2024年普通高等學(xué)校招生“梯期杯”統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生“梯期杯”統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.集合Af=Jx<-1-1sin(^x)<11,N=[y\y=x2—2%},則McN=

兀71

4」一1,萬(wàn)]B.[-1,0)C.[-1,0]D.[0,-]

2.若直線(xiàn)y=(Q-4)x+〃與圓/+/_16相切，貝！=

4368

A.4B.—C.4或一

1515

3.已知向量a=(2,-3),b=(l,-l),若a與b的夾角為a,則sin2a=

555

A.—B.——C.——

262613

4.若函數(shù)/(x)=sin2x-sinx+單調(diào)遞增，貝!Ja的取值范圍為

3333

A.[—3,+oo)B.[一■—,+oo)C.+8)D.[3,+oo)

iolo

5.如圖，概念型超音速客機(jī)"7號(hào)”平行于地面進(jìn)行超低空飛行，在沖破音障的一瞬間形成了音爆云

(飛行器超高速飛行時(shí)形成的形狀像是一個(gè)以物體為中心軸、向四周均勻擴(kuò)散的圓錐狀云團(tuán))，該

圓錐狀云團(tuán)的底面。。與地面垂直，高為“米，音爆云與地面接觸位置形成的曲線(xiàn)為已石的離心率

為e,右上距離飛機(jī)尾部最近的點(diǎn)到音爆云底面的距離為上貝/77號(hào)”的飛行高度為

1(H—h)B"+1(H—h)C“e2-1(H—h)D.y/e2+1(H-h)

e

試卷第1頁(yè)(共12頁(yè))

6.一個(gè)旅行團(tuán)計(jì)劃前往某個(gè)國(guó)家旅游，該國(guó)有4,3,C,D,E,EG,H共8個(gè)景點(diǎn)供游客選擇。團(tuán)隊(duì)決定

按照以下要求進(jìn)行安排：首先選擇3個(gè)不同的景點(diǎn)作為主要景點(diǎn)，然后在剩下的景點(diǎn)中選擇2個(gè)不同

的作為備選景點(diǎn)。其中A、3景點(diǎn)不能作為主要景點(diǎn)，C景點(diǎn)不能作為備選景點(diǎn)，則不同安排的方式

共有

A.80種B.90種C.160種D180種

7.定義：國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1,[-3.1]=-4,已知數(shù)列｛*｝滿(mǎn)足%=1,

an=log2(n+1),數(shù)列｛%｝=[許]的前〃項(xiàng)和為J,若S"<2024,貝M的最大值為

A.254B.314C.320D.510

8.設(shè)銳角△A3C的面積為S,若2s=b2,貝Utan3+：tanAtanC的最小值為

91625

A.3B.-C.—D.—

499

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知復(fù)數(shù)z為方程z?+2z+2=0的一個(gè)根，貝人的可能取值有

A.l-iB.-l+iCA+iD.-l-i

10.已知隨機(jī)事件4B滿(mǎn)足P(A|8)=P(AR),則的充分條件是

A.P(B|A)<P(A|fi)B.P(AB)<P(AB)

C.P(A|B)>P(A|5)D.P(A\B)<P(A)

11.平行六面體ABC。-ApBiGA中，外接球半徑為4,點(diǎn)P滿(mǎn)足不=力兩，貝IJ

A.AC]=BD]

B.DP+名尸>8

C若2=1,則。P?&P的最大值為32

D.若丸=2,貝!IsinN%。。>sinzAjPD

12.已知數(shù)列｛即｝滿(mǎn)足％+i=an+sin%,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是

A.數(shù)列｛冊(cè)｝為遞增數(shù)列

B.對(duì)V〃zGN*,都有%計(jì)1>am>“加-1

a2a

C.若正整數(shù)冽滿(mǎn)足=+1+am_x<2am,則為+2+m<m+l

D.當(dāng)西豐5｛keZ)時(shí)，存在的與正整數(shù)加使得口加+i+am_x=2am

試卷第2頁(yè)(共12頁(yè))

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一個(gè)數(shù)字序列的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和，若該序列的第一項(xiàng)是1,第二項(xiàng)是3.則該序列的第五

項(xiàng)為.

14.若函數(shù)/(x)=|，+2八在區(qū)間上的最大值為6,貝必=.

15.甲、乙、丙三人按照“甲最先扔、乙之后扔、丙最后扔”的順序依次輪流扔骰子。若第一個(gè)扔出3

的人獲勝，則丙獲勝的概率為.

X2V2

16.已知雙曲線(xiàn)C:=1(?>0,Z?>0)的左，右焦點(diǎn)分別為尸1，F(xiàn),左頂點(diǎn)為4,點(diǎn)P在C的右

a-b-2

支上，且恒有2/PA尸2=NPF24過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)4平分過(guò)O(。為坐標(biāo)原點(diǎn))作平行于"交

直線(xiàn)P為于點(diǎn)N,.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)

當(dāng)代高中生因課程壓力大，需要面對(duì)繁重的學(xué)習(xí)任務(wù)，應(yīng)對(duì)社交壓力和家庭期望，這些壓力

導(dǎo)致他們出現(xiàn)焦慮、抑郁、失眠等心理問(wèn)題，長(zhǎng)期的課程壓力和心理壓力會(huì)導(dǎo)致高中生的身

體機(jī)能逐漸減弱，下圖為某校對(duì)在校某一班的學(xué)生視力和體能的調(diào)查報(bào)表：

視力分布

體能'視力

極差較差正常較好

極差1011

較差021b

體能分布

正常28101

較好0a15

4

由于部分?jǐn)?shù)據(jù)的丟失，僅知道該班共計(jì)40位學(xué)生，且學(xué)生體能在正常及以上的概率為亍

(1)求b的值；

(2)從40名學(xué)生中抽取3名學(xué)生；

⑺求至少有一名學(xué)生視力或體能較好的概率；

(H)若這3名學(xué)生中視力或體能正常及以上的學(xué)生人數(shù)為求隨機(jī)變量5的數(shù)學(xué)期望.

試卷第3頁(yè)(共12頁(yè))

18.(12分)

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為4,"c,A=AC與。。相切于點(diǎn)C,B在。。上，AB的延

6

長(zhǎng)線(xiàn)與。。交于。點(diǎn).

(1)若。。的半徑為1,BD=6求。；

(2)若c=2,當(dāng)b最大時(shí)，求NBOC

19.(12分)

已知數(shù)列｛許｝的各項(xiàng)均為正數(shù)且=2,2an+xan+(n+2)端=na-+l.

(1)求%;

(2)求數(shù)列｛2%｝的前〃項(xiàng)和S”.

20.（12分）

在棱臺(tái)A3C—中，△A&G為邊長(zhǎng)為1的正三角形，且A3_LAAi，點(diǎn)P、。分別為&G、

B1G的中點(diǎn)，點(diǎn)M滿(mǎn)足MB=B]M.

(1)求二面角A1-A3-G的正弦值的最大值；

(2)若AC=2A3i，求平面A&G與平面P。加夾角的取值范圍.

試卷第4頁(yè)(共12頁(yè))

21.(12分)

拋物線(xiàn)E:y=--+機(jī)與%軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與%軸正半軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)3在E上，且點(diǎn)3在x軸上方.

(1)若加=1,點(diǎn)3在A(yíng)與。之間運(yùn)動(dòng)，求館明+招。|的最大值；

兀

(2)若點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上且在x軸上方，ABAD+2ACAD=-,過(guò)3作AC的垂線(xiàn)交E于點(diǎn)“，證明：

A,B,M,C不可能四點(diǎn)共圓.

22.(12分)

已知函數(shù)f(x)=(a-x)eax+x+。有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)片,％2(占<%2).

(1)求a的取值范圍；

ex1

(2)設(shè)g(x)=------若gCq)+g(%2)>-----------,求。的取值范圍.

2(1+X)1+

試卷第5頁(yè)(共12頁(yè))

2024年普通高等學(xué)校招生“梯期杯”統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)試題參考答案

選擇題

題號(hào)123456789101112

答案ACCCCCBCBDBCABDABC

填空題

題號(hào)13141516

7+525

§或一§

答案11914

427+a..

17.(1)依題：—=------,.'.a=5,又40=a+8+33,b=2.

540

379

(2)(i)記事件4為“至少有一名視力或體能較好的學(xué)生”，則P(A)=1--^=—--

,o494

Cf?吟1

(ii)4的所有可能取值為0,1,2,3,A=0)=-^―21=——,

C409oo0

Cj-Cl111CJ-C?999cl-C?777

P(J=1)=337=----------p(j=2)=337=----------pq=3)=337=一

q09880q04940Qo988

AJ的分布列為:

0123

1111999777

P

988098804940988

1111999777111

---------Fix---------F2X---------F3X----------

98809880494098840

試卷第6頁(yè)(共12頁(yè))

OB2+BD2-0D2_V3

18.(1)記。C交3。于“，當(dāng)/在線(xiàn)段C。上時(shí)，cosZOBD=

20B■BD一~

7T7T7T7T7T7T

Z.OBD=—,又NCMA=--ZA=—,Z.MOB=---------=—,

623366

0B11

??.MO=MB=—,MC=r-0M=I-,Ab=、3MC=，3-1;

V3

當(dāng)M在線(xiàn)段CO延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，0M=空=工,CM=CO+OM=-^-+l,

“3V3V3

AC=y/3CM=V3+1；綜上：b=^±l.

(2)由幾何關(guān)系得：AC2=AB-AD,即。2=240,當(dāng)。取最大值時(shí)，A。取最大值，即A、B、

冗71

D、。共線(xiàn)時(shí)，2.C0B=--ACOA=

19.(1);2冊(cè)+i冊(cè)+(〃+2)談=〃端+1，A(an4-an+i)[nan+i-(n+2)(2n]=0,Van,an+i>0,

冊(cè)+1_〃+2

ann

aaan+1nn—1543

an.味1.an-2432

an-\an-2an-3a3a2a\n—1n—2n—3321

an(n+l)n

-------,又%=2,a=n(〃+1).

%n

(2)令瓦=2〃4="5+1).2J則

s九=,2]+。2,2?+。3?23d—+an_2?2〃-？+an_1-2〃-1+%.2",

2Sn=%?2?+g,2?+%?24+…+61n_2,2"-1?2"+?2"+i,

作差得

23n-1

一Sn=2%—an?2"+i+(a2—%),2+(a3-a2)?2+???+(an_x—an_2)-2+(an-。九?2",

令4T=(即一4_1)?2九=展2"1,設(shè)d〃前〃項(xiàng)和為7；,則

=2?23+3?24+4?26+???+(〃-2).2"+n-2n+1,

2圖_1=2?24+3?25+4?26+…+(〃-2)?2〃+(〃-1)?2〃+1+n-2n+2,

兩式作差得

-T1=2?23+24+25+…+2〃+2計(jì)1-n-2w+2=(1-n)-2n+2,

T'n-x=(〃-1),2"+2=&+d2+…+d鹿

???-Sn=2%-an?2"i+(〃-1)?2〃+2=(-+〃-2)?2〃+】+4,

.?.J=(川-〃+2)?2〃+i-4.

試卷第7頁(yè)(共12頁(yè))

20.(1)作A"_LAB且HU面ABC,作AG_L面43。且G在面ABC上方，以(A".A8.AG)為一組

基底建立空間直角坐標(biāo)系，又“為3當(dāng)中點(diǎn)，而=2%商，而="褐，設(shè)4（0,0,0）,3（0力,0）,

x2+y2=lAAJ"=1，由棱臺(tái)A曷G—ABu△4與。?△ABC,

Aj(x,0,z),

zR0

AiBiAICIAIBI

設(shè)號(hào)=或=號(hào)="(讓(。/)〃1,+8)),設(shè)G(i,z),

2222

m—xnm+z+n=|AQ|=1992

'C(一^‘7'°)'

m2=x?H---——1,=1-----,z?=1-%?,>0,z?>0,X?￡[一,1),

4N4N-L4

又虱=(x,0,z),費(fèi)=(0力,0),AQ=(m,n,z),設(shè)面ABA]的法向量為彳，面48。的法向量為

―>

d].A4=0dy?AB-0d1=(z,0,一尤)

，一，取

d?,由《->

di-AB=Qd??AG=0d2=(-z,0,m)

記二面角4-AB—G為a,cosacos<di，d2>

7]_12+%2_；

z+mx

cos<d>=1^1，

272+#72+

(2)AC2=-^-(m2—2mx4-H24-x2)=AB2=x2+k2b2+z2=1+k2b2,

k2k2

.?.京=4+4/。2,J__4>0,：.k&(0,1),kb=J-1+擊,記為"J-1++,

依題意：iX=(x,t,z),=(m-x,n-t,0),~PQIIXB.AB=(0,/J,0),QMI/'BC^

BQ=(m,n-b,z),設(shè)面AB[G與面P?！钡姆ㄏ蛄繛槎?，工,

'T>f—>——>T——>

-AB^=0-PQ=-AB=0

=0'd4-OM=Q

=(z(t-n),z(m-x),xn-tm),4=(一z,0,一),設(shè)面A&G與面PQM的夾角為夕，

—>13

|COSPI=ICOS<6?3,，又〃—一乖叫），

試卷第8頁(yè)（共12頁(yè)）

|(1-n2)t-^n\1

cos夕=,_一,記s=I(1—n-)t~—n\,

(1—“2)(2_/“(]_/2)4-2(1-”2)一

2s2an

codP=--------re[—~pl),當(dāng)t=-----^時(shí)，k=0,當(dāng)|”|一,cos夕—1,

避?3-4,Q0+22(1-n2)

D丁44

,..71

|cos0|G[0,1),sinp￡[0,1),二?夕。(0,—].

21.(1)4-1,0),0(1,0),設(shè)8(利,1-令其中X°G(—1,1),

\AB\+\BD\=,(9+1)2+(行一1)2+,(和_[+(君—1)2

涉(x)=y/(,X+l)2+(x2-I)2+N(X_1)2+(r-1)2,XG(-1,1),易彳<f(x)=/(-X),

</,(%)<”個(gè)(X+1)2+(x—1)2+2(/—1)2=y/2.V2X4-2X2+4,當(dāng)且僅當(dāng)X=0取等，

令t=x\te(O』),g(t)=2產(chǎn)一2/+4,貝Ijg⑺<g(0)=g(l)=4,/(x)<72.71(0)=272,

那么|AB|+18。|的最大值為272.

(2)A(—y6n,0),D(^\/m,0),設(shè)以修，加一x；),C(x2,m—xf),Af(x3,m—x1),

/.kAB=y/m-g，kAC=y/m-x2,kMC=-x2-x3,,：AC1BM,：.kACkMB=-1,

(%2+—12)=1，?'NBAD+2NCAZ)=",k^AB=---，

2(\/m-xi)(y/m—x2)=xf—2y/mx2+m—1,又「?(犯+'3)(Vm—x2)=1

XmxxXX

xf+X23+Vi-V^3~12一m=。，xi—y/m=x2+x3,止匕時(shí)⑥呂=

若A,B,M,C共圓，根據(jù)圓周角定理NBACuNBMC,由倒角公式tan/BAC=咎二，J,

tanzBMC=-因?yàn)槟鼴=鐮。?熱c=-1，tanzBAC=---~~,

1+^MB^MC1+^MC^AC

tan^BMC=1+%蛉、。,又NBAC=NBMC,：.tan^BAC=%-%=j

kMC一^AC1+^AB^AC

兀兀冗

：.ABAC=X^BAD+2ACAD=ACAD="AC="AO矛盾，A,B,M,

424

C不可能四點(diǎn)共圓.

試卷第9頁(yè)（共12頁(yè)）

22.(1)a=0,f(x)=0,/(x)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)；。,0時(shí)，/(x)=(a-x)eax+x+a,

2

2ax2ax,z

f'(x)=(—ax+a4-l)e+1,f"(x)=a(a—2—ax)e,/(x0)=0,則和=a-----,

a>0時(shí)，/'(x)在(一8,x0)上單調(diào)遞增，在(x(),+8)上單調(diào)遞減；a<0時(shí)，/'(x)在(一8,兩)上單

調(diào)遞增，在(q,+8)上單調(diào)遞減；又fa。)=+1>0,a>0時(shí)，若x<—

a

貝獷'(%)>a2eax+1>0,若x>a,貝爐'。)<l-eax<0,：.3^G(班,a)使婚'(%)=0,

/(x)在(一8,X”)上單調(diào)遞增，在(x?p+8)上單調(diào)遞減；/(a)=2a>0,令A(yù)(x)=ex-x-1,

4(x)=ex-l,當(dāng)x?0時(shí)，A\x)>0,A(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時(shí)，A'(x)<0,A(x)單調(diào)遞減，

xa(a+2)2

：.e>x+1,f(a+2)=—2(e—a-1)<—2((z+a)<0,3x2G(a,a+2),

1

f(-a)=2ae-a2>0,f(-a-2)=2[(a+i)-?(?+2),i]<2(----------1)<0,

ea+1

3x^￡(—a—2,—ci),../(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；:.a<。時(shí)，若x>-----,貝!I/'QO>ci^eax+1>0,

a

若x<a,則Q)V1--V0,???設(shè)G(a,%。)使得g=0,八元)在(-8,人)上單調(diào)遞增,

在(與,+co)上單調(diào)遞減，/(0)=2。V0,-2)>0,/(2一〃)>0,

3x1E(a-2,0),x2E(0,2-a),「./(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上：aG(-oo,0)U(0,+oo).

?IXy-a

(2)考慮證：％1+%2=0，;(a+占+a=0,e~ax1=--------,

+a

[a—i)+a—=0,叼=?(-1)，+%2=0，

1_

g(x，+§(—%1)----------20,丁X],—1,(a+l)e"+a—1/0,

1-bx1

令/Z(Q)=&+L+〃_i,"(a)=1-—>1-"+】>0,/z(a)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

eaeaea

V以0)=o,且ar0,???//(〃)R0,看r-1,原式即二、+1\9>0(x<0

2(1+%)2(1-x)1-bx2

+a00%i+tz

且x,—1);又=-----(x?—a2>0),即廠(chǎng)(%i)=—In(--------)=0,

Xy—axx—a

?I.Xi+a.XA—aX]—a,

考慮證右---)=0,貝!|一〃修一111(--------)=0：即axi+ln(--------)=0,與

xx—aM+。刈+a

+a一

ax-ln(------)=0等價(jià)，得證；

xX]_a

2

.,?只需a>0：x<-a(x?-a2>0),廠(chǎng)'(修)=a(—------+1)>0,尸，(修)在(一8,一。)上單調(diào)遞

lxj-a2

增，又。足夠大時(shí)，蟲(chóng)可取到足夠小，故只需分析山上界的存在性(蟲(chóng)V?；蛐蕖?。)，

試卷第10頁(yè)（共12頁(yè)）

ca,.c+Q

ac-ln(-------)>。對(duì)成立，記為H(a)=ac-ln(--------),

c—ac—a

2。C?—a2-2Coo

則”(0)=0,H'(a)=c=C(-----------)=-------(c--a2-2),<0,

(c4-a)(c—a)c2—a2-c2—屋C2-(72

若。2一2<0,則H'(a)20,.?.舊(。)之"(0)=0,符合題意，，c?42,c而〃=一退,

2

若02—2>0,貝ijaG(0,Vc-2),H'(a)<0,3xbE(0,五三)使得"(為)<0矛盾,

c>—^20X]<—\/2,又X]=—，2時(shí)，記G(a)=—~^2a—ln(----------),

-a-y2

2x/2>-2J2a1

GX?)=-V2--^-=-V2(l+——)=>0,且G(0)=0,即。=0,

又a,0.修<—V；若b>0,貝！JI—bx1<0,分離參數(shù)得匕>(《勾辦，即匕》

x22

下證：b2g符合題意，1—i—g/vo,

exe~x1exe~x(1—x)ex+(1+x)e~x

------------1-------------------------->------------1------------=-----------------------------

2(1+x)2(1-x)1-bx22(1+x)2(1-x)2(1—N)

記上式為②式，由上可得：N(x)=(l—x)e，+(l+x)eT=0(x)+2,在xG(—co,0)上單調(diào)遞增;

且N(x)<N(-g=(1+V，)e