第03講 分式與二次根式（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第03講分式與二次根式（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解分式的概念，會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算；能夠根據(jù)具體問(wèn)題數(shù)量關(guān)系列出簡(jiǎn)單的分式方程，會(huì)解簡(jiǎn)單的可化為一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1．分式設(shè)A、B表示兩個(gè)整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.2.分式的基本性質(zhì)（M為不等于零的整式）.

3．最簡(jiǎn)分式分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).

要點(diǎn)詮釋：分式的概念需注意的問(wèn)題：分式是兩個(gè)整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用；（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；

（3）判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷．

（4）分式有無(wú)意義的條件：在分式中，①當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義；當(dāng)分式有意義時(shí)，B≠0．

②當(dāng)B=0時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)分式無(wú)意義時(shí)，B=0．③當(dāng)B≠0且A=0時(shí)，分式的值為零．考點(diǎn)二、分式的運(yùn)算

1．基本運(yùn)算法則

分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:

（1）加減運(yùn)算±=同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算.（2）乘法運(yùn)算兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運(yùn)算兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（4）乘方運(yùn)算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方．

2．零指數(shù).

3．負(fù)整數(shù)指數(shù)

4．分式的混合運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的．

5．約分

把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．

6．通分

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過(guò)程稱為分式的通分．

要點(diǎn)詮釋：約分需明確的問(wèn)題：(1)對(duì)于一個(gè)分式來(lái)說(shuō)，約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)因式，使約分前后分式的值相等；

(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過(guò)程與分解因式中提取公因式時(shí)確定公因式的思考過(guò)程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積．通分注意事項(xiàng)：

(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母；最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積．

(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉．

(3)確定最簡(jiǎn)公分母的方法：

最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.考點(diǎn)三、分式方程及其應(yīng)用

1．分式方程的概念

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．

3．分式方程的增根問(wèn)題

驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根．驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．

4．分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解．另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問(wèn)題，注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性．

要點(diǎn)詮釋：

解分式方程注意事項(xiàng)：（1）去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗(yàn)——檢驗(yàn)增根；

(6)答——答題．考點(diǎn)四、二次根式的主要性質(zhì)1.；2.；3.；4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.6.若，則.要點(diǎn)詮釋：與的異同點(diǎn)：（1）不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)．但與都是非負(fù)數(shù)，即，．因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，

，而（2）相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無(wú)意義，而.考點(diǎn)五、二次根式的運(yùn)算1．二次根式的乘除運(yùn)算(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：①應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式或有理式；②分母中不含根號(hào).(2)注意知道每一步運(yùn)算的算理；2．二次根式的加減運(yùn)算先化為最簡(jiǎn)二次根式，再類比整式加減運(yùn)算，明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；3．二次根式的混合運(yùn)算(1)對(duì)二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開(kāi)方，再乘除，最后算加減，如有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的；(2)二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.要點(diǎn)詮釋：怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.1.明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來(lái)學(xué)過(guò)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個(gè)步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于理解和掌握.在運(yùn)算過(guò)程中，對(duì)于各個(gè)根式不一定要先化簡(jiǎn)，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，但最后結(jié)果一定要化簡(jiǎn).例如，沒(méi)有必要先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使計(jì)算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行乘法運(yùn)算，，通過(guò)約分達(dá)到化簡(jiǎn)目的；(2)多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，借助乘法公式，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.【典型例題】題型一、分式的意義 【例1-1】使代數(shù)式有意義的的取值范圍是（）A.B.C.且D.一切實(shí)數(shù)【例1-2】若分式的值為0，則x的值等于．【變式1】當(dāng)x取何值時(shí)，分式有意義?值為零?【變式2】如果分式的值為0，則x的值應(yīng)為.【變式3】若分式不論x取何實(shí)數(shù)總有意義，則m的取值范圍是．題型二、分式的性質(zhì)【例2-1】已知,求下列各式的值.(1);(2).【例2-2】已知求的值.【變式1】已知求的值.【變式2】已知求的值.題型三、分式的運(yùn)算【例3-1】計(jì)算【例3-2】已知且,求的值.【變式1】已知，化簡(jiǎn)求值：【變式2】已知且,求的值.【變式3】已知x＋y=－4，xy=－12，求的值．類型四、分式方程及應(yīng)用【例4-1】如果方程有增根,那么增根是.【例4-2】a何值時(shí),關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根?【例4-3】為創(chuàng)建“國(guó)家衛(wèi)生城市”，進(jìn)一步優(yōu)化市中心城區(qū)的環(huán)境，德州市政府?dāng)M對(duì)部分路段的人行道地磚、花池、排水管道等公用設(shè)施全面更新改造，根據(jù)市政建設(shè)的需要，須在60天內(nèi)完成工程．現(xiàn)在甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)有能力承包這個(gè)工程．經(jīng)調(diào)查知道：乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)單獨(dú)完成多用25天，甲、乙兩隊(duì)合作完成工程需要30天，甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用2500元，乙隊(duì)每天的工程費(fèi)用2000元．（1）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種符合要求的施工方案，并求出所需的工程費(fèi)用．【例4-4】甲．乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實(shí)驗(yàn)器材．若甲單獨(dú)整理需要40分鐘完工：若甲．乙共同整理20分鐘后，乙需再單獨(dú)整理20分鐘才能完工．（1）問(wèn)乙單獨(dú)整理多少分鐘完工？（2）若乙因工作需要，他的整理時(shí)間不超過(guò)30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【變式1】小明乘出租車去體育場(chǎng)，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時(shí)的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達(dá)．若設(shè)走路線一時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意，得（）A． B． C． D．【變式2】萊蕪盛產(chǎn)生姜，去年某生產(chǎn)合作社共收獲生姜200噸，計(jì)劃采用批發(fā)和零售兩種方式銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，批發(fā)每天售出6噸．（1）受天氣、場(chǎng)地等各種因素的影響，需要提前完成銷售任務(wù)．在平均每天批發(fā)量不變的情況下，實(shí)際平均每天的零售量比原計(jì)劃增加了2噸，結(jié)果提前5天完成銷售任務(wù)．那么原計(jì)劃零售平均每天售出多少噸？（2）在（1）的條件下，若批發(fā)每噸獲得利潤(rùn)為2000元，零售每噸獲得利潤(rùn)為2200元，計(jì)算實(shí)際獲得的總利潤(rùn)．類型五、二次根式的定義及性質(zhì)【例5-1】當(dāng)x取何值時(shí)，的值最小？最小值是多少？【例5-2】要使式子有意義，則a的取值范圍為．類型六、二次根式的運(yùn)算【例6-1】計(jì)算：；【例6-2】【中考過(guò)關(guān)真題練】一．選擇題（共3小題）1．（2021?上海）下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（）A． B． C． D．2．（2020?上海）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A．6 B． C． D．3．（2018?上海）下列計(jì)算﹣的結(jié)果是（）A．4 B．3 C．2 D．二．解答題（共2小題）4．（2018?上海）先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣）÷，其中a＝．5．（2017?上海）計(jì)算：+（﹣1）2﹣+（）﹣1．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共15小題）1．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）下列代數(shù)式中，歸類于分式的是（）A． B． C． D．2．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)模擬）的倒數(shù)是（）A． B．2 C． D．﹣3．（2022?奉賢區(qū)二模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．1 B． C． D．34．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．5．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．6．（2022?上海模擬）（﹣）﹣1的相反數(shù)是（）A．﹣ B． C．﹣2 D．27．（2022?楊浦區(qū)二模）下列各式中，運(yùn)算結(jié)果是分?jǐn)?shù)的是（）A．sin30° B． C． D．8．（2022?金山區(qū)二模）在下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．9．（2022?虹口區(qū)二模）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．10．（2022?普陀區(qū)二模）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B．x C．3 D．11．（2022?黃浦區(qū)二模）下列根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．12．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）下列式子屬于同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與13．（2022?金山區(qū)校級(jí)模擬）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A． B． C． D．14．（2022?崇明區(qū)二模）如果最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，那么x的值是（）A．1 B．2 C．3 D．415．（2022?寶山區(qū)二模）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．二．填空題（共12小題）16．（2022?黃浦區(qū)二模）如果分式有意義，那么x的取值范圍是．17．（2022?楊浦區(qū)三模）計(jì)算：＝．18．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．19．（2022?金山區(qū)校級(jí)模擬）化簡(jiǎn)：﹣＝．20．（2022?青浦區(qū)模擬）計(jì)算：?＝．21．（2022?嘉定區(qū)二模）計(jì)算：＝．22．（2022?寶山區(qū)模擬）化簡(jiǎn)：＝．23．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)模擬）計(jì)算：＝．24．（2022?寶山區(qū)模擬）計(jì)算：＝．25．（2022?普陀區(qū)二模）3﹣2＝．26．（2022?徐匯區(qū)二模）如果代數(shù)式有意義，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是．27．（2022?上海模擬）化簡(jiǎn)：＝．三．解答題（共17小題）28．（2022?上海模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝4cos30°．29．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：（﹣3）0﹣+|1﹣|+．30．（2022?嘉定區(qū)二模）計(jì)算：（）﹣1+（1﹣）+﹣（）3．31．（2022?松江區(qū)二模）計(jì)算：（﹣）﹣1﹣+|1﹣|+．32．（2022?靜安區(qū)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：1﹣（a+）．其中，實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是它本身．33．（2022?普陀區(qū)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：（）÷，其中a＝+3．34．（2022?同安區(qū)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+2．35．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）先化簡(jiǎn)，后求值：（）÷，其中x＝2019．36．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：．37．（2022?徐匯區(qū)模擬）計(jì)算：．38．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：．39．（2022?金山區(qū)校級(jí)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝﹣．40．（2022?崇明區(qū)二模）計(jì)算：2﹣1+sin30°﹣﹣（﹣1）0．41．（2022?楊浦區(qū)二模）先化簡(jiǎn)再計(jì)算：，其中．42．（2022?普陀區(qū)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣），其中a＝．43．（2022?徐匯區(qū)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（a+）．其中a＝+3．44．（2022?徐匯區(qū)模