(2)了=卜(0)了,

因/(0)/0,故"0)=1,

令y=2,則〃x+2)=/(x)〃2)—/(2—x)/(0)=—/(2—x)①，

知函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對(duì)稱，

令x=y=2,則八4)=卜(2)了一小(0)了=_1,

令y=4,貝|/(x+4)=/(x)/(4)—/(2—x)/(—2)=—/(力②，

由①可得:y(x+4)=-/(-x)?,由①③可知:/(-%)=/(%),

且函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,則函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，令丁=一％,則〃0)=/(力〃—力—〃2—力〃2+力,

因?yàn)椤?)=1,/(-%)=/(%),/(x+2)=_/(2—x),代入上式中得，

故得：[/(X)]2+[/(2+X)]2=L故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，由上可知：/(x+4)=-/(x),則/(x+8)=—/(x+4)=/(x),

故函數(shù)/(%)的一個(gè)周期為8.

令x=2,y=l,則〃3)=/(2)/⑴—〃0)/⑴=—7?⑴，即有〃3)+〃1)=0,

因函數(shù)〃尤)是偶函數(shù)，故有/(—3)+/(—1)=0,

由函數(shù)/(%)的一個(gè)周期為8,則“5)+/⑺=/(—3)+/(—1)=0,

由上知：/(2)=0,/(4)=-1,/(6)=/(-2)=0,/(8)=/(0)=1,

于是：/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(7)+/(8)=0+0+(-1)+0+0+1=0,

2023

則E/(0=253x0-/(2024)=-/(8)=-1,故D項(xiàng)正確.

i=l

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：設(shè)函數(shù)y=/(x),xeR,a>0,a'b.

(1)若/(x+a)=/(x—a),則函數(shù)/(x)的周期為2a；

(2)若/(x+a)=—/(%),則函數(shù)〃尤)的周期為2a；

⑶若〃i)=-意,則函數(shù)“X)的周期為2a；

⑷若"…)=疝則函數(shù)〃龍)的周期為2a；

(5)若〃x+a)=/(x+A),則函數(shù)〃尤)的周期為卜―小

(6)若函數(shù)/(九)的圖象關(guān)于直線％與x=b對(duì)稱，則函數(shù)/(九)的周期為2忸—4；

(7)若函數(shù)/(尤)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)0,0)對(duì)稱，則函數(shù)/(%)的周期為2|A—a|；

(8)若函數(shù)/(力的圖象既關(guān)于直線％對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(仇0)對(duì)稱，則函數(shù)/(九)的周期為4忸—同

(9)若函數(shù)/(九)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則/(%)的周期為2a；

(10)若函數(shù)〃尤)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線％=。對(duì)稱，則“X)的周期為4a.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.集合A={xk2—2x+l=0},3={Hax-l=0},Ac5=6，則。=

【答案】1或。

【解析】

【分析】根據(jù)包含關(guān)系可求參數(shù)的值，注意討論集合B是否為空集即可.

【詳解】A={x|x2-2X+1=0}={1},

「4r?5=5,，5={1}或_8=0,

故a=l或a=0.

故答案為：1或。

13.已知圓錐的軸截面是正三角形，它的面積是正，則圓錐的高為；母線的長為.

【答案】①.g②.2

【解析】

【分析】設(shè)正三角形的邊長為。，根據(jù)題意，列出方程求得軸截面正三角形的邊長，進(jìn)而求得圓錐的高和母

線長.

【詳解】設(shè)正三角形的邊長為。，因?yàn)檩S截面的面積為相，可得手〃=若，解得。=2,

由于圓錐的高即為圓錐的軸截面三角形的高，所以所求的高為且a=A/3，

2

圓錐的母線即為圓錐的軸截面正三角形的邊，所以母線長為2.

故答案為：君；2；

14.已知對(duì)任意xeR,均有不等式依2+"+c20成立，其中6<0.若存在teR使得

(1—f)a+(l+2r)》+3c=0成立，則r的最小值為

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】由一元二次不等式恒成立得生〉0、a>0,將問題化為求r="+1+3c的最小值,令

4aa-2b

34m+m2

br1+

加=—<0則-8'n，應(yīng)用基本不等式求最值，注意取值條件.

a---m

2

a>0A2

【詳解】由題設(shè)《A"/z有Z?2K4ac，XZ?<0,貝—>0,

A=-4tzc<04〃

乂(1—t)a+(1+2t)b+3c=a+b+3c+(2/?—ci)t,則2b—av0,

a+b

故存在，wR使a+b+3c+(2/?—Q?=0成立，則公"""

a-2b

b_b_

.34m+m2

所以t=l+^^21+35*bZ>1+----------

,令加=一<o,故81

a-2b]_竺a—m

2

a

A、2j1、9

3(，一加)+5(m--)+-3191

所以^1+—,=1+--[(——m)+—；-------5],且——m>0,

1

o--m824(--m)2

2

3l、、931o

rz—-----5]>--[2

4(1附8,，屋僅當(dāng)二"=5,即…】等號(hào)成

立,

所以72工，僅當(dāng)a=—〃且,=竺=@時(shí)等號(hào)成立，故/的最小值為

44(744

故答案：—

4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)一元二次不等式求參數(shù)的符號(hào)和大小關(guān)系，將題設(shè)條件化為求ct-+--h-+-'3c的

a-2b

最小值，結(jié)合換元法、基本不等式求最值.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/(%)=(n?+l)x+xlnx.

(1)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求曲線y=/(x)在(L/⑴)處的切線方程.

/、1

(2)m=-l時(shí)，若g(x)=7K，求g(x)的定義域，并分析其單調(diào)性.

/(X)

【答案】(1)3x—y—1=0；(2)定義域?yàn)?0,l)D(L+8),單調(diào)性見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線斜率為/'⑴=3,再由/⑴=2根據(jù)點(diǎn)斜式即可得解;

/11

(2)由g(x)=^==1—可得尤e(0,l)U(l,+8),再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可.

/(X)xlnx

【詳解】(1)當(dāng)772=1時(shí)，/(x)=2x+xln無，

所以/(x)=2+lnx+l,/(l)=3,

又，/⑴=2

所以曲線y="x)在(1,/(1))處的切線方程為3x—y—1=0.

/11

(2)當(dāng)相=-1時(shí)，g(x)=--=——,

j(x)xlnx

???函數(shù)g(%)的定義域?yàn)?0,l)u(l,+oo),

，/、lnx+1

當(dāng)g'(x)>0時(shí)，xe(0,-),當(dāng)g'(x)<0時(shí)，xe(-,l),xe(l,+oo),

ee

...g（x）在（0,3上單調(diào)遞增，在己,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞減.

ee

16.為了驗(yàn)證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行了2）次試驗(yàn)，假設(shè)小王每次試驗(yàn)成

功的概率為0（0<°<1）,且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立.

（1）若小王某天進(jìn)行了4次試驗(yàn)，且p=!，求小王這一天試驗(yàn)成功次數(shù)X的分布列以及期望;

3

1n

（2）若恰好成功2次后停止試驗(yàn)，p=~,以丫表示停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)的總次數(shù)，求XP（y=,）.（結(jié)果用

2i=2

含有〃的式子表示）

4

【答案】（1）分布列見解析；期望為一

3

【解析】

【分析】（1）利用二項(xiàng)分布求解；

（2）法一：先求〃次試驗(yàn)中，成功了。次或1次的概率，再利用對(duì)立事件求解；法二：先求

l，

P（Y=n）=Cn_lx^=^,再利用錯(cuò)位相減求和.

【小問1詳解】

依題意，X~,

2

則P(X=0)=

pm嘯）苜吟,S間|灼福

P(X=4)=I

故X的分布列為:

X01234

1632881

P

8181278181

14

故石（X）=4x§=§.

【小問2詳解】

方法一：設(shè)4="停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)總次數(shù)不大于九

則￡P(guān)（Y=0=P（y=2）+P（Y=3）+P（y=4）++P（y=n）=P（A）,

i=2

A="幾次試驗(yàn)中，成功了0次或1次”，

“九次試驗(yàn)中，成功了0次”的概率<=11—g]=￡；

“〃次試驗(yàn)中，成功了1次”的概率g=C：x[l—g]x1=^.

工?n-n-1

所以Xp（y=，）=i—片—鳥=”?

i=2Z

方法二：事件“y=〃”表示前n-1次試驗(yàn)只成功了1次，且第九次試驗(yàn)成功,

故p（y="）=c；TX』=7，

所以2Po）=*+,+>+展,

令+展’

貝彳S”導(dǎo)弄手+黑+導(dǎo)

2

則即歹…+F-

17.如圖，在三棱臺(tái)ABC-4用￡中，相，平面ABC,ZABC=90°,A4=A4=AG=1，

(1)求證：平面1平面8。。］四；

(2)求AC與平面BCG四所成角正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)sin61=—

2

【解析】

分析】(1)利用線線垂直性質(zhì)定理證明；

(2)將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐，利用等體積法求A到平面3C￡耳的距離，結(jié)合線平面角的定義求AC與平面

BCG用所成角的正弦值.

【小問1詳解】

由ZABC=90。，得AB」BC,

由平面ABC,5Cu平面ABC,則

又A41cAe=A,AA，ABu平面45與4,所以BC1平面AB與A,

因?yàn)?Cu平面ABCXBX,所以平面ABB^1平面BCCXBX.

【小問2詳解】

將棱臺(tái)補(bǔ)全為如下棱錐D-ABC,

D

由ZABC=90°,明=4用=4￡=1,AB=2,易知ZM=AB=5C=2,AC=2形,

由平面ABC,AB,AC,3Cu平面ABC,則9，AB,1AC,AAXLBC,

所以6。=2攻，CD=273.

可得S公BCD=；*2X2V2=2^2,

設(shè)A到平面BCC.B,的距離為h,又％TBC=yA-BCD，

]]1/—

則]、2乂5乂2乂2=耳/1乂2^2,可得力=夜,

設(shè)AC與平面所成角為。，6>e0,。，貝i]sine=g=L.

18.已知圓R(x—2)?+/=4,點(diǎn)E(—2,0),點(diǎn)G是圓廠上任意一點(diǎn)，線段EG的垂直平分線交直線尸G

于點(diǎn)T,點(diǎn)T的軌跡記為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)已知曲線C上一點(diǎn)M(2,%)(%>0),動(dòng)圓N：(x-2)2+y2=r2(r>0),且點(diǎn)M在圓N外，過

點(diǎn)M作圓N的兩條切線分別交曲線C于點(diǎn)A,B

①求證：直線AB的斜率為定值；

②若直線與x=2交于點(diǎn)。，且S^B2M=2S》w時(shí)，求直線A3的方程.

2

【答案】(1)/一&=1；

3

(2)①證明見解析；②46x+23y+31=0或22x+lly—13=0

【解析】

【分析】(1)由垂直平分線的性質(zhì)，探討點(diǎn)T具有的幾何特征，再結(jié)合圓錐曲線的定義求解即得；

(2)①設(shè)出直線A3的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，結(jié)合圓的切線性質(zhì)，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式推

理即得；②利用①的信息，利用給定的面積關(guān)系求出點(diǎn)A3橫坐標(biāo)關(guān)系，即可計(jì)算得解.

【小問1詳解】

圓色(％—2)2+9=4的圓心P(2,0),半徑r=2,

如下左圖，I詞—|7F|=I羽-|7F|=|FG|=2<4=|EF|,

如上右圖，—|7E|=|7F|—|7U|=|FG|=2<4=但同，

因此||re|-17F11=11TG|-17F11=1FG|=2<4=1EF|,

點(diǎn)T的軌跡是以點(diǎn)E、F為焦點(diǎn),且實(shí)軸長為2a=2的雙曲線，其中焦距2c=4,虛半軸長

b=A/C2~a~=A/3'

2

所以點(diǎn)T的軌跡C方程為％2—2L=1.

3

【小問2詳解】

①設(shè)點(diǎn)4(%,%)，B(x2,y2),直線A8的方程為y=Ax+m,

[2

-一匕=1

由<3消去y得(3-左2)/_2切一3二0,

y=kx+m

其中3—左2wo,且八=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)=12(m2-Z:2+3)>0,

2km加2+3

為+々=汴'X/=-K

由點(diǎn)”(2,%)(%〉0)在曲線C上，得加(2,3),顯然直線MA和直線MB關(guān)于x=2對(duì)稱,

%—2?%-2

直線MA和直線MB的斜率k,k滿足k+左MB=0，即=0,

MAMBMA%—3%—3

整理得(須一

2)(%—3)+(%—3)(X2—2)=0,

即(西一2)(5+加一3)+(bq+m-3)(x2-2)=0,

整理得2Axi9+（加一2左一3）（玉+x2）-4（m-3）=0,

2k（m2+3）2km（m-2k-3）

即_-4（m-3）=0，

3-k2十3-V

于是242++1）左+2（相一3）=0,即（&+2）（2左+加-3）=0,則左=—2或機(jī)=3—2左，

當(dāng)機(jī)=3—2左，直線方程為丁=左（％-2）+3,此直線過定點(diǎn)（2,3）,不符合題意,

所以直線48的斜率為定值-2.

2

②由①知西+々=4機(jī)，X,x2=m+3,顯然:,即:△A0”=[j,

S公BQM2S^BQN|2-X2|2'

12—再1__.nn4m+28m-2

當(dāng)3―r=5時(shí)，%2=2玉—2,再+犬2=項(xiàng)+2玉一2=4加，即石=------,%2=-------

xx--------------------m2+3,解得相=1或加=----,

93323

當(dāng)相=1時(shí)，A=0,不符合題意，當(dāng)m二——時(shí)，直線方程為46x+23y+31=0,

2—%,1

當(dāng)----=—彳時(shí)，%2=6-2玉，即再=6—4加，x=8m-6,

2-X）22

七%2=（6-4根）（8加-6）=m2+3,解得m=1（舍去）或加=一，

當(dāng)機(jī)=—時(shí)，直線方程為22x+lly—13=0,

所以直線A8的方程為46x+23y+31=0或22x+lly